建構

(1)

通訊作者：秦爾聰，e-mail：abechin@cc.ncue.edu.tw 收稿：2021 年 8 月 13 日；

接受刊登：2021 年 10 月 15 日。

蔡政樺、秦爾聰（2021）。

建構 SOTO 分類法並探討其評價高中數學教學之蘊涵。

臺灣數學教育期刊，8（2），1-42。

doi: 10.6278/tjme.202110_8(2).001

建構 SOTO 分類法並探討其評價高中數學教學之蘊涵

蔡政樺秦爾聰國立彰化師範大學科學教育研究所

本研究目的在於建立可觀察教學成果結構（The Structure of Observed Teaching Outcome, SOTO）

分類法，以此分類法評價高中數學教師的數學教學知識，探討其所展現的 SOTO 認知層次及其發展的主要特徵。本研究採用質為主、量為輔的個案研究法，並參照自 Learning Mathematics for Teaching（LMT）計畫所發展的教學數學品質指標（Mathematical Quality of Instruction, MQI）之教學觀察系統，整合出四位高中數學教師數學教學知識的課室觀察系統，針對 108 課綱普高數學第一冊多項式之四個教學單元，分析與評價四位個案教師的數學教學知識在 SOTO 分類法的認知層次，及其發展途徑之樣貌。研究結果有：（1）四位個案教師之數學教學知識，展現出 SOTO 分類法之單一（U）、多重（M）、關聯（R）、等價（E）以及結晶（C）等五種不同的認知層次與知識類別；他們的數學教學知識之認知發展的主要特徵為，出現個數不一之 U-M-R 迴圈或路徑之教學通路。（2）四位個案教師數學教學知識的 SOTO 認知層次與知識面向之差異性，在教學實作中呈現不同樣貌的教學認知發展漸進圖，進而導致產生不同風格的數學教學知識。同時，也發現四位個案教師數學教學知識在 SOTO 分類法的認知層次愈高，其所展現的教學知識品質也愈好。從教學評價的蘊涵來看，其意義揭示透過 SOTO 分類法之質性評價，可以讓高中數學教師的數學教學知識變得更加可見與可覺察。

關鍵詞：可觀察教學成果結構、教學知識、數學知識、數學教學知識

(2)

Corresponding author：Erh-Tsung Chin，e-mail：abechin@cc.ncue.edu.tw Received：13 August 2021;

Accepted：15 October 2021.

Tsai, C. H., & Chin, E. T. (2021).

Constructing a structure of observed teaching outcomes taxonomy to evaluate the teaching knowledge quality of high school mathematics teachers.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 8(2), 1-42.

doi: 10.6278/tjme.202110_8(2).001

Constructing a Structure of Observed Teaching Outcomes Taxonomy to Evaluate the Teaching Knowledge Quality of

High School Mathematics Teachers

Cheng-Hua Tsai Erh-Tsung Chin

Graduate Institute of Science Education, National Changhua University of Education

The structure of observed learning outcomes (SOLO) taxonomy is a model that assesses student progress toward understanding a subject. In this study, we adopted SOLO for teachers and created a structure of observed teaching outcomes (SOTO) taxonomy. We used SOTO to evaluate the mathematics teaching knowledge (MTK) of four high school mathematics teachers. We executed this through a quality- oriented and quantity-supplemented case study method by implementing the mathematical quality of instruction teaching observation system proposed by the Learning Mathematics for Teaching (LMT) project in the classrooms of four high school mathematics teachers. The four teachers were observed in their teaching of four units on polynomials from the first volume of general high school mathematics of the 12-year Taiwan National Basic Education Mathematics Curriculum. The four teachers in the case study demonstrated five different cognition levels of MTK: unistructural, multistructural, relational, equivalence, and crystalline. Several U–M–R loops appeared in the cognitive development paths of the four case teachers’ MTK. The differing SOTO cognition levels and knowledge dimensions of the four case teachers reveal different progressions of MTK mastery, which in turn lead to different styles of MTK. The higher the four teachers’ SOTO cognition levels, the better their teaching knowledge quality.

The SOTO taxonomy can be used to qualitatively evaluate the MTK of high school mathematics teachers.

Keywords: structure of observed teaching outcome, teaching knowledge, mathematics knowledge, mathematics teaching knowledge

(3)

壹、緒論

一、研究動機

教學如同推理和領會，亦如同轉化和省思（Shulman, 1987），這些思維方式與反應成果形成一種教學的知識品質，不僅能展現教師學科教學知識的獨特性，和教師專業發展的可複製性（李源順，2004），亦能幫助教師重組學生易於理解與思考的知識。因此，評價（evaluating）教師與數學教學知識，對於教育相關利益者的廣泛學習有深遠的影響（Hill, Umland, Litke & Kapitula, 2012）；再者，教師透過評量（assessment）瞭解學生學習與認知發展，對於教師調整教學與推動學生學習進步的策略，亦是至關重要的。可見，評價工具對教學與學習之認知發展的蘊含意義非凡。

評價數學教師之數學教學知識的意義，是基於客觀務實的教育價值，也是發展數學教師專業成長所要審慎面對的教育挑戰。畢竟，數學教師所做的並非以專業數學家的姿態去定義或者創造數學，而是和學生很像，藉由教與學來理解、解構或者建構數學（Noddings, 1992）。因此，

要發展數學教師數學教學知識之評價工具的關鍵要素之一，是深入瞭解專家數學教師之數學教學知識的構成面向（Hill, Ball, & Schilling, 2008），包括數學知識與教學知識。

關於學生從新手變為專家之歷程所展現的學習成果，Biggs 與 Collis（1982）已提出可觀察學習成果結構（Structure of the Observed Learning Outcome, SOLO）分類理論，認為人們思維表徵方式可透過學習，逐漸向更抽象的方向發展，並在認知發展的過程中表現出五個不同結構層次的學習成果。而關於教師與教學知識品質之評量指標，Hill 等人（2012）也建議有需要對教學用數學知識之內涵結構進行分析，提取更多有關這些數學教學知識的有效性與實用性之訊息，

以獲得更好的一致性評價。

教育是一切的根本，要透過教育成就每個孩子，也要透過教育培育有志教育的孩子成為優秀教師，以期提升教育品質，培育具有公民素養的下一代，這是一個具有永續循環的教育價值，

也是一個具有精緻遞移的教學認知發展。可見學習的認知結構是教學知識之認知發展的基石，

故而以SOLO 分類理論類比數學教師之數學教學知識的結構層次之評價意涵與應用，有其合理性。眾所皆知，教比學更難，因為教師要能夠在教學情境同時兼顧學生、教學、學習等脈絡內容，必須具有更高階的認知結構之教學知識，將當前的學校數學內容放置在較大的景色（Ball &

Bass, 2009），這種數學教學所需要具備的更寬闊視野，不僅讓教師有機會覺察自己的教學知識、

思考及信念（Mitchell & Marin, 2015; Schoenfeld, 2011），亦能促進教師覺察自己在教學情境中所做教學決策的改變。由此可見，數學教師所展現的數學教學知識之認知層次應比學生的學習成果在SOLO 的結構層次更高。

(4)

基於上述，為了建立一個類似SOLO 理論，以認知層次來描述高中數學教師之數學教學知識的評價工具，本研究參酌Learning Mathematics for Teaching (LMT) Project（2000）計畫中，研究教學的數學品質指標（Mathematical Quality of Instruction, MQI）（以下簡稱 MQI 編碼系統），

作為建構本研究課室觀察編碼系統的參考，分析四位高中數學個案教師針對高中數學領域之多項式教學單元所展現的數學教學知識。冀期所建立的評價工具，不僅能用於分析高中數學教師的數學教學知識所展現的認知層次及其發展的主要特徵，協助教師自我評鑑與察覺個人的教學知識品質，也能對整個教育評量的完整性，包括教師專業與學生學習評量，在教育意義與價值上做出重大的貢獻。

