中 華 大 學

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碩 士 論 文

二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度分析

Analysis on the Reliability of 2-Dimensional Consecutive (r, s)-out-of-(m, n): F Systems

系 所 別：資訊工程學系碩士專班 學 號 姓 名：E09302020 黃海倫

指 導 教 授： 吳哲賢 博士

中 華 民 國 九 十 六 年 八 月

中文摘要 i

二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度分析

研究生：黃海倫 指導教授：吳哲賢 中華大學資訊工程研究所

摘 要

連續 k-out-of-n： F 系統可靠度，已廣泛被討論及研究運用。近年來相關 研究也逐漸由一維延伸到二維、甚至多維可靠度系統。本論文主要研究二維連 續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度。

針對二維系統可靠度，早期相關研究只提出上限值及下限值分析。YM 演 算法是唯一提出利用遞迴關係式求出正確值的方法。本論文首先利用較簡易遞 迴關係式，設計出相同時間複雜度演算法；接著針對相同元件系統，將遞迴關 係式轉換成矩陣法，最後推導出更精簡、更有效率的演算法。

中文摘要

關鍵字： (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度、演算法

英文摘要 ii

Analysis on the Reliability of 2-Dimensional Consecutive (r, s)-out-of-(m, n): F Systems

Student：Hai-Lun Huang Advisor：Dr. Jer-Shyan Wu

Institute of Computer Science and Information Engineering Chung Hua University

ABSTRACT

英文摘要

Consecutive-k-out-of-n: F system has been extensively studied. Recently, related researches extend one-dimensional reliability model to two or d-dimensional versions

(

^{d ≥ 2}

)

. The thesis analyzes the reliability of 2-dimensional consecutive (r, s)-out-of-(m, n): F systems.

The past researches just discussed the upper bound and lower bound of system reliability. YM algorithm is the only one method to evaluate the exact system reliability via recurrence relations. In the thesis, we first apply more simple recurrence relations to derive algorithms; and then, for the identical component model, we transfer recurrence relations to matrices, and propose more efficient algorithms.

keywords: (r,s)-out-of(m,n):F system reliability, algorithms

誌謝 iii

誌 謝

首先我要感謝我的指導老師吳哲賢教授，在就讀研究所三年期間內，無論在 學業及研究方面都很細心的指導與建議，也教我很多數學可靠度機率、演算法及 很多寶貴的知識，才能使非資工背景的我，有了這方面的基礎。在撰寫論文期間，

經由指導老師不斷的討論及指導，並提供各種意見方能完成此篇論文，對於學生 來說，有著無以言語的感激。

其次我要感謝我的家人，因為有你們的支持與鼓勵，才能順利的完成學業。

接下來也要感謝和我一起研究成長的鍾學長，除了一起夜以繼日研究討論外，當 撰寫論文遇到阻礙及困難時，都能適時鼓勵及幫助；以上，將此篇論文的完成來 感謝對我所做的一切。

最後，感謝在求學這條路上曾經教導過我的師長、同學以及曾經幫助過我的 人，因為有你們的協助才能使我順利完成各階段的學業，以致能讓我能順利的念 完研究所並完成論文的撰寫，謝謝您們。

目錄 iv

目錄

中文摘要...i

英文摘要...ii

誌 謝... iii

目錄...iv

第一章 導論...1

1.1 背景...2

1.2 連續 k-out-n: F 系統可靠度 ...3

1.3 環狀連續 k-out-n: F 系統可靠度 ...4

1.4 二維連續(r, s)-out-of-(m , n): F 系統可靠度 ...5

1.5 文獻回顧...6

1.6 研究動機與目的...10

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度...11

2.1 符號定義...12

2.2 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度...13

2.2.1 Shanthikumar 時間複雜度 O(nk)演算法...15

2.2.2 Hwang 時間複雜度 O(n)演算法 ...18

2.3 環狀連續 k-out-of-n: F 系統可靠度...20

2.3.1 Hwang 時間複雜度 O(nk²)演算法 ...23

目錄 v

2.3.2 Wu 和 Chen 時間複雜度 O(nk)演算法 ...24

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 ...25

3.1 二維系統可靠度...25

3.2 YM 演算法 ...27

3.2.1 符號定義...27

3.2.2 演算法分析...29

3.2.3 範例及實驗結果...31

3.2.4 時間複雜度分析...37

第四章 利用矩陣計算二維系統可靠度...39

4.1 遞迴法...39

4.1.1 時間複雜度分析...44

4.2 矩陣法...45

4.2.1 時間複雜度分析...50

第五章 結論...52

5.1 研究成果...52

5.2 未來研究方向...53

參 考 文 獻...54

第一章 導論 1

第一章 導論

近年來對於連續k-out-of-n： F系統(consecutive-k-out-of-n： F system)可靠度

(若有n元件中有連續k的元件不能運作，則整個系不能運作)，已經廣泛被學者討 論及研究運用；另外我們也考慮二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統(2-dimensional

consecutive (r, s)-out-of-(m, n): F systems)可靠度 ，我們也試圖將一維可靠度模組 延伸到二維、三維甚至多維。

本篇論文最主要的研究目的是在探討及研究二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統 可靠度。並評估相關遞迴演算法及研究出較佳的可靠度遞迴演算法及運算方式，

使得二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度所運算出的時間複雜度能夠更精簡 地且更有效率。

第一章 導論 2

1.1 背景

首先我們先介紹何謂可靠度，一般而言「可靠度」是指一個系統在設計條件 及運作環境下可正常運作的機率；一般來說在描述系統可靠度時，必須說明系統 為失效狀態的定義及系統為正常運作的定義。目前大約可分為平行模式、序列模 式、備援模式、多重模式、n 中取 k 模式及 n 中取連續 k 模式。

接下來介紹連續k-out-of-n： F系統可靠度的定義及說明，所謂連續k-out-of-n：

F系統可靠度，它是由n元件所組成的一個系統，若n元件中至少有k (k < n)的元件 不能運作或失效，則整個系統不能運作。也就是說，在F系統中有n個元件中有k 系統的架構，若有n元件中有發生k的元件不能正常運作，則會使整個系統不能運 作或使n個元件都失效。以上是針對連續k-out-of-n： F系統可靠度的定義及說 明。接下來陸續會介紹環狀連續k-out-of-n：F系統可靠度及二維連續

(r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度等。

第一章 導論 3

1.2 連續 k-out-n: F 系統可靠度

在這一小節裡我們來介紹連續k-out-of-n：F系統可靠度，它是由n元件排列成一 條線所組成的系統，每一元件都有它的運作機率(一條線性系統，見下圖1.1)，若n 元件中有連續k (k < n)的元件不能運作，則整個系不能運作；也就是說，我們將n 元件並被排列成線狀的系統，當此一系統中若有連續k個元件失效則定義系統失 效，並以連續k-out-of-n：F系統可靠度或以連續k/n: F系統可靠度來表示。連續

k-out-of-n: F系統可靠度有很多的應用，比如：電信通訊系、太空轉接站、監控系 統、汽油管路、電腦環狀網路等等，相當值得研究的系統。以上是針對連續 k-out-of-n：F系統可靠度的定義及說明。

