1113 複數解答

1113 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1且複數 z 的主輻角記作 Arg(z)，0  Arg(z)  2，試求 Arg( 3 i) (A) 6  (B)5 6 (C) 7 6 (D) 11 6 解答 B 解析 ∵ | 3 | ( 3)2 12 2 3 2( 3 1 ) 2 2   i        i  i 即cos 3 2    ，sin 1 2  但 0  2（∵ 0  Arg(z)  2） 5 6     ∴ Arg( 3 ) 5 6 i     （ ）2.已知i 1，且 a、b 為實數，若1 3 1 i a bi i     ，則 a  b  (A)  3 (B)  1 (C)1 (D)3 【091 年歷屆試題.】 解答 A【096 年歷屆試題.】 2 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 4 3 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 1 2 i i i i i i i i i a bi i i i i  _   _    _   _  _{    }      ∴ a  1，b  2 故得 a  b  3 （ ）3.已知i 1，則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 解析 (1  i)6 [(1  i)2]3 (  2i)3 8i3 8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i i  i      

_{2 (cos}3 21 _sin21 _{) 8(cos sin ) 8(0 1) 8}

2 i 2 2 i 2 i i             （ ）4.已知 a、b 為實數，i 1。若₍ 3 ₎8 1 i a bi i  _{ }  ，則 a 2 _{ b}2 _{ (A)16 (B)64 (C)256 (D)1024} 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ ( 3 )8 1 i a bi i  _{ }  ∴ 8 3 | ( ) | | | 1 i a bi i  _{ }  而 2 2 8 8 8 8 2 2 ( 3) ( 1) 3 3 | 3 | | ( ) | | | ( ) ( ) 1 1 |1 | _{1 ( 1)} i i i i i i    _  _  _    _{ } 2 8 8 2 4 4 ( ) ( 2) [( 2) ] 2 16 2     

且_{|a bi} _| _a2_b2_，因此 2 2 16

a b  ，故 a2

b2 162 256

（ ）5.已知i 1，則複數(3  2i)(4  5i)的實部為何？ (A)2 (B)7 (C)9 (D)22

【093 年歷屆試題.】

解答 D

解析 (3  2i)(4  5i)  [3  4  (  2)  5]  [3  5  (  2)  4]i  22  7i ∴ (3  2i)(4  5i)的實部為 22 （ ）6.設









5 124 3



12 53 4



i i z i i      ，i 1，則 z 之值為何？ (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析









5 124 3



12 53 4



i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     





 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13    

（ ）7.設i 1且 a 與 b 為兩實數，若(a  bi)(1  3i)  8  4i，則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a  bi)2 (2  2i)2 4  8i  4i2 8i （ ）8.設i 1，試求(  i)8  (  i)7  (  i)6  (  i)5  (  i)4  (  i)3  (  i)2  (  i)  1  (A)2  5i (B)2  5i (C)  5  2i (D)5  2i 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (  i)2 _i 2 _1；(  _i)3 _i 3 _i 2 _i  ₍  ₁₎  _i  _i；(  _i)4 _i 4 ₁ (  i)5 i 5 i 4 i  (  1)  i  i；(  i)6 i 6 i 4 i 2 1  (  1)  1 (  i)7 i 7 i 4 i 3 1  (  i)  i；(  i)8 i 8 i 4 i 4 1  1  1 ∴ (  i)8 (  i)7 (  i)6 (  i)5 (  i)4 (  i)3 (  i)2 (  i)  1  1  i  (  1)  (  i)  1  i  (  1)  i  1  1  i  1  i  1  i  1  i  1  5  2i （ ）9.已知i 1，且 a、b 均為實數。若1 3i為方程式 x3 _{ 3x}2 _{ ax  b  0 的一根，則 a  b  (A)  4 (B)  2 (C)8 (D)14} 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 3i為 x3 _3x2 _ax  _b  _{0 的一根，且 a、b 均為實數} 1 3   i也是 x3_ 3x2 ax  b  0 的根 而 2 [x (1 3 )][i x (1 3 )]i x 2x4 則 3 ₃ 2 ₍ 2 _{2 4)( )} 4 b x  x ax b x  x x 3 _{( 2 )} 2 _{(4 )} 4 2 b b x x x b        2 3 4 4 2 b b a            b  20，a  6 故 a  b  6  20  14 《另解》 1 3i為實係數方程式，x3 3x2 ax  b  0 之一根，則1 3i為其另一根 設為方程式的第三根

