高三上第一次期中考數學題庫(40)

(1)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/18

CH1

一、單選題

（）1. 1₂ 1₂ 1 5 4  等於下列哪一個選項﹕ (1)1.01 (2)1.05 (3)1.1 (4)1.15 (5)1.21 解答 2 解析 1₂ 1₂ 1 0.04 0.0625 1 5 4      1.1025 2 (1 0.05) 1.05    （）2.請問滿足絕對值不等式| 4x  12 |  2x 的實數 x 所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選項﹕ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)6﹒ 解答 4 解析分兩段討論如下﹔ 當 x  3 時﹐原式為 4x  12  2x﹐得 x  6﹐即 3  x  6﹒ 當 x  3 時﹐原式為  (4x  12)  2x﹐得 x  2﹐即 2  x  3﹒ 綜合上述﹐得 2  x  6﹐此區間長度為 6  2  4﹒

二、多選題

（）1.下列各方程式中﹐請選出有實數解的選項﹒ (1)| x |  | x  5 |  1 (2)| x |  | x  5 |  6 (3)| x |  | x  5 |  1 (4)| x |  | x  5 |  6 (5)| x |  | x  5 |   1﹒ 解答 235 解析在數線上﹐| x |  | x  0 |表 P(x)與 O(0)的距離﹓| x  5 |表 P(x)與 A(5)的距離﹒ (1)分兩種情形討論﹔ (i)若 P 在OA上﹐則| |x   |x 5 | OA5﹒ (ii)若 P 在OA外﹐則| |x   |x 5 | OA5﹒ 即| x |  | x  5 |  5﹐得知此選項錯﹒ (2)當 x  0.5 或 5.5 時﹐滿足| x |  | x  5 |  6﹒ (3)當 x  3 時﹐滿足| x |  | x  5 |  1﹒ (4)分兩種情形討論﹔ (i)若 P 在OA上﹐則| x |  | x  5 |  5﹒ (ii)若 P 在OA外﹐則| x |  | x  5 |  5 或  5﹒ 得知此選項錯﹒ (5)當 x  2 時﹐滿足| x |  | x  5 |  1﹒ 故選(2)(3)(5)﹒ (i)P 在OA上 (ii)P 在OA外 O P x 0 5 A O P x 0 5 A

(2)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/18 （）2.關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹔ (1) 133.5 (2) 13 3.6 (3) 13 3 10 (4) 13 3 16 (5) 1 0.6 13 3  ﹒ 解答 14 解析 (1)因為 3.52 12.25  13﹐所以 133.5﹒ (2)因為 3.62 12.96  13﹐所以 133.6﹒ (3)因為( 3 10)2 13 2 30 13﹐所以 3 10 13﹐即 13 3 10﹒ (4)因為( 13 3)216 2 39 16﹐所以 13 3 16﹒ (5) 1 13 3 3.7 1.8 6 0.6 10 10 10 13 3        ﹒ （）3.在數線上﹐甲從點  8 開始做等速運動﹐同時乙也從點 10 開始做等速運動﹐乙移動的速率是甲 的 a 倍﹐且 a  1﹒試選出正確的選項﹒ (1)若甲朝負向移動而乙朝正向移動﹐則他們會相遇 (2)若甲朝負向移動且乙朝負向移動﹐則他們不會相遇 (3)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐則乙先到達原點 0 (4)若甲朝正向移動且乙朝正向移動﹐則他們之間的距離會越來越大 (5)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐且他們在點  2 相遇﹐則 a  2﹒ 解答 45 解析依題意﹐得甲﹑乙兩人的位置如下﹔ (1)甲向左﹑乙向右移動﹐他們不會相遇﹒ (2)因為乙的速率較快﹐所以兩人都向左移動﹐乙會追到甲﹒ (3)令甲的速率為 1﹐乙的速率為 1.1﹐且在時刻 t 時相遇﹐則 t  1.1t  18﹐解得 18 60 2.1 7 t  ﹒ 此時乙位於10 1.1 60 4 7 7    處﹐還未到達原點 0﹒ (4)因為乙的速率較快﹐所以兩人都向右移動﹐他們之間的距離會越來越遠﹒ (5)因為在點  2 相遇﹐所以甲走 6﹑乙走 12﹐因此 12 2 6 a  ﹒

三、填充題

1.設 k 為一整數﹒已知 31 1 3 3 k _ _ k _{﹐則 k  ____________﹒} 解答 16 解析由原式﹐得_k_{3 31}  _k ₁ _k2₂₇₉₍_k₁₎2_﹒ 因為 162_ 256﹐172 289﹐所以 k  16﹒ 甲乙 -8 01 10

(3)