圖1.1. 線性系統-連續k-out-of-n：F系統可靠度，它是由n元件排列成一條線所組 成的系統

第一章 導論 4

1.3 環狀連續 k-out-n: F 系統可靠度

在 這 一 小 節 裡 是 介 紹 環 狀 連 續 k-out-of-n ： F 系 統 可 靠 度 (Circular consecutive-k-out-of-n：F system)，所謂環狀連續 k-out-of-n：F 系統可靠度，它 是由 n 元件排列成環狀所組成的一個系統，每一元件都有它的運作機率(一條環 狀系統，見下圖 1.2)，若 n 元件中有連續 k (k < n)的元件不能運作，則整個系統 不能運作。也就是說，我們將 n 元件被排列成環狀的系統，當此一系統中若有連 續 k 元件失效則定義系統失效，並以環狀連續 k-out-n: F 系統可靠度或以環狀連 續 k/n: F 系統可靠度表示。以上是針對環狀連續 k-out-of-n：F 系統可靠度的定義 及說明。

圖 1.2. 環狀系統-環狀連續 k-out-of-n：F 系統可靠度，它是由 n 元件排列成環狀 所組成的一個系統，

第一章 導論 5

1.4 二維連續(r, s)-out-of-(m , n): F 系統可靠度

在這一小節裡介紹二維可靠度模組，所謂二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可 靠度(1< <r m&1< <s n)，其定義方式為，它代表有格子狀的線性連結系統中，

若有(m ,n)陣列元件中有連續(r ,s)的次陣列元件不能運作，則使整個系統不能運 作或失效，稱為二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度。其次是介紹二維模組

k²/n²: F系統可靠度[1]，它是一個有n邊的正方行格子(包括n²的元件)，這系統假 如發生一個連續k²元件不能運作(2≤ ≤ −k n 1)則會造成整個系統不能運作或失 效。後來又延伸二維的模組概念(k²/n²: F系統)，另外一種定義方式，其定義二維 的模組原本為正方行格子方式，後來也延伸到矩形或圓柱體的二維(k²/n²: F系統 可靠度)等變形方式[18]。

對於一個k k / mn : F^{1 2} 系統是一個m.n矩行格子(包括m.n的元件) [18]。這系統假

如有k₁k2元件(2<

k k

1, 2<

m n )不能運作，則會造成整個系統不能運作或失效。

. 近年來，專家們試圖將一維可靠度模組延伸到二維、三維甚至到D維(d≧2) 或多維模組系統可靠度。根據定義[19]，二維、三維系統是一個有n邊(正方,平方) 或立方格子(包括n² or n³元件組成)，這系統假如有k²或k³格子元件不能運作

(2≤k≤n−1)則會造成整個系統不能運作。然而在二維模組(k²/n²: F)系統可靠度 中有許多的實際應用，比如它可應用在圖樣的偵測、疾病的診斷和電子設備的可 靠度設計[19]。

第一章 導論 6

1.5 文獻回顧

近年來，對於連續 k-out-of-n：F 系統可靠度(若有 n 元件中有連續 k 的元件不 能運作，則整個系統不能運作)，已經很廣泛的被學者討論及運用[3,9,21-22]；自 從 1980 年 Kontoleon [13] 提出後，便引起學界廣泛的討論與研究，但 Kontoleon 並未說明任何的計算公式，僅就此系統現象提出說明。

另外我們也考慮一個二維模組及二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度，它代 表在格子狀的線性連結系統中，若有(m, n)個陣列元件中有連續(r, s)的次陣列元 件不能運作，則使整個系統不能運作[23]。

有關連續k-out-of-n：F系統可靠度及一般理論中[1，12]，對於二維模組( k²/ n²:

F系統可靠度)的問題，一開始來自於1990年由Salvia和Lasher[1]所提出，後來再 由特定的案例中才有所運用，使得二維連續 (r,s)-out-of-(m,n):F 系統正確可靠度 的 式 子 於 1992 年 才 真 正 獲 得 及 提 出 [23] ， 並 於 1993 年 由 Zuo[18] 建 議 使 用

SDP(sum of disjoint products)方法[10，11，20]能夠套用一般案例，不過SDP方 法是非常複雜的。後來於1995年由Yamamoto和Miyakawa (簡稱YM) [8]，就運 用YM遞迴演算法來解決二維連續 (r,s)-out-of-(m,n):F 系統可靠度的問題，對於 YM演算法所需要的時間複雜度為

^{O n s} ( ( )

^{m r− 2}

^m

²

)

來運算，而且能夠從I.I.D例子 來減少運算時間。

首先Salvia和Lasher[1]介紹二維模組概念(k²/n²: F系統可靠度)，並發展系統

第一章 導論 7

可靠度是利用上限值及下限值分析方法針對二維系統可靠度。後來又延伸二維模 組概念的(k²/n²:F系統可靠度)；然而另外一種定義，其定義二維模組原本為正方 行格子方式，然後也延伸到矩形及圓柱體的二維 (k²/n²: F系統可靠度)相關變行 方式。一個 ^{k k1 2 / m n : F} 系統是有m.n矩行格子(包括m.n的元件)。這系統假如有

k1k2元件(2<

k k

1, 2<

m n )不能運作，則會造成整個系統不能運作。

.

近年來，試圖將一維可靠度模組要延伸到二維、甚至多維可靠度系統，然而

Salvia 和 Lasher[1]是首位將一維可靠度模組延伸到二維、三維甚至到多維模組系 統可靠度。根據定義，二維、三維系統是一個有 n 邊(正方,平方)或立方格子(包 括 n² or n³組成元件)，這系統假如有 k²或 k³格子元件不能運作(2≤k≤n−1)則 會造成整個系統不能運作[24]。

其 次 Boehme et al.[23] 也 定 義 二 維 線 性 或 環 狀 系 統 ， 一 個

connected-X-out-of-(m , n): F格子系統，它代表在F格子系統中，若有(m ,n)陣列 元件中有連續X連結的次陣列元件(r ,s)不能運作，則造成整個系統不能運作。

這樣的系統元件會被排列為m .n的矩行格子(包括m .n的元件)。而connected-X代 表意義為，當系統發生或存在(r ,s)格子元件(1< <

r m

& 1< <

s n )不能運作時，

則造成整個系統不能運作。另外對於connected-X，其表示方式也代表(r ,s)或(s ,

r)，在這案子中，當系統發生或存在(r ,s)或(s, r)格子元件不能運作時，則造成整 個系統不能運作。此模組的描述來自於Boehme et al.[23]，而且m≠n，s≠r。一 般而言，有關線性及環狀(r, s)-out-of-(m ,n)-lattice系統可靠度(1≤

r s

, ≤

m n ) ，

.

