統計對象的抽象原則
撥饗
蘇國樑
盟立空中大學商學系
本文藉著探討統言十方法和統計思維的 i過程，歸納出 3 個統針對象的抽象原 則:一、資料制憐的序對化原則;二、資料結構的單個化照則;三、資料結構 的函數模型能跟則。這 3 體抽象跟別本權符合統計思維的發展溫程，吉、符合了 人類認識的，思維繞撐。tz:;l覓，在教學上這 3 種撞象黨則不樓是聽立競計方法的 基礎，高旦河i丟在統計方法和說計息繼之問起著聯絡和指導作用。 關聽詞:資料結構、統計對象、統音十抽象、統計認識、統許這學慣。C. R.
Rao(1 99的嘴說 r 位置和分佈散鍵的測量，高晴動蔑和指數的度壘，並過譜某控 聽形，如畫主雷(次數分擁) ，饒形聾及二三難平噩噩來表現數據的躍居持續。道按方法立豈 不、涉及觀演數據的醫學機結構(或稱為纜車分節)。茵鼠，計算得鶴的各種撞述繞計盤時期 來比較不闊的數墉斃命。 J 這樣的說法其實就也聽涉及觀察數賺多接或資料集的隨機縮機， 為數據的紀錄就是偽了了解隨機現象所做的觀察、測量和紀錄的結果 o 所以，次數分佈 或機率分節都是為了探究帶有隨機現象的教據黨的結構。熱鬧，如何才能探究或認譏帶有 聽機現象的數據黨的錯講，這是接計學的還是婆說題。本文首先將探討統計方法的黨要性。 '說明鏡計攝象的意義。接著以 3 餾器樂討論競計對象的抽象康熙:一、資料結構 的序對化原則;二、讀料結構的單值就原則;五、資料結槽的關歡續控化原則。 3 個原則在統肝敕標上的意義。最後融現道 3 個原則不懂符合統計思維的發膜油轍， 亦符合了人類諒諧的思離規律。 這攘攘要先說明的是，統計處理或分析的對象是資科集，它可以數量(據)龍的也可以是非數量化的，故本文均稱之爵資料樂 (dat謹 sets) 0 自為資將斃的數麓化是需要透 i蠢驢機
變數的轉化，不過道轍轉化的本質「仍是為了稅明資料集內元黨彼此之間的質的鐘興 J (蘇
關棚， 1999c) 。因此，轍豔化的或非數主義化的資料集都是一種記錦咒黨或個體的質的
一、統計方法的黨變性
C. R.
Rao(l妙的擺出 r 基於數據麓的特喜愛和要解答的聽聽，甚至於語言j定了一些鏡質豆漿科學教育月刊 第 233 期 中攀民懿八十九年十月
選擇…童基可替換的親計蠢，如描述分的位置的平均體、中位數和農數。還樣的統計分析接
稱為描過數據分析(descriptive
data
analysis) 。另一方面，在理誰說訐學中，雖然真話的也是歸納數擻，但是主要是強調作為機率分佈蕃礎的一個特定的分支(或稱鑄模型族)。在這 種情形下，歸納或記述統計護主要依賴於某餾特殊的機車模盤。在攏斷某些來知參數將它 們的分佈被用於決定真不定性的龍鐘 e 這樣的方法於是被稱為最推論數捧分析 (inferential
data analysis)
0 J 這段話龍說說明了不論是用分飾位置數(集中驢纜量數)、離中蘊勢數成 是機率(分配)摸壁都最為了虛輯、播站戒推論數捧集。然而，擺擺、描交往戒推論質科集 的3基礎是建立在資料集的內在結構關係上，器為主體是透講道學結構關係來選造、報製或 虛擬出該資料襲。頭鼠，掌擺饗料麓的內在結構聽係就是掌攏了統軒概念。也就是說，找 的資料撓的分佈位置數、離中禪勢數或是纜車(分配)模型等，都是為了建立資料集內 結構關係的方法鏡頭則，即謊言十概念，間分佈{立體數、離中趣勢數或是機車(分配〉模盟 等都是幸免針概念的我現芳式。本文所提至目的主體是包括了學生、、統計研究工作者戒統計 教輔導。 既然統計概念是聽較資料攏內部結構觀係的概念，起話說針思維就是以統針概念為基 礙和對象的思維議作活動(蘇聽樣.1999c)
。統計思維的規律和人額思維的規捧盟軍有某 些一致盤和關聯性。C.R.
