9 微分方程

9 ^微分方程

9.5 ^線性方程

線性方程

一個一階的線性微分方程形如下者：

其中 P, Q 為連續函數。

線性方程

這裡舉一個例子 xy





就剛好符合前面所要求的樣式。

注意到這個微分方程由於多了一項常數，無法分離變數。

線性方程

但注意到，原先的形式可以利用微分的乘法原理合併在一起

xy 

也因此我們可以改寫原方程式成為更簡單的形式：

(xy) = 2x

線性方程

兩邊同時積分則可以得到

xy = x

但若不是我們先寫成 xy’ + y = 2x 這樣的形式，而是 y’ + y/x

= 2 這樣的標準形式，那麼我們就要猜到要先同乘以 x ，在 將方程式改寫成可分離的樣子 (xy)’ = 2x 。

於是我們接下來要討論的是，對任意的一階線性微分方程式 否都可以用同樣的方法解決？是否可以乘上某些函數將方程 化成可分離的形式。

乘上讓方程變成可分離的函數，我們稱為積分因子(integral factor) 。

線性方程

假設方程式一存在這樣的積分因子，它需要滿足若我們將積 分因子乘上等式兩邊，要能寫成乘積的微分：

I(x)(y

若我們可以找到這樣的積分因子，那麼接下來要解的便是 (I(x)y) = I(x) Q(x)

線性方程

兩邊同時積分可以得到

最後得到解

線性方程

回過頭來看積分因子 I(x) ，我們希望可以寫成乘積的微分

I(x)y 

(x)y + I(x)y 

I(x) P(x) = I(x)

於是可以得到 I(x) 自己必須要滿足的微分方程式，由於 I(x) 的方程式可分離，我們可以直接解決

線性方程

於是有

其中 A = e^C。由於積分因子只需要讓原方程式可以改寫成 乘積形式，因此我們只需要找到一種便可。不失一般性我們 直接假設 A = 1 ，

接著我們可以在將這個積分因子代入前面的公式，便可以得 到方程式解的表示式了。

線性方程

對於一個線性方程，重要的是找到積分因子可以化成可分離 的形式。

解方程式

解:

給定的方程式已經是標準式，其中 P(x) = 3x² 以及 Q(x) = 6x² 。

此時積分因子為

範例一

範例一 / 解

於是兩邊同乘以積分因子 ，寫成全微分

兩邊同時積分

cont’d

範例二

求下列初始值問題的解

x

y 

x 

y(1) = 2

首先我們先把方程式化成標準形式

因此積分因子為

範例二 / 解

兩邊同乘 x ，改寫方程式

因此

帶入初始值 y(1) = 2 ，

cont’d

電流迴路上的應用

電流迴路上的應用

在介紹方向場時，我們曾提過 RL 電流迴路的模型：一個迴 路接上電源(E)電感(L)以及電阻(R) 如下圖

同時推得這個 RL 電路方程

圖四

開關

範例四

假設在下圖的電路中，電阻為 12 W ，電感為 4 H ，電源所 給的電壓是穩定的 60V 。當我們在 t = 0 時把開關接上，因 此電流 I(0) = 0 。

試求 I(t) 。估算 I(1) 以及 I(t) 最終收斂的值。

開關

範例四 / 解

(a) 我們將常數 R = 12 ， L = 4 等代入初始值問題

化成標準形

乘上積分因子

範例四 / 解

由於 I(0) = 0 ，計算 5 + C = 0 有 C = –5 ，於是電流

I(t) = 5(1 – e

cont’d

範例四 / 解

(b) 因此在一秒之後的電流值為

I(1) = 5(1 – e

cont’d