科技融入數學課程與教學的意涵及實例

科技融入數學課程與教學的意涵及實例

林保平

臺 北 市 立 教 育 大 學 數 學資 訊 教 育 學系 運 用 科 技 於 教 學 中 的 呼 籲 及 研 究, 有 長 久 的 歷 史 ， 自 有 電 腦 以 來 ， 數 學 家 掌 握 電 子 計 算 有50 多 年 的歷 史，而教 師 與 學 生 有 幸 使 用 電 子 計 算 功 能 ， 至 今 不 超 過 30 年 ， 早 期 使 用 電 子 計 算 科 技 都 是 透 過 時 間 分 享 方 式 。 微 電 腦 的 出 現 ， 打 破 了 中 央 控 制 進 入 了 個 人 化 使 用 的 時 代 ， 微 電 腦 的 普 遍 使 用 大 約20 年 ， 從 1980 年 代 微電 腦 發 展 以 來 ， 科 技 在 教 育 上 的 運 用 一 直 受 到 教 育 界 的 重 視。1990 年 代 初 期開 始 的 網 路技 術 發 展 ， 個 人 電 腦 使 用 的 日 漸 普 及 ， 寬 頻 網 路 的 普 遍 設 置 ， 更 使 數 學 教 育 學 者 及 教 師 ， 對 於 科 技 在 數 學 教 學 上 的 應 用 有 更 大 的 期 許 ， 融 入 課 程 的 科 技 運 用 已 成 為 未 來 數 學 教 學 的 趨 勢 ， 本 文 先 就 科 技 融 入 數 學 課 裎 的 意 涵 ， 作 個 人 意 見 的 表 達 ， 討 論 科 技 融 入 數 學 課 程 的 可 能 障 礙 ， 並 簡 單 介 紹 本 人 從 這 個 觀 點 下 建 立 的 協 助 課 程 融 入 的 網 路 電 腦 程 式 。

壹、科技融入數學課程的意涵

一、協助數學教學的科技運用

可 以 用 來 協 助 教 學 的 科 技 很 多 ， 電 腦 、 多 媒 體 工 具 、 周 邊 設 備 、 應 用 程 式 、 衛 星 連 線、網 際 網 路 及WWW 網頁、視訊 教 學 、 … 等 都 是 可 以 運 用 在 教 學 的 工 具 或 方 式 ， 有 些 固 然 尚 未 成 熟 或 普 及 （ 如 衛 星 連 線、視 訊 教 學 ），但 很 多 已 經 十 分 成 熟 ， 可 以 使 用 。 這 些 工 具 或 方 法 ， 為 科 技 融 入 課 程 的 教 學 帶 來 了 相 當 多 的 願 景 ， 下 面 略 述 教 室 中 可 能 的 科 技 運 用 方 式 (一 ) 電 腦 為 主 體 的 科 技 運 用 傳 統 對 電 腦 運 用 於 教 學 的 想 法 ， 偏 重 在 以 電 腦 為 主 體 的 教 學 ， 透 過 電 腦 的 快 速 計 算 及 展 示 功 能 ， 學 生 使 用 電 腦 ， 由 電 腦 作 課 程 內 容 的 簡 介 、 內 容 的 說 明 及 實 例 的 呈 現 、 透 過 問 題 作 線 上 的 評 量 、 提 供 適 當 的 回 饋 及 增 強 、 並 根 據 學 生 需 要 作 個 別 化 教 學 的 調 整 、 記 錄 學 生 的 表 現 等 。 這 個 想 法 有 以 電 腦 取 代 教 師 的 意 味 ， 電 腦 呈 現 的 是 教 師 在 課 堂 上 教 學 的 歷 程 。 想 法 雖 不 錯 ， 但 鑑 於 電 腦 科 技 的 的 限 制 ， 電 腦 與 使 用 者 互 動 的 機 制 ， 如 學 生 對 問 題 的 想 法 、 學 生 思 考 的 過 程 、 適 時 的 給 予 提 示 、 … 等 都 無 法 作 得 完 善 。 早 年 雖 有 人 工 智 慧 的 提 倡 ， 但 其 功 能 仍 然 有 限 ， 只 有 在 技 術 的 訓 練 上 ， 如 模 擬 的 飛 機 駕 駛 訓 練 … 等 能 展 現 其 功 效，理 想 完 整 的 教 學「 專 家 系 統 」，在 短 期 內 仍 無 法 出 現 ， 電 腦 仍 無 法 取 代 教 師 的 教 學 。 但 在 練 習 、 模 擬 、 展 示 、 線 上 評 量（ 線 上 閱 卷、對 錯 的 回 饋 ）、資 訊 及 問 題 的 呈 現 上 ， 仍 然 可 以 加 以 利 用 ， 協 助 教 室 教 學 的 不 足 。 (二 ) 學 生 為 主 體 的 科 技 運 用