二、研究目的

為了建立一個分析高中數學教師之數學教學知識的評價工具，應先聚焦於數學教師在「教學」中知道與使用哪些數學知識與思考，也就是直接研究教師在教學情境中所用的與所需要的數學本質與內涵（Ball & Bass, 2000）。因此，本研究目的有下列兩項：

（一）描述高中數學教師之數學教學知識的認知層次及其發展的主要特徵，建立一個分析高中數學教師之數學教學知識的評價工具。

（二）利用所建立的評價工具分析四位個案教師的數學教學知識，探討其數學教學知識之認知層次的差異性。

貳、文獻探討與理論架構

一、數學教學知識的意涵與知識面向

Shulman（1987）認為學科教學知識（pedagogical content knowledge, PCK）能夠幫助教師將主題內容知識轉化為教學教材知識。Fennema 與 Franke（1992）分析數學教師的相關文獻後，

提出在教學情境中發展的數學教學知識模型，認為教師的數學知識、教學法知識、學習者數學認知的知識會在教學情境脈絡中交互作用。又相關研究（陳彥廷，2015；Grossman, 1990; van Driel, Verloop, & de Vos, 1998）亦發現，教師進行不同主題單元教學時，會展現出具有「特殊主題整合」（topic-specific integration）特色的數學 PCK 樣態。由此可見，具有數學教學知識認知結構的數學教師能夠融合一般教學知識，同時也能深層理解數學學科內容知識，以及熟稔數學獨特教學規準的知識（Cheang, Yeo, Chan, & Lim-Teo, 2007）。因此，本研究針對「數學教學知識

（mathematics teaching knowledge, MTK）」進行操作型定義是，數學教師運用自己對數學內容知識的組織與理解能力，藉由學生背景知識與能力的瞭解，和有效教學法的使用，執行數學專業領域教學過程中所涉及的知識。

(5)

Ball、Thames 與 Phelps（2008）提出數學教學用知識（Mathematical Knowledge for Teaching, MKT）之卵形領域圖（oval domain map）模型，將教師在進行數學教學時的知識分成兩大類別，

分別為學科內容知識（subject matter knowledge, SMK）與學科教學知識（pedagogical content knowledge, PCK）。Ball 等人（2008）認為應該要對教學活動進行數學分析，方能瞭解教學知識如何被實踐，以及數學知識如何被使用，故從質與量兩個途徑來研究教師教學知識，其中質的方面是從MTLT（Mathematics Teaching and Learning to Teach）計畫，建立一個數學教學資料庫，

從教學情境中分析教學所需要的數學知識；而量的方面是為了補充質性分析的不足，從 LMT

（2000）計畫中，發展檢測教學中數學知識品質（Mathematical Quality of Instruction, MQI）的系統，得到MKT 的六個知識領域。由此可見，Ball 等人透過數學分析探討數學教師的教學知識之認知發展，如何在數學內容知識（SMK）和教學內容知識（PCK）之間產生交互作用，這樣的觀點不僅支持，亦啟發本研究利用數學知識之內涵特徵，建立一個數學教學知識的分析架構，

探討高中數學教師的數學教學知識在教學實作中的整合情形及其所展現的認知層次之發展樣貌。

因此，本研究參酌LMT（2000）之 MQI 編碼系統，發展一個高中數學教師的課室觀察系統，又為了能較完整地呈現符合臺灣高中數學教師之數學教學知識類別的認知層次，故將高中數學教師的數學教學知識界定為「回應學生」、「數學的嚴謹性與豐富性」、「連結課室實務的數學」等三個知識面向，作為本研究探究個案教師數學教學知識認知層次的分析架構。

二、數學教學知識的認知層次分析對照

許多國內外學者（鍾靜、張淑怡、陳幸玫、陸昱任、戴坤邦，2012；Fennema & Frank, 1992）

研究數學教學知識，多以靜態的觀點審視教師所具備的專業知識樣貌，檢視教師所具備的數學教學相關知識。此外，也有學者（林碧珍，2001；Cochran, DeRuiter, & King,1993）認為教師的學科知識是會隨著教學活動不斷與其他知識互相連結與整合，應以動態觀點審視教師的專業知識樣貌。易言之，教師所具備的數學教學知識包含其特定主題的數學知識，並總和許多教學面向而組成的知識（Abell, 2008），是無法脫離教學情境脈絡的。故而衍生兩種關於教師的數學教學知識之主要研究取向，其一是探究學科教學知識內的其中一個知識面向是如何影響其他的知識面向；其二、學科教學知識的某個知識面向與整體學科教學知識之間的關聯（Park & Chen, 2012）。因此，本研究旨在整合出數學教學知識之三個知識面向的評價規準，作為分析個案教師數學教學知識結構層次的工具，探討某知識面向的認知層次與整體數學教學知識之間的關聯性，

及其在教學過程中的發展脈絡。

Piaget（1972）認為數學整體而言可視為結構的建置，從一個層級移動到另一個層級，這樣的過程在其中可轉變成為一個理論物件，亦可能會一直重複達到結構性的交替或是被一個更強大的結構所取代。Fennema 與 Franke（1992）亦認為數學教師的教學知識會在其所處教學脈絡

(6)

的交互作用下不斷發展。另外，Schoenfeld（2011）也認為教師在教學脈絡中所注意的是他（她）

所重視的，也會影響他（她）的教學決策，進而產生他（她）不同的教學行為，都與他（她）的信念與知識相關。由此可知，教師的數學知識在教學情境中，會不斷地與教學知識整合，透過心智的壓縮與連結，內化成經常使用的數學教學知識，並逐步導致精緻化，形成一個可思考的知識體（Gray & Tall, 2007; Tall, 2013）。這樣精緻化的教學歷程，將導致數學教師展現出不同認知層次的數學教學知識。故本研採用Gray 與 Tall（2007）的觀點，認為教師的數學知識在教學情境中，會不斷地與教學知識整合，透過心智的壓縮與連結，內化成經常使用的數學教學知識，

並逐步導致精緻化，形成一個可思考的知識體；相對地，教師的教學知識亦會隨著與數學知識進行交互作用，在教學情境不斷整合發展與改變。

另一方面，Hashweh（2005）認為研究教師學科教學知識時，必須深入的探討學科教學知識中的所有知識面向之間的關聯性，以及教師如何將學科知識與教學知識實踐於教學情境中。陳彥廷（2015）亦指出，要探究教師的數學教學知識是不能迴避教師的學科內容知識。因此，本研究依據上述觀點，提出「數學教學知識之認知層次分析對照圖」（the analysis and comparison graph of the cognitive level of mathematics teaching knowledge），利用此圖描述數學教師在教學情境中所呈現的數學教學知識之認知層次，亦用以分析各認知層次的數學知識與教學知識之整合情形。

此「數學教學知識之認知層次分析對照圖」之建構分為切割、分析和繪製等三個步驟，首先依教學段落與時間為原則，切割個案教師在教學情境中的數學教學知識事件，再根據研究團隊所發展的MTK 編碼系統，分析每個數學教學知識事件所涉及的數學教學知識面向，最後將分析的內容分類繪製成教師的數學教學知識之認知層次分析對照圖。

三、SOLO 理論及其架構

SOLO 分類理論是由澳洲教育心理學家 John Biggs 與 Kevin Collis（1982）所提出的，是一種以質性等級描述學習行為表現的評價方法。此理論認為描述學習發展和認知結構的最佳方法，

