1113 複數解答

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(1)

1113 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設i 1且複數 z 的主輻角記作 Arg(z),0  Arg(z)  2,試求 Arg( 3 i) (A) 6  (B)5 6 (C) 7 6 (D) 11 6 解答 B 解析 ∵ | 3 | ( 3)2 12 2 3 2( 3 1 ) 2 2   i        ii 即cos 3 2    ,sin 1 2  但 0  2(∵ 0  Arg(z)  2) 5 6     ∴ Arg( 3 ) 5 6 i     ( )2.已知i 1,且 a、b 為實數,若1 3 1 i a bi i     ,則 a  b  (A)  3 (B)  1 (C)1 (D)3 【091 年歷屆試題.】 解答 A【096 年歷屆試題.】 2 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 4 3 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 1 2 i i i i i i i i i a bi i i i i                    ∴ a  1,b  2 故得 a b  3 ( )3.已知i 1,則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 解析 (1  i)6 [(1  i)2]3 (  2i)3 8i3 8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i ii      

2 (cos3 21 sin21 ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8

2 i 2 2 i 2 i i             ( )4.已知 a、b 為實數,i 1。若( 3 )8 1 i a bi i ,則 a 2  b2  (A)16 (B)64 (C)256 (D)1024 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ ( 3 )8 1 i a bi i   ∴ 8 3 | ( ) | | | 1 i a bi i  而 2 2 8 8 8 8 2 2 ( 3) ( 1) 3 3 | 3 | | ( ) | | | ( ) ( ) 1 1 |1 | 1 ( 1) i i i i i i         2 8 8 2 4 4 ( ) ( 2) [( 2) ] 2 16 2     

(2)

|a bi|a2b2,因此 2 2 16

ab,故 a2

b2 162 256

( )5.已知i 1,則複數(3  2i)(4  5i)的實部為何? (A)2 (B)7 (C)9 (D)22

【093 年歷屆試題.】

解答 D

解析 (3  2i)(4 5i)  [3  4  (  2)  5]  [3  5  (  2)  4]i  22  7i ∴ (3  2i)(4 5i)的實部為 22 ( )6.設



5 124 3



12 53 4

i i z i i      ,i 1,則 z 之值為何? (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析



5 124 3



12 53 4

i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13    

( )7.設i 1且 a 與 b 為兩實數,若(a  bi)(1  3i)  8  4i,則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a bi)(1 3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a bi)2 (2  2i)2 4  8i 4i2 8i ( )8.設i 1,試求(  i)8  (  i)7  (  i)6  (  i)5  (  i)4  (  i)3  (  i)2  (  i)  1  (A)2  5i (B)2  5i (C)  5  2i (D)5  2i 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (  i)2 i 2 1;( i)3 i 3 i 2 i  ( 1) i i;( i)4 i 4 1 (  i)5 i 5 i 4 i  (  1)  i  i;( i)6 i 6 i 4 i 2 1  (  1)  1 (  i)7 i 7 i 4 i 3 1  (  i) i;( i)8 i 8 i 4 i 4 1  1  1 ∴ (  i)8 (  i)7 (  i)6 (  i)5 (  i)4 (  i)3 (  i)2 (  i)  1  1  i  (  1)  (  i)  1  i  (  1)  i  1  1  i  1  i  1  i  1  i  1  5  2i ( )9.已知i 1,且 a、b 均為實數。若13i為方程式 x3  3x2  ax  b  0 的一根,則 a  b  (A)  4 (B)  2 (C)8 (D)14 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 3i為 x3 3x2 ax b 0 的一根,且 a、b 均為實數 1 3   i也是 x3 3x2 ax b  0 的根 而 2 [x (1 3 )][i x (1 3 )]ix 2x4 則 3 3 2 ( 2 2 4)( ) 4 b xxax b xxx 3 ( 2 ) 2 (4 ) 4 2 b b x x x b        2 3 4 4 2 b b a            b 20,a  6 故 a b  6  20  14 《另解》 1 3i為實係數方程式,x3 3x2 ax b  0 之一根,則1 3i為其另一根 設為方程式的第三根

(3)

則三根和(1 3 ) (1 3 ) 3 3 5 1 i i              ∴ 3 2 3 [ (1 3 )][ (1 3 )][ ( 5)]           x x ax b x i x i x 3 2 3 6 20 xxx  a  6,b  20 故 a b  6  20  14 ( )10.設 a、b 為實數且i 1,若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根,則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2 ax b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a  8 且 b  14 ∴ a b  6

( )11.已知i 1,a 為複數,若二次方程式 x2  ax  4  7i  0 有一根為 2  i,則另一根為何? (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2

 3i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設另一根為,則(2  i)  4  7i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i i i i i i                   ∴ 另一根為  3  2i 《註》本題並非實係數二次方程式,故兩根不一定共軛存在 ( )12.令i 1。若 1  i 為方程式 2x2  kx  6  2i  0 的一根,則 k  (A)  6 (B)  4 (C)  5  i (D)  10  2i 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1  i 為 2x2 kx  6  2i  0 的根 ∴ 2(1  i)2 k(1 i)  6  2i  0  2(2i) k(1 i)  6  2i  0  k(1 i)  6  6i 6 6 6(1 ) 6 1 1 i i k i i            故選(A) ( )13.設 f (x)為實係數三次多項式,若 f (1)  f (1  i)  0 且 f (0)  0,則下列何者正確? (A)f (  2)  0 (B)f (2)  0 (C)f (4)  0 (D)f (6)  0 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ f (x)為實係數三次多項式且 f (1 i) 0 ∴ f (1 i)  0 而 f (1) 0,可設 f (x) a(x 1)[x  (1  i)][x  (1  i)]

f (x) a(x3 3x2 4x 2)