CH2

一、單選題

（）1.設某沙漠地區某一時間的溫度函數為 f(t)   t2_{ 10t  11﹐其中 1  t  10﹐則這段時間內該地區} 的最大溫差為 (1)9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5)36﹒ 解答 4 解析 f(t)  t2 10t  11  (t  5)2 36 當 t  5﹐最大值  36 當 t  10﹐最小值  11 故該地區最大溫差為 36  11  25﹒

二、多選題

（）1.設 f1(x)﹐f2(x)為實係數三次多項式﹐g(x)為實係數二次多項式﹒已知 f1(x)﹐f2(x)除以 g(x)的餘式分 別為 r1(x)﹐r2(x)﹒試選出正確的選項﹒ (1)  f1(x)除以 g(x)的餘式為  r1(x) (2)f1(x)  f2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x)  r2(x) (3)f1(x)f2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x)r2(x) (4)f1(x)除以  3g(x)的餘式為 1 1 ( ) 3 r x  (5)f1(x)r2(x)  f2(x)r1(x)可被 g(x)整除﹒ 解答 125 解析依題意﹐利用除法原理﹐可設 f1(x)  g(x)q1(x)  r1(x)﹐f2(x)  g(x)q2(x)  r2(x)﹐ 其中 q1(x)﹐q2(x)為一次多項式﹐r1(x)﹐r2(x)為一次多項式或常數多項式﹒ (1)因為  f1(x)  g(x)q1(x)  r1(x)  g(x)[  q1(x)]  [  r1(x)]﹐ 且  r1(x)的次數低於二次﹐所以餘式為  r1(x)﹒ (2)因為 f1(x)  f2(x)  g(x)[q1(x)  q2(x)]  [r1(x)  r2(x)]﹐ 且 r1(x)  r2(x)的次數低於二次﹐所以餘式為 r1(x)  r2(x)﹒ (3)因為 r1(x)r2(x)可能為二次多項式﹐所以不一定是餘式﹒ (4)因為 ₁( ) ( ) ( )₁ ₁( ) 3 ( )[ 1 ₁( )] ₁( ) 3 f x g x q x r x   g x  q x r x ﹐ 且 r1(x)的次數低於二次﹐所以餘式為 r1(x)﹒ (5)因為 f1(x)r2(x)  f2(x)r1(x)  [g(x)q1(x)  r1(x)]r2(x)  [g(x)q2(x)  r2(x)]r1(x)  g(x)[q1(x)r2(x)  q2(x)r1(x)]﹐所以此選項正確﹒ 故選(1)(2)(5)﹒

(4)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/18 （）2.設 f (x)是首項係數為 1 的實係數二次多項式﹒請選出正確的選項﹒ (1)若 f (2)  0﹐則 x  2 可整除 f (x) (2)若 f (2)  0﹐則 f (x)為整係數多項式 (3)若 ( 2)f 0﹐則 (f  2)0 (4)若 f (2i)  0﹐則 f (  2i)  0 (5)若 f (2i)  0﹐則 f (x)為整係數多項式﹒ 解答 145 解析 (1)因為 f (2)  0﹐所以 f (x)有 x  2 的因式﹐即 x  2 可整除 f (x)﹒ (2)錯﹖例如﹔_{f x}_{( )} ₍_x ₂₎₍_x ₂₎_x2 ₍₂ ₂₎_x_{2 2}_{非整係數多項式﹒} (3)錯﹖例如﹔f x( )(x2)(x 2)滿足 f( 2)0﹐但 f( 2)0﹒ (4)根據虛根成雙定理﹐得知若 2i 是一根﹐則另一根必為  2i﹒ (5)承(4)﹐得 f (x)  (x  2i)(x  2i)  x2 4 為整係數多項式﹒ 故選(1)(4)(5)﹒

三、填充題

1.設 f(x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式﹔f(x)最高次項的係數為 1﹐且 3  2i﹑i﹑5 皆為方程式 f(x)  0 的解（其中 i2_{  1）﹒則 f(x)之常數項為____________﹒} 解答  65

解析 f(x)  [x  (3  2i)][x  (3  2i)](x  i)(x  i)(x  5)  (x2 6x  13)(x2 1)(x  5) 常數項 f(0)  65﹒ 2.若 a 為正整數且方程式 5x3_{ (a  4)x}2_{ ax  1  0 的根都是有理根﹐則 a  ____________﹒} 解答 7 解析因為有三個有理根﹐所以有三個整係數一次因式﹐ 又由牛頓定理知﹔整係數一次因式只可能是 x  1﹐x  1﹐5x  1﹐5x  1﹒ 由 a 是正整數及比較首項係數﹑常數項﹐得 5x3 (a  4)x2 ax  1  (5x  1)(x  1)(x  1)  5x3 11x2 7x  1﹒ 故 a  7﹒ 3.若多項式 x2_{ x  2 能整除 x}5_{ x}4_{ x}3_{ px}2_{ 2x  q﹐則(1)p  ____________﹐(2)q  ____________﹒} 解答 (1)3;(2)8 解析 1  0  1  (p  1) 1  1  2 1  1  1  p  2  q 1  1  2  1  p  2  1  1  2 (p  1)  4  q (p  1)  (p  1)  2(p  1) (4  p  1)  (q  2p  2) _ ∴3  p  0  p  3﹐ q  2p  2  0  q  8﹒

