Unit 17 四邊形的幾何推理

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, , : -1 -1 2 2 : , 4 3 , : 4 4 -1 3 3 -1 18 2 2 m n m m n n eg   =    =  = 假設有一組平行線有 條 另一組平行線有 條 可決定 平行四邊形的個數 有兩組平行線 各有 條與 條平行線 可決定 平行四邊形的個數 個 Unit 17 四邊形的幾何推理 能力指標:◎(S-4-01)能根據給定的性質作局部推理。 ◎(S-4-04)能根據性質瞭解某些圖形間的包含關係。 ◎ (S-3-01)能使用形體的性質描述某一類形體。 ◎(S-3-02)能指出合於所予性質的形體。 ◎(S-3-05)能利用形體解決幾何問題。 能力一:四邊形的性質 一、平行四邊形家族(平行四邊形、正方形、矩形、菱形) (一)平行四邊形 定義:兩雙對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 性質:(1)任一對角線將平行四邊形分為兩個全等的三角形。 (2)兩組對邊相等。 (3)兩組對角相等。 (4)兩對角線互相平分。 判別:(1)兩雙對邊互相平行。 (2)兩雙對邊相等。 (3)兩雙對角相等。 (4)對角線互相平分。 (5)一組對邊平行且相等。 其它:平行四邊形面積=底×高 平行四邊形個數: (二)菱形 定義:四邊相等的四邊形叫做菱形。 性質:(1)對角線平分其頂角。 (2)對角線互相垂直平分。 (3)四邊相等。 判別:菱形與正方形的判別在於,正方形四個角皆為直角。 其它:假設菱形的對角線長為 a、b。 (1)菱形面積= 1 2 a b  (2)菱形周長=2 a2 +b2

(2)

二、特殊四邊形家族(鳶形、梯形) (一)鳶(筝)形 定義:兩雙鄰邊相等的四邊形。 性質:兩對角線互相垂直,其中一對角線被另一對角線所平分。 判別:鳶形與菱形的判別在於鳶形的兩對角線不互相平分,且不是四邊都等長。 其它:鳶形面積=對角線的乘積 1 2  (二)梯形 定義:一組對邊平行,而另一組對邊不平行的四邊形。 性質:以等腰梯形為例:(1)兩底角相等。(2)兩腰相等。(3)兩對角線相等。 判別:(1)梯形的中線平行於兩底,且其長等於兩底和的一半。 (2)梯形兩對角線中點所成的線段平行於兩底,且其長等於兩底差的絕對 值之半。 其它:梯形面積=

(

+

)

1 2   上底 下底 高 三、四邊形的家譜(文氏圖) 【平行四邊形的角度、周長與面積】 講解一: 如圖,已知平行四邊形 ABCD 中,對角線ACBD交於 O 點,若∠BAD 的兩 倍比∠ABC 的三倍多 85 ,且AC =8cm BD, =10cm, ∠AOB= 60 ,請問: (1)∠BCD-∠ADC=?(2)平行四邊形 ABCD 的面積為何?

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) 1 3 85 2 , 180 , 3 85 2 180 , 55 125 55 70 2 ,

sol BAD ABC ABC BAD

ABC ABC

BCD ADC BAD ABC

AH BD AOH = +   + =  +   =  =  − = − =  −  =  ⊥ ∠ ∠ ∵∠ ∠ ∴∠ABC+ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 做輔助線 在△ 中,

(3)

練習一: 如圖,ABCD 為平行四邊形,AE BC⊥ ,若AE=12cm CD, =13cm, 且 2 51 AOD = cm 且△ 面積 ,請問 ABCD的周長為何

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2 ) 4 4 51 204 204 12 17 , 2 17 13 60

sol ABCD AOD cm

BC cm ABCD cm = =  = =  = =  + = 面積 △ 面積 周長 【菱形的周長與面積】 講解二: 假設菱形的周長為 60 公分,兩對角線長為 18 公分與 x 公分,請問 x=?