1980 初 期電 腦 在教 學 上 的 運用，許 多 人 的 建 議 是 「 學 生 程 式 設 計 」。 早 年 如 LOGO 語 言 中 的的 龜 行 幾 何， 就 是 以 這個 想 法 設 計，學 生 是 利 用「 直 接 指 令 」或「 設 計 程 式 」 指 揮 電 腦 畫 面 上 烏 龜 的 移 動 來 解 決 問 題 。 這 反 映 了 「 誰 教 誰 」 的 問 題 ， 這 不 同 於 更 傳 統 「 電 腦 指 導 學 生 學 習 」 的 想 法 。 事 實 上 這 種 想 法 區 別 了 數 學 問 題 的 本 質 ， 例 如 下 列 兩 個 問 題 看 起 來 類 似 ， 但 前 者 是 特 殊 數 值 的 計 算 ， 後 者 則 牽 涉 到 一 般 化 的 處 理 原 則 。 問 題1： 給 予 平 面 上 三 點（ 2,3），（ -1,4）， 及 （0,1）， 求 出 過 此 三 點 的 圓 之 圓 心 及 其 半 徑 。 問 題 2： 寫 一 個電 腦 程 式 ，當 輸 入 三 點坐 標 時 ， 電 腦 會 輸 出 過 此 三 點 圓 之 圓 心 及 半 徑 。 電 腦 的 引 入 提 高 了 學 生 數 學 學 習 的 水 準。「 學 生 程 式 設 計 」的 想 法 是 假 設 學 生 所 學 的 認 知 技 能 可 從 恰 當 的 程 式 設 計 活 動 中 獲 得 ， 例 如 計 畫 的 技 能 、 問 題 破 解 的 技 能 、 … 等 。 像 「 微 世 界 」(microworld) 的 電 腦 程 式 ， 則 是 針 對 特 定 目 標 限 制 了 指 令 的 數 量 及 範 圍 ， 作 用 於 特 別 選 定 要 學 生 學 習 的 數 學 物 件 或 內 容 ， 讓 學 生 透 過 程 式 設 計 來 學 習 數 學 ， 例 如Camp & Marchionini(1984) 描 述 的 “ PERGs ＂ (Program Exercise related to Content)。 由 於 電 腦 科 技 的 進 步 ， 書 寫 程 式 的 過 程 逐 漸 被 取 代 ， Geometric Supposer （Schwartz, 1985）首先 提 供「 擷取 操 作過 程 」的 功 能，由 電 腦 依 序 將「 操 作 的 過 程 」 建 立 成 內 涵 的 程 序 ， 學 生 利 用 電 腦 直 接 繪 製 幾 何 圖 形 後 ， 其 繪 製 過 程 可 以 保 留 且 予 以 命 名 成 為 指 令 或 程 式 ， 學 生 可 不 必 透 過 書 寫 來 發 展 及 修 改 程 序 ， 替 代 了 程 式 書 寫 的 需 要 。 其 後 的 Cabri Geometry （Laborde,1990），Geometer＇s Sketchpad (Jackiw,1991)， 繼 續 發 展 。 透 過 「 程 式 設 計 」 學 習 數 學 的 需 要 ， 已 被 電 腦 提 供 的 基 本 作 圖 、 計 算 、 代 數 、 符 號 微 分 、 程 序 擷 取 功 能 、 網 路 功 能 、 可 修 改 的 網 路 程 式 所 取 代 （Geometers Sketchpad 第 四 版）。 學 生 可 透 過 電 腦 提 供 的 這 些 基 本 功 能 ， 製 作 幾 何 及 函 數 圖 形 ， 作 數 學 問 題 的 探 討 、 定 理 的 發 現 ， 甚 至 透 過 其 「 一 般 化 功 能 」 的 協 助 思 考 問 題 的 證 明 ， 這 是 以 學 生 為 主 體 ， 提 供 「 較 普 遍 化 」 的 工 具 讓 學 生 使 用 於 思 考 解 題 。 其 他 如 Mapple 、 Mathematia、Derive 等 程 式， 雖 然 它 們有 些 仍 具 程 式 設 計 的 功 能 ， 但 透 過 簡 易 的 人 機 介 面 ， 及 針 對 特 殊 項 目 的 的 套 裝 程 式 ， 也 提 供 了 學 生 學 習 高 等 數 學 所 需 的 解 題 工 具 。 這 種 一 般 化 且 開 放 式 的 程 式 ， 本 身 並 不 針 對 任 一 數 學 概 念 進 行 教 學 ， 學 生 的 使 用 ， 都 需 要 先 透 過 教 師 的 教 學 ， 熟 悉 基 本 概 念 及 功 能 。 學 生 對 程 式 的 熟 練 與 否 也 會 影 響 學 生 解 題 的 歷 程 ， 教 師 如 何 運 用 這 類 程 式 協 助 學 生 學 習 ， 影 響 學 習 成 果 很 大 ， 程 式 基 本 功 能 的 學 習 與 現 行 課 程 綱 要 的 內 容 也 未 必 一 致 。 此 外 ， 學 生 透 過 網 路 搜 尋 及 閱 讀 數 學 相 關 的 資 料 、 如 史 上 發 現 的 最 大 質 數 、 勾 股 定 理 的 多 種 證 明 、 數 學 家 列