第一章 導論 8

我 們 也 以 圖 形 表 示 在 圖 表 (a) 和 (b) ， 也 將 表 示 這 樣 的 系 統 為 線 性 及 環 狀 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度。線性及環狀(r,s)-out-of-(m ,n)-lattice系統可靠度 (如下圖a.、圖b.、圖c.)

圖a. 二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度，它代表在格子狀的線性連結系 統中，若有(m, n)個陣列元件中有連續(r, s)的次陣列元件

圖b. 環狀 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度，它代表在環狀連結系統中，若有(m,

n)個陣列元件中有連續(r, s)的次陣列元件

第一章 導論 9

圖 c. 二維 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度，它代表在圓柱體連結系統中，若有(m, n) 中有連續(r, s)的次陣列元件

第一章 導論 10

1.6 研究動機與目的

本篇論文最主要的研究目的是在研究及探討二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系 統可靠度的重要性，並找出較佳的可靠度遞迴演算法及運算方式，因為目前對 於二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度的相關研究非常少，所以才針對此篇 論文加以研究，並藉由相關研究找出更簡單、更有效率的演算法。

一 開 始 先 參 考 Yamamoto 和 Miyakawa( 簡 稱 YM)[8] ， 針 對 二 維 連 續

(r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度並評估這樣的遞迴演算法(稱之為YM演算法)，這 演算法比SDP更有效或與其他現存的方法做比較；YM演算法是比較有用的。在 時間複雜度運算方面，YM演算法所需要的時間複雜度為

^{O n s} ( ( )

^{m r− 2}

^m

²

)

^來運

算，而且能夠從I.I.D例子來減少運算時間。在經過比較及探討過YM演算法所需 要的時間複雜度後，我們也研究出較佳的可靠度遞迴演算法及運算方式，其方 式也是參考YM演算法並自行推導及研究出一套遞迴法及矩陣法，使得二維連 續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度所運算的時間複雜度能夠更簡單、更有效率及 具精確性。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 11

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可 靠度

連續k-out-of-n：F系統可靠度，它是由n元件排列成一條線所組成的系統，每一 元件都有它的運作機率，若n個元件中有連續k (k < n)的元件不能運作，則整個系 不能運作；也就是說，我們將一有n個元件並被排列成線狀的系統，當此一系統 中若有連續k個元件失效則定義系統失效，並以連續k-out-n: F 系統可靠度，或以 連續k/n: F 系統可靠度來表示。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 12

2.1 符號定義

n 系統的元件數目

k 導致系統運作失效的連續元件參數 pi i元件運作正常的可靠度機率

qi i元件運作失效的可靠度機率，

q

= 1−

p

)

, ( j

i Q

1 , 1

j t t

q i j n

=

≤ ≤ ≤

∏

) , ( j

i

L

線性子系統的組成元件 ,

i i

+1,...

j

)

, ( j

i

C

環狀子系統的組成元件 ,

i i

+1,...

j

)

, ( j

i

R

^L

L

( j

i

, )線性可靠度機率 )

, ( j

i

Rc C

( j

i

, )環狀可靠度機率 )

, 1 (

1

n j

R

^L + 線性連續可靠度k-out-(n+j): F系統，i元件運作正常的可靠度機率，

n i

j

+1≤ ≤ 為Pi

2(1, )

R

L

n

+ 線性連續可靠度k-out-(n+j-1): F系統，i元件運作正常的可靠度機

j

率，

j

+1≤

i

≤

n

為Pi

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 13

2.2 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度

這一小節裡我們來介紹連續k-out-of-n：F系統可靠度，所謂連續k-out-of-n：F 系統可靠度，它是由n元件排列成一條有序列元件所組成的系統，每一元件都有 它的運作機率(一條線性系統，見下圖1.3)，若n個元件中有連續k (k < n)的元件不 能運作，則整個系統不能運作；也就是說，我們將一有n個元件並被排列成線狀 的系統，當此一系統中若有連續k個元件失效則定義系統失效，並以連續k-out-n: F 系統可靠度，或以連續k/n: F 系統可靠度來表示。我們可從1995年M. Chau et al

[17]例子說明，例子2.2：在一個通訊系統裡，有n傳達站台(如衛星或地下站台)，

如果發生有二個連續故障，則會造成整個通訊系統全部損壞或在一個油管系統 裡，有n抽油站，如果發生有二個連續故障，則會造成整個油管系統全部損壞，

其表示方法為2-out-of-n: F系統可靠度(見下圖1.4)。

連續k-out-of-n: F系統可靠度有很多的應用，比如：電信通訊系、太空轉接站、

監控系統、汽油管路、電腦環狀網路等等，相當值得研究的系統。以上是針對連 續k-out-of-n：F系統可靠度的定義及說明。

圖1.3. 線性k-out-of-n: F 系統可靠度，它是由n元件排列成一條有序列元件所組 成的系統

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 14

圖 1.4. (k=2)-out-of-n: F 系統可靠度，有 n 元件中有連續 k=2 的元件不能運 作，則造成整個系統不能運作---(有 2 個連續故障(k=2))

1981 年 Chiang 和 Niu [4]首次對所有的元件都是可靠的(IID)，而且在假設條 件之下來解決可靠度，甚至將理論實踐於實際的應用系統上，充分展示出對連續

k-out-of-n 系統的可靠度，可以用遞迴演算法有效的計算出來，也有很多的遞迴 演算法不斷的被提出來並改善對所運算的時間複雜度。1982 年 Hwang 和

Shanthikumar [5，9]分別將時間複雜度的觀念引入可靠度的計算，此後，較佳時 間複雜度的演算法不斷的被提出來；如 1982 年 Hwang[5]分別對線性系統提出 O(n) 的演算法。接著在 2.2.1 章節裡我們也介紹 Shanthikumar[9]的可靠度演算 法，在 2.2.2 章節裡也介紹 Hwang 的可靠度演算法。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 15

2.2.1 Shanthikumar 時間複雜度 O(nk)演算法

對於連續k-out-of-n：F系統可靠度，假如 1

j k

≤ ≤ ，則R_L(1,j)其可靠度的機 率值為1。在1982年，Hwang和Shanthikumar[5, 9]所推出的獨立遞迴演算法及方 程式如下：

) , 1 (

) 1 ,

1 ( ) 1 , 1 ( ) , 1

(

j R j R j k P Q j k j

R

^L = ^L − − ^L − − ^j−^k − +

n

≥

j

≥

k

+1--- (2.1)