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2 2 2 2 2 2 ) 15 , 2 81 225, 144, 576, 24 4 4 x sol x x x x      +  =     + = = = =  18 菱形的一邊長=60 4=15, 根據商高定理 2 負不合 練習二:

如圖,ABCD 為菱形,E 點為BC的中點,若OF 的長為 5 公分,菱形 ABCD 面 積為 1080 平方公分,請問此菱形的周長為何呢? 2 2 2 2 ) 3 15, 30 1 1080, 2160, 2160 30 72 2 ABCD =2 2 30 72 156 sol BO AE ABC BO OF BD AC BD AC BD AC AC BD = =  =   =  = =  = + = + = ∵ 與 皆為 之中線, ∴ ∵ ∴ 菱形 周長 公分 【梯形與鳶形】 講解三: 如圖,鳶形 ABCD 中,AB= AD=12,BC =CD=10,且∠BAD =60,請問鳶 形 ABCD 的面積為何呢?

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)

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2 2 2 ) , 60 , , 12, , 6 3, 10 6 8, 6 3 8, 2 6 12 12 6 3 8 2 36 3 48

sol ABD AB AD BAD ABD

AB AD BD ABO AO BOC CO AC AO CO BD =  =   = = = = = − = = + = + =  = = +  = + △ 中, ∵ △ 為正三角形 在直角△ 中依照商高數比例可知 在△ 中, ∴ 鳶形面積 單位

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(

)

) 360 180 48 132 , 48 sol  =C  −  +  =  ABC =  練習三: 如圖,梯形 ABCD 中,AB CD AC, ⊥ BC AD, =BC=15

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cm ,AB=25

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cm , 請問梯形 ABCD 的面積為何呢?

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2 2 2 2 2 ) CH, , AB, 25 15 20, 15 20 25 12, 15 12 9, 1 25 18 7, 7 25 12 192 2 sol DE AC CH AE BH HE cm = − = =   = = = − = = = − = = +   = 做輔助線 分別垂直 ∴ CD 梯形面積 【十分鐘即時練習】 (B)1.一等腰梯形腰長 l3 公分,高 12 公分,上底長 8 公分,則其面積為多少 平方公分?(A)165(B)156(C)184(D)148(平方公分)。 (C)2.如右圖,等腰梯形 ABCD,AD BC AB, =CE =CD BE, =CF

∠ADC=110 ,∠DAE=60 ,請問∠DFE=?(A)100 (B)110 (C) 120 (D)130 。 (C)3.若「四邊等長的四邊形稱為菱形」,則下列哪一個四邊形不一定是菱形呢? (A)4.若 ABCD 為平行四邊形,AB= +x y BC, = −x 2y+40, CD=2x− , 18 3 AD= +x y,請問 ABCD 的周長為何呢?(A)168(B)186(C)164 (D)146(單位)。 (D)5.如圖,ABCD 為平行四邊形,分別在BC CD 上取 P、Q 兩點,使得∠, APC 與∠AQC 互補,若∠PAQ =48,請問∠ABC 的度數為何呢?(A)

(5)

能力二:中點連線的性質 一、三角形的中點連線性質 如圖,在△ABC 中,D 點、E 點分別是ABAC的中點,則有下列性質: (1) DE BC (2) 1 2 DE= BC(3) =1 4 ADE ABC △ 面積 △ 面積 。 二、梯形中點連線性質 如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC ,E 點、F 點分別是ABDC的中點,則有 下列性質:(1) AD EF BC (2) 1

(

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2 EF = AD+BC 。 三、四邊形中點連線性質 如圖,任意四邊形 ABCD,其各邊中點為 P、Q、R、S,則有下列性質: (1)□PQRS 必為平行四邊形(2)□PQRS 的周長=AC+BD(3)□PQRS 的 面積=1 2□ABCD面積 。 四、四邊形綜合性質歸納 【三角形中點連線性質】 講解一: 如圖,△ABC 中,D、E 將AB平均三等分,且 DP EQ BC ,請問甲、乙、丙 的面積比為何呢? 連接各邊中點 角平分線圍成 平行四邊形 平行四邊形 矩 形 正 方 形 正 方 形 無 矩 形 菱 形 正方形 菱 形 矩 形 無 鳶 形 矩 形 無 等 腰 梯形 菱 形 鳶形 構成 四邊形