Rao{l 998)在{競計與真現}一番說曾提到:演繹綠、歸納法和誘 導泊的思維芳法。然而，還雖是一能推理和思維的方式。對繞訐高會應有其特有的思維方 式或概念處理的方式。劉如，談到科學方法就有所謂的歸緝法、演繹法和額比法等。叉哲u 如，數學求解問題時的思維方法中就有所謂的能辦原則和關係映射玄之演方法:數學組象的 主法論原則就有弱抬象的特性分離一般化鐵悶和強捕象的觀係定性特徵化單劑等(鄭毓信，1991
)。然詣，如何擺得這聲持有的統計思維 15 法和服則呢?思為統計學家主義制罵說計符 號或是符號運算式，著笑意並記錄下地們對資料熊所散出的統計思維和認識。聞此，可以籍 的探討兢計學的賭史發展通程或是探討綾針學家聽了解釋、搖搖繞訐對象所做出的統計活 動和其紀錄，從龍投宿統計的歷史發展規律或是統計的活動攝程規律。二、結計抽握的意義
統針舉是透過分析資料高達到解釋竅料的軍濤舉，所以，競計叉是一門資料分軒的科學 (adiscipline of data analysis)
0C.
R.
Rao{l妙的說「統計學沒有任何間有的對象，是一門獨特的學悶。依賴於曲解決其它禪域內的問題而存在並興旺驛達的。 J 這句話的意思應該是指統
計對象的“內容"不品袋特定的‘指定的，可以是非特撓的或任黨的。講樣的統計方法和理
論才真辛苦普遍的過應J性，也才能解決“其唸頡域內的問閣"。但是，統計對象必震驚盟定的，
統計對象的抽象潔如l 否尉會混成缺乏統計認戰的對象，提而無法進行競計認誰說思維活動。這續所指的競計認 識的對象 f逢佳括了輩科集、統計關表、統計符號或統計方程式等客體。 c.訣. Rao(1998)情攤的“其它領織內的問題"是指賽聽其位黨域內的組資料分析閥題"。然 而，當電科分析的意義是什理?最主義本的競計分析方法是對資料集進行分類和點計活動，乎等 連過分類和點計活動所得的箱果再對原始驚料套裝進行了解、解釋、重增或擔論。就是說， 混過統計分軒的油程主義到對資料麓的統計認議。問鼠，分額和點計活動所得的結果是認識 F原始資料集的主義礎，思為主體不容易車接地理解或認鐵無序的頭始資斜。然詣，分類和點 針活動用?擎的話果並持原始資科蟻，間是對原始資料麓的重新整理或轉化。當如，賀科處 理竭程:原始資料→次數分配→平均數，其中次數分配和平均數都已經不是原始黨料，有 時候它們和竄始資料也相去華遠。換句話說，就是變得攝象了，造就是一種統計措象化的 過程和其結果。 主體還站對實料麓的分類和點計等統計游動和其結果，可以撞得並蘊立「資料擬的結 構」或「資料槃丹在組成元素的關係 J (蘇關樑 '1999a) ，而遠接抽象色的結構輯關係不 權是認融級計原蛤的或具體的資料的基瓣，也是做為進一三步統計認議和分析的對象。問鼠， 統針抽象化是統計發展的~\熱過程。進一步的掛象化的意思是，混過違章輯的或數體的分析 和操作抽象後的結果戶的等出的一些，性質。
玉、統計對擎的抽象黨員Ij