考慮線性 L(1,j)，假如 L(1,j)要運作，至少條件 L(1,j-1)要能運作，除了一個 情況下會造成整個系統 L(1,j)可靠度會全部失效，那就是在 L(1,j-1)情況下，如果 失效的機率(q)有發生連續 k 個元件時，而且有 j-k(

P

^{j k}

− 機率)要能運作，則整個 系統 L(1,j)可靠度會全部失效。Shanthikumar 的可靠度演算法所建立的方程式在

(2-1)。他運算 RL(1,j) 當 j=1,2,….，然而 n 重複性的套用在遞迴演算法方程式之 上。因為在每一個(2-1)遞迴方程式中，都會有(k+1)相乘及一個減法套用，所以 整個所運算的時間復雜度為 O(nk)。

我們舉下面例子參考：

例如：若要計算一個 n=11、k=4，i 元件的機率為(Pi)=0.7+0.02(i-1)，

11

1≤ i≤ ，的連續 k-out-n: F 系統之可靠度

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 16

以下為機率(P)可運作的機率值

其初始條件如下

1 2 3 4

5

1

6

2

(1, 4) 0.3* 0.28* 0.26* 0.24 0.0052416 (1, 4) *

(2, 5) 0.28*0.26 * 0.24 *0.22 0.00384384 11, 4, 0.7 0.02( -1), 1 1

(2, 5) *

(3, 6) 0.26 *0.24 * 0.22 *0.2 0.0027456 (4, (3

1

7)

i

Q q q q q

Q q

Q q

Q q

Q q

Q Q

Example n k p i i

= = =

= = =

= = =

= = = ≤ ≤

=

+

7

3

8

4

9

5

10

6

8

, 6) *

0.24 *0.22 * 0.2 *0.18 0.0019008 (4, 7) *

(5, 8) 0.22 *0.2 * 0.18*0.16 0.0012672 (5, 8) *

(6, 9) 0.2 *0.18* 0.16 *0.14 0.0008064 (6, 9) *

(7, 10) 0.18* 0.16* 0.14 * 0.12 0.00048384 (8, 11)

q q

Q q

Q q

Q q

Q q

Q q

Q q

Q q

= =

= = =

= = =

= = =

=

q q q

_{9 10 11} =0.16 *0.14 * 0.12 *0.1 =0.0002688

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11

0.7 0.72 0.74 0.76 0.78

0.8 0.82 0.84 0.86

0.7 0.0

0.8 2(

8 -1) 1 11

0.9 _i

p p p p p

p p p p p

p p i i

= = = = =

⎧⎪ = = = = =

⎨⎪ = + ≤ ≤

⎩ =

(1, ) (1, -1) - (1, - -1) - ( - 1, )

. (1, 0) 1

(1, 1) ... (1, -1) 1 (1, ) 1- (1, )

L L L j k

L

L L

L

R j R j R j k p Q j k j

init R

R R k

R k Q k

= +

=

=

=

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 17

所以我們可從式2.1，可算出連續k-out-n: F系統的可靠度

故 (1,11) 0.986493287

R

_L =

1 2 3 4

1

2

3

(1, 0) 1 (1, 1) 1 (1, 2) 1 (1, 3) 1

(1, 4) 1- (1, 4) 1- 0.9947584 (1, 5) (1, 4) - (1, 0) (2, 5) 0.992067712 (1, 6) (1, 5) - (1, 1) (3, 6) 0.99009088 (1, 7) (1, 6) - (1, 2)

L L L

L L

L L L

L L L

L L L

R R R R

R Q q q q q

R R R p Q

R R R p Q

R R R p

=

=

=

=

= = =

= =

= =

=

4

5

6

7

(4, 7) 0.988684288 (1, 8) (1, 7) - (1, 3) (5, 8) 0.987721216 (1, 9) (1, 8) - (1, 4) (6, 9) 0.987095521 (1, 10) (1, 9) - (1, 5) (7, 10) 0.986711519 (1, 11) (1, 10) - (1, 6) (8, 11)

L L L

L L L

L L L

L L L

Q

R R R p Q

R R R p Q

R R R p Q

R R R p Q

=

= =

= =

= =

= =0.986493287

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 18

2.2.2 Hwang 時間複雜度 O(n)演算法

在 1982 年 Hwang[5]分別對連續 k-out-of-n：F 系統可靠度，提出二個遞迴演 算法方程式，他的方程式引用如下： ( n j k 1

≥ ≥ + )

∑

− +

=

+

−

= ^j

k j i

i L

L

j R i P Q i j

R

1

) , 1 ( ) 1 , 1 ( )

, 1

( --- (2.2)

( 1 , ) ( 1 , 1 ) 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , )

L L L j k

F j F j F j k p Q j k j

= − + ⎡⎣ − − − ⎤⎦ − − + ---(2.3)

當使用方程式 2.2，其值 , ¹ , ^{2 1} , . . . , ^{1 2} . . .

j j j j j j j k j k j

p p q p q q p q q

− − − − + − + ，其時間

複雜度能被計算為 O(k)，因為能使用一個除法和二個乘法。然而每一個 RL(1,j) 時間復雜度能被計算為 O(k)，因為包含二個已知條件(p、q)，其運算的總合加總 有超過 k 項乘積，因此，RL(1,j)需要被計算的條件為當 j=1,2,…n 時。所以 RL(1,n) 其時間複雜度能被計算為 O(nk)。

另外還有一種較佳的方法，就是在方程式 2.3，它也是以方程式 2.1 為基礎，

只不過 Hwang 觀查到以下關係：

1

( 1 , 1 ) ( , ) / .

j i

Q i j Q i j q q

+ + = +

然而對於 ^Q

( ) (

^{1 , k , Q 2 , k + 1}

)

^{, . . . , Q}

(

^{n + k + 1 , n}

)

其時間複雜度能被計算為 O(n)而且由第一次運算

Q

( 1 ,

k

)

和 ( 1 , ) ( , 1 ) /

i k i

Q i i k Q i i k q q

+ + = + − + ，並

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 19

在條件為

i

1 , 2 , . . . . ,

n k

.