是分析學生的反應，即對刺激問題的回答。它也認為根據學生反應，能推測其內在認知過程的結構，亦能分析其對問題的深層理解，進而根據這些學習表現適切合理地評價其所處的認知發展階段。因此，SOLO 分類理論認為學生可透過學習將思維的表徵方式，逐漸向更抽象的方向發展，並在認知發展的過程中表現出五個不同結構層次的學習成果。

SOLO 的五種結構層次及其特徵，分別為

（一）前結構層次（pre-structural）：其特徵是學生缺乏解決問題的簡單知識，或回答問題時邏輯混亂或語意反覆，故無法正確使用相關表徵方式處理任務。

（二）單一結構層次（uni-structural）：其特徵是學生只關注單一狀況，使用一個相關線索，一找到線索就立即跳到結論，故學生會忽視問題內部其他可能出現的訊息或矛盾。

(7)

（三）多重結構層次（multi-structural）：其特徵是學生會使用兩個或多個線索，卻不能覺察到這些線索之間的聯繫，也不能對線索進行聯結。

（四）關聯結構層次（relational）：其特徵是學生能夠使用可獲得的線索，將問題的相關資訊聯結成一體，不僅能觸發聯想來解決較為複雜的問題，亦能夠在過程中進行反向操作，檢查錯誤與矛盾之處。

（五）擴展抽象結構層次（extended abstract）：其特徵是學生表現出強烈的探索精神，會歸納問題並概括出較抽象的結果，所得的結論不但能拓展問題本身的意義，亦對當前學習內容產生開放性和創造性的學習價值（Jimoyiannis, 2011）。

綜言之，SOLO 分類理論利用這五種結構層次，質性描述學生對某個學習內容的認知程度，

這些反應成果不僅能判斷學生從新手到專家的發展過程中所展現的某種思維表徵方式，亦能對該表徵方式的學習成果進行分類與評價。

因此，此分類法的理論架構啟迪了本研究探討高中數學教師之數學教學知識的認知層次。

顯然，數學教師的數學教學知識不太可能出現類似SOLO 分類法的前結構層次之特徵，事實上，

教比學更難，一個有能力真正地學的人，需要很久的時間才能夠真正地教（Heidegger, 1993;

Lerman, 2001）。由此可見，高中數學教師的數學教學知識必然會超越擴展抽象的認知層次，方能迎合這樣層次的學生之學習需求。此外，數學教師在擴展抽象結構層次中除了會展現出歸納與拓展數學概念的教學知識外，亦會在教學情境中概括與推理出某些數學概念或問題之間的等價關係，故數學教師的數學教學知識應會漸進至雙向對偶性推理的等價結構層次。

參、研究方法

一、研究設計與參與者

（一）研究設計

為了建立分析高中數學教師之數學教學知識（mathematics teaching knowledge, MTK）的評價工具，探討其認知層次及其發展的主要特徵，故本研究使用個案研究法，針對四位高中數學個案教師之MTK 進行資料蒐集與探討，為分析與描述其數學教學知識之認知層次與知識面向，

提供一個周延而完整的研究策略（Yin, 2017）。同時，研究者進入四位個案教師的教學現場進行教學觀察與錄影，並改編LMT（2000）之 MQI 編碼系統的細項，整合出四位高中數學個案教師在教學實作中所出現的類目編碼。

又為了更客觀的深入理解個案教師數學教學知識所展現的認知層次與知識面向，研究者也輔用持續性比較分析法（Strauss & Corbin, 1998），針對四位個案教師的課室教學影片進行深度分析與比較，以便提供資料分析方法方面的三角校正（Fusch, Fusch, & Ness, 2018）。由此可見，

(8)

本研究採取質的個案研究法，主要是針對四位高中數學個案教師的課室教學影片進行質性分析，

整合出高中數學教師MTK 之評價工具的編碼系統，再以此編碼系統的內涵特徵，對四位個案教師之數學教學知識的認知層次進行質性描述，並提供具體相關證據以資佐證，因而形成一個理論描述與主題探索兼具的個案研究設計（Creswell, 1998）。

（二）研究參與者 1.研究對象

為了充分探討高中數學教師之數學教學知識的認知層次，透過較為豐富的教學實作內容進行觀察、比較及分析，將有助於理解教學所用的和所需的知識類別與認知層次。有研究文獻

（Chinnappan & Lawson, 2005）指出，資深教師的教學知識比新手教師更有結構性且富有連通性，在教學情境所展現的數學知識之流暢性也比較好。因此，研究者立意選取四位高中數學資深教師，均來自於臺灣中部同一所公立高中，其背景資料如表 1 所示。為了保密起見，四位個案教師均給予代號，分別為ST1~ST4，教學年資分別為 17、15、20 及 27 年，且皆為男性。

表1

個案教師背景資料

教師代號 ST1 ST2 ST3 ST4

性別男男男男

畢業學系某國立大學數學系

某國立師範大學數學系

某國立大學資訊系

某國立師範大學數學系

教育程度碩士學士學士碩士

教授學科數學數學電腦、數學數學

特殊教學經驗數理資優班科學班語文資優班數理資優班、

科學班教學特殊專長指導科展

與競賽

指導科展與競賽

指導科展與競賽開設課程經驗多元選修課程多元選修及

競賽培訓課程

多元選修課程多元選修及競賽培訓課程

教學年資 17 15 20 27

2.研究分析社群

研究者為了整合數學教學知識之編碼系統，充分理解高中數學教師之數學教學知識之面向，

組織一個數學分析社群，成員及其角色包括：一位數學專家學者，提供高階數學領域的高度視野；一位數學師資培育者，提供相關數學教育理論的觀點；二位數學諮詢專家教師，提供相關

(9)

數學教學知識、想法和經驗並協助信度的檢測；四位個案教師，提供課室教學觀察與分享教學觀點；以及一位數學教育博士生，協助信度的檢測並提供關於研究上相關議題的不同觀點。

二、資料收集與影片分割編碼

（一）資料收集

經由諮詢專家討論後，所選取的高中課程教學單元內容儘量包含：數學概念的建立、發展該概念同時表徵過程與符號的過程概念以及連結該過程概念形成可思考的知識結構等三個教學面向，故研究者選取 108 課綱高中數學第一冊多項式之四個單元，作為四位個案教師課室觀察錄影的教學主題。研究期間針對這四個單元收集了四位個案教師的教學影片，總共約2624 分鐘，

大約44 小時。由於每位個案教師的教學風格與速度不盡相同，故其每個單元的教學影片總時間不同，又為了保有完整的教學片段，所截取的教學影集個數亦有些差異，經過統計整理後，得到四位個案教師之教學影片時間個數摘要表，如表2。

表2 中的單元 1 至單元 4，依序為多項式的除法原理、一次與二次函數、三次函數的圖形特徵、以及多項式不等式。根據表 2 的數據分析顯示，每位個案教師之教學影片時間大約介於 9.3~12.3 小時之間，其中這 3 個小時的差異，主要原因是個案教師 ST2 與 ST4 的延伸補充教材比其他兩位個案教師較多之故。另外，這四個主題之教學內容在四位個案教師的整體教學時間之比例，以單元1 和單元 2 最大，分別介於 35~43%及 31~45%，此比例與 108 課綱高中數學第一冊多項式之四個單元節數之間的佔比相似。

表2

四位個案教師之教學影片時間暨影集個數摘要表（時間單位：分）

單元1 單元2 單元3 單元4 整體總和個案

教師

影片時間

影集個數

影片時間

影集個數

影片時間

影集個數

影片時間

影集個數

影片時間

影集個數 ST1 198 15 216 16 74 6 67 5 555 42 佔比% 35.7 35.7 38.9 38.1 13.3 14.3 12.1 11.9 100 100

ST2 320 26 233 17 119 8 63 5 736 56 佔比% 43.4 46.4 31.7 30.4 16.2 14.3 8.7 8.9 100 100