(5)

1091 高三數學期中考題庫

1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/18

4.設 a﹑b 為實數且(a  bi)(2  6i)   80﹐其中 i2_{  1﹒則(a,b)  ____________﹒}

解答 (  4,12)

解析由原式﹐得(2a  6b)  (6a  2b)i  80﹒

根據複數相等的定義﹐得 2 6 80 6 2 0 a b a b      _ _  ﹒ 解得 a  4﹐b  12﹒

CH3

一、單選題

（）1.放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中有 兩種放射性物質 A﹐B﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而 120 小時後兩種物 質的質量相同﹒已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹕ (1)8 小時 (2)10 小時 (3)12 小時 (4)15 小時 (5)20 小時﹒ 解答 1 解析設 B 的半衰期為 T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n﹒依題意﹐ 得 120 120 7.5 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 T n n ﹐約去 n﹐得 120 16 1 1 2( ) ( ) 2 2 T   1 15 1 120 ( ) ( ) 2 2 T  ﹐ 即15 120 T  ﹐解得 T  8﹐故選(1)﹒ （）2.在密閉的實驗室中﹐開始時有某種細菌 1 千隻﹐並且以每小時增加 8%的速率繁殖﹒如果依此速率持續繁殖﹐則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項﹕ (1)9 千隻 (2)108 千隻 (3)2200 千隻 (4)3200 千隻 (5)32000 千隻﹒ 解答 3 解析所求  1 千隻  (1  8%)100 令 x  1.08100

logx  log1.08100 100  log1.08 100log108 100log27 100[3log 3 2log 5]

100 25

   

∶100(3  0.4771  2  0.6990)  100  0.0333  3.33∶log(103)  log2.… ∴x∶2200

故所求約為 2200 千隻﹒

（）3.設正實數 b 滿足(log100)(logb)  log100  logb  7﹒試選出正確的選項﹒

(1)1 b 10 (2) 10 b 10 (3)10 b 10 10 (4)10 10 b 100 (5)100 b 100 10﹒

解答 4

解析因為 log100  2﹐所以2log 2 log 7 3log 5 log 5 3 b  b  b  b ﹒解得 5 3 10 b ﹒ 又因為 5 3 2 3 2 10 10 10 ﹐所以10 10 b 100﹒ 故選(4)﹒

(6)

（）4.若正實數 x﹑y 滿足 log10x  2.8﹐log10y  5.6﹐則 log10(x

2_{ y)最接近下列哪一個選項的值﹕} (1)2.8 (2)5.6 (3)5.9 (4)8.4 (5)11.2 解答 3 解析 log10x  2.8  x  10 2.8_﹐x2_ (102.8)2 105.6 log10y  5.6  y  10 5.6 ∴ log10(x 2_ y)  log10(10 5.6_ 105.6)  log10(10 5.6_ 2)  5.6  log102  5.6  0.301  5.901

二、多選題

（）1.以下各數何者為正﹕ (1) 3 2 2 (2)log23  1 (3)log32  1 (4) 1 2 log 3 (5) 1 3 1 log 2﹒ 解答 125 解析 (1) 1 2 22 ﹐ 1 3₂₂3_{﹐因為底數 2 比 1 大﹐所以指數越大其值越大﹐} 因此 3 2 2即 3 2 2為正﹒ (2)因 3  2﹐所以 log23  log22（因底數 2 比 1 大）﹐ 即 log23  1﹐故 log23  1 為正﹒ (3)因 3  2﹐所以 log33  log32（因底數 3 比 1 大）﹐ 即 1  log32﹐故 log32  1 為負﹒ (4) ₁ 1 ₂ 2 2

log 3log  3 log 30﹒

(5) 1

1

1 3 3

3

1

log log 2 log 2 0

2      ﹒ （）2.坐標平面上﹐在函數圖形 y  2x 上﹐標示 A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐其 x 坐標分別為  1﹑0﹑1﹑2﹒ 請選出正確的選項﹒ (1)點 B 落在直線 AC 下方 (2)在直線 AB﹑直線 BC﹑直線 CD 中﹐以直線 CD 的斜率最大 (3)A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐以點 B 最靠近 x 軸 (4)直線 y  2x 與 y  2x 的圖形有兩個交點 (5)點 A 與點 C 對稱於 y 軸﹒ 解答 124 解析依題意﹐得 ( 1, )1 2  A ﹐B(0,1)﹐C(1,2)﹐D(2,4)﹒ (1)因為 y  2x的圖形凹口向上﹐所以 B 在AC下方﹒ (2)由下圖﹐得知CD的斜率最大﹒ (3)由下圖﹐得知點 A 最靠近 x 軸﹒ (4)兩圖形恰交於 C﹐D 兩點﹒ (5)因為 A﹐C 兩點不等高﹐所以不對稱於 y 軸﹒ 故選(1)(2)(4)﹒ x y O A B C D y=2x y=2x

