||4||4

1. 已 知

1

|

| ^____ a ^\ 

| ^____ b ^\ |  3

19

| 2

| ^____ a ^\  b ^{____ \} 

^____ a ^\

與

____ \

b

1

____ \ ____ \

b

a 

2 cos .

3 由

____ \

a

^____ b ^\

解 1 由

) 2

( )

2 (

| 2

| ^____ a ^\  ^____ b ^{\ 2}  ^____ a ^\  ^____ b ^\  ^____ a ^\  ^____ b ^\

\ 2

\ ____

\ ____

2 ____

____ \

|

| 4

|

|

4 a  a  b  b



所 以

9 4

4

19   ^____ a ^\  ^____ b ^\ 

2 3 4

6

____ \ ____ \









 b a

2

2 1 3

1

2 3

|

||

|

cos _{____ \ ____ \}

____ \ ____ \



 

 

 

b a

b

 a

. 3 由 2 得

2

sin  3 , 故得三角形面積為

4 3 3

2 3 3

2 1 sin 1

|

||

2 |

1 ^____ a ^{\ ____} b ^\      

2. 設△ABC 三邊_AB, BC , CA之中點分別為 D(1, 1), ^E(3,2), F(5, 4), 試求 1 三頂點 A, B, C 坐標. 　 2 △ABC 面積.

解 1 作圖參考, 利用向量相等解之, 令 A(x, y),

由

____ \ ____ \

EF

DA 

) 6 , 2 ( ) 2 4 , 3 5 ( ) 1 , 1

(x y     故得 A(3, 7),

同 理 , 由

____ \ ____ \

FE DB 

____ \ ____ \

DF EC 

得B(1,5), C(7, 1).

2 所以

^____ AB ^\  (  4 ,  12 )

^____ AC ^\  ( 4 ,  6 )

得△ABC 面積 |( 4)( 6) ( 12)(4)| 36 2

1     

 .

3. 過 A(6, 2), B(11, 1)兩點的直線與直線 L：^{2x y5 7}交於一點 P, 試求AP :PB及 P 點坐標.

解 由

^____ AB ^\  ( 5 ,  1 )

 









 t y

t x

2 5

6

____ \ ____ \

____ \

AB t

OA

OP  

）,

取P(65t,2t), 代入直線 L, 得^{2(65t)5(2t)7}, 整理得15t5, 所以

3

1

t ,

即 P 在由 A 點到 B 點的三分之一點上, 即得AP:PB1:2, ) 3 ,5 3 (23

P .

4. x, ^yR, 已知^{2x y5}, 求4x² 9y² 的最小值及為最小時之 x, y 值.

解 由柯西不等式知 ² )²][(2 )² (3 )²] (2 )² 3

(1 1

[  x  y  xy , 故得 (4 ² 9 ²) 5²

9

10 x  y  , 約分得

2 9 45

4x² y² ,

且當 2

9 45

4x² y² 時

3 1 3 1 2x  y

 , 即^2x9y,

則得2x y10y5, 故 2

 1

y ,

所以當 4

 9 x ,

2

1

y 時,

2 9 45

4x² y² 為最小.

5. 如右圖所示, 有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里之 A 處, 直 朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里之 B 處的航標駛去, 到達航標後 即修正航向以便直線駛入港口, 試問船在航標處的航向修正應該向左 轉幾度.（整數以下, 四捨五入）

解 建立坐標系, 令甲港口 C(0, 0), A(27, 8), B(2, 3),

則

^____ AB ^\  (  25 ,  5 )

^____ BC ^\  (  2 ,  3 )

設所求夾角為 , 則

2 1 13

26 5

15 50

|

||

|

cos _{____ \ ____ \}

____ \ ____ \

 

 

 

BC AB

BC

 AB

,

故所求夾角為 45°.

6. 設 △ ABC 為 一 等 腰 直 角 三 角 形 , BAC 90, 若 P, Q 為 斜 邊

BC的三等分點, 求^tanPAQ之值.（化成最簡分數）

解 圖形坐標化（建立坐標系）, 如右圖：

令PAQ ,

則

)

3 , 2 3

( 1

____\



AP

3 ) , 1 3

( 2

____\



AQ

5 4 9

5 9

5

9 2 9

2

|

||

|

cos _{____ \ ____ \}

____ \ ____ \





 

 

AQ AP

AQ

 AP

,

所以 4

tan  3.

7. 設 A(a, 1), B(2, b), C(3, 4)為坐標平面上的三點, 而 O 為原點, 若向量

____ \

OA

與

____ \

OB

^____ OC ^\

解

^____ OA ^\  ( a , 1 )

^____ OB ^\  ( 2 , b )

OC ^{____ \}  ( 3 , 4 )

而

____ \

a

^____ b ^\

____ \

\ 2 ____

____ \ ____ \

)

|

|

( b

b

b a 

由向量

____ \

OA

^____ OB ^\

^____ OC ^\

4 , 3 25 (

4 ) 6

4 , 3 25 (

4

3a   b

所以3a464b 3a4b20.

8. 設 O 為坐標平面上的原點, P 點坐標為(2, 1)；若 A, B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點,

使得

____ \ ____ \

PB

PA 

值.（化成最簡分數）

解 如圖, A(x, 0), B(0, y),

) 1 , 2

\ (

____ PA  x  

) 1 ,

2

\ (

____ PB   y 

由

____ \ ____ \

PB PA 

\ 0

\ ____

____  

 PA PB

0 ) 1 ( ) 2 (

2    



 x y ,

5 2  

 x y , 又 OAB xy

2

 1

△ ,

利用算幾不等式 x y xy 2 2

2  

xy 2 2

5 

 ,

所以 2xy 25 4

8

25

 xy ,

即 16

25 2

1xy , 故最大面積為 16

25 .

9. 設直線 L1：5x12y20, L2：4x y3 110, 試求：

1 L1與 L2的交點坐標.

2 L1與 L2的夾角平分線方程式.

解 1

 















沴 泝







 0 11 3 4

0 2 12 5

y x

y x

由泝 沴4 21x420  x2, 代入沴得^{83y110  y1}, 所以 L1與 L2的交點⁽^2,¹⁾. 2 L1與 L2交角平分線的方程式為

5

| 11 3 4

| 13

| 2 12 5

| x y  x y ,

即 5

11 3 4 13

2 12

5x y  x y ,

整理得3x11y170或11x y3 190.

10. 試求由直線 L1：^y2, L2：^{3x y4 4}, L3：^{4x y3 2}所圍出的三角形內心

解 先作圖輔助研判,

L1, L2的交角角平分線為 _{2 2 2 2} 4 3

| 4 4 3

| 1 0

| 2

|





 



 x y

y

即 _{2 2 2 2}

4 3

4 4 3 1

0 2





 

 

 x y

y ,

) 2 ( 5 4 4

3    

 x y y ,

即^{3x y9 60}或^{3x y140}. 依圖取斜率為正者：x y³ ²⁰. L1, L3的交角角平分線為

5 2 3 4 1

2   

 x y

y

) 2 ( 5 2 3

4    

 x y y ,

即⁴x y² ⁸⁰或⁴x y⁸ ¹²⁰, 依圖取斜率為負者：^{x y2 30},

求x y³ ²⁰與x y² ³⁰之交點, 得交點(1, 1)即為內心.