ST3 223 17 230 18 81 6 78 6 613 47 佔比% 36.4 36.2 37.6 38.2 13.2 12.8 12.8 12.8 100 100

ST4 245 17 324 25 60 6 86 6 717 54 佔比% 34.2 31.5 45.3 46.3 8.4 11.1 12.1 11.1 100 100

(10)

由於錄影資料能夠忠實地提供有關語言敘述的線索與行為事件的記錄，經由適當的轉換程序如觀察、編碼和計數後，同時結合質性和量化的分析研究，不僅能統合時間與分析方式的使用，亦有助於研究者探索社會行為的特質與重要性（Jacobs, Hollingsworth & Givvin, 2007）。因此，本研究參酌Jacobs 等人（2007）所提的錄影資訊編碼循環模型，從藉由數學分析社群不斷重複觀看教學影片與討論開始，再產生構念、建立編碼及檢測信度，最後進行分析判斷並連結影片資料，以求更深入的理解LMT（2000）MQI 編碼系統的細項之顯性特徵，直到整合出本研究用以評價與描述數學教學知識的編碼系統為止。

（二）影片切割

關於各個教學單元影片的分割，經由數學分析社群的觀看、討論和分析，以保有教學內容的完整性為原則，將各教學單元影片分割成多個教學影集，再將一個教學影集以每五分鐘左右切成一個數學教學知識事件（以下簡稱教學事件），作為判斷個案教師MTK 的分析單位，以利觀察者審慎觀察與客觀分析。例如，若教學影集時間為11.25，則切割成 5 與 6.25 等兩個教學事件；若教學影集時間為13.21，則切割成 5、5 及 3.21 等三個教學事件。

三、研究工具

為了建立高中數學教師數學教學知識之評價工具的編碼系統，本研究改編LMT（2000）之 MQI 編碼系統，作為整合高中數學教師之數學教學知識的編碼系統（以下簡稱 MTK 編碼系統）

的參考。鑑於高中數學領域的知識有許多是屬於高推論性的，觀察者必須要運用其數學知識進行判斷才能夠進行分類編碼（卓益安、金鈐，2012），故研究者藉由兩位具有高階數學概念的觀察者來檢視各項目的信度。以下說明建立MTK 編碼系統表的流程。

（一）MTK 編碼系統表的製作

本研究參照MQI 編碼系統的各細項，藉由數學分析社群的不斷重複觀察與討論，針對個案教師之教學影片內容，按照前述三個教學面向做分類，精選出較適合用於分析臺灣高中數學教師之數學教學知識的細項。同時，在討論過程中持續進行比較與分析、整併與歸類，甚至新增類目，直到內涵類目無法再歸併為止，最後統整成本研究之MTK 編碼系統表，如表 3。以下針對表3 的主、次類目之調整情形加以說明。

(11)

表3

MTK編碼系統表

主類目次類目代碼

回應學生

Responding to Students（RS）

迷思概念之診斷與提前佈局因應數學條件與結果的判斷

M1

M2

數學的嚴謹性與豐富性 Rigor and Richness of the

Mathematics（RRM）

數學符號與詞彙的定義和使用多元思考模型

數學概念與表徵的連結及比較使用計算器或具體模型表達數學概念數學定理及公式的使用

延伸與推廣數學概念

利用數學證明或數學軟體進行高階思考引入超出當前內容的數學定義與符號與數學家或數學史連結

M3

M4

M5

M6

M7

M8

M9

M10

M11

連結課室實務的數學 Connecting Classroom Practice

to Mathematics（CCPM）

使用一般語言進行數學描述使用數學事實

補充進階探究問題或提示教材的位置使用術語輔助概念學習

M12

M13

M14

M15

1.主類別的調整

將MQI 編碼系統的五個主類別，根據數學本質與內涵（Ball & Bass, 2000），整併成 MTK 編碼系統的三個主類目，分別為回應學生（Responding to Students, RS）、數學的嚴謹性與豐富性

（Rigor and Richness of the Mathematics, RRM）、以及連結課室實務的數學（Connecting Classroom Practice to Mathematics, CCPM）。例如，將「偕同學生的數學使用」與「教學的內容與安排」整併為RS；將「教學活動中數學領域的知識」與「課程和教師帶導的數學特徵」整併為 RRM；將

「課程和教師帶導的數學特徵」與「為了教學平等使用的數學」整併為CCPM。

2.次類別的刪減

依據數學本質的定位分析，經過數學分析社群討論後，刪減MQI 系統中的十個細項。例如，

關於「全體、小組或個人活動的安排」，和「教師鼓勵並提供學生自主工的機會」等細項，主要考量是與數學本質的關聯性甚少，故予以刪除。

3.次類別的新增

（1）RS 部分

經由數學分析社群討論後，認為數學教師應必備一項教學知能就是解惑，主要考量是學生

(12)

問題的出現具有不可預知性，若要回答學生所遭遇的問題，則需要運用深厚的數學知識與經驗。

因此，在RS 中新增了兩個次類目，分別為「數學條件與結果的判斷」與「迷思概念之診斷與提前佈局因應」，以闡述高中數學教師能覺察其講解或計算時所出現的錯誤，或適當地解釋學生的數學想法與迷思概念。

（2）RRM 部分

經由數學分析社群討論，參酌臺灣 108 課綱普高數學領域的基本理念，認為任何一個數學定理和公式的誕生，都推動了數學史的發展，並在其中佔據了一個無法取代的地位；同時，數學史能夠幫助教師理解數學發展在不同時期與不同文化的差異，更能協助教師釐清數學學習的主軸。因此，在RRM 中新增了「數學定理及公式的使用」與「與數學家或數學史連結」等兩個次類目，以描述教師在介紹數學定理與數學史時所展現的知識脈絡與演繹思考之教學知識，畢竟將數學史融入教學需要整合很多數學概念（蔡文榮、張鈞淇、劉柏宏，2019），讓學生瞭解數學每一個公式定理的出現，都會對數學知識的發展產生關鍵性的影響。

另外，數學分析社群在觀看與討論四位個案教師之教學影片時，發現部分高中數學教師能熟悉並運用一些大學數學的高階知識與數學思維，這現象對教師教學與解答學生問題具有啟發作用。因此，在RRM 中新增「延伸與推廣數學概念」與「引入超出當前內容的數學定義與符號」

等兩個次類目，用以陳述教師運用高階知識和高觀點思維於學生學習的目的和優勢上。

綜合上述，本研究經過刪減、合併和新增過程，整合成MTK 編碼系統的三個主類目與十五個次類目，其代碼分別為M1~M15。在 MTK 編碼系統的每個次類目內涵，除了能闡述數學內容知識的類別特性外，亦能描述各主類目之教學知識的認知層次。例如，在RRM 主類目中，當教師使用兩點距離公式進行解題，則其數學內容知識歸屬「數學定理及公式的使用」次類目。如果教師先利用水平、鉛直之投影距離與兩點之距離會構成一個直角三角形，再使用畢氏定理，

推理得到兩點距離公式的數學內容知識，則應歸屬「利用數學證明或數學軟體進行高階思考」

次類目，且其教學知識的認知層次亦較高，主要關鍵在於教師能從不同視野與高度切入，運用高階數學思考執行論證程序，而非直接將公式套用到解題程序。

（二）MTK 編碼系統表之內涵特徵的介紹

以下逐一介紹調整後的 MTK 編碼系統各知識類目的教學知識，並提供個案教師教學影片所轉譯的質性資料，佐以描述其所展現的數學教學知識，闡明其與本研究之高中數學教師的教學知識品質有密切的關聯。