傳 、 歷 史 故 事 、 … 也 是 學 生 利 用 科 技 學 習 的 一 環 。 (三 ) 教 師 學 生 互 動 ， 科 技 為 工 具 的 教 學 運 用 前 述 電 腦 為 主 體 的 科 技 教 學 運 用 ， 從 以 取 代 教 師 的 觀 點 來 看 ， 要 設 計 完 整 的 教 學 歷 程 ， 雖 暫 不 可 行 ， 但 針 對 學 生 或 教 學 個 別 單 元 的 需 要 ， 將 電 腦 做 為 工 具 ， 透 過 現 成 軟 體 的 支 助 ， 教 師 可 以 運 用 科 技 進 行 教 室 教 學 活 動 設 計 並 進 行 教 學 。 例 如 透 過 單 一 教 學 目 標 需 要 （ 相 對 於 前 述 一 般 化 開 放 式 程 式 ），由 教 師 或 專 家 利 用 科 技 或 程 式 軟 體 （ 如 Powerpoint, Spreadsheet, Flash, Authorware,… 或前 述 任 意 程式 ）設 計 針對 教 學 目 標 的 教 具 或 學 具 程 式 環 境 ， 供 教 師 設 計 活 動 並 在 教 室 內 使 用 。 透 過 電 腦 的 動 態 呈 現 及 展 示 功 能 ， 教 師 的 提 問 或 協 助 說 明 、 教 師 與 學 生 （ 學 生 或 生 間 ） 的 互 動 探 索 ， 電 腦 科 技 可 協 助 教 師 的 教 學 或 學 生 的 學 習 。 例 如 網 頁 http://www.dynamath. idv.tw 上 的 實 例「3 或 9 的 倍數 判 別 」、「 長 條 圖 的 形 成 」。透 過 電 腦 教 具 學 具 程 式 環 境 的 圖 形 依 序 的 展 示 ， 教 師 可 以 方 便 並 有 效 率 地 與 學 生 討 論 「 如 何 判 定 某 數 為 3 或 9 的 倍 數 」，透 過 電 腦 的 圖 像 的 動 態 呈 現、教 師 與 學 生 的 問 答 及 提 示 ， 教 師 可 協 助 學 生 形 成 及 理 解 「 要 判 定 某 數 是 否3 的 倍 數， 只 要 看 各 數 字 的 和 相 加 後 是 否3 的 倍 數即 可 」，圖1 展 示 其程 式 動 態 依序 列 畫 面 內容 的 一 頁 。 圖 2、圖 3 展 示 程式 「 長 條 圖的 形 成 」 動 態 依 序 列 畫 面 內 容 的 一 頁 。 各 動 態 序 列 內 容 ， 透 過 按 鈕 的 控 制 ， 可 以 依 序 呈 現 ， 方 便 教 師 提 問 及 教 學 。 圖 1、「 判 別 9 與 3 的 倍 數 」 程 式 畫面

圖 3、 長 條圖 的 呈 現 圖 2、 整 理後 的 物 件

二、融入數學課程的科技運用

我 們 認 為 融 入 課 程 的 科 技 運 用 ， 應 是 與 現 行 課 程 目 標 及 核 心 教 材 相 結 合 的 科 技 運 用 ， 也 就 是 說 ， 科 技 在 教 學 上 的 運 用 ， 應 是 為 了 促 進 學 生 認 知 ， 能 達 成 課 程 目 標 且 與 達 成 目 標 的 教 材 相 結 合 ， 而 非 可 有 可 無 的 附 屬 品 。 我 們 不 否 認 任 何 科 技 運 用 均 有 其 教 育 意 義 ， 但 有 教 育 意 義 並 不 表 示 能 達 成 預 定 的 教 學 目 標 。 許 多 研 究 認 為 科 技 會 改 變 教 學 的 實 務 、 數 學 問 題 的 本 質 ， 問 題 理 解 的 難 易 ， 但 是 我 們 認 為 它 不 會 改 變 教 學 目 標 ， 教 學 目 標 是 課 程 綱 要 明 訂 的 內 容 ， 而 科 技 融 入 課 程 時 ， 教 師 選 用 科 技 或 教 學 環 境 程 式 時 ， 就 已 經 確 定 了 這 個 目 標 ， 縱 使 認 為 課 程 綱 要 明 訂 的 目 標 不 足 或 有 缺 陷 ， 也 是 在 教 師 自 行 確 定 增 修 目 標 使 其 成 為 教 師 預 期 實 施 的 課 程(implemented curriculum)目 標 之 後 ， 才 會 選 定 要 融 入 課 程 的 科 技 ， 因 此 選 定 課 程 融 入 的 科 技 協 助 教 學 ， 只 有 是 否 能 有 效 達 程 成 課 程 目 標 的 問 題 ， 沒 有 是 否 配 合 目 標 或 教 材 的 問 題 ， 在 使 用 課 本 時 ， 教 師 對 於 課 本 建 議 的 活 動 及 教 學 歷 程 也 應 事 先 檢 視 並 修 正 ， 然 後 設 計 教 具 學 具 程 式 環 境 或 選 用 適 當 的 科 技 進 行 教 學 。