(7)

CH4

一、單選題

（）1.數列 a1  2﹐…﹐ak  2k﹐…﹐a10  20 共有十項﹐且其和為 240﹐則 a1 … ak … a10之值為 (1)31 (2)120 (3)130 (4)185 (5)218﹒ 解答 3 解析 (a1 2)  (a2 2  2) … (a10 2  10)  240  (a1 a2… a10)  2(1  2 … 10)  240 ∴a1 a2… a10 240  110  130 故選(3)﹒ （）2.設an為一等比數列﹒已知前十項的和為 10 1 80 k k a  



﹐前五個奇數項的和為 a1  a3  a5  a7  a9  120﹐請選出首項 a1的正確範圍﹒ (1)a1  80 (2)80  a1  90 (3)90  a1  100 (4)100  a1  110 (5)110  a1﹒ 解答 4 解析設公比為 r﹐利用等比級數的和公式﹐得 10 1 10 1 2 (1 ) 80 1 (1 ) 120 1 a r r a r r   _      _  _  ﹐ 兩式相除﹐得1 2 3 r    1 3 r  ﹐因此 10 1 1 1 (1 ( ) ) 80(1 ) 3 3 a      ₁(1 ( ) )1 10 320 3 3 a   ﹒ 因為 1 10 1 ( ) 1 3   ﹐所以 ₁ 320 3 a  ﹐故選(4)﹒ （）3.將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體﹐如下圖所示﹐其中第 1 層（最下層）有 10 塊 ﹐第 2 層有 9 塊﹐…﹐依此類推﹒當堆疊完 10 層時﹐該階梯形立體的表面積（即該立體的前﹑ 後﹑上﹑下﹑左﹑右各表面的面積總和）為多少﹕ (1)75 平方公分 (2)90 平方公分 (3)110 平方公分 (4)130 平方公分 (5)150 平方公分解答 5 解析 (1 2 3   10) 2 1 10  2 10 1 10 （前後）（左）（右﹑上）（下）  110  10  20  10  150 故選(5)

(8)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/18 （）4.設 2 2 1 1 ( ) ( ) 10 n n a   a ﹐n 為正整數﹐且知 an皆為正﹒令 bn  logan﹐則數列 b1﹐b2﹐b3﹐…為 (1)公差為正的等差數列 (2)公差為負的等差數列 (3)公比為正的等比數列 (4)公比為負的等比數列 (5)既非等差亦非等比數列﹒ 解答 2 解析 ∵ 2 2 1 1 ( ) ( ) 10 n n a   a ﹐ ∴ 2 2 2 1 1 10 a  a 32 22 1 10 a  a 42 32 1 10 a  a  ) 2 1 ₁2 10 n n a  a  1 2 1 2 ₂ 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 10 10 n n n a a a       ﹐ ∵an皆為正數﹐∴ 1 4 1 1 ( ) 10 n n a a    ﹐ 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1

log log[( ) ] log log ( 1) ( ) ( 1) ( )

10 4 4 4 n n n n b a a a a n b n  _{ }                ﹐ ∴公差為 1 4  ﹐首項為 b1﹐故選(2)﹒

二、多選題

（）1.設 a1  1 且 a1﹐a2﹐a3﹐…為等差數列﹒請選出正確的選項﹔ (1)若 a100  0﹐則 a1000  0 (2)若 a100  0﹐則 a1000  0 (3)若 a1000  0﹐則 a100  0 (4)若 a1000  0﹐則 a100  0 (5)a1000  a10  10(a100  a1)﹒ 解答 235 解析設公差為 d﹒利用公式 an a1 (n  1)d﹐得 a100 1  99d﹐a1000 1  999d﹒ (1)反例﹔當 d  0.01 時﹐a100 1  0.99  0.01  0﹐但 a1000 1  9.99  8.99  0﹒ (2)若 a100 1  99d  0﹐即 1 99 d   ﹐所以 ₁₀₀₀ 1 999 1 999 0 99 a   d    ﹒ (3)若 a1000 1  999d  0﹐即 1 999 d  ﹐所以 ₁₀₀ 1 99 1 99 0 999 a   d    ﹒ (4)反例﹔當 d  0.01 時﹐則 a1000 1  9.99  8.99  0﹐但 a100 1  0.99  0.01  0﹒ (5)因為 a1000 a10 (1  999d)  (1  9d)  990d﹐10(a100 a1)  10(1  99d  1)  990d﹐ 所以 a1000 a10 10(a100 a1)﹒ 故選(2)(3)(5)﹒