人類思雖不易掌握雜亂的、無序的對象，故需藉由實鵲活動中建立出一堅譜、講客觀對 象的規律和方法。這鼓不表示透過認識的規傳和方法的話動所得的結果和原始的認識對象 是…模…樣的 o 茄是透過認識這種自經被擊理攝的對象去認識服輯對眾的概念，自為聽理 澈的結果對象是較原始對象有H秩序"的和“規搏"的。這就隱會著整理濤的結果對象和原始對 象之爵存在著某種等價繭係，曾知，資料處理溫程:原始寮料吋次數分配→平均數，在統 計上用次數分 E果“表朵"或科說明"原始資料，或是用平均數來“代表"戒“播站"服蛤資料瑛次 數分配。草種可以在南餾本詞的控計對象之問進行“表示"、“說明"、 H代表"或“描爐" ，就表 來其中存在著某種等曾關{系，可以稽之為競計等價 (statistical equivalence) 。 親言十概念上的“等寶"和數學概念上的的持蜜"是有聲真的，統計等蟹立豈不用來表示搞錯統 計對象之問是相持或是全等，臣是通通“表示"、 H說明"、特代表"或“描述"來表現需甜統計對 象之間的某種相似性、共向世故替代性。這也是聽計和數學的差異之一。主體可泣透 i晶認 讓這種等當髒係很高認議原始的說針對象。接下來將探討透論這種親計等實關係從諾獲得 統計攝象的原劍。21
科學教育舟子立 第 233 期 啥，是善良飽八十九年 +13 (一)資料結構的序艷北海、員4 統計闡發(舊書如次數分配眾議兢訐輯)是一個可以提供主體認識資料黨戒群體的活動 過程和其結果。雖然統肝闢漠不一定可以找出一個唯一與之對應的、客觀存在的具體群體， 但在現實界中面對一個客觀資料集戒群體時，主體卻可以找到、做出與之對民黨的統計闢漿。 主體是溫過製作統計嘲眾的 1活動過程中，摸得和認識資料集或群體的內在關{系，立宜將此一 內在關係具體化成統計鸝嶽 o 問此，還攝統計圖表可以認識相應的資料黨戒是群體。故在 串成，說訐鸝寰的思維和活動的過程中，提快了主體認識資料集或群體的一般性和原則性的 方法和其結果。 既縈繞計盤樂豈是一種認譏資料集或群體的結構的一般性方法和其箱盤，賠聽 3立繞訐鸝 表的基聽便是一種其發方法論的思緩顏真目。事實上，能聽建立競計蠶衰的鑫嘴在於掌握住 資將集內在的序艷鶴{系， i蠶豆是對組錯投資料集的一個更進步的思考。 構的序對化館鸚 o 在安全證蘊分類和點計活豔來獲得和建立資料麓內在的巍、讀毒性說特養費和 其所屬元素所溫蠶的範閣成程度所成的序對鞠係'這個穿對鸝係就是資料藥內在組成元素 的“質和最"的序對關係(蘇鷗棟，
1 999b
)。譬如，若資料集爵 Q 早 {O L:::. O 口 A口 0(> 口 1OO
L:::.
O}
，經過分顯所得的序對關係之一是 R ={(O '
6)
,
(L:::. '
3) •
(口.4)
,
((> .
l)}
0 通常我們利用 R 來聚的趟。，這就表示 R 和Q 之間存有一種統計等慎的關(系。全體便 可以透過此一序對闕係來擺得和體立對原來資料集的有序的概念，立去做為媲統計闢眾的 基礎。閻此，統計囑眾就是將這攝制質和聾"序對關{系的形式化和具體化，從冊 j獲 i晶認輯統 計單表可以獲得原始資料麓的有序的聽體概念。這透過，饒計活動趨寫內在組織關係或是質 科結構的最基本和嚴瞬纜的方法剃頭點二三- 0 統計鹽表是鼓接艷渡觀認議對象所能事的認議活動認得的結果和其記錯。 麓經驗的強象衛得的結聽聽餘，故譚受輯於富麗經驗。雖然如鈍，絞對鸝漠的主義一館最普 遍的、軍接的、辛苦殼的和撥撥的認議蜜科集或群體現象的內在組成的結構。 屬表接供了主體認識蠶料集或群體的說訐觀念。如果資料集驚全部的群體琨議的記錯，員自 統計矗立設提供主體艷客觀群體的整體概念。如果資料集是群體的部分紀錄齋料，制統計單單 表援f共主體擺擺客觀群體的一個縮影 o 自此，倫敦商人 John Graunt 才能成為「用黨制展示 如何利用統計學來描總開鏽的現狀，並引導事物未來發康方向的人。 j(C. R.
