二進制冪級完美次頻帶的設計與影像編碼的應用

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

二進制冪級完美次頻帶的設計與影像編碼的應用

Design of Powers-of-two Subband with PR for Image Coding Application

計畫編號：NSC-89-2213-E-011-135 執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日 主持人：邱炳樟 國立台灣科技大學 電子系 共同主持人：趙和昌 萬能技術學院 電子系

一、背景簡介

次頻帶(Subband)影像編碼理論[1]發展了十 三年的歷史，採用次頻帶來分解原始影像，有下 列的優點：

1 由於原始影像經過次頻帶分解後，每一個次頻 帶影像彼此特性互不相同，而同一次頻帶影像裡 的訊息間，又具有強烈的相似性，因此編碼機構 可將每一個次頻帶影像，運用較簡潔的方式來達 成編碼的效果。

2 若以搜尋的方式來作編碼（例如：VQ [2]，

Fractal coding [3]），由於每一個次頻帶之影 像比原始影像小，相對地，比對、搜尋範圍也變 小，因此在計算量上可大量地減少，編碼效率可 因此而提高。

3 由於影像編碼是在次頻帶分解後才進行的，因 此各次頻帶之編碼可並行處理

多年來的努力，使次頻帶問題得到長足的進 步，但是還有一個問題有待解決，那就是長久以 來，科學家們對其建立的次頻帶之重建誤差，雖 可得到一完美的效能[4-6]，然而，要實踐此一完 美重建的次頻帶，因其濾波器組的係數皆為連續 的實數，在實際應用中雖可以採用浮點運算方式 來達到重建的結果，不過卻需要具有浮點運算能 力的 CPU 才能夠達成，其製作成本也會因此而增 加，再則，浮點運算所花費的實間也會比較長，

也會降低了實用的特質。因此許多研究專家都極 力的尋找一個有效的，能夠及時的解決方式，來 真正實踐次頻帶影像編碼。自從[7]提出冪級二進 制方法，以降低硬體（Hardware）的複雜度。自 此，以冪級二進制方式設計濾波器，開始受到重 視[8,9]。

冪級二進制與傳統典型的二進制的區別，在 於冪級二進制方法比傳統典型的二進制方法多出 一個負位元，也因此只要使用較少的的非零值的 數字（Digit）就能表示出大部分的數值。

使用冪級二進制方式來設計低延遲次頻帶濾 波器組，必須先要找到一個低延遲完美重建之次 頻帶的解（包括重建條件與濾波器的特性於 Pass-band 與 Stop-band 的最大峰值漣波的大小 條件以及滿足設計的系統延遲），再從此低延遲 完美重建次頻帶解的附近，去搜尋出一組以二為 基底的係數，使其既滿足完美重建的要求又不失 其濾波器低延遲的特性，所以冪級二進制來設計 低延遲次頻帶濾波器的方式需要兩個程序。當以 冪級二進制方式所設計出來的濾波器組，我們將 先以計算機模擬，並和以浮點運算為係數的濾波 器組做比較，來印證本理論在實際運用的可行 性。當然若特性良好，可以用 ASIC 來設計，應用 於工業界上。

二、二進制濾波器分析及合成

本計畫須先完成二通道（Two-channel）低延 完美重建次頻帶的問題。一般一維二通道次頻帶 結構如下圖所示。

G z1( )

G z2( )

Analysis System

Synthesis System X z( ) H z1( )

2 H z2( )

2 2

2

$ ( ) channel X z

+

+

輸入序列與重建序列之 Z-轉換關係如下：

[

^{（） （ ） （ ） （ ）}

]

）

（

）

（z X z H z G z H z G z

X 2 1 1 2 2

ˆ =1 +

[

^{（ ） （） （ ） （）}

]

）

（ z H z G z H z G z

X _{1 1 2 2}

2

1 − − + −

+ ^（1）

假使我們令合成濾波器與分解濾波器有下列的關 係

2

 

 





−

−

= −

 

 





）

（

）

＝ （

）

（

）

（

z H

z H z

G z G

1 2 2

1

2 2

， （2）

則可消除疊複（Aliasing）效應，使得（1）是可 改寫成

^X

ˆ^（

^z

^）＝

^X

^（

^z

^）

[ ^H

^（1 ⁻

^z

^）

^H

^（2

^z

^）−

^H

^（1

^z

^）

^H

^（2 ⁻

^z

^）

]

