附錄

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A1 立方根與高次方根

在本單元裡，我們除了討論立方根的性質和運算規則以外，也要介紹 高次方根。

當實數 a 為某個實數 b 的三次方時，a= ，我們就稱 b 為 a 的立方b³ 根，並記作³ a = ，其中b ³ a 讀作「三次根號 a」，並稱 a 為「被開方數」。

例如：27= 3³及− = −8 ( 2)³，所以³27 =3及³− = −8 2。不同於平方根的被開 方數必須是非負的數，立方根的被開方數可以是任意實數。顯然的，被開 方數與它的立方根同號。

在本單元中，我們只討論被開方數為有理數的立方根或高次方根。

【立方根的乘法與除法】

兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形，有下列的規則：

(1) ³ a׳ b = ³ ab ；

(2) ³ a÷³ b = ^{3 3}

3 a = a

b b ，其中 b≠ 。 0

【範例 1】計算下列各式：

(1) ³ 5׳ 3 (2) ^{3 1 3} ₄ 2 × (3) ³ 4÷ 2³ (4) ^{3 4 3 9}

3 ÷ 2

【解】 (1) ³ 5׳ 3= ³ 3 5× = ³15 (2) ^{3 1 3} 4

2 × = ^{3 1} ₄ 2× = ³ 2 (3) ³ 4÷ ³ 2 = ³ 4÷2 = ³ 2 (4) ^{3 4 3 9}

3 ÷ 2 = ^{3 4 9}

3 ÷2 = ³ 4 2

3×9 = 3 8 27

= 23

【類題練習 1】計算下列各式：

(1) ³ 25׳ 5 (2) ³ 6׳ 3 (3) ³15÷³ 5 (4) ^{3 4 3 5}

25 ÷ 16

由規則(1)我們知道，³ − =5 ³ ( 1)− ³×5 = (−1)× ³ 5 = − ³ 5 。因此，習 慣上，常將³ − 改寫成a −³ a，其中 a 為正數。

【最簡根式】

如同平方根的情形，當被開方數為整數且不是一個完全立方數時，我們 可以利用數的標準分解式及立方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡³ 720 時，我們先將 720 寫成2⁴× × =3² 5 2³× × ×2 3² 5，再化簡求得

3 720 = ³ 2³× × × =2 3² 5 2 90³ 。

當被開方數為有理數時，通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。

例如，我們會將³

3

8 2

5 = 5改寫成

2 2

3 3 3

3 3 3 2 3 3

2 2 5 2 5 2 2 5 5 5 5 5

= × = =

×

5（或2³

5 25）。

類似平方根的化簡，我們將立方根寫成「最簡根式」^{p 3}n

q （或

p n3

q ） 的形式，其中 ^p

q為最簡分數，n 為大於 1 的整數，並且不能被任何大於 1 的整數的立方整除，我們稱這樣的過程為「立方根化簡」。例如：2 90³ 及

2 3

5 25都是最簡根式。

【範例 2】化簡下列各式：

(1) ³ 270 (2) ³ −432 (3) ³ 2 3

【解】 (1) ³ 270 =³ 3³×10 =3³10

(2) 因為−432= − × = − ×2⁴ 3³ (2 3)³×2， 所以³ −432 = −³ (2 3)× ³ ׳ 2= −6 2³ 。 (3) 我們可先將2

3的分子、分母同乘於3²後再做化簡，即

2 3 3

3 3

2 3 3

2 2 3 18 1

3 3 3 3 3

= × = =

×

8。

【類題練習 2】化簡下列各式：

(1) ³135 (2) ³−3000 (3) ^{3 5} 2

當兩個立方根化為最簡根式後，如果在它們的最簡根式的立方根號內 有相同的被開方數時，我們就稱這兩個立方根為同類方根。例如，³2、³ 1

4

（可化為

32

2 ）和 ³ 1

− 4 都是同類方根，但是³2與³ 1

2（可化為

34

2 ）就不是 同類方根。

在化簡根式時，我們可以利用同類方根的合併來簡化數學式。

【範例 3】化簡下列各式：

(1) −2 2³ +3 3³ +6 2³ −5 3³ (2) _{4 7} ³ ₉₆ ^{3 7 3 8} 27 2

+ + − 1

【解】 (1) −2 2³ +3 3³ +6 2³ −5 3³ =( 2 6) 2− + ³ +(3 5) 3− ³

=4 2³ −2 3³ (2) _{4 7} ³ ₉₆ ^{3 7 3 81}

27 2

+ + − = ^{3 3 3}

3

7 3 3 4 7 2 12

3 2

+ + −

= ^{3 3 3}

3

7 3 3 2 2 4 7 2 12 +

3 2 2 2 + − × ×

× ×

= _{4 7 2 12 +}^{3 3 7 3 123}

3 2

+ −

= _{4 7} ³¹²₊³⁷

2 3

+

註： 7和³ 7不是同類方根。

【類題練習 3】化簡下列各式：

(1) −4 2³ +3 3³ +5 2³ −6 3³ (2) ³32 ^{3 2} 8 ^{3 1}

27 2

+ + − 25

a + b a − ab b +

對於某些較為特殊的根式，可嘗試利用乘法公式來求乘積。我們先 複習兩個常用的立方公式：

2 2

( )( )

2 2

( a b a − )( + ab b + )

【範例 4】利用立方公式化簡( 3³ +³ 2)( 9³ −³6+ ³4)。

【解】 我們可以利用

( a + b a )(

− ab b +

)