則三根和(1 3 ) (1 3 ) 3 3 5 1 i i              ∴ 3 2 3 [ (1 3 )][ (1 3 )][ ( 5)]           x x ax b x i x i x 3 2 3 6 20 x  x  x  a  6，b  20 故 a  b  6  20  14 （ ）10.設 a、b 為實數且i 1，若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根，則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2_ ax  b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a  8 且 b  14 ∴ a  b  6

（ ）11.已知i 1，a 為複數，若二次方程式 x2 _{ ax  4  7i  0 有一根為 2  i，則另一根為何？ (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2}

 3i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設另一根為，則(2  i)  4  7i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i i i i i i                   ∴ 另一根為  3  2i 《註》本題並非實係數二次方程式，故兩根不一定共軛存在 （ ）12.令i 1。若 1  i 為方程式 2x2  kx  6  2i  0 的一根，則 k  (A)  6 (B)  4 (C)  5  i (D)  10  2i 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1  i 為 2x2 kx  6  2i  0 的根 ∴ 2(1  i)2 k(1  i)  6  2i  0  2(2i)  k(1  i)  6  2i  0  k(1  i)  6  6i 6 6 6(1 ) 6 1 1 i i k i i            故選(A) （ ）13.設 f (x)為實係數三次多項式，若 f (1)  f (1  i)  0 且 f (0)  0，則下列何者正確？ (A)f (  2)  0 (B)f (2)  0 (C)f (4)  0 (D)f (6)  0 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ f (x)為實係數三次多項式且 f (1  i)  0 ∴ f (1  i)  0 而 f (1)  0，可設 f (x)  a(x  1)[x  (1  i)][x  (1  i)]

 f (x)  a(x3 _3x2 _4x  ₂₎

∵ f (0)  0 且 f (0)  a(0  0  0  2)  2a ∴ a  0

(A)f (  2)  a[(  2)3 ₃₍  ₂₎2 ₄₍  ₂₎  _2]  _30a  ₀

(B)f (2)  a[23 ₃₍₂₎2 ₄₍₂₎  _2]  _2a  ₀

(D)f (6)  a[63 ₃₍₆₎2 ₄₍₆₎  _2]  _130a  ₀ （ ）14.已知 a 和 c 為實數，若複數 a  2i 為一元二次方程式 x2  2x  c  0 的一根，則 c 之值為何？ (A)  4 (B)  2 (C)3 (D)5 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ a 為實數且 a  2i 為實係數方程式 x2 2x  c  0 的一根 ∴ 另一根為 a  2i

兩根和：(a  2i)  (a  2i)  2

1   2a  2  a  1 則兩根為  1  2i 與  1  2i 兩根積：(  1  2i)(  1  2i)  1 c  c  (  1)2 22 5

（ ）15.已知i 1，化簡(cos sin )(cos10 sin10 ) 7 i 7 21 i 21    _{ } (A) 2 2 2  2 i (B) 1 3 2 2 i (C) 1 3 2 2 i   (D) 2 2 2 2 i   【098 年歷屆試題.】 解答 B

解析 原式 [cos( ) sin( )](cos10 sin10 )

7 7 21 21   i   i  cos( 10 ) sin( 10 ) 7 21 7 21     i    cos sin 1 3 3 i 3 2 2 i       （ ）16.設i 1，已知 1 3 2 i    且2    1  0，試求(2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 ₁  _0（即 2 _1）  ( 1)( 2 1)  0   3 1  0   3 1 ∴ (2 )(2  2)  4  2 2 2 3 4  2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 （ ）17.設i 1且 a、b 為實數，若 10 (cos sin ) 12 i 12 a bi  _  _{ } ，則b 3a (A)  1 (B)  2 (C)1 (D)2 【096 年歷屆試題.】 解答 D