_{。 （3）}

令

h （n

_k

）

，

0 ≤ n ≤ N

_k

− 1

，

k = 1 , 2

^，為濾波

器

H （z

_k

）

的脈衝響應。若我們假設系統轉移函數 為一純延遲之限制並且符合低延遲的特性，則此 次頻帶之系統轉移函數可表示成

ds

z z H z H z H z H z

T （ ） = （

₁

− ） （

₂

） − （

₁

） （

₂

− ） =

⁻（4）

）

（

）

（ z z X z

X ˆ =

^−ds _{， （5）}

（4）式之 PR 限制可重新表示成

，

，

）

（ 1 1 , 2

2 −

^k

F

_k

h

_s

= a k =

其中

h

k

⁼ [ h

k

( ) ( ) ⁰ h

k

^{1 ⋅ ⋅⋅} h

k

( N

k

^{− 1} ) ]

^T ， (6)

[ ( ) F

k l,m

]

=

( ) ¹

¹ k

( ² ) ^{, 1 , ,}

b

m

h l − m l = ⋅ ⋅⋅ N

−

^{− ，}

N

s

m = 1 , ⋅ ⋅⋅ ,

， (7)

( )

(

1 2

^{1 2} ) ^{2 2 , , ,}

2 1 2 1

 



− +

∈ +

−

= +

otherwise N

N

even N N N

N

_b

N

（8）

和

a = [ a

₁

a

₂

⋅ ⋅⋅ a

Nb

]

^T （9）

其中

( )

 

 = +

= 0 , . , 2 1 if

, 1

otherwise d

a

_l

l

^{s （10）}

其中

[ ] F

l ,m表示矩陣 F 的第

( ) ^{l, m}

^{個元素。依據上}

述向量與矩陣形式，我們可將 PR 限制之表示式改 寫成

Fh =a，

（11）

其中

F = [ F

2

- F

1

]

^（12）

與

^{h =} [ ^h

^1T

^h

^2T

]

^T

^o

^（13）

令

( ) ^ω

^{為所求的分解濾波器之頻率響應o我們可以定義一個如下}

D

k

誤差函數，即

( ) ^{= D} ( ) ^{− H} ( ) ^{, k = 1 , 2 o}

E

_k

ω

_k

ω

_k

ω

^14）

我們可運用適當的實數加權函數

( )

pk

W

k

ω

來調整通帶

I

^、過渡帶

I

_TK^與截止帶

之峰值漣波比例

I

SK ，則所要解決問題的可用下

列最佳式的式子來表示，

( ) ( ) ^{, 1 , 2}

W E

_∞

k =

Minimize

_k

ω

_k

ω

^，

a Fh = to

Subject

， （15）

符號

⋅

∞意指於

L

_∞的量測運算。一般而言，

( ) ω

^與 _k

( ) ω

^{在具有常數群延遲}

k

H

D

性質時，

( ) ^{w H} ( ) ^w

D

_k 與 _k 皆為複數函數(Complex function)，因此，誤差函數

E

_k

( ) ω

亦為複數函 數。而複數函數不能直接求取其最佳值，因此，

我們必須將誤差函數

E

_k

( ) ω

做些修正才可能取 得最佳值。

以線性規劃（）來解決之可有如下之討論 若一分數

d

，我們可用下式來表示該分數，

2

1 pn

L

n

c

n

d

⁻

∑

=

=

^{， （16）}

其中

^c

n

∈ { − ^{1 , 0 , 1} }

以及

^P

n

∈ { ^{0 , 1 ,} ⋅ ⋅⋅ ^{, M} }

，

也就 是說

，

d 只有 M+1 個數字以及 L 個非零數字。則 需要加（減）法的數目僅僅是 L-1 而已。同樣地，

濾波器的係數也可以運用上述的方式來表示之，

( ) { } { }

）

（17 2 , 1 , ˆ 1 , 0

, 1 , 0 , 1 ,

1 , 0 . 1 ,

2 :

1

∈

−

⋅⋅

⋅

=

 



 