(9)

三、填充題

1.遞迴數列an滿足 an  an  1  f (n  2)﹐其中 n  2 且 f (x)為二次多項式﹒若 a1  1﹐a2  2﹐a3  5﹐a4  12﹐

則 a5  ____________﹒ 解答 25 解析將 n  2﹐3﹐4 代入 an an  1 f (n  2)﹐得 2 1 3 2 4 3 (0) (1) (2) a a f a a f a a f             2 1 (0) 5 2 (1) 12 5 (2) f f f             (0) 1 (1) 3 (2) 7 f f f    _   _  設 f (x)  ax2 bx  c﹐得 1 3 4 2 7 c a b c a b c         _ _{ }   1 1 1 a b c         即 f (x)  x2 x  1﹐得 f (3)  32 3  1  13﹒ 故 a5 a4 f (3)  12  13  25﹒

CH5

一、單選題

（）1.設₍₁ ₂₎6  _{a b} ₂_{﹐其中 a﹐b 為整數﹒請問 b 等於下列哪一個選項﹕} (1)C₀62C6₂22C6₄23C₆6 (2) 6 6 2 6 1 2 3 2 5 C  C  C (3)C6₀2C₁622C6₂23C₃624C₄6 25C₅626C6₆ (4) 6 2 6 3 6 1 3 5 2C 2 C 2C (5)C₀622C6₂ 24C6₄26C₆6﹒ 解答 2 解析利用二項式定理﹐得 6 6 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 0 1 2 3 4 5 6 (1 2) C C ( 2)C ( 2) C ( 2) C ( 2) C ( 2) C ( 2) 6 6 2 6 3 6 6 6 2 6 0 2 4 6 1 3 5 (C 2C 2 C 2C ) C( C2 2C ) 2        ﹐ 即 6 6 2 6 1 2 3 2 5 bC  C  C ﹒ 故選(2)﹒ （）2.某地區的車牌號碼共六碼﹐其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母﹐後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字 ﹐但規定不能連續出現三個 4﹒例如﹔AA1234﹐AB4434 為可出現的車牌號碼﹓而 AO1234﹐ AB3444 為不可出現的車牌號碼﹒則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1)25  93_{(2)25  9}2_{ 10 (3)25  900 (4)25  990 (5)25  999﹒} 解答 4 解析 A 4 ↑ ↑ 25  ( 103 1  9)  25  990﹒ 4 4 4 4 4  

(10)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/18 （）3.將 24 顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩個籃子裡都裝奇數顆﹒請選出分裝的方法數﹒ (1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ 解答 2 解析設紅﹑黃﹑綠三個籃子各裝 x﹑2y  1﹑2z  1（x﹐y﹐z ）顆雞蛋﹒ 依題意﹐得 x  (2y  1)  (2z  1)  24  x  2y  2z  26 由上式得知 x 為偶數﹐令 x  2m﹐則 2m  2y  2z  26﹐ 即求 m  y  z  13 之正整數解的個數﹐ 即求 m y z 10 之非負整數解的個數﹐ 所以 3 10 1 12 10 10 11 12 66 1 2 C   C     ﹒ 故選(2)﹒

二、填充題

1.某公司生產多種款式的「阿民」公仔﹐各種款式只是球帽﹑球衣或球鞋顏色不同﹒其中球帽共有黑﹑灰﹑紅 ﹑藍四種顏色﹐球衣有白﹑綠﹑藍三種顏色﹐而球鞋有黑﹑白﹑灰三種顏色﹒公司決定紅色的帽子不搭配灰色的鞋子﹐而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子﹐至於其他顏色間的搭配就沒有限制﹒在這些配色的要求之下﹐最多可有____________種不同款式的「阿民」公仔﹒ 解答 25 解析依球帽討論有下列三項  黑灰 2 2 3 12       衣鞋  紅    1 2 2 4  藍    1 3 3 9 共有 12+4+9 = 25 種﹒ 2.某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有 765 人領票、乙案有 537 人領票、丙案有 648 人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 224 人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有____________人﹒ 解答 215 解析設同時領甲、乙兩案但沒有領丙案者有 x 人， 同時領乙、丙兩案但沒有領甲案者有 y 人， 同時領甲、丙兩案但沒有領乙案者有 z 人， 224 765 541 224 537 313 224 648 424 x z x z x y x y y z y z         _{ } _ _ _{ }    _{ } _  _{ }   ，整理可得 541 313 424 639 2 x  y z    ，x639 424 215，故同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者有 215 人﹒

