將平面上的直線由斜率觀點回溯到移動量觀點

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將平面上的直線由斜率觀點

回溯到移動量觀點

王世勛

新北市立新北高級工業職業學校

壹、前言

在坐標平面上的直線常以斜率為中心, 建構出直線方程式,在探討直線的平行或垂直關係時,有兩個重要結論 (1) 兩直線的斜率依序為m₁及m₂，若兩直線平行，則m m₁= ₂ (2) 兩直線的斜率依序為m1及m2，若兩直線垂直，則m m₁ ₂  1 這兩個結論必須在斜率存在的前提下才能適用,以兩鉛直線 x=1 及 x=2 為例，是兩平行線,但不遵守斜率相等 (事實上，兩直線斜率皆不存在)；再以兩直線 x=1 及 y=2 為例，兩直線互相垂直，但不遵守斜率相乘為1（事實上鉛直線 x1的斜率不存在，而水平線 y=2 的斜率為 0），有沒有可能, 可以找到一個觀點，可以適用所有直線？這個課題可以由“直線上兩點的移動量 ”的觀念得到解決。

貳、移動量的意義

首先說明，何謂“直線上兩點的移動量”？以坐標平面上 A(1,1)，B(4,3)為例，由 A(1,1)移動到 B(4,3)，此時 x 坐標增加 3， y 坐標增加 2，移動量記作 3 2；由 B(4,3)移動到 A(1,1)，此時 x 坐標減少 3， y 坐標減少 2，移動量記作-3 -2，由上述 知 AB 兩點的移動量為 3 2 或-3 -2。一般而言，考慮A x y( , )₁ ₁ ，B x y( ,₂ ₂)，則 AB 兩點的移動量可為x₁x₂ y₁y₂或x₂x₁ 2 1 y y 。知道“直線上兩點的移動量 ”如何計算之後，要來探討一直線上任意兩點的移動量有何關係，分成三種情形說明如下：情形一：直線為斜線(如圖 1) 圖 1 AEB 相似於CFD : : AE EB CF FD   1: 1 2: 2 x y x y   x y_{1 2} x y_{2 1} 1 1 2 2 x y x y  =0，亦即同一直線的兩組移動量所成行列為 0。情形二：直線為水平線

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將平面上的直線由斜率觀點回溯到移動量觀點 - 53 - (圖 1 中 y10且 y2 0) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 x y x x y x    情形三：直線為鉛直線（圖 1x₁0 x₂0） 1 1 1 2 2 2 0 0 0 x y y x y y    由上述知，同一直線的兩組移動量所成行列式為 0 恆成立。

參、移動量與斜率的關係

考慮直線上點的移動，在 x 坐標移動 量為1 的條件，此時 y 坐標的移動量稱為 斜率。由上述定義知水平線的斜率是 0，而鉛直線因為無法達成 x 坐標移動量為 1 的條件，所以斜率不存在。直線的斜率若為m，則可視此直線有一組移動量為 1 m， 若斜率為 m 的直線過A x y B x y( , ), ( , )1 1 2 2 兩點， AB 兩點的移動量可為 x1x2 y1y2 或 2 1 x x y₂y₁現在再加上移動量 1 m，己證 得同一直線上兩組移動量所成行列式為 0 恆成立，所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 ( ) ( ) 0 m y y m x x x x y y       1 2 1 2 y y m x x     再以直線 yax b 為例，因為過 A(0,b)及 B(1,a+b)，所以斜率 ( ) 0 1 b a b m   a  ，而一般式ax by c  0(b0)整理為 y ax c b b    也可得知其斜率為 a b  。以直線 17 + 196x y223為例，並不需要找兩點來計算直線上的移動量，可以藉斜率 17 196  找到一組移動量為 1 17 196  ，將此移動量放大為196 倍，可得另一組移動量為 196 −17。