1.回應學生（Responding to Students, RS）：包含二個次類目，分別說明如下。

（1）迷思概念之診斷與提前佈局因應：對學生的迷思概念作反應，或利用學生的想法或算式解釋數學概念。例如，個案教師ST2 在單元 2 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如

(13)

下：

「教師提供一道有關解不等式時學生常出現之迷思概念的例題，讓學生提早因應與思考，

題目是已知一次函數 f x( )滿足1 f(1) 7,2  f(2) 5 ，求f(5)的範圍。教師提供含有迷思概念的錯誤解法，如圖1，讓學生思考與判斷，經過和學生互動討論後，指出產生迷思概念的關鍵在於等號成立的條件。」

圖 1 迷思概念之診斷與提前佈局因應

（2）數學條件與結果的判斷：判斷講解或計算出現的錯誤，或解讀學生的想法與答案。例如，

個案教師ST3 在單元 2 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師請同學上台分享解法，學生說明：由 a  b k 2 ，ab k ²3k5，列出

2 2 2

( 5) 19

a b   k  ，再由 k 的限制條件 4 3 k 4

    進行判斷，即可得最大值應該是 1 19 18

   ，如圖2。接著，教師判斷並回應：這位同學的解題想法關鍵在於，利用二次方程式有兩實根的條件，列出 k 的限制條件，進而求得最大值的正確答案，否則大部分的同學都以為 最大值是19，那是因為他們都忽略了實根的關鍵條件。」

圖 2 應數學條件與結果的判斷

2.數學的嚴謹性與豐富性（Rigor and Richness of the Mathematics, RRM）：包含九個次類目，分別說明如下。

(14)

（1）數學符號與詞彙的定義和使用：賦予數學概念符號表徵與詞彙描述。例如，個案教師 ST3 在單元2 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師利用對應關係之詞彙與集合的符號表徵對函數做出定義，如A 為定義域、B 為對應 域、以及值域為 f A( )，使用符號表徵f A( )B，說明值域是對應域的子集合。並以兩集合關係 AB且 BA之符號表徵代表兩集合互相包含，用來描述兩集合相等，如圖3。並在黑板上書寫函數的定義： f A: B，滿足 x_i A， y_i B，使得f x( )_i y_i，則y 稱為 x 的函數」。

圖 3 數學符號與詞彙的定義和使用

（2）多元思考模型：使用多重模型或觀點表達數學概念，展現概念的不同面向，如使用一題多解模式。例如，個案教師ST3 在單元 4 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師透過多重模型或想法，針對例題：已知xR，求

2 2

( ) 1

x x

f x x x

  

  之最大值與最小值，以及

4 3 2

2

2 1

( ) 1

x x x

f x x x

  

   之最小值，提供兩種截然不同的解法，其一是利用二次方程式有實根的判別式恆大於等於零的想法；其二是利用算幾不等式的模型求得最小值。對數學問題與概念，展現多元數學思考的教學知識，如圖4。」

圖 4 多元思考模型

（3）數學概念與表徵的連結及比較：指出數學概念與表徵間有所關聯，或指出解法優劣異同。

例如，個案教師ST4 在單元 2 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

(15)

「教師整理二次函數 f x( )ax²bxc a( 0)之圖形結構，與係數a, b, c 及判別式b²4ac 的正負關係，如圖5，如 a 用來判斷其凹口方向，b 可由對稱軸的位置，或圖形與 y 軸交點的切

線斜率m，也就是如果 m 是正的，b 是正的，而 m 是負的，b 是負的。」

圖 5 數學概念與表徵的連結及比較

（4）使用計算器或具體模型表達數學概念：操作計算器或在黑板上畫圖，幫助理解數學概念。

「透過平移變換消去二次項後，將函數 f x( )x³6x²4x24 轉換為 ( ) ( 2)3 8( 2) 32

f x  x  x  ；再利用綜合除法，將 t³ 8t 32 (t 4) ( )Q t 化為 ( ) ( 2)3 8( 2) 32 [( 2) 4] ( )

f x  x  x   x  Q x，如圖6。並畫出其函數圖形會通過x軸上點(6,0)，說明圖形彎曲的關鍵在於三次與一次係數的正負」。

圖 6 使用計算器或具體模型表達數學概念

（5）數學定理及公式的使用：套用數學定理與公式，包括恆等式及不等式的數學式，執行有效率的數學程序。例如，個案教師ST3 在單元 2 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「關於函數y3x²如何平移可得到新函數y3x²12x16。教師利用代換公式，將y3x² 向右平移h，向上平移 k，得到y k 3(xh)²，再與y3x²12x16之係數進行對照，求得h,

(16)

k 之值，如圖 7。」

圖 7 數學定理及公式的使用

（6）延伸與推廣數學概念：將當前數學概念延伸，推廣為進階的數學知識。例如，個案教師 ST3 在單元 1 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「延伸多項式的表達式，推廣牛頓與拉格朗日插值多項式的數學概念。關於滿足三個多項式值 f(₁)₁ ， f(₂)₂ ， f(₃)₃ 的最低次多項式，其牛頓插值多項式為

1 2 1 1

( ) ( )( )+b( )+

f x a x x x  ，如圖 8 ，而拉格朗日插值多項式為

1 3 2 3

1 2

3 2 1

3 1 3 2 2 1 2 3 1 2 1 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) + +

( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x

x x

f x         

           

   

 

       。」

圖 8 延伸與推廣數學概念

（7）利用數學證明或數學軟體進行高階思考：證明數學公式、定理或性質，或藉助數學軟體進行高階思考。例如，個案教師ST4 在單元 4 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「證明一道題目，已知a  b c 0，abbcca0，abc0，試證：a, b, c 均為正數。教

師先點出a, b, c 的正負共有八種，要怎麼證明其中一種三個都是正的。再解釋題目敘述與多項

式並無關聯，要如何聯想到使用多項式概念證明此題，如圖9，讓學生學習運用過程概念進行推理證明。」

(17)

圖 9 利用數學證明或數學軟體進行高階思考

（8）引入超出當前內容的數學定義與符號：介紹非當前內容的高階數學符號表徵與數學概念定義。例如，個案教師ST4 在單元 1 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師介紹同餘是高等數論的概念，由德國數學家高斯最先定義，即當兩個整數a 與₁ a 除₂ 以同一個正整數b，得到相同的餘數，則稱a₁,a 對於₂ b 同餘，以符號a₁a₂(mod )b 表示。顯示教師引入超出當前學校內容的進階概念，發展成多項式餘式的模運算，如圖10。」

圖 10 引入超出當前內容的數學定義與符號

（9）與數學家或數學史連結：涉及介紹相關數學概念的數學發展史，或數學家的數學想法。

「教師提及牛頓是三大數學家之一，包括阿基米德、高斯。並介紹牛頓解題想法如下：已知 f(1)7, (3) 1, (4) 10f  f  ，先作一個圖表，在圖表中算斜率，求得一次斜率1 7

3 1 3

  

 ，

10 1 9 4 3

 

 ，…，再求二次斜率（不是真正的斜率）9 ( 3) 4 1 4

  

 ，最後將所得到的4, 3,7 圈起來，

如圖11，指出這三個值與f x( )4(x1)(x 3) 3(x 1) 7中的係數4, 3,7 之關係。」

(18)

圖 11 與數學家或數學史連結

3.連結課室實務的數學（Connecting Classroom Practice to Mathematics, CCPM）：包含四個次類目，

分別說明如下。

（1）使用一般語言進行數學描述：利用生活語言譬喻或表達數學概念，條理清楚的解說數學步驟或程序。例如，個案教師ST1 在單元 1 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「根據政府部門統計，說明臺灣的觀光客以日本最多。因為超便宜，由於日本薪水和物價指數合起來是臺灣的10 倍，也就是說在臺灣可以賺 4 萬元，在日本可以賺 40 萬元，但匯率兌換只有3 點多，所以超便宜的。舉例說在日本一碗拉麵 6、7 百日元，換算臺幣要 200 元。教師利用數學的線型函數，以日常用語解釋生活情境的數學問題。」