(11)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/18 3.有一個兩列三行的表格如圖﹒在六個空格中分別填入數字 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6（不得重複）﹐則 1﹐2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有____________種﹒ 解答 432 解析 同行﹔C3₁2!  4!  144 同列﹔ 2 1 C P3₂4!  288 ∴144  288  432﹒

CH6

一、單選題

（）1.有兩組供機器運作的配件 A﹑B﹐其單獨發生故障的機率分別為 0.1﹑0.15﹒只有當 A﹐B 都發生 故障時﹐此機器才無法運作﹒A﹑B 兩配件若用串接方式﹐前面故障會導致後面故障﹐但若後面 故障則不會影響前面的故障情形﹓若用並列方式﹐則故障情形互不影響﹒若考慮以下三種情形 ﹔ (一)將 B 串接於 A 之後 (二)將 A 串接於 B 之後 (三)將 A﹐B 獨立並列 在情況(一)﹑(二)﹑(三)之下﹐機器無法運作的機率分別為 p1﹑p2﹑p3﹒請選出正確的選項﹒ (1)p1  p2  p3 (2)p2  p1  p3 (3)p3  p2  p1 (4)p3  p1  p2 (5)p1  p2  p3﹒ 解答 2 解析 (一)因為 B 串接於 A 之後﹐且前面故障會導致後面故障﹐所以機器運作與否完全取決於 A﹒因此﹐ p1 0.1﹒ (二)同(一)﹐機器運作與否完全取決於 B﹒因此﹐p2 0.15﹒ (三)因為 A﹐B 獨立並列﹐且兩配件都故障時機器才會停止運作﹐所以 p3 0.1  0.15  0.015﹒ 得知 p2 p1 p3﹐故選(2)﹒ （）2.袋子裡有 3 顆白球﹐2 顆黑球﹒由甲﹑乙﹑丙三人依序各抽取1顆球﹐抽取後不放回﹒若每顆球被取出的機會相等﹐請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下﹐丙抽到白球之條件機率為何？ (1)1 3 (2) 5 12 (3) 1 2 (4) 3 5 (5) 2 3﹒ 解答 3 解析 ( ) ( ) ( ) P P P   甲乙同色丙白丙白｜甲乙同色甲乙同色 3 2 1 2 1 3 5 4 3 5 4 3 3 2 2 1 5 4 5 4          1 2  ﹒ 故選(3)﹒

(12)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/18 （）3.某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假﹒若甲﹑乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關﹐試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何﹕ (1)1 3 (2) 8 21 (3) 3 7 (4) 10 21 (5) 11 21﹒ 解答 5 解析樣本空間的個數為C7₂C7₂441﹒ （正面解）兩人在同一天休假可分成(恰一天相同)與(二天皆相同)兩種情形﹒ 根據機率的定義﹐得機率為 7 6 5 7 1 1 1 2 210 21 11 441 441 21 C C C C _  _ ﹒ （反面解）因為兩人的二天休假皆不同天的機率為 7 5 2 2 210 10 441 441 21 C C _ _ ﹒ 所以兩人在同一天休假的機率為1 10 11 21 21   ﹒ 故選(5)﹒ （）4.某疾病可分為兩種類型﹔第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為 70%﹐且 每一次療程的成功與否互相獨立﹓其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知道患者所 患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下﹐進行第二次療程成功的條件機率最接 近下列哪一個選項﹕ (1)0.25 (2)0.3 (3)0.35 (4)0.4 (5)0.45﹒ 解答 2 解析依題意得下圖﹔ 根據條件機率的定義﹐得 ( ) ( | ) ( ) P P P   第一次失敗第二次成功第二次成功第一次失敗第一次失敗 70% 30% 70% 70% 30% 30% 100%       49 170   0.288﹒ 故選(2)﹒ 某疾病 70% 30% _100% 第一類第二類失敗成功失敗失敗 30% 70% 100% 失敗成功 30% 70%

(13)

二、多選題

（）1.甲﹑乙﹑丙﹑丁四位男生各騎一台機車約 A﹐B﹐C﹐D 四位女生一起出遊﹐他們約定讓四位女生 依照 A﹐B﹐C﹐D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車﹒其中除了 B 認得甲的機車鑰匙﹐並 且絕對不會選取之外﹐每個女生選取這些鑰匙的機會都均等﹒請選出正確的選項﹒ (1)A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2)C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3)A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4)B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5)C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率﹒ 解答 45 解析因為 B 認得甲的鑰匙﹐所以 (1) ( )=1 4 P A 抽到甲 ﹐ ( )=3 1 1 3 4 2 8 P C抽到甲    ﹒ (2) ( )=3 8 P C 抽到甲 ﹐ ( )=3 1 1 1 3 4 2 8 P D抽到甲     ﹒ (3) ( )=1 4 P A 抽到乙 ﹐ ( )= (1 1) (2 1) 1 4 3 4 2 3 A A P B     沒抽到甲抽到甲抽到乙 ﹒ (4) ( )= ( )=1 3 P B抽到丙 P B抽到乙 ﹐ ( )= (1 2 1) (2 1 1) 5 4 3 2 4 2 2 24 A A P C       沒抽到甲抽到甲抽到丙 ﹒ (5) ( )=3 8 P C 抽到甲 ﹐ ( )= ( )= 5 24 P C抽到乙 P C抽到丙 ﹒ 故選(4)(5)﹒

