國中數學2 3 2連比例

3−2 連比例

一、連比與連比例式：

◎連比：對於 a、b、c 三個不為 0 的數，稱 a：b：c 為 a、b、c 的連比。

◎連比的運算性質：(1) a：b：c＝ma：mb：mc (m≠0)；(2) a：b：c＝ a m： b m： c m (m≠0)。 練習1：若甲、乙兩個大小不同的音樂盒，它們長、寬、高的連比 都是6：3：2，已知甲的長是18公分，乙的高是5公分， 則右表中的空格分別是多少？ 練習2：有一個長方體，長、寬、高的連比為4：6：9，若長方體的寬是4公分，則長方體的長、高 各為多少公分？ ◎連比例式：三個不為0 的數 x、y、z，若滿足 x：y：z＝a：b：c，就稱為連比例式。 其意義為 x：y＝a：b，y：z＝b：c，z：x＝c：a。 練習3：小祐調查公園裡的昆蟲，發現蜻蜓和蝴蝶的隻數比為 2：3，蝴蝶和蜜蜂的隻數比為 3：5， 寫出蜻蜓、蝴蝶和蜜蜂隻數的連比。 練習4：設 x：z＝3：2，y：z＝7：2，求 x：y：z。 練習5：求下列各題的連比。 (1)設x：y＝4：5，x：z＝6：7，求 x：y：z。 (2)設x、y、z皆不為0，且2x＝3y，2y＝3z，求 x：y：z。 長 寬 高 甲 18 乙 5 (單位：公分)

練習6：求下列各題的連比。 (1)設x：y＝3：4，y：z＝2：7，求 x：y：z。 (2)設x、y、z皆不為0，且9x＝2z，6y＝5z，求 x：y：z。 ◎連比例式的運算性質：若 x：y：z＝a：b：c，則 (1) x a＝ y b＝ z c。(2)可設 x＝am、y＝bm、z＝cm (m≠0)。 練習7：設3：x：y＝2：3：5，求x、y的值。 練習8：如果x：y：z＝1：2：4，回答下列問題。(1)若z＝6，則x＝？ (2)若z＝14，則y＝？

練習9：設 x：y＝5：4，y：z＝6：7，求下列各連比。(1) 2x：3y：4z (2) (x－y)：(y－z)：(z－x)

練習10：設 x：y＝3：2，y：z＝3：4，求下列各連比。(1) x：5y：9z (2) (x＋y)：(y＋z)：(z＋x)

練習11：設 x：y：z＝1：3：5，則

(1)求(3x＋2y＋z)：(2x＋y＋z)的比值。 (2)若 x＋y＋z＝180，求 x、y、z 的值。

練習12：已知 x、y、z 三數均不為 0，且 y 是 x 的 2 倍，z 是 y 的 3 倍。 (1)求 x：y：z。 (2)若此三數和為 270，則此三數分別為多少？ 二、應用問題： 練習13：小翊、小靖和小妍在唱片行購買 CD 所付金額的比為 9：6：8，且三人共付了 6900 元， 則三人分別付了多少元？ 練習14：某校一年級有 64 人，分成甲、乙、丙三隊，其人數比為 4：5：7。若由外校轉入 1 人加入 乙隊，則後來乙隊與丙隊的人數比為何？ 練習15：小翊拿了一根竹竿和一支掃把，將竹竿的 2_{7 和掃把的} 1_{3 綁在一起，形成一根 220 公分的} 長掃把，用來打掃教室的天花板，則原本竹竿和掃把的長度分別是多少？ 練習16：如右圖，小祐練習踩高蹺，將兩根高蹺綁在腿上。已知高蹺長度的一半和小祐身高的 1₃ 一樣高。若小祐踩在高蹺上時高 200 公分，則他原來的身高為多少公分？ 1 2 2 5 200

自我評量

1. 求下列各題的連比 x：y：z。(1) x：y＝ 1_{3 ：} 1_{4 ，y：z＝} 1_{8 ：} 1_{5 (2) x：z＝1.5：2.5，y：z＝0.6：2}