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2 2 2 2 2 2 2 2 ) , 1, , : : 1 : 2 1: 4 , : : 2 : 3 4 : 9 : : 1: 4 -1 : 9 4 1: 3 : 5 sol D E AB AD DE EB DP AEQ ADP AEQ AD AE AEQ ABC AE AB = = = = = = = = = = − = ∵ 將 平均三等分, ∴假設 ∵由圖可知 為△ 的中點連線, ∴△ △ 同理 △ △ 甲 乙 丙 練習一: 如圖,BD= DE=EF =FC, LD KE JF AC , GF HE ID AB ,已知 9 AB =BC =8、AC =7,請問斜線面積所有三角形周長的總和為多少呢?

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) 6 6 6 6 6 6 4 4 4 3 3 24 36 2 2 BC AC AB sol JI LD GF AB BC AC = + + =  +  +  = + + =  = 周長總和 單位 【四邊形中點連線性質】 講解二: 如圖,平行四邊形 ABCD,E、F、G、H 分別是OA OB OC OD 的中點,假設, , , 6, 10 AB= AD= ,請問(1)四邊形 EFGH 的周長為何呢?(2)EFGH 面積與 ABCD 面積的比值為何呢?

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2 2 1 1 ) 1 3, 5, 2 3 5 16 2 2 2 = , : 16 : 32 1: 2 1 : 1 : 2 1: 4 4 sol EF AB EH AD EFGH EFGH ABCD EFGH ABCD = = = = = + = = =  = = = ∴ 周長 單位 ∵面積比 邊長的平方比=周長的平方比 ∴ 周長 周長 面積 面積 練習二:

假設菱形 ABCD 的周長為 32 公分,∠A=120,請問菱形 ABCD 四邊中點 P、Q、 R、S 所連成的四邊形 PQRS 的周長與面積為何呢?

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2 2 ) 4, 4 3 8 8 3 1 8 8 3 32 3 2 1 32 3 16 3 2 sol AO BO PQRS AC BD cm ABCD cm PQRS cm = = = + = + =   = =  = ∵由商高數的比例可知 的周長 的面積 的面積 【十分鐘即時練習】 (B)1.依序連接一等腰梯形四邊中點所圍成的四邊形為下列何者呢?(A)正 方形(B)菱形(C)矩形(D)等腰梯形。 (A)2.如圖,△ABC 中,AD=DF =PF =BP AE, =EQ=QR=CR,若BC =12, 則 DE FQ PR+ + = ?(A)18(B)20(C)22(D)24。 (B)3.如圖,ABCD 為一梯形, AB CD,若 E、F 分別為兩腰 AD BC與 之中點, GH為此梯形的高,則下列哪一個選項可表示為梯形 ABCD 的面積呢? (A)AB GH (B)EFGH(C)

(

AB+CD

)

GH(D)

(

AD+BC

)

GH(D)4.如圖,四邊形 ABCD 中, ACBD於 ,又 E、F、G、H 為P ABBCCDDA的中點,若AC =8, BD= ,則四邊形 EFGH 的面積為何呢?6 (A)41(B)14(C)21(D)12(平方單位)。 (C)5.平行四邊形 ABCD 中,作∠A、∠B、∠C、∠D 的內角平分線,交於 P、 Q、R、S 四點,如圖,則四邊形 PQRS 一定是下列哪一種圖形?(A)正 方形(B)菱形(C)矩形(D)等腰梯形。

(

)

) , 180 , 1 1 2 90 , 90 , 2 , 90 ,

sol AD BC DAB ABC

DAB ABC SPQ APB

Q S SRQ PQRS   +  =   +  =  +  =   =  =   =  =  =  ∵ 同理 ∴ 為矩形

(8)