貳 、

科技融入數學課程可能

的障礙

雖 然 使 用 科 技 協 助 教 學 已 是 公 認 為 未 來 教 學 之 趨 勢 ， 但 是 科 技 在 教 室 中 的 使 用 一 直 無 法 落 實 ， 進 度 緩 慢 。 以 下 列 出 電 腦 較 少 有 意 義 地 被 使 用 在 增 進 教 師 教 學 及 學 生 學 習 上 的 原 因 ， 供 大 家 提 出 討 論 ， 如 何 能 解 除 這 些 障 礙 因 素 。

一、專業的發展

教 師 未 曾 受 到 恰 當 的 訓 練 及 支 援 ， 教 師 認 為 他 的 電 腦 技 能 無 法 勝 任 科 技 融 入 的 教 學，或 認 為 科 技 融 入 教 學 的 實 施 應 是「 科 技 專 家 」 或 「 科 技 教 師 」 的 專 長 ， 不 是 他 們 的 責 任 。 有 些 教 師 不 認 為 科 技 的 運 用 實 質 上 對 教 學 有 益 ， 他 不 用 科 技 可 以 教 得 更 好 ， 更 有 效 。 教 師 認 為 實 施 科 技 融 入 的 教 學 將 花 費 很 多 的 時 間 及 精 力 ， 沒 有 時 間 去 學 或 發 展 新 的 東 西 。

二、軟體的獲得

缺 乏 能 支 援 主 要 課 程 目 標 、 能 配 合 教 學 方 向 、 且 設 計 完 整 適 合 教 室 使 用 的 軟 體 。 教 師 所 知 、 所 接 觸 的 科 技 及 協 助 教 學 的 程 式 ， 或 所 看 到 的 科 技 融 入 的 教 學 成 功 實 例 ， 對 實 際 課 程 教 學 的 幫 助 不 是 很 大 。

三、科技決策及支援

決 策 者 或 教 學 行 政 者 本 身 沒 有 教 學 科 技 的 技 能 或 對 教 學 科 技 認 識 不 夠 ， 阻 礙 科 技 融 入 的 教 學 決 策 ， 未 能 善 用 經 費 於 刀 口 上 。 教 師 使 用 科 技 發 生 問 題 時 ， 由 於 科 技 的 不 熟 悉 、 科 技 設 備 的 不 配 合 、 網 際 網 路 連 線 的 不 確 定 、 或 科 技 人 員 無 法 立 即 支 援 ， 使 教 師 無 法 全 然 仰 仗 科 技 來 教 學 ， 對 重 要 核 心 的 教 材 不 願 使 用 科 技 。

四、教室的管理

集 中 使 用 的 電 腦 教 室 ， 使 用 的 時 間 必 須 事 先 作 安 排 ， 使 得 教 師 將 「 學 生 使 用 電 腦 的 」 教 學 方 式 視 為 特 殊 的 教 學 活 動 ， 而

非 日 常 課 程 （ 科 技 融 入 課 程 的 教 學 ）。

五、科技融入的課程

課 程 綱 要 訂 定 之 時 ， 為 將 科 技 融 入 作 為 重 要 事 項 ， 沒 有 提 供 或 建 議 可 使 用 的 軟 體 。 書 商 無 法 把 握 教 師 教 學 時 必 有 電 腦 或 相 關 科 技 設 備，供 其 使 用，在 設 計 課 程 時， 科 技 運 用 的 教 材 付 之 厥 如 ， 或 以 「 選 擇 教 材 」 看 待 ， 教 師 無 法 獲 得 完 整 配 合 及 運 用 科 技 教 學 的 課 本 。 教 學 行 政 人 員 對 教 師 要 求 過 多 無 謂 的 書 面 報 告 及 討 論 ， 教 師 需 花 費 很 多 額 外 的 時 間 來 準 備 科 技 融 入 課 程 的 教 學 。