(14)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/18 （）2.某地區衛生機構成功訪問了 500 人﹐其中年齡為 50  59 歲及 60 歲（含）以上者分別有 220 名及 280 名﹒這 500 名受訪者中﹐120 名曾做過大腸癌篩檢﹐其中有 75 名是在一年之前做的﹐有 45 名是在一年之內做的﹒已知受訪者中﹐60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50  59 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 3.5 倍﹒試選出正確的選項﹒ (1)受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 60% (2)由受訪者中隨機抽取兩人﹐此兩人的年齡皆落在 50  59 歲間的機率大於 0.25 (3)由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人﹐其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為2 ( 45)(75) 120 119  (4)這 500 名受訪者中﹐未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75% (5)受訪者中 60 歲（含）以上者﹐曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名﹒ 解答 35 解析依題意﹐得 (1)年齡為 60 歲（含）以上者占280 56% 60% 500  ﹒ (2)機率為 220 2 500 2 220 219 220 219 1 1 1 0.25 500 499 500 499 2 2 4 C C          ﹒ (3)機率為 45 75 1 1 120 2 45 75 45 75 2 120 119 120 119 2 C C C       ﹒ (4)比率為500 120 380 76% 500 500    ﹒ (5)設 60 歲（含）以上且曾做過大腸癌篩檢有x人﹒依題意﹐ 得 120 3.5 280 220 x _ x_ 120 7 280 220 2 x x     440x  280  120  7  1960x  2400x  280  120  7﹐ 解得 x  98﹐即超過 90 人﹒ 故選(3)(5)﹒

(15)

CH7

一、單選題

（）1.某超商依據過去的銷售紀錄﹐冬天平均氣溫在 6C 到 24C 時﹐每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為  0.99﹐部分紀錄如下表﹒ 平均氣溫（C） 11 13 15 17 19 21 平均售出量（杯） 512 437 361 279 203 135 某日平均氣溫為 8C﹐依據上述資訊推測﹐試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項﹕ (1)570 杯 (2)625 杯 (3)700 杯 (4)755 杯 (5)800 杯﹒ 解答 2 解析因為相關係數為  0.99﹐所以散佈圖的所有點會相當靠近一條斜率為負的直線 L﹒觀察紀錄表中 平均售出量的變化﹔ 平均氣溫（C） 11 13 15 17 19 21 平均售出量（杯） 512 437 361 279 203 135 75  76 82 76 68 得知﹔平均氣溫每增加 2C﹐平均售出量約減少 76 杯﹒ 因此﹐直線 L 的斜率約為 76 38 2    ﹒ 令 8C 賣出的咖啡數量為 x﹒由直線斜率的定義﹐得512 38 626 11 8 x x       ﹒ 故選(2)﹒ （）2.已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為負相關﹐請選出相關係數最小的選項﹒ (1) 2 3 5 1 13 1 x y (2) 2 3 5 3 10 2 x y (3) 2 3 5 5 7 3 x y (4) 2 3 5 9 1 5 x y (5) 2 3 5 7 4 4 x y ﹒ 解答 5 解析由迴歸直線的斜率 y x m r     ﹐得 x y m r     ﹒ 因為各選項的 m 及x都相等﹐且 m 為負﹐ 所以哪一個選項的y最小﹐其相關係數 r 就最小﹒計算各選項的y： (1) 16 64 16 96 3 3 y      ﹒ (2) 4 25 9 38 3 3 y      ﹒ (3) 0 4 4 8 3 3 y      ﹒ (4) 16 16 0 32 3 3 y      ﹒ (5) 4 1 1 6 3 3 y      ﹒ 故選(5)﹒

(16)

二、多選題

（）1.一個 41 人的班級某次數學考試﹐每個人的成績都未超過 59 分﹒老師決定以下列方式調整成績﹔ 原始成績為 x 分的學生﹐新成績調整為40log (₁₀ 1) 60 10 x _ 分（四捨五入到整數）﹒請選出正確的選項﹒ (1)若某人原始成績是 9 分﹐則新成績為 60 分 (2)若某人原始成績超過 20 分﹐則其新成績超過 70 分 (3)調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 (4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數﹐則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 (5)已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均﹐則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）﹒ 解答 124 解析令新成績為 y 分﹐利用對數的運算公式﹐