R帥，1998)
(二)資料結構的單做化原則 要說明或比較鬧個數麓合之間的大小關係是一個比較麻煩的， 合信)、交集成聯攏關係則比較容搗 o 例如，當我們定義“集合 X" 三 -22 一 兩個集合的但 ;S;y'
統計對象的抽象壞對
'i xεX
'
'i
Y e
Y"
，衛化聽 X 美 Y 在此一定義下，若有可 >y'3xeX 或 3y 巴 Y" ，別 無法結論“集合 X"s'‘雪黨合 Y" 。因此，若 A ={x
1
0 三 x 三月，B
={y
13 美 yS 抖，則可以有 A 三 B: 但是若 C 信仰 1Os
x 三抖 'D 話 {y12:::;
y 萃的，員自雖可結論出 CrìD 甜 {x12:::;
x:::; 月社中，卻無法結論出 C 三 Do 具體地說，數斃命之闊的大小繡係聽不易藉由單純悟到元素的比
較而界定的，站是需考E智、EÉl一群元黨和一群咒素之闊的繁體比較。
除了數據質科黨(numerical
data
sets)之閥的大小關係潑不屬藉街比較竇料集丹在元素的大小間界定的也無措藉曲直撥比較繞針望自我市議得資料集之間的大小鵲係。除了無法確 定對資料舞之間的大小瞬課外，統計鸝表亦無法對黨料室裝做出一鵲概括性的、總結性的思 維。閻醋，象體或代表一起資料集的一個事物、符號或數寧將取代可以表現資料難整體結 構的序對瞬保。這 t說是把資料集聽聽結構的序對關 f系的概括思緒活動的時抽象化。 西 j沌，統計的思維活動的另一特積在建在資料集的單餾化的思誰贏則。就是金屬利用 聽錯簡單的數{竄來代表聲個資料攏的結構，具體的說是希增利用幾儡簡單的數續進行播浩、 解釋、概括最預制整鋪資料集的結構，或是主要大範區的整體現象的結構。這些數值權為資 料集的特徹數或參數。樹如，以平均數或中位數來描連一組資料槳，或驚以平均數和療單 差來虛擬一組資料集，甚蓋以…個相瞬 f系數來纜括兩體具有競言?關係的特融、聽位或變數 之閉的 F 竄線鵲靜的芳向和強度 J
(Davíd S. Moore
仆"的。;這就素是一離“資料結構的釀體 化" ，也是以一種或幾個數 f竄來總結…幸且資料榮的結構和聽係。 聞此，資料結構的農韓信化原貼的功能說是，還過數據資料集單體化擠得之量數做為資 料瓏的代表數，從而可以將量數的大小瞋係可見為"資料集之闊的大小關保，或聽明資料鎮 j儷蓋之範鸝或程度等關 f系。例如，透過比較兩個平均數的大小關保來“農示"爾組黨料藥的 大學觀係;前透攝比較兩餾變與數的大小驛係來“表示"兩組資料集之語蓋籠盟戒離散程攘 的鵑係;叉，在寶典數分析中，透過比較幾錯不同母體的平均數的還真來“代表"不問毋體 之間的競異 o 這樣的作法就是說計等續在礎科分析中所發揮的主怎能和作用。 雖然資料結構的畢誼化有其簡醋、方便之處，卻不易顯明地表現出資料麓的整體結構， 布且也不容易搜出相應的其體對象來進行恆配。儕如，欲虛擺出一個平均數為 3 的母鹽， 可以辛苦悶3 ， 1) 、 N(3 ， 4)或 N(3 ，叮嚀無限多的可能。然擂，正因爵資料轄構車，儷化的簡單和 籠統，從布可以獲得一頓概括性的聲體概念。進請提供了主體認識資料集或群體結構的… 般，役和概括性的方法和結果，故建立多數或統計最數的主義聽便是一轍具膏方法論的思維原 慎。 (..:三)資料結構的函數棋豆豆化原則 -23 一科學教育月刊 第 233 期 中發試題八十九年十月 在處理畫畫化的資料集峙，雖然閉值化的結果可以簡單化一種資料瓏的整體成為一個數 字概念，個楚卻無法讓主體認識…組資料集的聽體結構，間為它過按籠統和的象。