參 、 教 具 學 具 觀 點 的 電 腦 輔 助 教 學

環境特質及實例

在 我 國 ， 提 供 教 室 使 用 的 電 腦 雖 然 十 分 有 限 ， 但 是 教 育 部 班 班 有 電 腦 計 畫 針 對 教 室 提 供 教 師 於 教 室 內 可 用 的 電 腦 相 關 設 備 ， 每 一 中 小 學 都 有 以 寬 頻 （ADSL） 連 線 上 網 之 設 備 ， 而 且 電 腦 價 格 日 益 低 廉 ， 其 功 能 也 日 漸 強 大 ， 教 室 中 有 一 部 電 腦 來 協 助 教 師 正 常 教 學 應 不 成 問 題 （ 不 是 點 綴 性 的 展 示，而 是 像 粉 筆 黑 板 一 樣 的 利 用 ）， 但 是 能 供 教 師 在 課 室 直 接 利 用 的 軟 體 卻 十 分 缺 乏。 「 教 具學 具 」觀 點的 電 腦 輔 助教 學 （ 林,民 89；林 ,民 90），建 議 將 電 腦 當 作 工 具 ， 教 師 或 專 家 根 據 課 程 及 教 材 內 容 （ 亦 不 排 除 非 其 內 的 素 材 ） 的 特 質 ， 設 計 出 能 幫 助 教 學 的 教 具 ， 或 學 生 操 作 的 學 具 ， 供 教 師 及 學 生 在 教 學 時 使 用 ， 電 腦 只 掌 控 必 要 的「 工 具 」，將 教 學 流 程、個 別 差 異 的 考 慮 、 教 師 的 評 量 等 工 作 ， 仍 然 交 給 教 師 。 教 師 教 學 流 程 之 設 計 中 ， 對 電 腦 科 技 目 前 無 法 處 理 、 或 教 師 因 科 技 能 力 不 足 無 法 設 計 、 或 無 現 成 的 電 腦 教 具 學 具 的 題 材 或 內 容 部 分 ， 仍 採 非 電 腦 的 教 學 方 式 。 並 且 不 排 除 其 他 任 何 非 電 腦 提 供 的 操 作 教 具 或 學 具 ， 教 師 具 有 彈 性 ， 可 斟 酌 使 用 。 在 這 種 觀 點 之 下 ， 電 腦 輔 助 教 學 之 設 計 簡 化 ， 教 師 只 需 根 據 教 材 或 可 能 的 活 動 內 容 ， 充 分 運 用 電 腦 特 性 來 選 取 或 設 計 合 適 的 教 具 及 學 具 來 輔 助 教 學 。 在 這 種 觀 點 之 下 ， 電 腦 教 學 程 式 環 境 應 具 下 列 特 質 ： (一 ) 針 對 數 學 課 程 中 的 各 個 主 題 (能 作 適 度 的 橫 向 連 結 ） ─ 這 是 電 腦 輔 助 教 學 融 入 課 程 的 必 要 條 件 。 (二) 一 般 化 ─ 相 對 於 一 般 教 具 學 具 之 「 特 殊 」 性 ， 電 腦 教 具 學 具 程 式 呈 現 的 主 題 內 容 應 具 有 一 般 化 的 特 性 。 例 如 引 導 面 積 公 式 時 ， 作 平 行 四 邊 形 分 割 ， 所 被 分 割 的 四 邊 形 應 是 任 意 （ 至 少 是 多 種 的 ） 平 行 四 邊 形 ， 這 樣 的 分 割 程 式 ， 可 以 由 教 師 或 學 生 選 擇 或 操 作 出 不 同 形 狀 的 平 行 四 邊 形 作 多 次 的 分 割 呈 現 （ 如 圖 4）。 又如 提 供 分 數 探 討 的 分 割 程 式 ， 就 應 可 作 多 種 分 割 （ 若 有 不 足 ， 教 師 可 彈 性 修 改 程 式 ）。 多 樣 性 也 是 十 分 重 要 ， 例 如 ， 介 紹 分 數 時 ， 線 段 分 割 ， 長 條 的 分 割 ， 面 積 相 關 的 分 割 （ 如 圓 形 分 割 、 矩 形 分 割 ）、 水 杯 的 不 同 刻 度 分 割 等 （ 如 圖 5 至 7）。 ( 三 ) 多 重 表 徵 的 呈 現 （ Kaput,1989;

Lin,1993;Lin & Olive 1994） ─ 程式 的 呈 現 可 有 多 重 的 表 徵 ， 例 如 函 數 就 可 以 有「 代 數 式 表 徵 」、「 表 列 表 徵 」、 「 圖 形 表 徵 」， 這 些 表 徵 互 相 對 照 呼 應 ， 呈 現 表 徵 內 部 的 變 換 或 不 同 表 徵 之 間 的 轉 譯.例 如 呈 現 二 次 函 數 的 圖 形 ， 學 生 或 教 師 可 透 過 滑 鼠 操 作 圖 形，觀 察 函 數 式 在 係 數 上 的 變 化,或 改 變 係 數 觀 察 圖 形 的 變 化 ， 將 函 數 圖 形 及 函 數 式 看 成 一 個 物 件 ， 忽 略 函 數 自 變 數 與 應 變 數 對 應 的 關 係 ， 提 升 學 習 研 究 的 層 次（ 圖 8），分 數 各種 型 式 的 呈 現 ， 也 是 多 重 表 徵 的 呈 現 。 (四) 動 態 可 操 作 ─ 程 式 應 能 呈 現 動 態 過 程 ， 可 隨 意 停 止 ， 繼 續 （ 相 對 於 一 般 電 影 媒 體 的 不 易 隨 時 反 覆 ）， 教 師 可 於 恰 當 的 時 刻 暫 停 程 式 之 自 動 運 作 ， 提 出 問 題 ， 發 起 討 論 ， 重 複 畫 面 上 的 動 態 過 程 ， 或 以 手 動 操 作 放 慢 速 度 ， 讓 學 生 有 思 考 、 討 論 、 提 問 題 的 機 會 （ 如 圖 1）。 (五) 自 動化 功 能 ─ 在 手 操 作 困 難時 （ 例 如 重 合 或 疊 合 兩 圖 形 ， 以 滑 鼠 運 作 不 易 精 準 ）， 可 透 過 「 按 鈕 」 令 電 腦 自 動 操 作 。 (六) 使 用 的 彈 性 ─ 教 師 能 根 據 教 學 設 計 ， 選 擇 程 式 中 部 分 需 要 的 功 能 ， 或 自 行 設 計 補 充 的 功 能 ， 或 作 大 班 教 學 （ 教 師 操 作 ， 學 生 或 教 師 提 問 題 討 論 ）， 或 由 個 別 或 小 組 操 作 ， 作 彈 性 的 設 計 調 配 ， 以 適 應 學 生 的 程 度 或 個 別 需 求 。 (七) 不 排 他 除 種 教 學 媒 體 或 具 體 教 具 及 學 具 的 使 用 。 電 腦 教 具 學 具 將 數 學 抽 象 後 的 符 號 或 圖 像 化 後 的 圖 形 ， 更 具 體 化 ， 在 教 師 或 學 生 操 作 之 下 ， 透 過 教 學 問 答 或 小 組 討 論 ， 應 可 協 助 學 生 具 體 及 抽 象 的 連 結 ， 能 對 技 融 入 的 數 學 教 學 有 重 要 影 響 ， 值 得 我 們 研 究 討 論 。 以 下 舉 出 四 個 實 例 供 大 家 參 考 （ 所 舉 實 例 中 ， 前 3 例 可 閱 網 站 http://www. dynamath.tw or http:// www.dynamath. idv.tw ）。

