第一部分：選擇題

第 一 部 分 ： 選 擇 題 壹 、 單 一 選 擇 題

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1. 在 230 與 240 之間共有多少個質數？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個

2. 方程式 x⁴+2x²-1=0 有多少個實根？

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4

3. .下列圖形有一為雙曲線，請將它選出來。

(1) (2) (3)

(4) (5)

4. 如圖所示，在坐標平面上，以原點(0,0)為頂點，且通過(2,2),(-2,2)的拋物線，它的焦點 坐標為

(1) (0, 0.5) (2) (0, 1) (3) (0, 1.5) (4) (0, 2) (5) (0,4)

5. 九十年度大學學科能力測驗有 12 萬名考生，各學科成績採用 15 級分，數學學科能力測驗成績

分佈圖如下圖。請問有多少考生的數學成績級分高於11 級分？選出最接近的數目。

(1) 4000 人 (2) 10000 人 (3) 15000 人 (4) 20000 人 (5) 32000 人

2 4 6 8 10 12 14 16

0

人 數 百 分 比

級 分

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

90學年度數學學科能力測驗成績分佈圖

y

(0,0) x

(2,2) (-2,2)

6. 如圖

45 45

A

B D E C

∆ABC 中，BC 邊上兩點 D、E 分別與 A 連線。假設∠ACB=∠ADC=45°，三角形 ABC, ABD, ABE 的外接圓直徑分別為 c,d, e。試問下列何者為真？

(1) c<e<d (2) d<e<c (3) e<c, d<c (4) d=c<e (5) d=c>e

貳 、 多 重 選 擇 題

說明：第 7 至 12 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡 之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可 獲 2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。

7. 關於雙曲線x² − y² =1，下列選項何者為真？

(1) 對稱於 y 軸 (2) 對稱於直線 x−y=0 (3) 直線 x+y=0 為一漸近線 (4) (−2,0)及(2,0)為其焦點 (5) (−1,0)及(1,0)為其頂點

8.設實數 a,b 滿足

0<a<1, 0<b<1.

則下列選項哪些必定為真？

(1) 0<a+b<2 (2) 0<ab<1 (3) -1<b-a<0 (4) 0<a/b<1 (5) |a-b|<1

9. 如圖

∆ABC 的對邊分別為 a,b,c，P 為 C 點的垂足，h 為高， BP=x, AP=y，則下列選項哪些必定 為真？

(1) b

h a C = h +

cos (2)

b y a C = x + cos

(3) cosC=cos(A+B) (4)

ab c b C a

cos 2

2 2

2 + −

=

(5) ab

xy C h −

=

2

cos

10. 平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數 m1,m2,m3，並假設m1>m2>m3 。則下列選項哪 些必定為真？

(1) m1m2= –1 (2) m1m3= –1 (3) m1>0 (4) m2≤0 (5) m3<0

11. 函數 1

( ) (cos10 cos12 )

f x = 2 x− x ，x 為實數。則下列選項哪些為真？

(1) ( ) sin11 sinf x = x x 恒成立 (2) f x( ) 1≤ 恒成立 (3) f x( ) 的最大值是 1 (4) f x 的最小值是-1 ( ) (5) ( ) 0f x = 的解有無窮多個

12. 三相異平面兩兩相交於三條相異直線 l₁, l₂, l₃。試問下列選項哪些絕不可能發生？

(1) l₁, l₂, l₃三線共交點

(2) l₁, l₂, l₃不共面，但l₁ // l₂ // l₃ (3) l₁, l₂, l₃共平面

(4) l₁, l₂, l₃兩兩相交，但三交點相異

a b

h

x y

c B

C

P A

第 二 部 分 ： 填 充 題

說明：1.第 A 至 H 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (13–35)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 11¹⁵除以100 的餘數為 。

B. 令複數 ^{2 cos sin 2 cos}

(

)

7 7

z π i π z i a i a

π π

=  +  ⋅ = +

 

  ^{且 ，則實數}a = 。

C. 某人存入銀行 10000 元，言明年利率 4％，以半年複利計息，滿一年本利和為 Q 元。

則Q= 。

D. 在平面上有一正方形 ABCD， AB、BC、CD、DA 的延長線分別交直線 L 於 P、Q、R、S。

已知PR=3、QS=4，則正方形 ABCD 的邊長為 。

E. 空間中有三個平面 5x+4y-4z = kx, 4x+5y+2z = ky, x+y+z = 0, 其中 k<10。

當k= 時，三個平面交於一線。

13 14

26

23 24 25

15 16 17

18 19 20 21 22

A

D

C B

P R Q S L

F. 如右圖各小方格為 1cm²的正方形。

試問圖中大大小小的正方形共有多少個？

答： 個。

G. 一顆半徑為 12 公分的大巧克力球，裡頭包著一顆半徑為 5 公分的軟木球。如果將此巧克力球重

新融化，做成半徑為2 公分的實心巧克力球，最多可以做幾顆這樣的巧克力球？

答： 顆。

H. 某次考試，有一多重選擇題，有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給 5 分，只 答錯1 個選項給 2.5 分，答錯 2 個或 2 個以上的選項得 0 分。若某一考生對該題的 A、B 選項已

確定是應選的正確答案，但C、D、E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作

答。則他此題所得分數的期望值為 + 分。

29 30 31 27 28

32 34 33

35

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一元二次方程式ax²+bx+c=0 的公式解：

a ac b x b

2

2 −4

±

= −

2.

1 2

1 2 2

2 1

1, ) ( , )

( x x

y m y

y x y

x −

= − 的直線斜率 與

通過

3. , 1.

1 ) 1

1 ( ≠

−

−

= ⋅

− r

r r S a

n ar

n n

n 的前 項之和

等比級數

4. ∆ABC 的正弦及餘弦定理

2 2 2

(1) 2 , ( )

sin sin sin

(2) 2 cos ( )

a b c

R R

A B C

a b c bc A

= = =

= + −

為外接圓的半徑 正弦定理 餘弦定理

5. 參考數值： 2 ≈ 1.414 ; 3 ≈ 1.732 ; 5 ≈ 2.236 ; 7 ≈ 2.646 ; π ≈ 3.142

6. 對數值： log₁₀2≈0.3010, log₁₀3≈0.4771, log₁₀5≈0.6990, log₁₀7≈0.8451

7. 半徑 r 的球體積為 4 ³ 3πr 。