國詞， 將一組議料集的整體.，全結構或序對陳係轉化成一種臨數鸝係'能間建立其額2擎的統計結構 模型。;這是一種從抽象思能再進化到具體思維的過觀。 雖然統訐鸝表也可以對現出一組驚料集內在組成結構的強體模諧，能這是一種寵接建 立在其體材料或直觀經驗現象，所得的反映橫盤。使得直觀經驗的統計曬表研單現的整體模 型的客觀愷受至2持樂的限制，提闊無法符合科學規律中的一酸性、普遍性和精繳怪。豆豆駝， 我們脅要從直觀的經驗材料就配合客觀現象中的規律，歸納出戒抽象出一聽具有一般棍、 普通靈性和續強化的原闊的報想整體結構模盤，褲之為理論的次數分配棋盤或是撥專分配模 總之，資料結構的函數模聽就原聽說是:企圖利用觀數關係(組括聾表關係)或數學 方程式來代表整個資料集內茲的“賞和黨們的序對翱係成是結構。具體的說，楚希望譚 i過關 數關係或方程式建行描油、解釋、或概括整體資和藥的結構，從而推論出更大範麗的整體 現象和結纜。或者說，進些函數關係議方程式是統計等嚷於聽體資料麓的結構 o 例如，以 常態分配的摸型來表現對稽的錯盟分配的資料集結構，或以二項分配的模型來觀括三個結
果的資料集結構，鑫蓋以積嚮繞齒數(kernel
density function)(Su
&
Tayl哎， 1991)代表任意的質科麓的整體結構。這學都聽一種“資料結構的戰體{七"當是企圖以一餾數學函數形式來
總、結一組資料麓的結構。
數學和統計學在某種程度上都可以看作夫是建立模裂(簡稱為建棋)的科鹽，然間，數
學上的鐘模和統計學上的建觀是有直射的。數學上建模的基礎對數是自然現象的規律的形
式化;統計上的雄模的基聽對象是關於自然現象、人文現象或其紀錄的整體現象的組成結
構。自鼠，數學建模頭IJ 攪在機械論的決定模型 (deterministic
models)
，器為現整體為耀一現象或事件期構成，發覺不一弦是由於觀察或瀏蠶誤差所致:設計建欖側重在f搭無性的隨機 模型 (stochastic
models)
，因為現實界中的…餾整蠶可品出多值不爵的現象或者轉件所構成， 誤差現象。爵了認識艷體現象，謊言十建模需饗考草書、構成聲體的內在關係模型，部理 論的次數分費已模型。故戶丹諧的讀嘴模型應是現象或資料集繁體鐘成的聽髒緝構的棋裂，或 緝為整體機盟(holìstìc models) 。四、軒說計教學的建議
個看之下，統計對象的抽象累輯和…般處理薩斜的統計方法有些相話，但是， 探討的主設立處理資料的設計方法的發生竄盟和獨輯。這就涉及統計認識和設計思維，也就是 24 一統計對象紛紛象捧到 需要探討統計柚象的激則 o 問鑄就訐方法也好、樂料處理方法也好都是兢計思維的結果。 當如，建立資料的次數分配的基睡在找出資料的序對關係'從而構成資料的統計制楠，進 而構造資料的統計概念 o 間完成序對關係的統計方法就是分顯活動。因此，分類活動並不 是只有單純的分類和辦類的動作三面是具有更糟攏的統針意義。如果只是要找上的艷組資料 黨的組凌厲{菜，是不帶賽選過分類活動，因為連選對資料集內容成份的運一觀婆婆、 可以得出聲紐資軒的組成 i有容。然囂，這是一讓張殼嘉軒的作法。昌說，在說對教學中就可 以強謂分類活動和序對關{系在統計上的意義和作用。 其次，計算平均數、續與數或是適歸直線等並不轉變利用高深的數學知議和投稿 o 借 是，如果只是強調親做化的數學操作技術，不懂會附入數學簡單化的缺點，從而怨略了單 值化的統計意義和作用。