一、3 或 9 的倍數及長條圖的形成

圖 1 中 ， 教 師 可以 選 擇 討 論 3 或 9 的 倍 數 。 右 上 方 輸 入 框 可 輸 入 要 判 別 的 任 意 3 位 數。本 程 式中，「操 作」是 一個 連 續按 鈕 ， 設 計 時 已 將 教 學 流 程 安 排 好 ， 教 師 只 要 依 序 按 此 按 鈕 呈 現 畫 面 即 可 ， 但 在 呈 現 圖 形 的 內 容 之 前 提 出 問 題 、 引 導 學 生 討 論。其 基 本 流 程 是：取 得 876 的 方 塊 表徵、 討 論 是 否 可 以3 個 3 個 一 數數 完 及 它 與除 法 的 關 連 、 分 別 就 每 個 百 及 每 個 十 來 數 、 數 完 的 放 在 上 方 、 未 數 的 （ 剩 下 的 ） 放 在 下 方 ， 最 後 把 尚 未 數 的 合 起 來 ， 再 數 ， 能 正 好 數 盡 ， 則876 是 3 的 倍數 ， 否 則 不是 3 的倍 數 。 按 鈕「 展 開 」 是討 論 將 第 一個 「 百 」 及 第 一 個 「 十 」 是 否 可 數 盡 時 ， 可 將 積 木「 展 開 」成 3 個 一 堆 或 9 個 一 堆（ 再 按 就 合 併 回 去 ）， 方 便 看 出 剩 下 幾 個 數 不 完 ， 可 與 學 生 討 論 除 法 與 「 是 否 數 盡 」 之 關 係 。

圖 2 展 示 的 是 統 計 圖 表 教 學 時 的 的 教 具 程 式 。 教 師 可 以 透 過 按 鈕 依 自 行 設 計 的 流 程 教 學 。 按 鈕 大 部 分 是 輪 換 按 鈕 ， 按 一 下 呈 現 、 再 按 一 下 則 隱 藏 。 我 們 設 計 了 教 學 時 可 能 要 使 用 到 的 各 種 功 能 按 鈕 。 1. 取 物 ─ 按 鈕 程 式 將 自 動 取 得 適 當 數 量 且 隨 機 排 列 的 物 件，圖 中 四 個 數 值 輸 入 框，可 分 別 鍵 入 規 劃 取 得 四 種 物 件 的 數 量 。 2. 整 理─ 按 鈕可 將 物 件 整理 成 如 圖 2 中 的 排 列（ 教 學 時，可 先 用 滑 鼠 移 動 並 分 類 物 件 ， 讓 學 生 數 算 分 類 ）。 3. 歸 位 ─ 還 原物 件 至 左 邊的 四 個 位 置。 4. 圖 樣 ─ 按 鈕可 將 四 種 物件，變 成 四種 不 同 顏 色 的 方 格（ 成 為 長 條 圖 形 成 的 提 示 ）， 在 按 鈕 可 還 原 為 四 種 物 件 。 5. 統 計表、表 值─ 呈 現 或 隱藏 統 計 表、呈 現 或 隱 藏 表 內 的 數 量 。 6. 長 條 圖 ─ 將 整 理 的 物 件 展 示 出 長 條 圖 的 樣 式 。 7. 橫 或 直 ─ 輪 換 呈 現 橫 向 或 直 向 的 長 條 圖 。 其 他 如 坐 標「 軸 」、「 刻 度 」、「 標 題 」、 「 項 目 」 名 稱 、「 數 量 」、 標 示 數 量 的 「 標 線 」、中 空 或 塗 色 的 長 條 圖（「 色 或 框 」）等 都 是 可 呈 現 或 隱 藏 的 按 鈕 ， 方 便 教 師 在 提 出 「 需 要 」 之 討 論 之 後 予 以 呈 現 。 圖 3 展 示 長 條 圖的 部 分 要 件， 此 時 ， 教 師 尚 可 移 動 長 條 圖 上 方 的 點 ， 上 下 移 動 改 變 長 條 圖 的 高 ， 數 值 也 會 隨 著 改 變 （ 此 時 的 數 量 就 不 是 開 始 時 的 數 量 ， 也 可 以 是 非 整 數 ）。 本 例 這 些 按 鈕 也 可 以 如 倍 數 程 式 一 樣 ， 依 流 程 將 按 鈕 合 製 成 一 個 「 連 續 按 鈕 」，教 師 再 依 序 按 鈕 教 學，哪 一 種 模 式 較 佳 值 得 研 究 。