2. 求下列各題中 x、y 的值。(1) 4：5：7＝18：x：y (2) 1_{2 ：} 1_{3 ：} 1_{4 ＝x：2：y}

3. 設 x：y：z＝3：4：5，求(x＋2y－z)：(2x－y＋z)的比值。 4. 設 2x：3y：z＝4：6：5，求 x：y：z。 5. 設 x、y、z 皆不為 0，且 8x＝6y＝7z，求(x＋y＋z)：(x＋y－z)。 6. 已知甲、乙、丙三人的錢數比為 3：5：6。若丙分別給甲、乙兩人各 30 元後，甲、乙、丙的錢數比 變為7：11：10，則此三人共有多少元？ 7. 爸爸買三罐不同的茶葉共花了 9400 元，已知烏龍茶價錢的 3 倍是綠茶價錢的 4 倍，綠茶價錢的 4 倍 是紅茶價錢的5 倍，則這三罐茶葉的價錢各為多少元？

習作 1. 若 x、y

、

2. 求下列各題中 x、y 的值。(1) x：4.5：6＝9：13.5：y (2) 2_{3 ：x：}16_{5 ＝5：6：y}

3. 設 x：y：z＝4：3：2，試回答下列問題。 (1)(x＋y)：(y＋z)：(z＋x)＝ 。 (2)若 x＋y＋z＝450，則 x＋y－z＝ 。 (3)若 x＋2y＋3z＝320，則(x＋1)：(y＋3)：(z＋5)＝ 。 4. 學校規畫本學期共 96 天的行事曆，分為上課日、活動日及段考日三種行程，其所占日數比為上課日： 活動日：段考日＝21：2：1，則這個學期中的上課日為幾天？ 5. 下圖中的天平皆保持平衡，已知同一種水果重量相同，則 、 、 的重量比為多少？

6. 截至 2010 年 4 月為止，史上最賣座的三部電影分別是阿凡達、鐵達尼號及魔戒─王者再臨。 這三部電影的總銷售金額是 57 億美元。阿凡達、鐵達尼號的銷售金額比為 3：2，鐵達尼號及魔戒 的銷售金額比也為 3：2，則(1)哪一部電影最賣座？ (2)最賣座的電影銷售金額為多少？ 7. 已知小妍、小靖、小翊三人收集的電影明信片數量比為 11：9：15，小妍與小翊分別給小靖 10 張、 20 張明信片之後，三人的電影明信片數量比變為 10：12：13，則原來三人各有多少張電影明信片？ 8. 有一個周長為 24 公分的三角形，三邊長的比為 3：4：5，則 (1)分別求出這個三角形的三個邊長。 (2)求各邊所對應高的比。 類題補充 1. 已知 2x：3y＝8：9，y：2z＝6：5，且 x＋5＝y＋z，則 z 之值為多少？

2. 設 x、y、z 皆不為 0，且 5xy＝6yz＝7xz，則 x：y：z＝？

3. 設 a、b、c 皆不為 0，若 4a＝3b＝5c，則 1 a： 1 b： 1 c＝？

4. 有 a、b、c 三數，若 ab＝135，bc＝90，ac＝54，則 a：b：c＝？

5. 設 3a：4＝b：2＝2c：3，且 abc≠0，則 a：2b：c＝ 。

6. 設 abc≠0，且 a_b＝ b c＝ c a，則 4a＋2b－c 3a＋b－2c 之值為 。 7. 若 abc≠0，20(a＋b)＝15(b＋c)＝12(a＋c)，則 a：b：c＝？ (化為最簡整數比) 8. 若(x＋y)：(y＋z)：(z＋x)＝2：3：7，則 x－y＋z x＋y－z 之值為何？

10. 如右圖，已知大小不同的三個圓的半徑比為 1：3：5， 若甲區的面積為80 平方單位，則乙區的面積為多少？ 11. 甲、乙、丙三人跑 360 公尺賽跑，三人均以固定速率跑完全程。當甲到達終點時，乙距離終點 還有72 公尺，丙距離終點還有 120 公尺，則 (1)甲、乙、丙三人的速率比為 。 (2)當乙到達終點時，丙距離終點還有 公尺。 12. 小明在裝滿水的水桶中放入 A、B、C 三根竹竿，A 竿露出水面的部分是其全長的 1_{2，B 竿是其全長} 的 1_{3，C 竿是其全長的} 1_{4。若已知三根竹竿的總長度為 87 公分，則} (1)三根竹竿的長度比為何？ (2)最長一根竹竿的長度是幾公分？ 13. 三角形 ABC 的周長為 234 公分，三邊所對應的高分別為 h1、h2、h3，若 h1：h2：h3＝2：3：4，則此 三角形最小的邊為多少公分？ 14. 若 a＋2_{2a ＝} b＋3_{2b ＝} c＋4_{2c ，則 a：b：c＝ 。} 甲 乙 丙