（2）使用數學事實：自動化提取學過或精熟的數學知識或問題，如心算、過程概念、或特殊的數學感。例如，個案教師ST2 在單元 4 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師將已學過的二次函數ax²bx c 恆負之充要條件為a0且b²4ac0，視為二次函數圖形結構的數學事實，如圖12。這樣的數學事實能幫助教師快速掌握數學概念的重點，也能在教學過程中快速提取，支持學生進行解題思考。」

圖 12 使用數學事實

（3）補充進階探究問題或提示教材的位置：補充非當前學校內容的進階問題，幫助學生更加理解數學概念，或提及與未來學習有關聯的內容位置。例如，個案教師ST4 在單元 3 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

(19)

「教師介紹三次函數的圖形特徵之學習單元，在舊課程是規劃在高三選修課程，以微積分為工具探討它的圖形結構。當前數學內容是以一次與二次函數為基礎，探討三次函數圖形的結構。」

（4）使用術語輔助概念學習：利用口訣或術語幫助學生理解與記憶數學概念。例如，個案教師ST4 在單元 4 有一段教學情境呈現此知識類別，簡述如下：

「教師利用解法口訣，將解多項式不等式的四個步驟，稱為一條龍原理：因式分解、畫數線標示實根、畫一尾龍以作答但要注意等號是不成立。如圖13，協助學生瞭解一條龍是函數圖形的一個意象表徵。」

圖 13 使用術語輔助概念學習

（三）MTK 編碼系統表的信度檢測

雖然MTK 編碼系統的各類目，經由數學分析社群的充分討論所整合而成的，但為了建立可信的編碼系統與減低過度主觀，所以本研究依下列流程檢測此系統的信度。首先，關於信度檢測者的選取，由於所探討高中數學教師之數學教學知識的認知層次，較偏向於數學本質與內涵，

又本研究工具之評價原則為，數學教師不論以單調或全面方式展現其數學教學知識，若確定評價規準中的某顯性特徵具體顯現於教學行為，則表示其數學教學知識已由最低層次漸進到其所對應的認知層次，但不注重出現頻率的多寡。也就是說，認知層次提升的判斷關鍵，是根據數學教師在教學情境中的具體教學行為，所展現出對數學知識的理解、意識、覺察、調整與統整之教學思考與策略改變，方能確認其低階認知層次累積足夠飽和度漸進至較高的認知層次。由此可見，MTK 編碼系統之信度的檢驗者應擁有較高層次的數學知識才能正確地編碼。因此，研究者選取數學分析社群中的一位數學專家教師與一位數學教育博士生一起進行一致性的檢測。

接著，挑選四位個案教師中教學年資最長之ST4 的關於第 2 單元之課室教學影片，由檢測者獨立地依據此MTK 編碼系統表進行判斷、分析和編碼。最後，藉由 kappa 統計量（以下稱 K 值）

（Cohen, 1960），進行此系統所有類目的信度檢測。

本研究由K 值的大小來檢驗兩次以上評估檢測的一致程度，如落在 0.61 ~ 0.80 表高度一致

(20)

性，落在0.81 ~ 1.00 表幾乎完全一致性；又根據若以教學影片替代實際課室觀察，則 K 值須大於0.75 才算達到評價結果之一致性的論點（Frick & Semmel, 1978）。據此，經由信度檢測的kappa 統計結果，得到MTK 編碼系統整體的 15 個次類別之 K 值約為 0.86。可見，此結果符合 Frick 與Semmel（1978）的信度要求，顯示本研究 MTK 編碼系統的評價結果，具有高度的一致性。

另外，在效度方面，在資料收集、討論、分析、編碼和檢驗的研究期間，透過研究者與數學分析社群之成員的三角檢定，提供研究者不同面向的思考，減少研究者疏失與主觀偏見，以獲得較高的研究效度。此外，研究者也與數學分析社群針對課室影片的數學教學知識及其轉譯稿資料持續交叉比較，進行資料來源的三角校正，以檢核資料的正確性，冀期運用完整和豐富的資料，檢驗與分析在四位高中數學個案教師的數學教學知識。

肆、研究結果與討論

本研究旨在建立分析高中數學教師數學教學知識的評價工具，探討其數學教學知識的認知層次及其差異性。以下針對四位高中數學教師數學教學知識的認知層次及其主要特徵，和認知層次的差異性等兩個研究結果，詳加論述如下。

一、個案教師之數學教學知識的認知層次及其主要特徵

針對四位個案教師關於多項式主題內容之四個教學單元的課室教學觀察資料，透過MTK 編碼系統各類目之顯性特徵，和持續比較法進行質性分析後，發現其教學表現都會出現一些不同認知層次的數學教學知識，同時也顯現出其認知層次發展途徑的主要特徵。以下針對四位個案教師之數學教學知識的認知層次及其主要特徵加以論述。

（一）數學教學知識的認知層次

以下是針對個案教師ST4 在多項式主題之第 2 單元一次與二次函數的教學影片，透過本研究所發展的 MTK 編碼系統進行分析與評價，並詳細論述此單元教學情境中的一些數學教學知識事件（以下稱為教學事件）所反應的認知層次，和其所涉及的數學教學知識類別。

1.教學事件一：教師 ST4 畫出函數 f x( )ax²之拋物線圖形，指出其開口方向能反應係數𝑎之正負值。顯示其數學教學知識處於，單一數學概念反應出一個教學知識內涵，故其認知層次達到單一結構層次（Uni-structural level, U）。而所展現的數學知識與教學知識，分別是使用二次函數圖形為拋物線之數學事實，和運用二次函數領導係數反映圖形開口方向的教學策略。

2. 教學事件二：教師 ST4 在黑板上畫出多個二次函數圖形，型如 f x( )2x²8x6， ( ) 2( 2)2 2

f x  x  ，f x( )2(x1)(x3)，f x( )2(x1)²8(x 1) 6等不同表達式。顯示其數學教學知識處於，多個孤立數學概念各自反應其教學知識內涵，故其認知層次達到多重結構

(21)

層次（Multi-structural level, M）。而所展現的數學知識與教學知識，分別是使用二次函數之不同符號表徵的數學概念，和運用不同符號表徵各自反映其圖形結構的教學思考。

3.教學事件三：教師 ST4 講解不同表徵之二次函數 f x( )a x( h)²k與f x( )a x( )(x) 之間的圖形關係，得到

h 2 的結果。顯示其數學教學知識處於，將多個關聯性的數學概念連結並聯繫成一個教學知識網絡，故其認知層次達到關結構層次（Relational-structural level, R）。而所展現的數學知識與教學知識，分別是使用數學代數符號表徵的幾何意義之數學概念，

和運用數學符號表徵與圖形結構進行連結與比較，來探討其關聯性的教學方法。

4.教學事件四：教師 ST4 利用代數符號表徵，解釋二次函數 f x( )ax²bxc，經過向右平移h 單位，向上平移k 單位之平移變換後，得新函數表達式為 f x( )a x( h)²b x(   h) c k。再將此過程術語化，即原函數中的x 用(x h )代換，y 用(x k )代換，也就是常數項加k。顯示 其數學教學知識處於，將關聯性的數學概念進行歸納與整合，並能拓展問題本身的意義，雖然與 SOLO 理論的擴展抽象認知層次相仿，但它亦能推理出其系統性結構的雙向等價關係，可見其認知層次應比擴展抽象層次高，因此本研究稱此認知層次為等價結構層次（Equivalence- structural level, E）。而所展現的數學知識與教學知識，分別是使用等價性的數學概念或程序，