= − 因此， ( 1 , )

F

L

j

其時間複雜度能被計算為常數項。

如果有 n 項計算 ( 1 , )

F

L

j

，其時間複雜度能被計算為 O(n)，因此，全部時間複雜 度會被計算為 O(n)。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 20

2.3 環狀連續 k-out-of-n: F 系統可靠度

在 這 一 小 節 裡 是 介 紹 環 狀 連 續 k-out-of-n ： F 系 統 可 靠 度 (Circular

consecutive-k-out-of-n：F system)，所謂環狀連續 k-out-of-n：F 系統可靠度，它 是由 n 個元件排列成環狀所組成的一個系統，每一元件都有它的運作機率(一條 環狀系統，見下圖 1.5.)，若 n 元件中有連續 k (k < n)的元件不能運作，則整個系 統不能運作。也就是說，我們將一有 n 元件並被排列成環狀的系統，當此一系統 中若有連續 k 個元件失效則定義系統失效，並以環狀連續 k-out-n: F 系統可靠 度，或以環狀連續 k/n: F 系統可靠度來表示。我們舉例子說明：(如圖 1.6.)環狀

2-out-n: F 系統可靠度，如果有二個失效則造成整個系統的失效。以上是針對環 狀連續 k-out-of-n：F 系統可靠度的定義及說明。

圖1.5. 環狀連續k-out-of-n: F系統可靠度，它是由n元件排列成一條環狀有序列元 件所組成的系統

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 21

圖 1.6. 環狀連續 2-out-of-n: F 系統可靠度，有 n 元件中有連續 k=2 的元 件 不能運作，則造成整個系統不能運作---(有 2 個連續故障(k=2))

1982 年 Derman , Liebermaand 和 Ross [3]對連續 k-out-of-n: F system，首次對 所有的元件都是可靠的(IID)，而且在假設條件之下來解決可靠度，然而也作出兩 個極具影響力的基礎貢獻，第一他們將線性系統推向環狀系統；第二他們對線性 系統引入了最佳化的一統設計，在 I.N.D.模式下，對不具相同可靠度的元件，可 因為存在位置的不同，而提高整體系統的可靠度，這個觀念也吸引了不同研究領 域的注意。

他們的理論也由 1982 年 Hwang [5]所延伸，而且也對環狀系統提出 O(nk²) 的 演算法；於 1987 年， Antonopoulon 和 Papastavridis[2]對環狀系統提出 O(n²k) 的演算法；在 1992 年， Wu 和 Chen [15]對環狀系統提出 O(nk)的演算法；1993 年 Hwang,Wu 和 Chen [7，16]對環狀系統分別再提出 O(nk)的演算法；1998 年 Chang,Chen 和 Hwang [14]對環狀系統再提出一個新的 O(nk)的演算法，而此演

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 22

算法比其他 O(nk)的演算法更精簡。接著在 2.3.1 章節裡介紹 Hwang 的可靠度演 算法為 O(nk²)。在 2.3.2 章節裡介紹 Wu 和 Chen 的可靠度演算法為 O(nk)。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 23

2.3.1 Hwang 時間複雜度 O(nk

²

)演算法

在 1982 年 Hwang 延用了 Derman, Liebermaand 和 Ross [3]，有關在環狀連續

k-out-of： F 系統可靠度所使用的參數，以下為環狀連續可靠度遞迴方程式，限 制條件為(n>k)

) 1 , 1 ( ) 1 ,

1 ( )

, 1 (

1

− +

− + +

= ∑

≤

≤ +

−≤

≤

j i R P i n j Q P n

R

^{i L}

n j i k n

k i

j

C ---(2.5)

考慮一個可以運作的環狀連續 k-out-n: F 系統，並且運作在索引值為 i & j，

並且在最大及最小的位置上，而且存在條件必須要為 n>k，使得環狀系統才可正 常運作。如果將存在於 i & j 的環狀系統切割成二線狀的子系統，然而每個線狀 的子系統不能有 k 連續失效元件，也就是說，i-1+n-j≦k，而且 L(i+1，j-1)必須 可運作。

Hwang 也觀察到 Q(j+1,n+i-1)可以被計算的時間復雜度能為 O(k²)，並對於 每個 O(k²)的 RL(i+1，j-1)所需的時間復雜度為 O(n)可被計算，因此對於 Hwang 所運用的演算法，對整個時間復雜度所花的時間為 O(n)+ O(k²)=O(nk²)。

第二章 連續 k-out-of-n: F 系統可靠度 24

2.3.2 Wu 和 Chen 時間複雜度 O(nk)演算法

在 1992 年，Wu 和 Chen[15]推導出環狀連續 k-out-n: F 系統可靠度的遞迴方 程式。表示方法如下：

)) , 1 ( ) , 1 ( )(

, 1 ( )

, 1 ( ) , 1

( ^{2 1}

1

1

i n R i n R i Q n

R n

R

^L

k

i

L L

C = −

∑

⁻ + − +

=

---(2.6)

在方程式 2.6 裡，有關 Q(1,1),Q(1,2),….Q(1,k-1)可被運算的時間複雜度為 O(k)。然而在連續 k-out-of-n：F 系統可靠度中，對於 RL(1,n)的運算方面，也由 Hwang 推導出時間複雜度為 O(n)。因此，在每一個 RL1(1,n+i) 或 RL2(1,n+i)，

1

1≤i≤k− ，其時間複雜度能被運算在 O(n +k)= O(n)。因此，

R c

( 1 ,

n

)

所有運算 的時間複雜度為 O(k)+ O(n)+ O(n k)= O(n k)。

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 25

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n):

F 系統可靠度

3.1 二維系統可靠度

首 先 我 們 先 對 二 維 連 續 系 統 可 靠 度 簡 單 介 紹 ， 所 謂 二 維 連 續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度

(

^{1< <r m&1< <s n}

)

，其定義方式為，它代表在 所有格子狀的線性連結系統中，若有(m ,n)陣列元件中有連續(r ,s)的次陣列元 件不能運作，則使整個系統不能運作或失效，稱為二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系 統 可 靠 度 。 這 也 在 第 一 章 (1.4 節 ) 有 介 紹 過 ， 不 過 對 於 一 般 二 維

(r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度

(

^{1< <r m&1< <s n}

)

，如果要找出一個簡單的式 子去評估這樣的可靠度系統，是非常的困難的，然而有一種方法有別於 YM 演 算法，並可用來評估這樣的系統，它的方法稱為 SDP；所謂 SDP 方法就是在 一個二維連續系統可靠度中，每一個(r. s)的矩形元件被切成微小的形狀，所形 成的排列組合，都會有各種不同的可能組和，然後再討論各種組和的可靠度 值，並將最後的結果相加。在 F 系統中，會有 (

m r

− +1)(

n

− +

s

1)的矩形元件被 切成微小的形狀。在一個環狀 F 系統中，有 (m r 1).n− + 的矩形元件形狀會被切 成微小的形狀。有關 SDP 方法的操作模式，相當於資料切成微小的形狀或微 小的路徑，並使用每一個被切成微小的形狀或微小的路徑去產生一個不相連接 的集合限制條件，使得不相連接的集合限制條件始終獲得成立，然而由

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 26

Yamamoto 和 Miyakawa[8]兩位作者則針對二維 (r,s)-out-of(m,n):F 的系統可靠 度來評估這樣的遞迴演算法，此方法稱之為 YM 演算法，這演算法比 SDP 方 法更有效率。

