[ 單 ][- ． ] 選題 向量及其基本運算
.△ABC 中, AB
1 2, , AC
x x,2
, 若 ABC之 6 5 , 且x>0 ,則x= (A) △ 周長21 30 (B) 30 11 (C) 30 11 (D) 21 31 (E) 31 11 C 解答： . a
1 2, ,
b
3 4, , 則 a b = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 E 解答： .△ABC 中 ,AB 2,BC 3,AC 4 , 則AB AC = (A) 2 11 (B) 11 2 (C) 12 11 (D) 2 21 A 解答： . i =(1,0) , j =(0,1) , x i 2 j , y 3 i j , 則(2 x y ) y 之 (A)10 (B)11 (C)12 值為 (D)13 (E)14 C 解答： . i =(1,0) , j =(0,1) , a i 2 j , b 3 i 2 j , c 4 i 3 j , 求 a (2 b 3 c ) = (A)32 (B)28 (C)-32 (D)-28 (E)42 C 解答： .設 x
1 2, ,
y
3 4,
, 若(2 x y ) ( a x 2 y )11 , 則 a ？ (A)-2 (B)4 (C)5 (D)-4 (E)3 C 解答：.平 ABCD ,AB =2 ,BC =3 , 則AC BD = ？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)-1 (E)5 形邊四行
E 解答： .
a
1
,
b
3
,
a
b
2
, 求2 a
b
= ？ (A) 5 (B) 3 (C) 2 (D) 4 A 解答： . a , b 夾 60 , a
1
,
b
2
,OP a b ,OQ 2 a b , 求 PQ
= (A) 13 (B) 3 角 (C) 12 (D) 15 (E) 18 A 解答： .已 a
2
,
b
3
,
c
5
, 且 a b c 0 , 求2
a
3
b
4
c
= (A)6 (B)5 (C)2 (D)7 (E)1 知 D 解答：.已
a
b
c
1
, 且 a b c 0 , 求 a b b c c a = (A) 3 知 2 (B) 2 1 (C) 3 2 (D) 2 3 (E) 2 1 A 解答：.△ABC 及 O ,OA1,OB2,OC 3 , 則 AB = ？ (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 2 (E) 8 重心
A 解答：
.△ABC 中 ,A(3,－ 2) ,B( － 1, － 4) ,C(6,－ 3) , 求 A= (A)190°(B)135°(C)80°(D)120°(E)110° ∠
B 解答： .設 a , b 均 a , b 夾 60 , 求 a b 與 a 2 b 之 = 且量向位單為 角為 夾角 (A)60°(B)80°(C)120°(D)150°(E)210° A 解答： . a 2 b c 0 , 且
a
2
,
b
1
,
c
2
, 求 b , c 之 = 夾角 (A)160°(B)60°(C)120°(D)150°(E)210° B 解答： . a b a b , a b , 0 , 求 a , b 之 = (A)160°(B)60°(C)120°(D)150°(E)210° 夾角 C 解答： . a
b
, a
b
a
b
2
a
, 求 a , b 之 = 夾角 (A)160°(B)30°(C)120°(D)150°(E)210° B 解答： .已a
b
c
知
3
,
5
,
7
, 且 a b c 0 , 求 a b, 之 = 夾角 (A)160°(B)60°(C)120°(D)150°(E)210° B 解答： . a
b
a
b
, a , b 0 , 求 a , b 之 = (A)60°(B)80°(C)120°(D)160°(E)210° 夾角 A 解答： . a
2
,
b
1
, a , b 之 60 , 求 a 3