二、面積公式的探討

在 探 討 國 小 面 積 相 關 概 念 時 ， 討 論 完 長 方 形 面 積 公 式 之 後 ， 通 常 要 透 過 切 割 、 拼 補、或 複 製 來 探 討 平 行 四 邊 形、三 角 形、 梯 形 等 的 面 積 公 式 。 圖4 呈 現 展示 平 行四 邊 形 切 割 拼 補 成 矩 形 的 切 割 及 拼 補 過 程 。 透 過 電 腦 程 式 的 呈 現 ， 教 師 可 以 呈 現 多 種 切 割 的 方 式 ， 也 可 以 切 割 各 種 不 同 位 置 不 同 形 狀 的 平 行 四 邊 形 。 按 鈕 合 併 圖 形 固 然 方 便 ， 教 師 也 可 透 過 滑 鼠 移 動 圖 形 ， 作 手 操 作 的 拼 合 活 動 。 本 程 式 也 可 以 將 平 行 四 邊 改 變 為 梯 形 、 三 角 形 ， 進 行 複 製 拼 補 的 活 動 來 探 討 三 角 形 及 梯 形 的 面 積 公 式 。 這 些 圖 形 的 高 ， 都 是 因 為 求 面 積 之 需 要 而 定 義 的 ， 程 式 展 示 的 高 及 整 體 的 切 割 拼 合 活 動 都 具 有 一 般 性 。

三、分數的基本概念

在 國小 分 數 教 學時 ， 適 當 的等 分 割 ， 多 種 不 同 的 分 割 等 ， 常 是 黑 板 展 示 圖 形 最 困 難 之 處 ， 圖 5、 圖 6 展 示了 線 段 分 割、 長 條 板 （ 長 矩 形 ） 分 割 、 圓 形 分 割 的 程 式 實 例 。 分 割 之 後 ， 仍 然 呈 現 原 始 「 全 部 」 （ 未 分 割 時 ） 的 基 本 狀 態 。3 個 四 分 之一 合 成1 個 四 分 之三 也 十 分 容易 呈 現 。 圖 7 展 示 兩 個 大小 相 同 的 量杯 ， 使 用 者 可 以 在 這 兩 個 量 杯 上 製 作 等 分 割 的 刻 度 ， 並 設 定 水 位 來 探 討 分 數 的 意 義 、 等 值

分 數、並 比 較 分 數 的 大 小。對 1 至 12 的 刻 度，每 一 刻 度 可 再 作2～5 格 的分 割，對 分 割 數 小 的 分 割 ， 學 生 可 透 過 刻 度 的 細 分 來 探 討 分 子 分 母 同 乘 一 個 數 的 意 義 ； 對 分 割 數 大 的 分 割（ 圖 7），學 生 可以 討 論 分 割的 合 併 ， 看 哪 哪 一 種 合 併 是 適 合 的 （ 分 子 分 母 能 同 時 除 盡 ），這 是 連 結 因 數 倍 數 概 念 ， 探 討 等 值 分 數 的 意 義 ， 進 而 協 助 學 生 瞭 解 「 分 子 、 分 母 同 乘 以 或 同 除 以 一 個 數 」 的 分 數 擴 分 及 約 分 的 意 義 。 圖 4、 平 行四 邊 形 的 切割 拼 補 及 其面 積 公 式