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 27

3.2 YM 演算法

3.2.1 符號定義

'_j

R 在 j 行系統中沒有連續 r 元件失效的機率。它也是代表在

Lin / Con / r / m : F

子系統及 j 行組成元件

φ ν

( ) 在維度 (

v r

− + 為二元向量集合 (1)

r

≤ ≤

v m

)

δ 在維度 (

v r

− + 的二元向量 (1)

r

≤ ≤

v m

).在這向量的 i 位置中存在有一值為

1，假如包括元件有 ( ,..)

i

, (

i

+1,..),….. (

i

+ −

r

1,...)，其確定行列中則會造成 系統全部失效，反之如果值為 0 則相反。一個在維度m r− +1的δ 向量，

代表在一條行的所有元件的狀態.我們僅對於在向量中而且值為 1 的元件 而感到興趣。然而並不是所有向量值為 1 的元件都存在於δ 向量中。我們 舉例說明：假如有 r=2 & m=4. 我們就會有m r− +1=3.一個三維向量 (1, 0,1) 在定義不可能存在這種δ 向量。如果使用這樣定義δ , (1,0,1) 則可能表示元 件 1 &元件 2 事件都會失效，同時元件 2 &元件 3 不會失效，而且元件 3 &

元件 4 都會失效.很顯然這樣的事件是不可能存在的，我們將一個三維向 量 (1, 0,1) 要排除在外，因為一個演算法將會產生δ 向量。

( )

M δ

在維度 (

v r

− + 的二元向量1) δ (

r

≤ ≤

v m

)，在最後值為 1 的索引。例如, 假如

δ

=(1, 0, 0,1, 0, 0)，然而

M

( )

δ

=4

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 28

j( )

F δ

表示對於在 j 行元件裡及產生δ 失效元件的機率

h 在演算法為一個整數可變因素, 0

i ≤ ≤

h

_i

s

,

for

1≤ ≤ − +

i m r

1

ε

i 在演算法為一個整數可變因素, 0≤ ≤

ε

_i

s

,

for

1≤ ≤ − +

i m r

1

1 1

( ; ,..., ^{m r} )

R j h h

− + ：線性 ( , ) /( , ) :

r s m j F 子系統，其參數存在有如格子大小

1, ,...2 _{m r} 1(1 ).

r h r h

× ×

r h

× _{− +} ≤ ≤

j n

每一個失效的格子都是依靠在隔壁鄰 近的格子.舉例說明,

h 表示在元件為

_i ( ,

i j

+ ，從左上角開始算起所產生1) 的失效元件，其格子大小為

r h for

× _i 1≤ ≤ − +

i m r

1

R 線性 ( , ) /( , ) :

j

r s m j F 子系統可靠度，包括在 j 行為第一位置 (1

≤ ≤

j n

).然而 ( )

R n 是二維可靠度系統； ( ) R j

=

R j h

( ; _i =0 , 1≤ ≤ − +

i m r

1).

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 29

3.2.2 演算法分析

所謂二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 的系統可靠度所評估使用的 YM 演算法，

它代表在 F 格子系統中，若有 (m, n) 陣列元件中有連續陣列元件 (r,s) 不能運 作，則整個系統不能運作，並且對於二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度及 評估這樣的遞迴演算法稱之為 YM 演算法。

以下介紹 YM 演算法：

首先我們需要去獲得一個向量集合

φ

(m)：並且包括所有合法的或有效的δ 及包括(

m

− r+1)向量面積，並至少在每一個δ向量中，有一值要為1的，以下為

使用遞迴方程式去尋找

φ

(m)

{ }

( )r (1)

φ = ---(3.1)

{ } { }

{ }

( 1) ( ( ), 0) ( ) ( ) (0,..., 0,1)

( ( ).1) ( ( )) 1 ( ( )) 2 1, ( ) ( ) 1

φ δ δ φ

δ δ δ δ φ

+ = ∈

= − + ≤ − + ∈

≤ ≤ −

∪

∪

v v for all v v

v if M v v r M v v r where v v

for r v m

　or

---(3.2) 由於每個δ向量指示在組合的特別行列的狀況下，我們需要找出δ這樣的機率 發生，並且來計算

F

^j(

δ

)對於每一個

δ φ

∈ ( )

m

而且

j

=1,...., .

n

這可能會被直接評 估及建立在δ向量的主要部份和組成元素可靠度上。以下為使用遞迴方程式去計 算 ( ;

R n h

_i =0, 1≤ ≤ − +

i m r

1)

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 30

1 1

1 1

( ; ,...., ) ' ( 1; 0, 0,..., 0)

( 1; ..., ) ( ), ( )

m r j

m r j

R j h h R R j

R j F

m

ε ε δ

δ φ

− +

− +

= × −

+ −

∈

∑

---(3.3)

對於

R' 在 j 行所有組成元素及在 j 行系統中沒有連續 r 元件失效的機率，而且為

^j 二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 子系統的可靠度而且能被獲得方程式如下：

1 1

0 0.

i i

i

i

h δ

ε δ

+ =

= ⎨⎧⎩ = 　if , 　 if 其邊界條件方程式 3.4 如下：

1 1

1 1

.

1 1

0 max ,

( ; ,..., )

1 0 max

i i m r

m r

i i m r

if h s R j h h

if j s h

≤ ≤ − +

− +

≤ ≤ − +

⎧⎪ =

= ⎨⎪⎩ ≤ ≤ − 　

　 ---(3.4)

所以有關二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度為

( ) ( ; _i 0,1 1 ) 1 .

R j =R j h= ≤ ≤ − +i m r for ≤ ≤j n ---(3.5)

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 31

3.2.3 範例及實驗結果

YM 演算法範例如下：

範例： (3.1) 假設要計算二維連續 (2, 2) /(4, n) : F 系統可靠度，而且對於所有 i,j 元素裡，

P

_ij = 。然而 r=s=2,m=4。

P

p=0.6 R'_j = −1 F_j( )δ = −1 q²−2pq² =0.648 q=0.4

R

'_j =0.648

我們從以下 5 個步驟來求解及計算二維連續 (2, 2) /(4, n) : F 系統可靠度 步驟1：

首先我們需要去獲得一個向量集合

φ

(m)：並且包括所有合法及有效的δ及包括

) 1

(

m

− r+ 向量面積，並至少在每一個δ向量中，有一值要為1的，以下為使用 遞迴方程式去尋找

φ

(m)

{ }

( )r (1)

φ = ---(3.6)

{ } { }

{ }

( 1) ( ( ), 0) ( ) ( ) (0,..., 0,1)

( ( ).1) ( ( )) 1 ( ( )) 2 1, ( ) ( )

1

φ δ δ φ

δ δ δ δ φ

+ = ∈

= − + ≤ − + ∈

≤ ≤ −

∪

∪

v v for all v v

v if M v v r M v v r where v v

for r v m

　or

---(3.7)

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 32

步驟2：

從式 3.1 和 3.2 可得，我們便可求得

φ

(m)如下：

^φ(2)=

{ }

^{(1) .}

φ⁽³⁾=

{

(1, 0), (0,1), (1,1) .