t b 與 a t b 之 為角夾 內積的最小值 (A) 4 32 (B) 4 23 (C) 2 13 (D) 2 37 (E) 37 4 E 解答： . a
1
,
b
3
, 且 a
b
7
, 求 a , b 之 = (A)160°(B)60°(C)120°(D)150°(E)210° 夾角B 解答：
.△ABC 之 G,過 G 之 AB ,AC交 P,Q ,若 AP h AB , AQ k AC 則1 1 重心 與直線邊 於
h k = (A)2 (B)1 (C)3 (D)5 (E)8
C 解答：
.A(2,1) ,B(3,4) ,C(0,k) , 若 A,B,C 共 , k = (A)2 (B)-1 (C)-5 (D)-2 (E)3 線
C 解答： [ 填 ][- ． ] 充題 向量及其基本運算 .△ABC 之 AB ＝5﹐AC ＝ 6﹐BC ＝4 設 P 滿 AP ＝ sAB ＋ tAC 且1s3 ﹐ 為長三邊 點 足 － 3 t 1 ﹐ P 點 ﹒ 有所則 所區域之面積為成 6 7 平 解答： 方單位 .正 ABC之 1﹐AH 為BC 之 (BC ＋AH ) ．CA ＝ ﹒ 三角形 長邊為 則﹐高 解答：－ 4 5 .設 ABC中 BC ＝ a﹐CA ＝ b﹐AB ＝ c﹐ 則AB．AC ＝ ﹐AB ．BC＝ ﹒ △ 邊﹐三長 解答： 2 a c b2 2 2 ﹐ 2 a c b2 2 2 .若 a ﹐b 滿 3a ＋2b ＝0 且 b ＝ 6﹐ 則a ．b ＝ ﹒ 量二向 足 24 解答：－ .每 1 之 ABCDE 中 邊長為 正五邊形 ﹐則 AC AB AC AD ＝ ﹒ 解答： 2 1 5 .平 OA ﹐OB﹐OC ﹐ OA ＝1﹐ OB ＝ 3 ﹐OC ＝2 且OA＋OB＋OC 向面上有三量 若 ＝ 0﹐ 則AC 的 ﹒ 長為 7 解答： .已 a ＝ 4﹐ b ＝ 10﹐a 與b 之 60°﹐ 則 2a －b 之 ﹒ 知 夾角 長為 2 21 解答： . a ＝ 1﹐ b ＝2﹐a 與b 之 夾角 3 ﹐OP ＝a ＋b ﹐OQ ＝2a －b ﹐ PQ 則 ﹒ 13 解答： .設a ﹐b 為 ab ＝4﹐ ab ＝2﹐ 則 (1)a 與b 的 a ．b ＝ (2) 量兩向﹐ 積內 2 b 3 a 2 ＋3a2b2 ＝ ﹒ (1)3﹐(2)58 解答： .△ABC 中 AB ＝4﹐BC ＝ 5﹐CA ＝ 6﹐ 令c ＝AB﹐a ＝BC﹐b ＝CA ﹐ 長邊﹐若三 則 (1)abc ＝ ﹒ (2) a ．b ＝ ﹐b ．c ＝ ﹐c ．a ＝ ﹒
(1)0﹐(2) － 解答： 2 45 ﹐ － 2 27 ﹐ － 2 5 .設 a ＝ 2﹐ b ＝ 3﹐ c ＝4﹐ 且a ＋b ＋c ＝0 ﹐ a 與b 之 ﹒ 則 夾角為 解答： 4 1 cos1 .設a ﹐b 均 a ＝ 2 b ＝3a4b ﹐ a 與b 之 ﹒ 非﹐零向量且 則 夾角為 解答： .若 AB ＝BC ＝ABBC ﹐ AB 與BC之 ﹐AB 與AC 之 ﹒ 則 為角夾 夾角為 60°﹐30° 解答： .梯 ABCD 內 O 為 AD //BC ﹐半 1 的 OA ＝a ﹐OB＝b ﹐OC ＝c ﹐ 形 接於以 中心 為徑 ﹐圓 a ＋b ＋ 3 c ＝0 ﹐ (1)(a ＋b ) ． (a ＋b ) ＝ (2)AB ＝ ﹐BC 則 ＝ ﹐CD ＝ ﹐DA ＝ ﹒ (1)3﹐(2)1﹐ 解答： 2 2 6 ﹐1﹐ 2 .於 ABC中 BC ＝a ﹐CA ＝b ﹐AB＝c (1) 若a ．b ＝3﹐b ．c ＝ 21﹐c △ ﹐令 － ．a ＝ 11﹐求 (2) 若BC＝ 2﹐CA ＝ 4﹐AB ＝5﹐ 則 a ．b ＝ a ． － 三三角形長邊之 b ＋b ．c ＋c ．a ＝ 2a3b4c ＝ ﹒ (1)2 2 ﹐3 2 ﹐4 2 ﹐ (2) 解答： 2 5 ﹐－ 2 45 ﹐ 42 .設 b ＝ 2 a ＞ 0﹐ 若a ＋b 與5a －2b 垂 a 與b 的 ﹒ 直﹐則 夾角為 解答： 3 .設a ﹐b 為 ab 且(3a ＋4b )
