F C
A B
E D
臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽決賽試題
應答注意事項:
一、 本試題共兩頁分兩大題,第一大題為 10 題填充題,每題 6 分;第二大題為計算及證明題,共 4 題,
每題 10 分。
二、 填充題答案請書寫於答案本中所標示的位置,計算及證明題請依題號順序詳列算式或證明過程。
三、本試題所提供之圖形僅供示意參考。
第一大題:填充題 1.
若2016
5123
x ,試求2x15x2 4x3 3x4 的值為____________。
2. 有a, 兩數,且兩個一元二次方程式b x2 16xa0與x2 20xb0,有一個共同的解。若上述兩個 一元二次方程式的三個相異解,恰形成一個公差為 2 的等差數列,則ab的值為 。
3. 已知在一圓周上自某一點開始,依順時針方向分別依序填入 268 個整數,使得依順時針方向數起,每 20 個連續的數之和都是 75。如果在第 17 個位置上填入整數 3,在第 83 個位置上填入整數 4,且在第 144 個位置上填入整數 9,那麼第 210 個位置上的整數是____________。
4. 有 5 個數a,b,c,d,e,其數值分別為-1, 0, 1 中的任一個,則a3b32c33d 34e 的值是正整數共 有_________個。
5. 已知a b, 為二數,且滿足|a| a b 10及a| |b b 12,則 a b 之值為____________。
6. 小華將一個大長方形切割成 6 塊小長方形 A、B、C、D、E、F (如下圖),若長方形 A 面積為a,長方形 B 面積為b,長方形 C 面積為 c,長方形 D 面積為 d,則長方形 E 與長方形 F 之面積和為__________。
(請以a,b,c,d表示)
7. 已知六邊形 ABCDEF 之各內角度數相等,且ABBC11,FACD3,則BCDE的值為 。
8. 假設r ,,s t是三個相異的正整數,而且可以使得
rst tr st
rs 1
也是正整數,則
t s r
r t t s s r
2 2 2 2
2 2
所有可 能的值為 。
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B P C A
Q
9. 已知n為一個五位數,將n除以 100,其商為 q ,及餘數為r,如果 q r 為 11 的倍數,則滿足這樣條 件的所有n值共有_____________個。
10. 我們規定:當一個多邊形的所有對角線都在該多邊形的內部時,我們將此多邊形稱為凸多邊形。已知 有一個凸四邊形ABCD,其中AB6,BC8,CD6,其中一條對角線AC 8,則滿足上述條件 的四邊形中, 長的值為整數的所有可能值共有 個。
第二大題:計算題
1. 試求滿足方程式
xy
2 x3
y3
的所有可能x, 的解。(請詳述理由) y2. 設n為正整數且24 27 2n為完全平方數,試求滿足上述條件的所有可能的n值為何?(請詳述理由)
3. 如下圖,在 ABC 中AB AC,今在 ABC 內部取一點D使得ABBD AC且DCB30o,若CD2 且AC 2 37,試求 ABC 面積。(請詳述理由)
4. 如下圖在 ABC 中,P和Q是 BC 上兩點,使得AQ是 BAC 的角平分線且BPQC,AP AQ。試證 明:AP2
ABAC
2 AQ2。本試題到此全部結束
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