問此，在統計教學上，體(關化服則可以強調其做為描雄、解釋和 處擬所對應之統計對象(資料)或可預見的對象(母體)的統計意義 o 還有舉個化所 E監生 的特殊統計功能，譬如，比較調個或是多留群體之間的競典是單僵化結果的功能之一。 第三，結構懿數模聽能聽到更是希望能將資軾的聽聽結構或繞計結構，進一多的警權 化、積籲{仁、一般{仁和轉讓 1t 0 自泣，透過對資料的來輾轉歡和次數分配所聽構出的機率 分配模型，雖然覺 j抖擻舉方程式的形式表現出，他i這不{黨是單純的數學函數關↑菜， 以表現出統計對象(樣本戒群體)的結構關係。接獄般結構商數模型化原則在統計上的意 義作用。因此，在統針教學上除了介紹各種機車方法棋盟，還要強調如何在資料的次數分 配的基礎上建構的對自擎的可能的理論機率模型。 最後，幫於熟悉斃料處理的統計方法的人時霄，道峰說訐方法是簡單的、 意義的，然詣，道接設計方法的設計意義卻是建立在上議的三題撞象農罵上。聽說，教學 上就必須隨時將說計方法和其聲憊的統訐意義之賄做品聯絡。資斜處理的說訐程序 f誰都是 符合上述的三餌抽象聽則，國為這三倡抽象原則是認識統訐對象或是獲得稅訐概念的議本 原則。因此，在統計教宵土統計方法可以看成楚認職統針對象或是獲得統計概念的操作形 式，而統計對象的柚象原則就可以看成是統計方法在雌聰資料的思維內容。 五、結論 不論是單體化聽聽聽免不外乎希望舊車化、聽聽{仁和額明化地將資興業的結構一次表 現出奈，接得主體能一次或迅速地掌握住資科麓的組成結構的整體積急， !!P 資料麓的設計 概念。其次， 瞬於統計抽象原則的論瓏，阿以慧出兢計撞象原間是為了 概念和其關係的思緒活動，問統計方法就是道:設想、轍活動的結果 a 因此，在統計教學上除 了強調統計方法的傳承，灘要強調統計思維的傳承。
25
科學教育月刊 第 233 期 中等民國八十九年十月 在第三主館中所誤的不僅說明了統計認識的思維竄則，也說曉了纜車分配模型驢玉立的過 。雖黨在理論上和實嘴上，資料鞘構的頭數摸到化租資輯結構的單體化聽者都有求發數 的通報，但是彈發的基本主立場是不太相同的 o 資料結構的單值化中求得特徹獸的基彈背景 在':1Í:臨利用一個戒幾個數盤來表現一個資料集的全體，或是說希嘻藉由一、鵝值數f直虛 擬出一倡多黨料集的東輝母譚。 i這會議聽不同主體之間有著不同的統計概;金和判斷，因為不 的主體在針輯同一個統計特徵數可能虛擬出不闊的結果對象。譬如，欲盧擺出一餾平角 數為 3 的母麓，可以有 N哼， 1) 、 N(3 ， 4)或 N(3 ， 9)等無限多的可能，這是過於簡化的結果。 然誨，資料結構的路數模型化的基礎背景在，企圖利用一髓函數懊讀起來表現域實擺出一聽 資料集的來源母禮。講是希望求得一個整體的認識，而不只是整體的鑽緝，也是攝蔣一 個未知母麓的聽體結構再具體化。 在探討統計思離主法的i的程中，可以看出統計恩鍵的模式 (pattem)是從掙對化關 f系的雞 立過渡到單值化的聲體概括概念，再由î/ì餾化的嚮括概念過渡至3 聽聽結構模型的建立。 IE符合了人想認識思維的發展插手里和規律:出具體思維上升對抽象恩轍，再也抽象思維上 升到具體思緒。囡鼠，在統計教學中就可以透過學生暫謊言十方法的接館，能而了解學生的 統計思維活動，這藍布了解學生的對統計概念的掌盤總度。因言學統計認識和統針思維的攪得 符合上壞的 3 個統計抽象原期。
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