(6a ＋kb )﹐ 則 k ＝ ﹒ 量兩個單位若﹐向 實數 解答： 2 9 .設 a ＝ 3﹐ b ＝2 且a b ﹐ a ＋(t －1)b與 a ＋ (t ＋1)b互 t ＝ ﹒ 若 － 直﹐則實數相垂 解答： 2 13 .於 ABC中 A 作BC 之 D﹐ 已 AB ＝ 3﹐AC ＝ 2﹐ BAC ＝ 60°﹐ 若∠ AD ＝ △ 自﹐ 足垂其﹐線垂為 知 xAB ＋yAC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹒ 解答： 7 1 ﹐ 7 6 .（ AD ：DB＝2 ︰ 3﹐AE ︰EC＝5 ︰ 3﹐BE 交CD於F 點 AF ＝xAB ＋yAC ﹐ ）如圖 若﹐ 則 (x , y) ＝ ﹒ 數對 ( 解答： 5 1 , 2 1 ) .在 ABC與 PQR﹐ 若PA ＋PB＋PC ＝BC﹐QA ＋QB＋QC ＝CA ﹐ 兩同一平面△形角三上 △RA＋RB ＋RC ＝AB﹐ △△ABCPQR之面積之面積 ＝ ﹒ 則 3 解答： .△ABC 中 M在AB上 AM ︰MB ＝2 ︰ 3﹐ 點 P 在CM 上 CP ︰PM ＝4 ︰ 1﹐ 點﹐ 且﹐ ﹐且 若AP ＝xAB ＋yAC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹒ 解答： 25 8 ﹐ 5 1 .平 O 與 ABC﹐點 M為BC 之 P 為AM 上 AP ︰MP ＝1 ︰ 3﹐ 若 面點定一上 △ 點中﹐ 之一點﹐且 OP ＝xOA ＋yOB ＋zOC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹐ z ＝ ﹒ 解答： 4 3 ﹐ 8 1 ﹐ 8 1 .G 為 ABC之 AG 交BC於D﹐(1) 若AD ＝xAB ＋yAC ﹐則 (x , y) ＝ (2) 若 △ 直重心﹐線 數對 AG ＝mAB＋nBC ﹐則 (m , n) ＝ ﹒ 數對 (1)( 解答： 2 1 , 2 1 )﹐(2)( 3 2 , 3 1 )
.設 I 為 ABC的 2IA ＋ 3IB ＋ 4IC ＝0 且 ABC之 18﹐則 ABC的 △ 若心內﹐ △ 周為長 △ 面積為
﹒
3 15 解答：
.P 為 ABC內 ABP︰ BCP ︰ CAP＝ 2 ︰ 1 ︰ 3 延 AP 交BC 於D﹐ 若PD＝ xPB △ △且﹐點一部 △ △ 長
＋yPC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹒ 解答： 5 3 ﹐ 5 2 .H 為 ABC之 BC ＝ 6﹐CA ＝2 7 ﹐AB＝ 4﹐ 又 AH 交BC邊 D (1) 若AH △ 已垂心﹐知 直線 於 ＝AB ＋AC ﹐ ＝ ﹐＝ (2) 若AD ＝xAB ＋yAC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹒ 則 (1) ＝ 解答： 9 2 ﹐＝ 9 1 ﹐ (2)x ＝ 3 2 ﹐y ＝ 3 1
.在 ABC中 AB ＝ 2﹐BC ＝ 4﹐CA ＝ 3﹐O 為 ABC外 AO ＝xAB ＋yAC ﹐試 (x , △ ﹐ △ 心﹐若 求
y) ＝ ﹒ ( 解答： 15 11 , 45 28 ) .設 M為 ABC之 AB ＝ 5﹐BC ＝ 6﹐CA ＝4﹐ 又 AM 交BC 邊 D﹐ 若AD ＝xAB △ 心外﹐ 線直 於 ＋yAC ﹐則 x ＝ ﹐ y ＝ ﹒ x ＝ 解答： 31 16 ﹐ y ＝ 31 15 . a
s t s t ,2
1 3, , 則(s,t)= (4 解答： 3 1 3 , ). a
11, , b
3 6, , c t a b t R, , 則 c ∣ , c = ∣ 時最為小 ( 3 解答： 2 3 2 , ) .設A(3,2),B( 1
,5),C( 3
,7), 若 ABCD 為 , 求 D 點 平行四邊形 坐標 (1,4) 解答： .平 A,B,C,P, 若A(2,3) ,B(5,-1) ,C(-4,2) , AP 3 AB 4BC , 則 P 之 點面四上 坐標為 (-25,3) 解答： .a
1,1
,b
2,3,c