【基本觀念題】 (A)1.四邊形 ABCD 滿足下列何種條件時,才能確定其為平行四邊形呢? (A)∠A=∠C, 且AB CD(B)∠A=∠ 且∠B, C =∠D(C) , AD AB=CDBC(D)∠A+∠B=∠C+∠D=180。 (D)2.如右圖,ABCD 為平行四邊形,∠BCD為鈍角, ACBD相交於 點 ,O

則下列哪一個敘述不正確呢?(A) ABC△ △CDA(B)∠BAD=∠DCB (C)AB=CD(D)AC=BD。 (C)3.三梯形其對應高比為 1:2:3,其對應中線比為 2:3:5,請問其面積比 為何呢?(A)1:2:3(B)1:4:9(C)2:6:15(D)4:9:25。 (C)4.下列作圖法何者無法將平行四邊形 ABCD 分成二等分呢?(A)作對角 線BD的垂直平分線交一組對邊於兩點(B)過對角線交點 O,作一直線 交一組對邊於兩點(C)作∠A 的平分線(D)連接對角線AC。 (B)5.如右圖,平行四邊形 ABCD 中∠1=∠2,∠E=40,請問∠3+∠4+∠C=? (A)210 (B)220  (C)230 (D)240 。 (A)6.如右圖,有兩個透明的滑鼠墊其形狀為平行四邊形,今將其一部分重疊, 得四邊形 PBQH,已知∠1=50 , 2∠ =120 , 3∠ =65,請問∠B 的度數為 何?(A)55 (B)60  (C)65 (D)70 。 (D)7.如右圖,ABCD 為一菱形,AC為對角線,∠1=55,請問∠B+∠3-∠2=? (A)55 (B)60  (C)65 (D)70 。 (B)8.如右圖,ABCD 為一梯形,已知上底AD =2,下底BC =7,兩腰各為 3, 4 AB= CD= ,請問此梯形的高為何呢?(A)13 5(B) 12 5(C) 13 4(D) 7 4。

(9)

形(B)矩形(C)鳶形(D)菱形。 【溫故歷屆基測試題】 (C)1.圖(一),四線段構成一漏干的剖面圖,其中管子的內部寬度為 4 公分。 已知水滿時,水面到漏斗頸的高為 6 公分,水面寬度為 12 公分。若水位 下降 3 公分,如圖(二),則水面的寬度為多少公分?(A)6(B)7(C) 8(D)9(公分)。【94.基測(1)】

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) (

)

1 ) , , 4 12 8 2 solP Q為兩腰之中點 ∴PQ=水面寬=梯形ABCD的中線= + = 公分 (A)2.圖為一正六邊形 ABCDEF,P、Q 分別是AFBC的中點。若連接 PQ , 則四邊形 APQB 的面積佔此正六邊形面積的幾分方幾呢?(A) 5 24(B) 6 24(C) 7 24(D) 11 48。【94.基測(2)】

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3 ) FC, AB 2 , 2 2 , 2 3 3 5 7 : : 2 : 5 : 7, 2 2 2 2 : 5 : 5 7 5 :12 5 : : 12 2 5 : 24 24 a sol a FC a PQ a a a a a a APQB PFCQ a a APQB AFCB APQB =  = = +  =     = +   + = =     = + =  = = 連接 令 □ 面積 □ 面積 □ 面積 □ 面積 □ 面積 正六邊形面積=5

(C)3.如圖,四邊形 ABCD 為平行四邊形,ED FG,D =75,∠ABE =25, 求∠GFB+∠GCB=?(A)155 (B) 210(C) 235 (D) 270 【93. 基測(1)】 ) 75 25 50 , 75 , 360 - - 360 - 50 - 75 235 sol FBC FGC GFB GCB FBC FGC =  −  =  =   +  =    =    =  ∵∠ ∠ ∴ (C)4.如圖,四邊形 ABCD 為一正方形,E、F、G、H 為四邊中點,若 M 為EH 中點,MF = 4,則△MFG 的面積為何呢?(A)2 3(B)4 3(C)32 5 (D)32 9 。【93.基測(2)】