得 40log( 1) 60 40(log( 1) log10) 60 40log( 1) 20

10

x

y    x    x  ﹒

(1)若 x  9﹐則 y  40log10  20  60﹒

(2)若 x  20﹐則 y  40log21  20  40(log3  log7)  20  40(0.4771  0.8451)  20  72.888﹒ (3)錯﹖如班上最低分 9 分最高分 39 分﹐則調整後成績的全距為

(40log40  20)  (40log10  20)  40(log40  log10)  40log4  40  0.6020  24.08﹐ 小於原始成績的全距 39  9  30﹒ (4)因為函數 y  40log(x  1)  20 為嚴格遞增函數﹐所以調整前後每人的名次不變﹐因此小文的新成績仍為中位數﹒ (5)錯﹖如班上原始成績為 0 分 8 人﹐9 分 21 人﹐15 分 12 人﹐平均 9 分﹐ 則調整後的成績為 20 分 8 人﹐60 分 21 人﹐40log16  20  68 分 12 人﹐平均約 55 分﹒ 此時若小美原成績 9 分（等於平均）﹐但新成績 60 分卻不是新成績的平均﹒ 故選(1)(2)(4)﹒

(17)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/18 （）2.所謂某個年齡範圍的失業率﹐是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比﹐以百分數表達（進行統計分析時﹐所有年齡以整數表示）﹒下表為去年某國四個年齡範圍的失業率﹐其中的年齡範圍有所重疊﹒ 年齡範圍（歲） 35～44 35～39 40～44 45～49 失業率（%） 12.66 9.80 13.17 7.08 請根據上表選出正確的選項﹔ (1)在上述四個年齡範圍中﹐以 40～44 歲的失業率為最高 (2)40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3)40～49 歲的失業率等於(13.17 7.08)% 2  (4)35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5)如果 40～44 歲的失業率降低﹐則 45～49 歲的失業率會升高﹒ 解答 14 解析設各範圍的勞動人數如下﹔ 年齡範圍（歲） 35～39 40～44 45～49 勞動人數（人） a b c (1)在失業率中﹐以 13.17%最大﹒ (2)僅由題意﹐不能確定 b  c﹒ (3)40～49 歲的失業率為b 13.17% c 7.08% b c     ﹐不一定等於 13.17 7.08 ( )% 2  ﹒ (4)因為a 9.80% b 13.17% 12.66% a b      ﹐即

9.80a  13.17b  12.66(a  b)  2.86a  0.51b﹐ 所以 a  b﹒

(5)僅由題意﹐不能推得此結論﹒ 故選(1)(4)﹒

(18)

1091 高三數學期中考題庫 1091 高三數學期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/18 （）3.小明參加某次路跑10 公里組的比賽﹐下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間﹑平均心率及步數﹔ 完成時間平均心率步數第一公里 5:00 161 990 第二公里 4:50 162 1000 第三公里 4:50 165 1005 第四公里 4:55 162 995 第五公里 4:40 171 1015 第六公里 4:41 170 1005 第七公里 4:35 173 1050 第八公里 4:35 181 1050 第九公里 4:40 171 1050 第十公里 4:34 188 1100 在這 10 公里的比賽過程﹐請依據上述數據﹐選出正確的選項﹒ (1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為 188 (2)小明此次路跑﹐每步距離的平均小於 1 公尺 (3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關 (4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關 (5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關﹒ 解答 245 解析 (1)平均心率最高 188﹐並不表示最高心率是 188﹒ (2)因為路跑總長 10 公里  10,000 公尺﹐總步數超過 10,000 步﹐ 所以每步距離的平均10,000公尺1 總步數公尺﹒ (3)觀察第一到十公里﹔完成時間有減少的趨勢﹐但平均心率有增加的趨勢﹐因此兩數據為負相關 (4)觀察第一到十公里﹔步數有增加的趨勢﹐平均心率也有增加的趨勢﹐因此兩數據為正相關﹒ (5)觀察第一到十公里﹔完成時間有減少的趨勢﹐但步數有增加的趨勢﹐因此兩數據為負相關﹒ 故選(2)(4)(5)﹒

三、填充題

1.在某項才藝競賽中﹐為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大﹐主辦單位規定﹔先將 15 位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數﹐再將與平均數相差超過 15 分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績﹒現在有一位參賽者所獲 15 位評審的平均成績為 76 分﹐其中有三位評審給的成績 92﹐45﹐55 應剔除﹐則這個參賽者的比賽成績為____________分﹒ 解答 79 解析 76 15 92 45 55 79 21      ﹒