The Complexity of Algorithms

演算法時間複雜度

(The Complexity of Algorith

ms)

演算法效率分析

執行時間 = 執行次數 * 每次執行所需 的時間。 由於每一敘述所需的時間必須考慮到機器 和編譯器的功能，因此通常只考慮執行的 次數而已。

例如：

x=x+1; for (i=1; i <= n; i++) for(i=1; i<=n; i++) x=x+1; for(j=1; j<=n; j++) x=x+1;

1 次 n 次 n2次

陣列

int sum(int arr[ ], int n)

{

int i, total=0;

for (i=0; i < n; i++)

total += arr[i];

return total;

}

執行次數

1

n+1

n

1

________

2n+3

矩陣相加

假設兩矩陣 a, b 皆為 n*n 。

void add(int a[ ][ ], int b[ ][ ], int c[ ][ ], int n) {

int i, j;

for(i=0; i<n; i++)

for (j=0; j<n; j++) c[i][j] =a[i][j]+b[i][j]; } 執行次數 1 n+1 n(n+1) n2 ________ 2n2+2n+2

矩陣相乘

void mul(int a[ ][ ], int b[ ][ ], int c[ ][ ], int n) {

int i, j, k, sum;

for (i=0; i < n; i++) for (j=0; j < n; j++) { sum = 0; for (k=0; k < n; k++) sum = sum+a[i][k]*b[k][j]; c[i][j] = sum; } } 執行次數 1 n+1 n(n+1) n2 n2(n+1) n3 n2 ___________ 2n3+4n2+2n+2

Big-O

 算完程式敘述的執行次數後，通常利

用

Big-O 來表示此演算法的執行時間

，表示如

O(n) ，亦稱為該程式的

「時間複雜度

_{(time complexity) 」。}

 Big-O 取執行次數中最高次方或最大

指數部份的項目即可。 如：

陣列元素相加為 2n+3 = O(n)

矩陣相加為 2n

+2n+1 = O(n

)

矩陣相乘為 2n

+4n

+2n+2 = O(n

)

 運用時間複雜度的觀念，我們可以判

1. O(1) ：常數時間 (constant time)

2. O(log n) ：次線性時間 (sub-linea

r)

3. O(n) ：線性時間 (linear)

4. O(n log n)

5. O(n

) ：平方時間 (quadratic)

6. O(n

) ：立方時間 (cubic)

7. O(2

) ：指數時間 (exponential)

8. O(n!) ：階乘時間 (factorial)

如果

_n

很大時

→

1< log n < n < n log n < n

< n

< 2

< n!

複雜度等級

Example

1. 若ㄧ個程式執行時間是 1000n^2

+nlogn, 求其 big-O

複雜度分析

以循序搜尋為例：

int search (int data[ ], int target, int n) {

int i;

for (i=0; i < n; i++)

if ( target == data[i]) return[i]; }  最佳次數：當資料在第一筆時，第一次就找 到。  最差次數：當資料不存在或資料在最後一筆 時，需要 N 次。  平均次數： 1 ) 1 ( 1 1  



二元搜尋— O(?)

binsrch(int A[], int n, int x, int j) {

lower = 1; upper = n;

while (lower <= upper) {

mid = (lower + upper) / 2; if (x > A[mid]) lower = mid + 1; else if (x < A[mid]) upper = mid – 1; else { j = mid; return; } } }

二元搜尋— O(?)