圖5、矩 形模 式（ 8 等分 及

8

3

,

8

5

的 分 割 ）及 線 段 模 式（ 9 等 分 及

9

4

,

9

5

的 分 割 ） 圖 6、 圓 模式 的 分 割 （ 12 等 分 及 7 等 分 的 分 割）

四、函數的多重表徵

函 數 概 念 的 教 學 牽 涉 到 函 數 的 多 重 表 徵 。 函 數 基 本 上 有 表 格 數 列 表 徵 、 圖 形 表 徵 、 代 數 式 表 徵 。 表 格 數 列 表 徵 強 調 函 數 的 對 應 性 質，一 個x 值，恰 有 一 個 y 值 與 其 對 應 ； 圖 形 表 徵 展 示 函 數 整 體 的 呈 現 ； 代 數 式 表 徵 是 符 號 運 算 式 的 表 徵 。 這 些 表 徵 的 學 習 ， 是 函 數 概 念 學 習 的 重 要 內 容 。 而 學 生 函 數 概 念 的 發 展 也 是 透 過 對 應 關 係 、 逐 漸 進 化 到 圖 形 呈 現 ， 並 連 結 到 代 數 呈 現 的 領 域 。 探 討 這 些 表 徵 之 間 的 關 連 性 也 是 數 學 學 習 的 重 要 議 題 。 圖 8 是 一個 函 數 畫 圖 程 式 ， 同 時 呈 現 函 數 的 多 重 表 徵 ， 可 以 探 討 表 格 中 的 對 應 數 值 、 函 數 圖 形 、 代 數 式 間 的 關 係 。 教 師 可 透 過 輸 入 或 選 取 內 建 的 含a,b,c,d 參 數（有 預 設 值 ）及 自 變 數 x 的 代 數 式 來 畫 圖 及 描 點 。 參 數 a,b,c,d 之 值 可 以直 接 輸 入 或透 過 上 下 箭頭 按 鈕 增 減 其 數 值 ， 此 時 函 數 圖 形 可 以 作 相 應 的 改 變 ， 可 以 讓 學 生 探 討 係 數 變 化 與 圖 形 變 化 之 間 的 關 係 。 圖9 呈 現 內建 的 頂點 式 二 次 函 數 的 代 數 式 。 另 有 如

c

b

x

a

y

=

|

−

|

+

、

y

=

ax

2

+

bx

+

c

、

d

c

x

b

a

y

=

sin(

(

−

))

+

… 等 內 建 函 數 式 ， 可 供 學 生 討 論 絕 對 值 函 數 、 標 準 式 二 次 函 數 、 三 角 函 數 、 … 等 函 數 式 係 數 與 圖 形 形 狀 間 的 關 係 。 圖 7、 合 併以 觀 察 分 數的 分 子 分 母同 除 以 一 個數 的 意 義

肆、結語

本文首先討論科技融入課程的意涵，從 科技協助教學、學生利用科技、及教室中教 師學生互動、科技為工具等方向來探討，認 為融入課程的科技運用，應是與現行課程目 標 及 核 心 教 材 相 結 合 的 科 技 運 用 ， 也 就 是 說，科技在教學上的運用，應是為了促進學 生認知，能達成課程目標且與達成目標的教 材相結合。本文也討論科技融入課程的可能 障 礙 ， 這 些 障 礙 ， 這 些 應 會 隨 遮 科 技 的 進 步、價格的降低，逐漸減少。本文也提出教 具 學 具 觀 點 的 電 腦 輔 助 教 學 環 境 的 設 計 的 想法，並舉了一些實例。這些實例只是我們 網頁上眾多實例的一小部分，希望對有興趣 運用科技融入教學的教師有幫助。網頁上的 許多實例，目前已經改組為可以下載並運用 的模組，有興趣的教師可以下載實驗使用。 這 些 程 式 大 部 分 沒 有 作 過 嚴 密 及 正 式 的 教 學實驗，錯誤及不盡理想之處在所難免，拋 磚引玉，就教於有興趣的教育工作同仁。

參考文獻

林 保 平（ 民 90）融 入 教 學 的數 學 科 電 腦輔 助 教 學─以 分 數 的 教 學 為 例 。 科 學 教 育 研 究 與 發 展 ， 第 二 十 二 期 ， pp31-57。 林 保 平 （ 民 89） 教 具 學 具 觀點 的 數 學 科 電 腦 輔 助 教 學 設 計 實 例 。 科 學 教 育 研 究 與 發 展，第 二 十 期，pp29-46.。 Camp, J., & Marchionini, G. (1984).

Programming and learning: 圖 8、 多 重 表 徵 的函 數 呈 現 ：透 過 輸 入 x 值 獲 得 函 數 y 值 及 函 數 表 列 ，

以 便 描 點；選 取 或 輸 入 帶 參 數 a,b,c,d 的 函 數 式，透 過 參 數（係 數 ） 的 變 化 改 變 圖 形 的 形 狀 ， 觀 察 圖 形 與 係 數 的 關 係 。

Implications for mathematics education. In V. P. Hanson (Ed.), Computers in mathematics Education. Reston,VA: National Council of Teachers of Mathematics. Jackiw, N. (1991). Geometer's Sketchpad

(Computer program). Berkeley, CA: Key Curriculum Press.

Laborde, J. M. (1990). CABRI Geometry{Software}. France: Univerdite de Grenoble 1 (Available in the U.S. from Brooks Cole: NY). Lin, P. P. (1993). Learning Translation

and Scaling in Dynamic, Linked, Multiple Representation Environ- ments. Doctoral dissertation. The University of Georgia.

Lin, P. P. &. Olive, J. (1994). Dynamic, Linked, Multiple Representation Environments Using the Geometer's Sketchpad. The Proceeding of the 9th Science Education Conference of The Republic of China, pp.714-744.

Schwartz, J., & Yerushalmy, M. (1985). The Geometry supposer [A series of foru software packages] Pleasantville, NY: Sunburst Communications.