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)

2 2 2 2 2 2 2 1 5 64 ) , 4 , 16, , 2 4 5 1 1 32 2 2 5 sol EF EH x x x x x MFG EFGH x   = = + = = =    = = = 設 △ 面積 面積 單位 (B)5.如圖,A、D、P、R 在直線L 上,B、C、Q 在直線1 L 上。若2 L1 L ,四2

邊形 ABCD 及 ABQP 均為等腰梯形,△PQR 為等腰三角形,則梯形 ABCD 的面積為何?(A) 4 8 (B) 5 8 (C)15(D)18。【93.基測(2)】

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)

(

)

2 2 1 2 2 ) , 3 1 8, 2 6, 4, 1 4 6 8 5 8 2 sol L L AD PR BC AD AD ABCD = − = + =  + = = = +  = 的距離 梯形 面積 單位 (B)6.如圖,梯形 ABCD 中,AD BC CD, ⊥BC,其中AD =1、BC =4、CD =8。 今自 B 點剪出BN,使得BN將梯形分成兩塊面積相等的圖形。若 N 在CD 上,則DN=?(A)1(B)3(C)4(D)5。【93.基測(2)】

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(

)

1 ) 1 4 8 20, 10, 2 1 4 10, 5, 8 5 3 2 sol ABCD BCN BC CN CN CN DN +  = =  =   = = = − = 1 梯形 面積= △ 面積 2 單位 (A)7.如圖,ABCD 為一矩形,過 D 點作直線 L 與AC平行,再分別自 A、C 作直線與 L 垂直,垂足為 E、F。若圖中兩塊灰色部分面積和為 a,△ABC 的面積為 b,則 a:b=?(A)1:1(B)1: 2(C)1: 3 (D)1: 2 。【91. 基測(1)】 1 ) = 2

sol 灰色部分面積 ACFE面積=△ACD面積=△ABC面積, a:b=1:1

(D)8.如圖,梯形 ABCD 中,AD BC AB, DC。請問下列哪一種作圖法, 可將梯形分割為兩個面積相等的圖形?(A)連接AC(B)作BC的中垂

(11)

(

)

(

)

1 1

2 ACFE ACD 2 ABCD ABC

=  = =  = 灰色部分面積 □ 面積 △ 面積 □ 面積 △ 面積, ∴ a=b, a:b=1:1 (A)9.在直徑為 a 的圓上依逆時針方向取 A、B、C、D 四點,已知 AB DC , ABDC,且ACBD交於 點 。請問下列哪一個選項是正確的?(A)P AC =BD(B)AP=CP(C)AC =a(D)1

(

)

2 AB+CD = 。【91.基測a (2)】 )

solAB CD BC=AD BC AD= ,故 ABCD 為等腰梯形。∴ AC =BD。 (A)10.如右圖,ABCD 為一矩形,過 D 點作直線 L 與AC平行後,再分別自 A、 C 作直線與 L 垂直,垂足為 E、F。若圖中兩塊灰色部分的面積和為 a, △ABC 的面積為 b,則 a:b=? sol) 【模擬學力基測試題】 (C)1.如右圖,設 P 點為平行四邊形 ABCD 內部一點,已知△PAB、△PBC、 △PAD 之面積為 7、6、5,請問△PCD 的面積為何呢?(A)2(B)3 (C)4(D)5。

