第10期試題與參考解答

中學生通訊解題第十期參考解答與評析

台北市立建國高級中學數學科

問題編號 891001

在一個九格棋盤上放置了兩個「馬」和兩個「傌」的象棋，放置的位置如圖一所 示，「馬」或「傌」的走法則如圖二所示。在移動「馬」或「傌」時有兩個限制： (1)「馬」或「傌」在斜進時，如在其正前方一位有另一顆棋子時則不得前 進，如圖三所示。(就是不得出現「拐馬腳」前進的狀況) (2)兩個象棋不得佔用同一個位置。 請問：如果要得到兩種棋子互換的結果，最少要走多少步？ 圖一 圖二 圖三 參考解答： (1)將每個格子編號，並畫出所有可能的走法，則象棋的位置順序必呈現在以 下 8 個位置循環的現象：1→6→7→2→9→4→3→8→1……。我們也可發 現，永遠不會有棋子佔據 5 的位置，如圖四所示。 馬 馬 馬 馬 _馬 傌 傌 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(2)將這 8 個位置畫成圖五的循環圖，然後可依順時針或逆時針的順序依序移動 四個象棋。 例如：如果順時針移動，則 1 上的「馬」最後要移動 4 步到 9(只移動到 7 會因 「拐馬腳」造成後面棋子不能通過而不能達成題目的要求)；同理，3 上的 「馬」要移動 4 步到 7，9 上的「傌」要移動 4 步到 1，7 上的「傌」則要移動 4 步 到 3。 圖五 1 8 3 4 9 2 7 6 馬 馬 傌 傌

(3)以上的移動步數總共 4×4=16 步。 解題重點： 1. 將象棋的位置順序呈現在 8 個循環位置。 2. 將『拐馬腳』的限制做出因應。 評析： 1. 大部分同學僅呈現操作步驟。 2. 說理清晰並呈現象棋循環位置者有彰化縣陽明國中李昱融、高師大附中 國中部蔡政洋、板橋海山國中張源平等同學。 3. 本題參答人數共有 49 人，平均得分 6.71 分，得分率 95.91%。 問題編號 891002

今有 12 名旅客要趕往 40 公里處的車站去搭乘火車，出發的時間離開車的時間只 剩下 3 小時，他們步行的速度為每小時 4 公里，若光靠走路一定來不及。目前唯 一可利用的交通工具只有一輛小汽車，小汽車的速度為每小時 60 公里，但此輛 車連司機在內最多只能載 5 人。請設計出一種方法，讓這 12 名旅客都能趕上火車 參考解答： (1)先讓汽車將 4 名旅客送到中途某處，再讓這 4 名旅客步行，此時其他 8 名旅客 也在步行；接著汽車再回來載 4 名旅客，剩下 4 名旅客仍然繼續步行，追上前面 4 名旅客後也讓他們下車一起步行；最後回來接剩下的 4 名旅客逕抵火車站。適當 選取第一批旅客的下車地點，可以是載送最後一批旅客的汽車與前面 8 名旅客同 時抵達車站，在整個過程中，每一位旅客不是乘車就是步行，因此是一種最快的 方法。 (2)設汽車送第一批旅客行使 x 公里後讓他們下車步行，此時其他旅客步行了=公 里，其間相差了公里，在往後的時間裡，因為步行的旅客速度一樣，所以兩批旅 客之間始終相差公里。而汽車要在這段距離之間來會行駛兩趟，每來回依趟所用 的時間為+=，但汽車來回兩趟時間恰好是第一批旅客步行 40─x 公里的時間，即 2



(1)基本上同學們皆能提出趕上火車的方法。只是巧妙各有不同。建議同學們以 後遇到類似的問題，應以找出『最省時』之方法為目標。 (2)有五位同學寫出最省時的方法，分別為台南市建興國中郭顯宗；台北市民生國 中黃彥豪、弘道國中魏群樹、敦化國中郭勝旻、光復國小劉欣瑜等同學。 (3)另有 13 位同學採用下列方式：12 位旅客同時出發，其中八人步行，四位搭車 先到車站，而車子回頭於人車相遇處再載走四人到車站，車子再回頭載第三組 到車站，所費時間為 48 41 2 小時。 (4)其餘同學大都採用以『三小時到達車站』為規劃，例如：第一組旅客先坐車 0.5 小時（載至離出發地 30 公里處下車），然後步行 2.5 小時（10 公里）到車站。 而其他各組旅客則或先或後到達車站。 (5)本題參答人數有 50 人，平均得分 5.42 分，得分率 77.43。 問題編號 891003