加強練習

1. 已知 x：y：z＝2：9：6，則下列敘述何者錯誤？

(A) x：z＝1：3 (B) 9y＝6z (C) 3z＝2y (D) y 是(x＋y＋z)的 _17。 9

2. 設 x、y、z 為三個正數，且 x：y：z＝1：4：9，則下列何者正確？ (A) x＝1，y＝4，z＝9 (B) 1 x： 1 y： 1 z＝9：4：1 (C) x 2 ：y2：z2＝1：16：81 (D) x：xy：xyz＝1：4：36。 3. 老師規定班上每位同學都必須閱讀一本 760 頁的小說，已知阿強每 20 秒可以讀一頁、小丘 每 30 秒可以讀一頁、寶哥每 45 秒可以讀一頁。他們決定以分工合作的方式來節省時間， 於是把書分成三部分，三人讀的內容皆不重複，且閱讀的時間必須相同，則每個人應閱讀 幾秒鐘才能把書讀完？ 4. 某十字路口東西向的交通號誌燈只有綠、黃、紅三種，其燈亮的時間比為綠：黃：紅＝8：1：6。 那麼一天 24 小時中，「綠燈」亮的時間為幾小時？

5. 已知 abc≠0，且(3a－4b)2＝0，∣5_{2 a－c∣＝0，則(1) a：b：c＝ ；(2)}4a＋3b

c ＝ 。

6. 已知 abc≠0，且 a＋b＋c＝0，若 b＋c_a ＝a＋c_b ＝a＋b_c ＝k，則 k＝ 。

7. 甲、乙、丙三人比賽競走，從學校走到火車站，甲、乙、丙三人先以 2：3：4 的速率前進， 當丙到達全程一半的時候，甲、乙、丙三人以後的速率比變為 4：3：2，則誰先到達火車站 或同時到達？ 8. 若 a：b：c＝4：6：9，則下列何者錯誤？ (A) a_4＝b_6＝c_{9 (B)} 1 a： 1 b： 1 c＝ 1 4： 1 6： 1 9 (C) (a＋1)：(b＋1)：(c＋1)＝5：7：10 (D) (a＋4)：(b＋6)：(c＋9)＝4：6：9。 9. 已知 x：y：z＝5：4：3，則下列何者錯誤？

(A) _5＝x _4＝y _{3 (B) 2x：3y：4z＝5：6：6 (C) x}z 2：y2：z2＝25：16：9 (D) 3x＝4y＝5z。

10. 已知 a＋b＋c＋d＝46，且 a：b＝1：2，a：c＝3：4，c：d＝2：5，則 b＋c＝ 。 11. 設 x：y：z＝4：6：3，且 x、y、z 的最小公倍數為 360，則 x＋y＋z＝ 。

12. 設兩圓的周長比為 3：5，其半徑比為 a：b，面積比為 b：c，則 a：b：c＝ 。 13. 如下圖，有甲、乙、丙三條數線，甲數線上 1、乙數線上 2 與丙數線上 3 的位置恰好對齊， 甲數線上4、乙數線上 6 與丙數線上 9 的位置亦恰好對齊，則甲：乙：丙三數線單位長的比為何？ 1 4 2 6 3 9 甲 乙 丙 14. 如下圖，長方形 ABCD 中，M、N 兩點分別是¯ AB 、 ¯ CD 的中點，且長方形 AMND 分成甲、乙 兩長方形，長方形 MBCN 分成丙、丁兩長方形。若面積比甲：乙＝6：4，丙：丁＝4：7，則 面積比乙：丙＝ 。 甲 乙 丙 丁 M N A D

Ans：1.(B)；2.(C)；3. 7200 秒；4. 64_{5 ；5.(1) 4：3：10，(2)}5

2；6.－1；7.甲；8.(C)；9.(D)；10. 20；

11. 390；12. 27：45：125；13. 4：3：2；14. 11：10；15. 6。 心得筆記