1,9 , 且 c r a s b , 則 (r,s) = (-3,2) 解答： . i
1 0, , j
0 1 3, , i 2 j a(3 i 4 j )b(4 i 3 j ) , 則(a,b) = ( 1 解答： 7 6 7 , ) .正 ABCDE 中 , 若 BE x BA y BC , 則(x,y) = 形五邊 ( 5 1 解答： 2 1 , ) .若 AB
3 2, , AC
5 1,
, 則BC = (2,-3) 解答： .若OA
1 2,
,BO
2 1, , 則 AB = (-1,-3) 解答： .設 A,B,C 為 , AB
1 2, , AC
3 1, , 求 ABC之 = 平點三上面 △ 周長 2 5 10 解答： .正 ABCDE 中 , 已 AB BC CD DE EA AA 0 , 利 , 求cos
2
五形邊 知 用此結果5
0 4k
k
= 及sin
2
5
0 4k
k
= 0,0 解答： .正 n 邊 , 頂 P P P1, , ,...,2 3 Pn , 則P P P P P P P P P P P P 形 依次為點 n n n 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 ... = 0 解答：.平 A(2,3),B(
1
,2),C(3,5),D(1,7), 若 a
1
AD BA
BC
面點四上 量向3
3
, 則 3 a 之 坐標表示為 (-28,-20) 解答： .正 ABC邊 3 ,則AB BC = △ 長為 9 解答： 2 .平 ABCD , AB a , BC b , 則AC BD = 邊行四形 b
a
解答： 2 2 .正 ABCDE , 邊 1 ,則AB AE = ,AB AD = 形五邊 為長 1 5 解答： 4 ,1 2 .正 ABC之 2 ,D,E 為BC 上 , 則AD AE = , 又 G ,AG AB = 角三形 邊長為 三點分等的 重心為 26 解答： 9 ,2 . a
1
,
b
2
,
a
b
k
, 則 k 之 範圍為 2≦k≦2 解答：－ . a , b 夾 60 , a
2
,
b
1
, 求2 a
b
= , a
2
b
= 角 21 ,2 解答： . u
1 1, , v
31, , w u t v , 當 t = 時 , w
有 , 此 w u = , w v = 最小值 時 1 解答： 5 2 10 5 8 5 0 , , , .設 O 為 ABC之 , 外 =2 , A 60 , B 45 , 求OA OB OC
= △ 外心 半接圓徑 6 2 解答： . a , b 夾60
,
a
4
,
b
10
, 求2 a
b
= 角 2 21 解答： . b , a 夾60
2
5
角 ,
a
,
b
, 求 a
b
= , a
b
= 39 , 19 解答：.△ABC 中 ,AB 4,BC 5,CA6 , 令
AB
c
,
BC
a
,
CA
b
, 則 a b = , b c = , c a = , a
b
c
=
45
解答：2
27
2
5
2
0
,
,
,
.設 O 為 ABC之 , 外 =2 , A 150,∠B=∠C,求 OA OB OC
= △ 外心 半接徑圓 2 2 3 解答： . a
6
,
b
2
,
a
b
9
若 x a b , y 2 a b , 求 x
y
= 88 解答： . 若 AB
BC
AB BC
求 AB BC , 之 = ,AB AC , 之 = 角夾 夾角 60 ,30 解答： . a
1 2, , b
4 2,
, 求 a , b 之 = 夾角 解答： 2 .O,A,B不 ,OC 4 OA OD , 5OB ,AD 交BC 於 E , 若OE x OA y OB , 求x , y 共線 x=16 解答： 19 , y= 15 19 . 平 ABCD 中 ,E在CD 上,CD 3DE ,F為AB 之 ,BE 交CF 於P ,若 AP
x AB y AD
, 求 邊行四形 點中 x , y x=5 解答： 7 , y= 3 7.x y z R, , ,A,B,C 不 , 且(x-y+2)AB +(x+y-4)AC 0求x , y = 線共