x₁ x₂ x_n1 x₃ x_n 一間木櫃有 n 個抽屜，分別標上 1~n 的號碼，並將其全部鎖上，現在依下列的 操作方式改變其狀態：（所謂改變抽屜的狀態，就是原來是開的變成鎖上，原 來是鎖上的變成開的） 第 1 次將號碼被 1 整除的抽屜改變狀態。 第 2 次將號碼被 2 整除的抽屜改變狀態。 ………. 第 k 次將號碼被 k 整除的抽屜改變狀態。 ………. 請問經過 n 次操作後，那些編號的抽屜是打開的？ 參考解答： 對於 1~n 中的任一個數字 m 而言，對於第 p 次操作，若 p|m，則會改變第 m 號抽屜的狀態。所以經過 n 次的操作後，第 m 號的抽屜改變狀態的次數=其正因 數的個數。 故當 m 的正因數的個數是奇數時，第 m 號抽屜經過 n 次操作後就會是打開的。 又因為正因數個數為奇數的正整數必為完全平方數，所以 1~n 號中號碼是完全 平方數的抽屜會被打開。 評析： (1)本次考題絕大部分同學都可掌握題意，寫對答案。唯解答之過程卻有好壞之 分，有同學直接用操作法推測出答案，顯然不令人滿意。有同學直接說出答 案，卻未做出合理之推測說明。 (2)本題表現優異者有基隆市銘傳國中江政融，台北市仁愛國中吳宗哲、明德國 中王琨傑、大直國中陳俊曄、弘道國中魏群樹、金華國中趙心予，民生國中 張哲瑞，台北縣新莊國中吳之堯、江翠國中莊凱壹、黃明山、鍾佳琦、永和 國中黃俊諺，新竹市光華國中賴俊儒，彰化縣員林國中王琨傑、陽明國中 李昱融、高雄縣鳳西國中葉仲恆，高雄市高雄國中吳哲宇、立志中學蔡政江 等同學。 問題編號 891004

如圖，圓周上依序填上 n 個不同的數 x1 , x2 , …., xn ，(n3) 每個數都等於它左右相鄰兩數的乘積。 (例如：x1=xnx2，x2=x1x3，…，xn=xn1x1)，試問 n=多少時 可以找到 x1 , x2 , …., xn滿足上述的條件。 參考解答： (1)n=3 x1=x2×x3——(1) 由(1)(2)x1=x1×x32 x2=x1×x3——(2) 即 x1=0 或 x3=±1(均不合) x3=x1×x2——(3) (2)n=4 x1=x2×x4 x2=x3×x1 即 x2=x4(不合) x3=x2×x4 x4=x1×x3 (3)n=5 x1=x2×x5——(1) x2=x1×x3——(2) x3=x2×x4——(3) x4=x3×x5——(4) x5=x1×x4——(5) (2)代入(1) x1=x1×x3×x5 ∵x1=0 不合 ∴x5×x3=1x4=1x3=x2(不合) (4)n=6 (可尋得其中一組解) x1=3,x2=2,x3=,x4=,x5=,x6= (5)n>6 時， 任取二個相鄰不為零的數 p，q 依次序下去的數分別為 p、q、、、、、p 上述第一個位置上的數必與第七個位置上的數相等， 與已知矛盾。 ∴n >6 不可能 x1 x3 x2 x1 x5 x3 x4 x2 x1 x3 x4 x2

∴n=6 評析： (1)答題優良的學生有高雄縣鳳西國中葉仲恆，北市弘道國中賴凱文，北縣江翠國 中黃明山、永和國中黃俊諺。 (2)本題參答人數共有 43 人，平均得分數 4.66，得分率為 66.5%。 問題編號 891005 3 ₂

已知ABC 是等腰三角形，今過ABC 的一個頂點作一條直線，將ABC 分成 兩個小的等腰三角形，請問ABC 的三個內角度數可能是幾度？ 參考解答： (1)先將最容易想到等腰三角形如右圖 A， 此時△ABC 之三個內角分別為 90， 45，45，即可滿足題目之要求。 (2)在圖 B 中讓─=─，─=─，並令A=α，B=C=β，我們有           3 180 2  解得 α=108，β=36。 (3)在圖 C 中使─=─=─，且令A=α，B=C=β，因此有           2 180 2  解得 α=36，β=72。 (4)在圖 D 中取─=─，─=─，而且A=α，B=C=β，可列出             2 2 180 180 2   解 得 α=(25)，β=(77)。 從以上我們可以求出本題之四個答案如下： (90,45,45) (108,36,36) (36,72,72) (25,77,77) A B C ¹ÏA A B D C ¹ÏB A B _C D ¹ÏD

評析： (1)本題的目的想要訓練學生思考的嚴密性，解題時能考慮過 A、B、C 三頂點 的直線，若假設(=(，因為B=C，故只須討論過A、B(或過A、 C)兩種情形，大部分的同學均能得到某幾組答案，不過還是有很多學生因 為討論不完整，只得到了部分的答案，如果能在花些時間重新審視整個解題 的過程，相信能夠把答案寫的更完整。 (2)答題優良的學生有高縣鳳西國中葉仲恆、北縣新莊國中吳之堯、北市明德 國中王琨傑、北縣江翠國中葉品辰、台南市建興國中黃信溢、北市民生國中 鍾佳琦、曾怡嘉、彰化縣員林國中劉金瑞、江孟恆、北市大直高中國中部陳 俊曄、北縣福和國中楊智寰、北市成德國中劉昱亞、北市仁愛國中吳宗哲、 基隆市銘傳國中江政融、北縣海山國中張源平。 (3)參與徵答的共有 48 位同學，平均得分為 4.9 分，得分率為 70%。 A B D ¹ÏC C A B _C D ¹ÏD