∵ f (0) 0 且 f (0) a(0  0  0  2)  2a ∴ a  0

(A)f (  2)  a[(  2)3 3( 2)2 4( 2) 2]  30a 0

(B)f (2) a[23 3(2)2 4(2) 2] 2a 0

(4)

(D)f (6) a[63 3(6)2 4(6) 2] 130a 0 ( )14.已知 a 和 c 為實數,若複數 a  2i 為一元二次方程式 x2  2x  c  0 的一根,則 c 之值為何? (A)  4 (B)  2 (C)3 (D)5 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ a 為實數且 a 2i 為實係數方程式 x2 2x c  0 的一根 ∴ 另一根為 a 2i

兩根和:(a 2i) (a 2i)  2

1   2a  2  a  1 則兩根為  1  2i 與  1  2i 兩根積:(  1  2i)(  1  2i)  1 c c  (  1)2 22 5

( )15.已知i 1,化簡(cos sin )(cos10 sin10 ) 7 i 7 21 i 21    (A) 2 2 2  2 i (B) 1 3 2 2 i (C) 1 3 2 2 i   (D) 2 2 2 2 i   【098 年歷屆試題.】 解答 B

解析 原式 [cos( ) sin( )](cos10 sin10 )

7 7 21 21   i   i  cos( 10 ) sin( 10 ) 7 21 7 21     i    cos sin 1 3 3 i 3 2 2 i       ( )16.設i 1,已知 1 3 2 i    且2    1  0,試求(2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 1 0(即 2 1)  ( 1)( 2 1)  0   3 1  0   3 1 ∴ (2 )(2  2)  4  2 2 2 3 4  2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 ( )17.設i 1且 a、b 為實數,若 10 (cos sin ) 12 i 12 a bi  ,則b 3a (A)  1 (B)  2 (C)1 (D)2 【096 年歷屆試題.】 解答 D

解析 (cos sin )10 cos10 sin10

12 12 12 12      a bii   i  cos5 sin5 6 6   i  3 1 2 2    i 即 3 2 a  , 1 2 b ∴ 3 1 3( 3) 2 2 2 ba    ( )18.若為方程式 x2  x  1  0 之一複數根,則2005  (A)  1 (B)1 (C)   (D) 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ 為 x2 x  1  0 之一複數根   2 1 0 ( 1)( 2 1) 0   3 1 0,即 3 1 ∴  2005 ( 3)668 1668

(5)

( )19.已知i 1,則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根? (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i ii        44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         (其中 k  0, 1) 即 0 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i ( )20.已知i 1,則( 3i)10 (A)2 (19  3 )i (B)2 (19  3 )i (C)2 ( 39 i) (D)2 ( 39 i) 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 (1)先求 3i的極式 (2)再用(1)求( 3i)10 (1) 3 2( 3 1) 2(cos30 sin 30 ) 2 2 i i i         其中 2 2 2 ( 3) 1  4 | |z

(2)( 3i)10[2(cos30 isin 30 )] 102 (cos30010  isin 300 )

1024[cos 60 ( sin 60 )] 1024(1 3 ) 2 2 i i        9 512(1 3 )i 2 (1 3 )i    

( )21.已知i 1。若 z  cos78  isin78,則 z15  (A)  i (B)  1 (C)i (D)1

【100 年歷屆試題.】

解答 C

解析 z15 (cos78 isin78)15 cos(15  78)  isin(15  78)

 cos1170 isin1170 cos(3  360 90)  isin(3  360 90)  cos90 isin90 0  i i ( )22.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    , 2 2 cos sin 3 3 z   i     ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    5 5 cos 4 sin 4 3 i 3          20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3                  2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z   i     cos 2 3 isin 2 3            2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z  ( )23.已知z1 3iz2  1 i,其中i 1,則 2 4 1 2

(6)

(C)16 cos 60

 isin 60

(D)16 cos120

 isin120

【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式: 令

 

x y, 

 

3,1 ,如圖:

 

2 2 3 1 2 r   ,  30 則z12 cos 30

 isin 30

(2)z2  1 i的極式: 令

   

x y,  1,1 ,如圖: 2 2 1 1 2 r   , 45 則z2  2 cos 45

 isin 45

由(1)和(2):

2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z   i    4 cos 60

 isin 60

 

4

4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z   i    4 cos180

 isin180

z z12 24   4 4 cos 60

 180 

isin 60

 180

16 cos 240 isin 240     ( )24.設 1 3 2 i   ,則 107 1    (A) 1 (B) (C) 2  (D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i    ∴ 3 1   且 2 1 0     (1)107 3 35 2  3 35 2

 

3 3521352 2 (2)2   1 0    1 2 故 107 2 2 1 1       ( )25.已知i 1且a、 b 為實數,若(2i a)

bi

15 5 i ,則a b (A) 4 (B)  6 (C) 8 (D)10 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (2i a)( bi) 15 5  i

(7)

 15 5 5(3 ) 2 2        i i a bi i i 5(3 )(2 ) (2 )(2 )      i i i i 2 2 2 5(6 3 2 ) 2 1      i i i 5(7 ) 7 5   i  ia7,b 1,故a    b 7 ( 1) 6

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