肆、移動量與平行線的關係

兩直線L₁與L₂平行，要探討點的移動量有何關係，分成三種情形說明如下：情形一：兩條斜線平行（如圖2）圖 2 AEB CFD  相似於 AE EB CF FD:  : 1: 1 2: 2 1 2 2 1 x y x y x y x y     1 1 2 2 0 x y x y   情形二：兩條水平線平行（圖 2 中 y₁0且 y₂ 0） 1 1 1 2 2 2 0 0 0 x y x x y x   

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科學教育月刊第391 期中華民國 105 年 8 月 - 54 - 情形三：兩條鉛直線平行（圖 2 中x₁0且x₂0） 1 1 1 2 2 2 0 0 0 x y y x y y    由上述知 ,若L₁與L₂平行，則兩組移動量所成行列式為 0 恆成立。以下由例題來說明移動的使用例 1： 已知 A(1,3)，B(2,6)， C(3,5)，直線 L 過 A 點且與 BC 直線平行，求 L 的直線方程式為何？答： 線 L 上動點 P(x,y)，已知 L 過 A(1,3)， 移動量為 x1 3　y ，BC 直線移動量 為2 3 6 5  ，可整理為−1 1，因為 兩直線平行，所以移動量所成行列式為 0 可得 1 3 0 1 1 x y   ，展開得 1 3 0 x   y ，可再整理為 4 x y  = 0 。

伍、移動量與垂直線的關係

兩直線L₁與L₂垂直，要探討點的移動量有何關係，分成三種情形說明如下：圖3 情形一：兩條斜線垂直(如圖 3) ACB  相似於DEA : : AC CB DE EA   1: 1 2: 2 1 2 1 2 x y y x y y x x       1 2 1 2=0 x x y y   定義內積式( , ) ( , )x y₁ ₁  x y₂ ₂ x x1 2y y1 2 ( , ) ( , ) 0x y1 1  x y2 2  情形二：水平線與鉛直線垂直（不失一般性，可取圖 3 中 y₁0且 2 0 x  ） 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ,0) (0, )x y  x y  x  y 1 0 0 2 0 x y      由上述知，若L₁與L₂垂直，則兩組移動量的內積式為 0 恆成立。以下由例題來說明移動量的使用例 1：直線 L 上動點 A(1,3)點且與直線 2x3y 垂直，求 L 直線方程式為5 何？答：直線L 上動點 P(x,y)，又已知 L 過 A(1,3)， 移動量為 x1 3　y ，直線2x3y5 之斜率為 2 3  ，移動量為1 2 3  ，可調為 3 −2，因為兩直線垂直，所以移動量 的內積式為 0 可得3(x 1) 2(y3)=0 ，可再理為3x2 +y 3 =0

陸、結論

目前的數學體系中處理坐標平面上直線的平行或垂直是採斜率觀點，結論如下：兩直線的斜率依序為m m₁, ₂，若兩直線平行則m₁m₂；若兩直線垂直則m m₁ ₂  1。

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將平面上的直線由斜率觀點回溯到移動量觀點 - 55 - 此斜率結論其實是移動量觀念的必然結果，也可以說移動量是比斜率更根本的觀念，以直線平行為例，兩組移動量所成行列式為 0，亦即 1 2 1 0 1 m m   m2m1 0 m1m2；而兩直線垂直，兩組移動量的內積式為 0 1 2 (1,m) (1, m ) 0  1 m m₁ ₂ 0 m m₁ ₂ 1，斜率結論需在“斜率存在 ”的前提下才可使用，它不是恆成立，它不適用於涉及鉛直線 (斜率不存在 )的課題。然而移動量觀念的使用不需要“移動量存在 ”這個前提，它是恆成立的 (因為任何直線取兩點 ,則此兩點的移動量必存在 )，移動量在坐標平面的任何直線都可以適用，它才真正展現了坐標平面上直線的數學內涵。如果將直線平行或垂直的課題比喻成一幅風景畫，斜率觀點讓學生看到的是部份風景，而移動量觀點則讓學生看到了完整的全貌。