解析 (cos sin )10 cos10 sin10

12 12 12 12      a bi  i   i  cos5 sin5 6 6   i  3 1 2 2    i 即 3 2 a  ， 1 2 b ∴ 3 1 3( 3) 2 2 2 b a    （ ）18.若為方程式 x2  x  1  0 之一複數根，則2005  (A)  1 (B)1 (C)   (D) 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ 為 x2 x  1  0 之一複數根   2 ₁  ₀  ₍ ₁₎₍ 2 ₁₎  ₀   3 ₁  _0，即 3 ₁ ∴  2005 ₍ 3₎668 ₁668

（ ）19.已知i 1，則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根？ (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i i  i        44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         （其中 k  0, 1） 即 ₀ 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i （ ）20.已知i 1，則_{( 3}_i)10 _{(A)2 (1}9  _{3 )i (B)2 (1}9  _{3 )i (C)2 ( 3}9 _{i) (D)2 ( 3}9 _i) 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 (1)先求 3i的極式 (2)再用(1)求_{( 3}_i)10 (1) 3 2( 3 1) 2(cos30 sin 30 ) 2 2 i i i         其中 2 2 2 ( 3) 1  4 | |z

(2)( 3i)10[2(cos30 isin 30 )] 102 (cos30010  isin 300 )

1024[cos 60 ( sin 60 )] 1024(1 3 ) 2 2 i i        9 512(1 3 )i 2 (1 3 )i    

（ ）21.已知i 1。若 z  cos78  isin78，則 z15  (A)  i (B)  1 (C)i (D)1

【100 年歷屆試題.】

解答 C

解析 z15 (cos78 isin78)15 cos(15  78)  isin(15  78)

 cos1170 isin1170 cos(3  360 90)  isin(3  360 90)  cos90 isin90 0  i  i （ ）22.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   ， 2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   ，則 1 2 z z 之值為何？ (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   5 5 cos 4 sin 4 3 i 3      _  _ _  _     20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3          _   _ _   _     2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   cos 2 3 isin 2 3        _  _ _  _     2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z₁z₂ ∴ 1 2 1 z z  （ ）23.已知z₁ 3i，z₂  1 i，其中i 1，則 2 4 1 2

(C)16 cos 60



 isin 60



(D)16 cos120



 isin120



【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式： 令

 

x y, 

 

3,1 ，如圖：

 

2 2 3 1 2 r   ，  30 則z₁2 cos 30



 isin 30



(2)z2  1 i的極式： 令

   

x y,  1,1 ，如圖： 2 2 1 1 2 r   ， 45 則z₂  2 cos 45



 isin 45



由(1)和(2)：









2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z  _   i   _ 4 cos 60



 isin 60



 

4









4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z  _   i   _ 4 cos180



 isin180



故z z₁2 ₂4   4 4 _cos 60



 180 



isin 60



 180



_





16 cos 240 isin 240     （ ）24.設 1 3 2 i   ，則 107 1    (A) 1 (B) (C) 2  (D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i    ∴ 3 1   且 2 1 0     (1)107 3 35 2  3 35 2

 

3 3521352 2 (2)2   1 0    1 2 故 107 2 2 1 1       （ ）25.已知i 1且a、 b 為實數，若(2i a)



bi



15 5 i ，則a b (A) 4 (B)  6 (C) 8 (D)10 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (2i a)( bi) 15 5  i

 15 5 5(3 ) 2 2        i i a bi i i 5(3 )(2 ) (2 )(2 )      i i i i 2 2 2 5(6 3 2 ) 2 1      i i i 5(7 ) 7 5   i  i 則a7，b 1，故a    b 7 ( 1) 6