x=1 ,y=3 解答： . 設 x
5a2 4, ,
y
a a,3
, 若 x 平 y , 則 a = 行 2 解答： 3 .△ABC 中 ,AB上D 點,AC上E 點 , 使AD DB: 2 1: ,AE EC: 4 3: ,BE 與CD 交 P 點 , 若 於 AP x AB y AC 則 (x , y)= 數對( 6 解答： 13 , 4 13 ) . 平 ABCD 中 ,E在CD 上,DE EC: 2 1: ,F在AD 上,AF FD: 2 3: ,BF 交AE 於P , 形邊四行 (1) 若
AP
x AB y AD
, 求x , y = (2) AP PE: = (1)x= 4 解答： 19 ,y= 6 19 (2)6:13. 設A(2,
1
),B(6,2),C( 3
,11),∠BAC 之 BC 於P,∠BAC 之 BC 於Q,則 線交分平線段 外角平線交直線分P 之 ;Q之 坐標為 坐標為 (7 解答： 2 9 2 , ),(93 8 29 8 , ) . 四 ABCD 中,M,N分 AB CD, 之 ,MN x AC y DB , 求 x,y 之 體面 為別 點中 值 x=1 解答： 2 ,y= 1 2 . 四 ABCD, AB CD, 之 P,Q,AC 與PQ 交 R,2 AR RC PR , RQ , AD a , 形邊 中點分別為 於 BC b 試 a , b 來 PQ = , AB = 以 表示 a b 解答： 2 , 3 2 a b . 平 ABCD 之 BC CD, 上 P,Q,BP PC CQ QD: : 1 2: , 則 AC = AP + AQ 四邊行形 邊 點各有一 x= 3 解答： 7 ,y= 6 7 . 平 ABCD, AB BC CD, , 之 E,F,G, DF 與EG 交 K,DF 與AG 交 H, AB a , 行四邊形 點為別分中 於 於 BC b , 試 a , b 來 GK = ,AH = 以 表示 1 解答： 4 b , 2 5 4 5 a b .A(3,8) ,B(4,9) , 若 P 在 AB 上, BP 2 AB 線段 3 , 求 P 之 坐標為 (10 解答： 3 25 3 , ) .P(2,3),Q( － 4,1),R 在 PQ 上,PR RQ: 2 1: , 求 R 之 線段 坐標為
( 2 5 解答： 3 , ) . 平 ABCD 之 BC CD, 上 P,Q, 若BP PC CQ QD: : 2 1: , 則 AC = AP + 形行四邊 邊 點一有各 AQ x=6 解答： 7 ,y= 3 7 . A － B －C,AB BC m n: : ,O 為 ,OC x OA y OB , 試 m,n 來 (x,y) 點一任 以 表示 ( n 解答： m m n m , ) .△ABC 中 ,A(1,2) ,B( －1,3) ,重 G(0,1), 試 C 點 心 求 (0,-2) 解答： . 在 ABC的 BC CA, , AB 上 D,E,F 三 , 使DC 4BD ,EC 2AE , FB 2AF , 設 G △ 三邊 分取別 點 為 DEF 之 , 則AG = AB + AC △ 心重 17 解答： 45 8 45 , .A(1,1) ,B(3,4) ,C(
1
,2) ,D(0,1) , AB 在CD 方 向之正射影為 ( 1 解答： 2 , 1 2 ) . 若 ABC的 A(2,5) , B(5,1) 及 C(3,7) , P 為 BC 上 , 且 AP 在 AB △ 為標坐點頂三 段線 一點的 向量 向量 上 ( 6 , ) 的正射影向量為 25 8 25 , 試 P 點 求 的坐標 (52, ) 解答： 15 28 5 .L: 3x y 2 0, (A 4 0, ) , ( ,B 1 3) , 求AB 在L 之 = 正射影 ( 3 解答： 2 , 3 3 2 ) . a
2 3,
, b
3 4, , a 在 b 上 = 影射正之 ( 18 解答： 25 24 25 , ) .a
2,1,b
3,4
, a 在 b 上 = 之正射影 ( 解答： 25 8 , 256 ).A(1,1) ,B(5,