}

φ⁽⁴⁾=

{

(1, 0, 0), (0,1, 0), (1,1, 0), (0, 0,1), (0,1,1), (1,1,1) .

}

步驟3：

我們也從

j

=1,2,....,

n

可以獲得以下式子：

F

^j(1 , 0 , 0)=

F

^j(0 , 0 ,1)=

pq

² =0.096

F

^j(1 ,1 , 0)=

F

^j(0 ,1 ,1)=

pq

³ =0.0384

F

^j(0,1, 0)=

p q

^{2 2} =0.0576

F

^j(1 ,1 ,1)=

q

⁴ =0.0256

1. 在R'_j = −1 q²−2pq²(j=1,2,3)，以下遞迴式子是建立在式 3.3 R'_j = −1 F_j( )δ = −1 q²−2pq² =0.648

我們也將所求的 '

R

_j =0.648、

F

^j(

δ

)套用在式 3.8 遞迴式子

1 1

1 1

( ; ,...., ) ' ( 1; 0, 0,..., 0)

( 1; ..., ) ( ), ( )

m r j

m r j

R j h h R R j

R j F

m

ε ε δ

δ φ

− +

− +

= × −

+ −

∈

∑

---(3.8)

2 2

1 2 3

1 2 3

( ; , , ) (1 2 ) ( 1; 0, 0, 0) ( 1; , , ) ( ), (4)

j

R j h h h q pq R j

R j ε ε ε F δ

δ φ

= − − −

+ −

∈

∑

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 33

步驟4：

接下來我們還要用表格方式推導來求ε ，以下式子為求ε 所推導的表格方式：

1 1

0 0.

i i

i

i

h δ

ε δ

+ =

= ⎨⎧⎩ = 　if 　,

　 if ---(3.9)

表格(3.1)為

F

^j(

δ

)及

h

ⁱ

推導求ε

000 (0.648)

100 (0.096)

001 (0.096)

110 (0.0384)

011 (0.0384)

010 (0.0576)

111 (0.0256) 000 000 100 001 110 011 010 111 001 000 100 002 110 012 010 112 010 000 100 001 120 021 020 121 011 000 100 002 120 022 020 122 100 000 200 001 210 011 010 211 110 000 200 001 220 021 020 221 111 000 200 002 220 022 020 222

ε F h

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 34

步驟5：

其次，我們再定義初始條件及邊界條件方程式為：

1 3

1 2 3

. 1 3

0 max ,

( ; , , )

1 0 max

i i

i i

if h s R j h h h

if j s h

≤ ≤

≤ ≤

⎧⎪ =

= ⎨⎪⎩ ≤ ≤ − 　

　 --- (3.10)

表格(3.2)為 YM 演算法推導求出

R j h h h

( ; ,_{1 2}, ₃)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

000 1 1 0.9314 0.8774 0.8250 0.7760 0.7298 0.6865 0.6456

001 1 0.8400 0.8056 0.7555 0.7109 0.6686 0.6288 0.5914 0.5563

010 1 0.8400 0.8093 0.7582 0.7136 0.6711 0.6312 0.5937 0.5584

011 1 0.7440 0.7286 0.6809 0.6411 0.6029 0.5670 0.5333 0.5016

100 1 0.8400 0.8056 0.7555 0.7109 0.6686 0.6288 0.5914 0.5563

110 1 0.7440 0.7286 0.6809 0.6411 0.6029 0.5670 0.5333 0.5016

111 1 0.6480 0.6480 0.6035 0.5685 0.5346 0.5028 0.4729 0.4448

所以我們從以上式子及表格推導可求的

R j h h h

( ; ,_{1 2}, ₃)

1 1

1 1

( ; ,...., ) ' ( 1; 0, 0,..., 0)

( 1; ..., ) ( ), ( )

m r j

m r j

R j h h R R j

R j F

m

ε ε δ

δ φ

− +

− +

= × −

+ −

∈

∑

--- (3.11)

j h

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 35

2 2

1 2 3

1 2 3

( ; , , ) (1 2 ) ( 1; 0, 0, 0) ( 1; , , ) ( ), (4)

j

R j h h h q pq R j

R j ε ε ε F δ

δ φ

= − − −

+ −

∈

∑

1 2 3

(4; 0, 0, 0) 0.648* ( 1; 0, 0, 0)

( 1; , , ) ( ), (4)

j

R R j

R j ε ε ε F δ

δ φ

= −

+ −

∈

∑

R (4;0,0,0) 0.8250 =

如下表格 3.3 為二維連續 (2, 2) /(4, n) : F 系統可靠度 (i.i.d.)實驗結果

表 格 (3.3) 利 用 YM 演 算 法 求 二 維 連 續 (2, 2) /(4, n) : F 系 統 可 靠 度 的 機 率 結 果

表格(3.4)為計算二維連續 (2, 2) /(4, n) : F 系統可靠度所算出的機率結果

n=4 n=10 n=50

0.60 0.8250 0.5711 0.0492

0.65 0.8899 0.7107 0.1588

0.70 0.9370 0.5256 0.3553

0.75 0.9681 0.9086 0.5953

0.80 0.9864 0.9603 0.8026

0.85 0.9956 0.9869 0.9309

0.90 0.9991 0.9973 0.9857

0.95 0.9999 0.9998 0.9991

P n

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 36

所以我們可以由 YM 演算法來求解及計算二維連續 (2,2)/(4,n):F 系統可靠度的機 率結果及整理如下：

YM Algorithms p=0.6, q=0.4

n(j)=4 ，(r, s) / (m, n) = (2, 2) / (4, 4) R = 0.8250 n(j)=10 ，(r, s) / (m, n) = (2, 2) / (4, 10) R = 0.5711 n(j)=50 ， (r, s) / (m, n) = (2, 2) / (4, 50) R = 0.0492 從理論 3.1 可知，我們可得如下式子(

j

=0,1, 2,....,

n

) ：

( ;1, 0, 0) ( ; 0, 0,1),

R j

=

R j

R j

( ;1,1, 0)=

R j

( ; 0,1,1).

因此二維連續(2,2)/(4,n):F 系統可靠度為 ( ;0, 0, 0)

R n

，並根據如下 YM 演算法式 子 3.12 所得

( ) ( ; _i 0,1 1) 1 .