 = ∈ − ∈ −

∈

⁻

∑

=

i N k

Pn c

c d d k

h

^Pn _n

L

n n i

k

我 們 可 預 先 限 制 非 零 數 字 的 總 數

T k

T

L L

L ∑ =

= 1 - Nˆ

0 k

,

使得

。因此完美重建冪級二進

制次頻帶的設計問題可簡化成下列表示式

3

{ } { }















=

=

−

=







 = ∈− ∈

∈

≤

∑=

−

. 2

1,2, i , ˆ 1 , , 0

, , 0,1, , 1 0, , 1 , 2 : ) (

,

subject to maximize

1

m Uy

c Aw

w b

i

n n

L

n p n i

T

N k

M p

s s d d k h

k n

L

L

(18)

現在所遇到的問題是，若能找到一個方法將冪級 二進制條件溶入線性規劃的方法中，就可得到完 美重建冪級二進制次頻帶設計方式。這個問題將 於計畫中加以研究。

在文獻[10]中採用 CSD(Canonical signed digit)碼來找濾波器係的單級二進制。CSD 碼最 主要的特性在於｜Pi-Pj｜≧2，i≠j。也就是說，

不會出現連續兩個非零的二進數碼。CSD 碼可以 有效地降低濾波器係數二進制的位元長度以及其 硬體結構具有實用性。因為，若將此問題亦考慮 在上述的問題裡，則必須對(18)式加以修正。

(三)、

完美重建冪級二進制次頻帶影像分 解(Image Decomposition)

運用上述研究的結果及次頻帶影像分解技巧，

我們可將影像分解成四個次頻帶影像，如下圖所 示。

H z₁( ) H z1( ) H z1( )

H z2( )

H z2( ) H z2( )

G z1( )

G z₁( )

G z1( ) G z2( )

G z2( )

G z2( ) 2

2 2 2 2

2

2

2 2

2 2

2 X$ Band 0

Synthesis System Analysis

System X

+

+

+

+

+

Band 1 +

Band 2 Band 3

ω

v

( π , π ) Band 1 Band 3

Band 0 Band 2 ω

_h

(0,0) ( π , 0 )

影像經次頻帶分解後，再利用影像編碼(如 Fractal coding[3]，vQ[2])。

(四)、結論：

如圖所顯示之二進制次頻帶影像分解及合 成，模擬其結果之重建誤差高達

10

⁻¹⁵左右，此結

果顯示以此技術作應用有其價值，如此架構建構 ASIC 之 Architecture 更是值得期望。

重要參考文獻

[1].J.W. Woods and S.D. O’Neil, “Subband coding of image,” IEEE Trans.

Acoustics,Speech and Signal Processing, Vol.

34, no. 5, pp. 1278-1288,Oct.1986.

[2]. R.M. Gray, “Vector quantization,” IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing Mag., pp. 4-27, April 1984.

[3].A. E. Jacquin, “Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Contractive Image Transformations,” IEEE Trans. on Image Processing, vol. 1, No. 1, pp. 18-30, Jan. 1992.

[4].D.G.Luenberger,LinearandNonlinear Programming, Addison-Wesley, 1984.

[5].W.J. Oh and Y.H. Lee, “Implementation of programmable multiplierless FIR filters with powers-of-two coefficients,” IEEE Trans.

Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 42, No. 8, pp.

553-556, August (1995).

[6].T.Q. Nquyen and P.P. Vaidyanathan,

“Two-channel perfect reconstruction FIR QMF structures which yield linear-phase analysis and synthesis filter,” IEEE Trans. Acoust.,Speech Signal Processing, Vol. 37, pp. 676-690 , Jun.1989

[7]. Y.C. Lim and S.R. Parker, “FIR filter design over a discrete power-of-two coefficient space,”

IEEE trans. Acoust., Speech Signal Processing,

4 Vol. 31,No. 3, pp.583-591, Jun 1983.

[8]. B.R. horng, H. Samueli, and A.N. Willson, Jr., ”The design of low-complexity linear-phase FIR filter banks using powers-of-two

coefficients with an application to subband image coding, ‘IEEE Trans. Circuits and System for Video Technology, Vol. 1,No. 4, pp.

318-324, Dex.1991.

[9]. C.K. Chen, “New approaches for the design of minimax quadrature mirror filters with continuous and powers-of-two coefficients.”

Signal processing, Vol. 56, pp. 269-278, 1997.