形成一個可操作、可思考的過程概念，和運用等價性的過程概念進行數學推理，並將過程概念口語化以利執行程序性知識的教學行為。

5.教學事件五：教師 ST4 補充進階問題進行數學探究，利用二次函數 f x( )x²c，提供一個初始情境，給定參數 c 值與初始值𝑥₀，經過 f x( )的多次迭代後，藉由 GGB 數學軟體的操作輔助，與學生一起探討迭代函數 f f( ( f x( )))的動態系統之渾沌問題，引導學生體驗數學應用的探究實作。顯示其數學教學知識已超越一個有關常數項與函數圖形上下平移變換之間的等價認知層次，進而發展到能運用心智連結與壓縮，將高階的數學知識不斷地與教學知識整合，形成一個具有多面向的數學教學知識體系。這個現象與Tall（2013）所提的結晶概念之觀點相仿，

認為它是一個具有內部結構的多面向知識體系，也是數學思考之最高階的認知層次，故本研究引用這個觀點，用以闡述個案教師 ST4 之數學教學知識能達到統籌更高階思維的結晶結構層次（Crystalline-structural level, C）。而所展現的數學知識與教學知識，分別是使用數學條件、

工具和具體模型表達數學概念，延伸與推廣數學概念，以及運用數學工具探究進階問題，提供學生一個富有創意與探究學習機會的教學思考與策略。

根據上述教學事件的分析與編碼結果，顯示教師ST4 在第 2 單元一次與二次函數之整體教學情境所展現的數學教學知識，出現五種不同的認知層次，分別為單一、多重、關聯、等價和結晶結構層次。由此可見，此結果闡明了高中數學教師的數學教學知識具有結構層次的特徵，也

(22)

支持本研究建立一個可觀察教學成果結構（The Structure of Observed Teaching Outcome, SOTO）

認知層次光譜圖，如圖14，不僅能描述教師之數學教學知識的認知層次，亦能反應其數學知識和教學知識的內涵特徵。因此，不論從新手教師到專家教師的數學教學知識，都有可能在SOTO 認知層次光譜圖中展現不同認知層次與知識類別，進而針對其數學教學知識進行分類與評價，

故稱為SOTO 分類法。

圖 14 SOTO 認知層次光譜圖

接著，研究者將上述 SOTO 分類法的五種認知層次，由低而高依序編碼為 1~5，再透過本研究的MTK 編碼系統，針對個案教師 ST4 在第 2 單元一次與二次函數的整體教學影片，切割成25 個教學影集，以及 67 個教學事件，再進行數學教學知識的編碼與分析統計，最後得到個案教師ST4 有關第 2 單元之數學教學知識在 SOTO 分類法的認知層次統計表，如表 4。同時，

研究者再利用「數學教學知識之認知層次分析對照圖」之建構三個步驟，繪製個案教師ST4 在此單元關於SOTO 分類法的認知層次分析對照圖，如圖 15，此圖不僅可描述其數學教學知識的 SOTO 已達到結晶結構層次，亦可用以分析教師 ST4 在教學情境中，所呈現各認知層次的數學知識與教學知識之內涵特徵。

(23)

表4

教師ST4在單元2的數學教學知識之SOTO認知層次統計表

影集編號 E1 E2 E3 E4 E5

SOTO 編碼 5 5 5 5 5

影集編號 E6 E7 E8 E9 E10

SOTO 編碼 4 4 5 4 5

影集編號 E11 E12 E13 E14 E15

SOTO 編碼 4 5 4 5 5

影集編號 E16 E17 E18 E19 E20

SOTO 編碼 5 5 5 5 5

影集編號 E21 E22 E23 E24 E25

SOTO 編碼 5 5 4 4 5

單元2 整體 SOTO 編碼平均值 4.72

圖 15 教師 ST4 在單元 2 的數學教學知識之 SOTO 認知層次分析對照圖

綜合上述研究結果，本研究針對 SOTO 分類法之五種結構層次的內涵特徵進行清楚明確的定義，同時與 SOLO 分類法之五種結構層次內涵進行對照分析與比較，如表 5。根據研究結果

(24)

所整理的表5 中兩種分類法之五種結構層次內涵特徵的意義描述，可見 SOTO 分類法之結構層次相對高於SOLO 分類法一個層級，此現象與師者乃傳道、授業、解惑之角色的觀點雷同，顯示數學教師的數學教學知識之認知層次通常比學生的認知層次高，方能提供學生一個有感的學習機會。根據表 5 中「等價」結構層次之定義與闡述，可知其與「關聯」結構層次的共同特徵是能夠處理至少兩種以上不同表徵的數學教學知識內涵，而它們的差異主要在於達到「等價」

結構層次的數學教師能夠針對學科內容與學科教學等兩種知識類別，建立一個關聯性的知識網絡，同時能夠有系統地整合其知識網絡的雙向等價結構關係。此外，根據評價結果亦發現，四位個案教師的某些教學行為除了能夠將等價層次的知識結構擴展至一種新的推理方式，並能概括出一些抽象特徵之外，又能夠運用心智連結與壓縮，發展成一個多面向結構的知識理論體系，

顯示四位高中數學教師之某些數學教學知識，不僅已達到擴展抽象層級，同時也反映其數學教學知識具有能統籌更高階思維之數學視野的「結晶」結構層次。此「結晶」詞彙，乃引用 Tall

（2013）之 TWM 理論中的結晶概念內涵，用以反映教師教學知識的數學思考能達到統籌更高階思維的結晶知識體系。

表5

SOTO與SOLO分類法的五種結構層次內涵特徵之分析對照表

SOTO 分類法內涵特徵 SOLO 分類法內涵特徵

單一結構

（U）

教師知道單一數學概念，反映一個教學知識內涵。

前結構

（P）

學生缺乏解決問題的簡單知識，

或回答問題時邏輯混亂或語意反覆。

多重結構

（M）

教師知道多個孤立數學概念，反應其相應的教學知識內涵，但未形成聯繫的教學知識網絡。

單一結構

（U）

學生有快速回答問題的慾望，只關注單一主題或問題的線索，一找到線索就立即跳到結論。

關聯結構

（R）

教師知道多個數學概念，連結相應的教學知識內涵，並聯繫成一個教學知識網絡。

多重結構

（M）

學生會使用兩個或多個線索，卻不能覺察到這些線索之間的聯繫，也不能對線索進行整合。

等價結構

（E）

教師能針對至少兩種以上不同表徵的教學知識內涵，形成關聯性的教學知識網絡後，亦能揭示其系統性結構的雙向等價關係。

關聯結構

（R）

學生能夠使用所有可獲得的線索，將問題的一些相關資訊整合成有結構性的體系。

結晶結構

（C）

教師能將一些具有等價結構的教學知識網絡，運用心智連結與壓縮，發展成一個具有結晶結構的知識理論體系。

擴展抽象結構

（EA）

學生能夠將關聯層次的結構擴展至一種新的推理方式，並能概括出一些抽象特徵。

(25)

（二）四位個案教師之數學教學知識所達到的 SOTO 層次

研究者透過本研究所整合的 MTK 編碼系統，針對四位個案教師在多項式主題內容的四個教學單元之整體教學影片，依據教學影片時間進行教學影集與事件的切割，再利用 SOTO 分類法的五種認知層次之編碼為1~5 進行評價編碼，並依照教學時間比例統計各單元與整體的 SOTO 認知層次之加權平均數，最後得到四位個案教師在多項式四個主題單元的數學教學知識在SOTO 分類法的認知層次統計表，如表6。