3 3

3 3 3

( 3+ 2)( 9− 6+ 4)= ( 3)^{3 3}+( 2)^{3 3}

= 3 + 2 = 5

【類題練習 4】利用立方公式化簡( 5³ − ³ 2 )( 25³ + ³10+ ³ 4 )。

【根式分母的有理化】

如同平方根的有理化技巧，我們也可利用立方乘法公式來做分母含有 立方根的根式的有理化。

【範例 5】有理化下列各根式的分母：

(1) 3

1

2 +1 (2)

3

3 3

1 9+ 6+ 4

【解】 (1) 由立方公式，我們知道

3 3 3

( 2+1)( 4 − 2+ =1) ( 2 )^{3 3} +1³ = 2 1+ = 3。

所以，若想將分母的根號去掉，可對分子與分母同乘以

3 3

( 4− 2+1)即可。因此得到：

3

1

2+1 = ^{3 3}

3 3 3

1 ( 4 2 1) ( 2 1)( 4 2 1)

× − +

+ − +

= ^{3 4 3 2} 3

− +1

(2) 我們對分子與分母同乘以³3− 2³ ，即得

3

3 3

1

9+ 6+ 4 = ^{3 3}

3 3

3 3 3

1 ( 3 2) ( 9 6 4)( 3 2)

× −

+ + −

= ^{3 3}

3 3 3

3

3 2 ( 3) ( 2)

−

−

= ³3− 2³ 。

【類題練習 5】有理化下列各根式的分母：

(1) 3

1

2 1− (2)

3 3 3

1

25− 10+ 4

【認識高次方根】

除了 a 的立方根記為³ a 以外，其實平方根

a

a

4

a

a

因此，若 n 為正整數，且

a = b

n

a = b

a

我們假設ⁿ

a

當 n 為奇數時，a 可以為任意實數。

事實上，兩個 n 次方根之間的乘法與除法，也類似於平方根及立方根的 運算規則：當ⁿ

a

b

(1) ⁿ

a ×

b =

a b

(2) ⁿ

a ÷

b

n n n

a a

b b ^{，其中 n}≥2，b≠0。 如同平方根及立方根的情形，我們可以利用數的標準分解式來化簡高 次根式。

【範例 6】化簡下列各式：

(1) ⁴16 (2) ⁵ −243 (3) ⁶192 (4)⁹ −1024 (5) ⁴¹⁶ 81

【解】 (1) 因為 16=2⁴，所以⁴16 = 2。

(2) 因為−243= −( 1)⁵× = −3⁵ ( 3)⁵，所以⁵−243 = ⁵( 3)− ⁵ = −3。

(3) ⁶192 = ⁶ 2⁶×3 = ⁶ 2⁶×⁶3 = 2⁶3

(4) ⁹ −1024 = ⁹ −2¹⁰ = ⁹( 2)− ⁹×2 = ⁹( 2)− ⁹×⁹ 2 = −2 2⁹

(5) 因為

4 4

4

16 2 2 81 3 3

= = ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ ，所以^{416 2} 81= 3。

因為實數的偶次方必為正數或 0，所以偶次方根的被開方數如同平方根必 須為非負數,如範例 6中的(1)、(3)和(5)；而奇次方根的被開方數如同立方 根可為任意實數，如範例 6中的(2)和(4)。事實上，遇到奇次方根且被開方 數為負數時，可先將負號寫在根號外，例如：在範例 6(2)中，

5 −243 = −⁵ 243 = −⁵ 3⁵ =−3。

【類題練習 6】化簡下列各式：

(1) ⁴81 (2) ⁶ 64 (3) ⁷ −128 (4) ⁵ 32

−243

在國中階段，我們學過指數為整數的指數律。事實上，n 次方根也可 以用指數的形式來表示。例如：a 的二次方根可以記為 (讀作 a 的二分 之一次方)，即

a1/ 2

a =a1/ 2；a 的三次方根可以記為 (讀作 a 的三分之一次 方) ，即

1 / 3

a

3 1/ 3

a =a 。所以，a 的 n 次方根可以記為 (讀作 a 的 n 分之一 次方)，即

a

n 1/ n

a =a 。

由方根的乘法與除法，我們知道：

1/ 2 1/ 2 1

3 ×3 = 3× 3 = 3 3× =3； 2^{1/ 2}×3^{1/ 2} = 2× 3= 2 3× = ×(2 3)^{1/ 2}；

3 1/ 2 3 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 3 (1/ 2)

(2 ) = 8= 2 2 2× × =( 2) =2 ×2 ×2 =2 ^{+ +} =2^× ；

1/ 2 3 3 3 (1/ 2) 3

(2 ) =( 2) = 2 =2 ^×； ^{1/ 2 1/ 2} 2 2 2 ^{1/ 2}

2 3 2 3 ( )

3 3

÷ = ÷ = 3 = = 等。

也就是說，在高中的課程中，指數律的學習將由指數為整數延伸到有理數：

m n m

a × a = a

a b

÷ = b ^m，其中

b ≠ 0

【家庭作業】

1. 求下列各數的立方根：

○¹ 64 ○² −729 2. 將下列各數化簡成最簡根式：

○^{1 3}₁₂₈ ○^{2 3}−4000 3. 化簡下列各式：

○^{1 3} 36׳ 6 ^{○2 3}6׳45 4. 化簡 ³ 3

4。 5. 化簡下列各式：

○¹ −6 2³ −5 3³ +8 2³ −2 3³ ○^{2 3 3} 2 10 2 8 18

+ + + 3 6. 化簡( 2 1)( 4³ − ³ +³2+ 。 1)

7. 有理化下列各根式的分母：

○¹

3

1

3 1− ○²

3 3 3

1 16− 8+ 4 8. 化簡下列各式：

○^{1 5}32 ○^{2 4} 48 ○^{3 5} −6250 ○^{4 5} 1024

−3125