R j =R j h= ≤ ≤ − +i m r for ≤ ≤j n --- (3.12) 表格(3.3)(3.4)為二維連續 (2, 2) /(4, n) : F 系統可靠度並且使用I.I.D方法，根 據原作者可知，YM演算法所花的時間運算比SDP方法更快並更有效率。

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 37

3.2.4 時間複雜度分析

這一小節我們將分析 YM 演算法所需要的時間複雜度，在上一章節裡我們可以 從式子及表格推導可求

R j h h h

( ; ,_{1 2}, ₃)

1 1

1 1

( ; ,...., ) ' ( 1; 0, 0,..., 0)

( 1; ..., ) ( ), ( )

m r j

m r j

R j h h R R j

R j F

m

ε ε δ

δ φ

− +

− +

= × −

+ −

∈

∑

--- (3.13)

所以我們可以了解二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度為

( ) ( ; _i 0,1 1 ) 1 .

R j =R j h= ≤ ≤ − +i m r for ≤ ≤j n--- (3.14)

從以上式 3.3 可知，YM 推算個別的時間複雜度有

F

^j(

δ

)時間複雜度計算為

O(r

m

2)，在

R j h

( ; ,...,1

h

m− +r 1)式子中，矩陣大小為

(

^{n + 1}

) (

^{s + 1}

)

^{m− +r 1，因此最}

後 二 維 系 統 可 靠 度 總 共 時 間 複 雜 度 計 算 為

^{O n} (

^{( +1)(}

^s

^{+1)m r− +1}

^rm

²

)

=

^{O s} (

^{m r−}

^rnm

²

)

^。

Kuo[24]分析 YM 演算法，並將

F

^j(

δ

)時間複雜度計算由O(

m r 改為

². ) O(

m

²)， 最後時間複雜度為

^{O n} (

^{( +1)(}

^s

^{+1)m r− +1}

^m

²

) (

⁼

^{O s}

^{m r−}

^{m n 。}

²

)

不過經過我們分析後發現， ^{( 1; ...,1 1)}

( )

( )

− − +

∈

∑

^{ε ε δ}

δ φ m ^{R j m r Fj}

時間複雜度為

第三章 二維連續(r, s)-out-of-(m, n): F 系統可靠度 38

1 2

(

s

+1)^{m r− +}

m ， 因 此 最 後 二 維 系 統 可 靠 度 總 共 時 間 複 雜 度 計 算 為

(

^{( +1)( +1)m r− +1( +1)m r− +1 2}

)

O n s s m

=

^O ( ( ) ^s

^{m r− 2}

^nm

²

)

^。

第四章 利用矩陣計算二維系統可靠度 39

第四章 利用矩陣計算二維系統可靠 度

4.1 遞迴法

首先我們從以上章節可知二維連續 (r,s)-out-of(m,n):F 的系統可靠度，它代表在

F 格子系統中，若有(

m

,

n

)陣列元件中若有連續陣列元件( s

r

, )不能運作，則整個 系統不能運作，然而我們也從前章節裡使用 YM 演算法求解及計算二維連續

(r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度的機率，所算出的系統可靠度機率也都能正確無誤 來推導出來。

不過在本篇章節裡，我們使用自行推導的遞迴法，除了可正確無誤的推導及 計算二維線性 (r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度的機率之外，在求解及計算二維線性

(r,s)-out-of(m,n):F 系統可靠度的演算法方面，的確與 YM 演算法大有不同，而且 在演算法及公式推導方面也清楚看出遞迴法簡化了 YM 演算法的遞迴方式，對 於計算可靠度的時間複雜度也別於 YM 演算法，以下我們也列舉範例及介紹遞 迴法。

遞迴法範例如下：

範例： (4.1) 假設要計算二維連續 (2,2)/(4,n):F 系統可靠度，而且對於所有 i , j 元素裡，

P

_ij = 。然而 r=s=2,m=4。

P

p=0.6 R'_j = −1 F_j( )δ = −1 q²−2pq² =0.648

第四章 利用矩陣計算二維系統可靠度 40

q=0.4

R

'_j =0.648

我們從以下 5 步驟來求解及計算二維連續 (2,2)/(4,n):F 系統可靠度 步驟 1：

首先我們需要去獲得一個向量集合

φ

(m)：並且包括所有合法及有效的δ及包括

) 1

(

m

− r+ 向量面積，並至少在每一個δ向量中，有一值要為1的，以下為使用 遞迴方程式去尋找

φ

(m)

{ }

( )r (1)

φ = ---(4.1)

{ } { }

{ }

( 1) ( ( ), 0) ( ) ( ) (0,..., 0,1)

( ( ).1) ( ( )) 1 ( ( )) 2 1, ( ) ( )

1

φ δ δ φ

δ δ δ δ φ

+ = ∈

= − + ≤ − + ∈

≤ ≤ −

∪

∪

v v for all v v

v if M v v r M v v r where v v

for r v m

　or

---(4.2) 從式 4.1 和 4.2 可得，我們便可求得

φ

(m)如下：

{ }

(2) (1) . φ =

{ }

(3) (1, 0), (0,1), (1,1) . φ =

{ }

(4) (1, 0, 0), (0,1, 0), (1,1, 0), (0, 0,1), (0,1,1), (1,1,1) . φ =

步驟2：

我們可從向量集合

φ

(m)、

F

^j(

δ

)及

j

=1,2,....,

n

可以獲得以下式子：

F

^j(1 , 0 , 0)=

F

^j(0 , 0 ,1)=

pq

² =0.096

F

^j(1 ,1 , 0)=

F

^j(0 ,1 ,1)=

pq

³ =0.0384

F

^j(0,1, 0)=

p q

^{2 2} =0.0576

F

^j(1 ,1 ,1)=

q

⁴ =0.0256

第四章 利用矩陣計算二維系統可靠度 41

在R'_j = −1 q²−2pq², j=1.2.3....n， R'_j = −1 F_j( )δ = −1 q²−2pq² =0.648 我們也將所求的 '

R

_j =0.648、

F

^j(

δ

)套用在遞迴法式 4.3 遞迴式子

( , ) ( 1, ) * _j( )

R j R j h F

δ φ

ε δ

∈

=

∑

− ---(4.3)

步驟 3：

接下來我們要用表格方式推導來求ε ，以下式子是為求ε 用所推導的表格方式：

1 1

0 0.

i i

i

i

h δ

ε δ

+ =

= ⎨⎧⎩ = 　if 　,

　 if ---(4.4) 表格(4.1)為

F

^j(

δ

)及

h

ⁱ

推導求ε

000 (0.648)

100 (0.096)

001 (0.096)

110 (0.0384)

011 (0.0384)

010 (0.0576)

111 (0.0256) 000 000 100 001 110 011 010 111 100 000 200 001 210 011 010 211 001 000 100 002 110 012 010 112 110 000 200 001 220 021 020 221 011 000 100 002 120 022 021 122 010 000 100 001 120 021 020 121 111 000 200 002 220 022 020 222

ε F

h