根據表6 之數據分析結果，發現以下幾個現象：

1.針對教師 ST1 在多項式主題內容之第 1 至 4 個單元之數學教學知識，其 SOTO 認知層次分別已達到等價、等價、等價和等價結構層次。

2.針對教師 ST2 在多項式主題內容之第 1 至 4 個單元之數學教學知識，其 SOTO 認知層次分別已達到結晶、結晶、等價和結晶結構層次。

3.針對教師 ST3 在多項式主題內容之第 1 至 4 個單元之數學教學知識，其 SOTO 認知層次分別已達到等價、等價、等價和等價結構層次。

4.針對教師 ST4 在多項式主題內容之第 1 至 4 個單元之數學教學知識，其 SOTO 認知層次分別已達到結晶、結晶、等價和結晶結構層次。

5.整體而言，四位個案教師在多項式四個主題單元之整體數學教學知識的 SOTO 認知層次，其中教師ST1 與 ST3 達到等價結構層次，而另二位教師 ST2 與 ST4 則達到結晶結構層次。

表6

四位個案教師在多項式四個單元之數學教學知識SOTO認知層次統計表

個案教師教師ST1 教師ST2 教師ST3 教師ST4 SOTO 層次\

時間比例

SOTO 層次

教學時間佔比%

SOTO 層次

教學時間佔比%

SOTO 層次

教學時間佔比%

SOTO 層次

教學時間佔比%

單元1 4.23 35.7 4.63 43.5 4.27 36.4 4.70 34.2 單元2 4.20 38.9 4.67 31.7 4.27 37.6 4.72 45.3 單元3 3.90 13.3 4.43 16.2 3.93 13.2 4.40 8.4 單元4 4.00 12.1 4.57 8.6 4.00 12.7 4.53 12.1 加權平均 4.15 100 4.61 100 4.19 100 4.67 100

總而言之，研究者透過本研究的 MTK 編碼系統表，和 SOTO 認知層次分析對照圖持續進行比較與分析，存在具體證據顯示四位個案教師所展現的數學教學知識，確實出現了SOTO 分類法之U、M、R、E 和 C 等五種不同認知層次與知識類別。同時根據表 6 的統計結果，顯示個

(26)

案教師ST1~ST4 在整個多項式主題之教學情境所展現的數學教學知識，分別達到 SOTO 分類法之等價、結晶、等價和結晶結構之認知層次。由此可見，以MTK 編碼系統作為評價工具，並繪製SOTO 認知層次分析對照圖，能夠質性描述高中數學教師之數學教學知識的認知層次，及其所展現的數學知識和教學知識類別。

（三）四位個案教師之數學教學知識的 SOTO 認知層次發展的主要特徵

本研究根據四位個案教師之數學教學知識所展現的 SOTO 五種不同認知層次，再結合其 SOTO 分析對照圖進行比對與分析，發現四位個案教師的數學教學知識在 MTK 編碼系統之三個知識面向中，不論是在同一個知識面向，或者是不同知識面向之間，都存在一些具有循環性的教學行為轉變之迴圈或路徑，我們稱之為教學通路（teaching path）。為了深入理解四位個案教師的教學通路，探討其數學教學知識的 SOTO 認知層次發展之主要特徵，本研究選取四位個案教師的四個教學影集為例，將這四個約15 分鐘左右的教學影集切割成三個教學事件，再根據 MTK 編碼系統，分析每個教學事件所涉及的數學教學知識面向，以及其所反應的結構層次，轉譯資料如下。

1.教師 ST1 的教學通路之可能樣態

（1）針對教師 ST1 單元 1 的教學影集 E2 進行分析與評價

第一個事件如下，教師ST1 敘述並證明餘式定理：f x( )除以ax b (a0)之餘式為 ( )b f a 。首先教師說明這個定理是針對除式是一次式，而所得的餘式必為常數（M13-CCPM 主類目-U 結構），另外代b

a是怎麼來的呢？就是令除式ax b 等於0，得到 b

xa（M3, M5-RRM 主類目-M 結構）。證明的關鍵在於除法原理。

pf：由除法關係式知， f x( )(ax b )(商式)+r，常數

r

是餘式（M3, M5, M7-RRM 主類目-R 結構）。師問：從這個式子，商式會不會影響

f x ( )

的值（M1-RS 主類目-U 結構）；生答：絕對會。

師應：但我們並不知道商式長什麼樣，所以只要令除式 ax b 等於 0 ，這樣就可以看出商式並不重要（M2-R S 主類目 -M 結構）。故只要將 b

xa 代入上述，可推得 ( )b ( b )( )+ =0+

f a b r r r

a   a 商式  ，即 ( )b

f a ，得證（M5, M7-RRM 主類目-R 結構）。

第二個事件如下，舉例說明，已知 f x( )64x⁶4x5，求 f x( )除以x1的餘式，及f x( ) 除以2x1的餘式。

Sol：求 f x( )除以x1的餘式，根據餘式定理，就是令除式為0（M7-RRM 主類目-U 結構），可得餘式為 f( 1) 64( 1) ⁶   4( 1) 5 73 ，求 f x( ) 除以 2x1的餘式，根據餘式定理，就是令除式為0，可得餘式為 1 1 ⁶ 1

( ) 64( ) 4( ) 5 4

2 2 2

f     （M5, M7-RRM 主類目-M 結構）。除了

(27)

利用餘式定理，當然也可以利用除法原理中的長除法和綜合除法，只是計算時間比較久而言（M1, M5, M7-RRM 主類目-R 結構）。

第三個事件如下，教師ST1 補充一題較困難的，已知 f x( ) 123 x⁴389x³68x²32x19，求 f(3)。

Sol：這個題目的解法有三種（M14-CCPM 主類目-U 結構），同學可以比較一下這三種的解決差異及特色（M4,M5-RRM 主類目-M 結構）。

法1.直接 x 用 3 代入

f x ( )

，所求為 f(3) 123 3  ⁴ 389 3 ³ 68 3 ² 32 3 19   43

法2. f 括號幾，代表是餘式，這是餘式定理的應用，所以 f(3)是 f x( )除以x3的餘式。再利用長除法或綜合除法，求餘式。

故所求的餘式為43^（M3, M4, M5-RRM 主類目-R 結構）。

法3. f(3) 123 3  ⁴ 389 3 ³ 68 3 ² 32 3 19 

將上式中兩項兩項併在一起，可得3 (369 389)³  68 3 ² 32 3 19 

3 2 2

3 ( 20) 68 3 32 3 19 3 ( 60 68) 32 3 19

             3 8 32 3 192 72 96 19 43

          （M3, M5, M6-RRM 主類目-E 結構）

接下來師生互動時間，師問：那個方法比較複雜，生答：法1；

師問：法2 與法 3 的特色是什麼?；生答：法 2 是綜合除法，法 3 是提出公因數；師說：雖然法 3 也很快，但容易算錯，建議使用法 2 來解比較穩定（M1, M2-RS 主類目-E 結構）。

（2）教學通路之 SOTO 認知層次發展漸進圖

根據MTK 編碼系統與 SOTO 分類法之認知層次進行分析與評價，研究者繪製教師 ST1 在單元 1 教學通路之 SOTO 認知層次發展漸進圖，如圖 16。此圖出現不同知識面向的 U-M-R 路徑與同一個知識面向的U-M-R 迴圈，其具體證據為教師 ST1 透過餘式定理的證明過程中使用一般語言、數學符號及具體模型來描述一些數學概念的關聯結構，展現二個U-M-R 路徑，再透過補充例題的三種不同解法中同在RRM 知識面向，如數學詞彙及符號的使用，甚至數學概念之程序知識的等價結構，展現第三個 U-M-R 迴圈，最後在第四個 U-M-R 路徑統整成一個求餘式問題的等價結構之知識體系，故出現四次U-M-R 路徑與迴圈後漸進至等價結構層次。