9 微分方程

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9 微分方程

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9.5 線性方程

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線性方程

一個一階的線性微分方程形如下者:

其中 P, Q 為連續函數。

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線性方程

這裡舉一個例子 xy

+ y = 2x ,在考慮 x

0 的情況下,可以 改寫成

就剛好符合前面所要求的樣式。

注意到這個微分方程由於多了一項常數,無法分離變數。

(5)

線性方程

但注意到,原先的形式可以利用微分的乘法原理合併在一起

xy

+ y = (xy)

也因此我們可以改寫原方程式成為更簡單的形式:

(xy) = 2x

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線性方程

兩邊同時積分則可以得到

xy = x

2 + C

但若不是我們先寫成 xy’ + y = 2x 這樣的形式,而是 y’ + y/x

= 2 這樣的標準形式,那麼我們就要猜到要先同乘以 x ,在 將方程式改寫成可分離的樣子 (xy)’ = 2x 。

於是我們接下來要討論的是,對任意的一階線性微分方程式 否都可以用同樣的方法解決?是否可以乘上某些函數將方程 化成可分離的形式。

乘上讓方程變成可分離的函數,我們稱為積分因子(integral factor) 。

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線性方程

假設方程式一存在這樣的積分因子,它需要滿足若我們將積 分因子乘上等式兩邊,要能寫成乘積的微分:

I(x)(y

+ P(x)y) = (I(x)y)

若我們可以找到這樣的積分因子,那麼接下來要解的便是 (I(x)y) = I(x) Q(x)

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線性方程

兩邊同時積分可以得到

最後得到解

(9)

線性方程

回過頭來看積分因子 I(x) ,我們希望可以寫成乘積的微分

I(x)y

+ I(x)P(x)y = (I(x)y) = I

(x)y + I(x)y 

I(x) P(x) = I(x)

於是可以得到 I(x) 自己必須要滿足的微分方程式,由於 I(x) 的方程式可分離,我們可以直接解決

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線性方程

於是有

其中 A = eC。由於積分因子只需要讓原方程式可以改寫成 乘積形式,因此我們只需要找到一種便可。不失一般性我們 直接假設 A = 1 ,

接著我們可以在將這個積分因子代入前面的公式,便可以得 到方程式解的表示式了。

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線性方程

對於一個線性方程,重要的是找到積分因子可以化成可分離 的形式。

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解方程式

解:

給定的方程式已經是標準式,其中 P(x) = 3x2 以及 Q(x) = 6x2

此時積分因子為

範例一

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範例一 / 解

於是兩邊同乘以積分因子 ,寫成全微分

兩邊同時積分

cont’d

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範例二

求下列初始值問題的解

x

2

y

+ xy = 1

x 

0

y(1) = 2

解:

首先我們先把方程式化成標準形式

因此積分因子為

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範例二 / 解

兩邊同乘 x ,改寫方程式

因此

帶入初始值 y(1) = 2 ,

cont’d

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電流迴路上的應用

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電流迴路上的應用

在介紹方向場時,我們曾提過 RL 電流迴路的模型:一個迴 路接上電源(E)電感(L)以及電阻(R) 如下圖

同時推得這個 RL 電路方程

圖四

開關

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範例四

假設在下圖的電路中,電阻為 12 W ,電感為 4 H ,電源所 給的電壓是穩定的 60V 。當我們在 t = 0 時把開關接上,因 此電流 I(0) = 0 。

試求 I(t) 。估算 I(1) 以及 I(t) 最終收斂的值。

開關

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範例四 / 解

(a) 我們將常數 R = 12 , L = 4 等代入初始值問題

化成標準形

乘上積分因子

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範例四 / 解

由於 I(0) = 0 ,計算 5 + C = 0 有 C = –5 ,於是電流

I(t) = 5(1 – e

–3t)

cont’d

(21)

範例四 / 解

(b) 因此在一秒之後的電流值為

I(1) = 5(1 – e

–3)  4.75 A (c) 最後電流趨近的極限值為

cont’d

Figure

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