Sol) 通過 P 點作AD之平行線交 AB DC與 於 Q、O 兩點,則△OPD+△PQA=△DPA (同底等高),同理,△OPC+△PQB=△PBC,△DPC=5+6-7=4。 (B)2.如右圖,ABCD 為平行四邊形,E、G 分別為ADBC的中點,若平行 四邊形 ABCD 的面積為 120 平方公分,請問四邊形 EHGF 面積為何呢? (A)20(B)30(C)40(D)50。 sol) 連接EG,則四邊形 EHGF 面積=1 4 ABCD 面積 (D)3.如右圖所示,梯形 ABCD 中,BC AD AD且 ⊥ x軸,CD⊥ 軸,y AD =8, 6 BC = ,此梯形面積為 63 平方公分,假設 A 點座標為(-3, -7),請問 B 點的座標(a, b),具有下列何種關係呢?(A)a+  (B)b 0 ab 0 (C) a b (D) 2a b− 是質數。

(12)

面積分別為 a、b、c 與 d,請問下列敘述何者錯誤呢?(A)a=b(B) a=d(C)b=a+c(D)b=c+d。 (C)5.菱形的兩對角線長分別為 24 及 10,若以四邊中點連接而成的四邊形其對 角線長的何為多少呢?(A)18(B)22(C)26(D)30。 (A)6.如右圖,ABCD 為梯形,E、M、G 分別四等分AB,且 AD EF MN GH BC ,假設AD=4, BC = ,請問8 EF+MN+GH =?(A)18(B)22(C)26(D)30。 sol)

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(

)

1 1 6, , 2 2 2 12, 6 12 18 MN AD BC MN EF GH EF GH MN EF MN GH = +  = = +  + = = + + = + = (D)7.如右圖,∠ABC= 90 ,以AC為邊作一正方形 ACDE,O 點為兩對角線 之交點,假設AB =8,AC =6,請問△AOC 的面積為何呢?(A)22 (B)23(C)24(D)25。 (B)8.下列敘述何者錯誤呢?

(A) 假設平行四邊形具有性質 A,則菱形也具有性質 A。 (B) 假設長方形具有性質 B,則平行四邊形也具有性質 B。 (C) 假設長方形具有性質 C,則正方形也具有性質 C。 (D) 假設菱形具有性質 D,則正方形也具有性質 D。 (D)9.如右圖,在平行四邊形 ABCD 中,AB =10,BC =6,AP =7,BQ = ,4 2.5 CR =SD =3,請問斜線部分面積為何呢?(A)20(B)22(C) 24(D)以上皆非。 (B)10.如右圖,梯形 ABCD 中, AD BC ,兩邊中點連線長EF =14,且 : 2 : 5 AD BC = ,請問GH為何呢?(A)5(B)6(C)7(D)8。 【進階練習題】

(13)

1 2 1 1 1 5

, 1 4

3 3 2 9 9 9

EHC= FDE = HBG= GFA=   = EFGH = −  =

  △ △ △ △ □ (A)36 3 2 + (B)34 3 2 + (C)32 3 2 + (D)30 3 2 + (平方單位)。 Sol) 兩正方形重疊的面積=1 42 4, 4 = =16 3-4-4-4+ 3 2 36 3 4 2   = + 三個正方形所佔據的面積 (D)2.下列哪一條直線 L 不一定可以把平行四邊形 ABCD 的面積平分呢?

(B)3.如圖,ABCD 為正方形,BDEF 為長方形,BDGH 為平行四邊形,A 點 在EF上,H 點在CG上。設正方形 ABCD、長方形 BDEF、平行四邊形 BDGH 的面積為 a、b、c,請問其面積的大小關係為何呢?(A)a b c (B) a=b=c (C) a  (D) a b cb c  = 。 (D)4.如圖,鳶形 ABCD 的面積為 18,AB= AD , AE=ED OF, =1, OB= ,2 請問鳶形 ABCD 的周長為何呢?(A)2 13 3 5+ (B)3 13 4 10+ (C) 2 17+4 15(D) 2 13 4 10+ 。 (C)5.如圖,平行四邊形 ABCD 的面積為 1,取各邊三等分點 E、F、G、H 聯 成四邊形,請問此四邊形 EFGH 的面積為何呢?(A)2 3(B) 4 9(C) 5 9 (D)7 9。 sol)

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