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教育部教學實踐研究計畫成果報告
Project Report for MOE Teaching Practice Research Program
計畫編號/Project Number：PEE1080315 學門專案分類/Division：工程
執行期間/Funding Period：2019/08/01~2020/07/31
計畫名稱/Title of the Project：開放式課程「工程數學」之應用個案探討 配合課程名稱/Course Name：工程數學(一)、工程數學(二)
計畫主持人(Principal Investigator)：呂志宗
執行機構及系所(Institution/Department)：中華大學土木工程學系 成果報告公開日期：
▓立即公開
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延後公開繳交報告日期(Report Submission Date)：2020/09/20
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開放式課程「工程數學」之應用個案探討
一. 報告內文(Content)
1. 研究動機與目的(Research Motive and Purpose)
許多同學在學習工程數學時，心中常想知道的三個問題是：
(a) 為什麼要學習工程數學？
(b) 學習工程數學有什麼用？
(c) 工程數學如何應用於工程個案中？
計畫主持人以往約九成的教學努力重點，是著重在幫助學生們學會工程數學的解題方法，
藉由107 學年度教育部教學實踐研究計畫「開放式課程《工程數學》之教學暨解題講義/影片 的建立與應用」[1]的執行，已增加錄製407 個工程數學相關例題的解題影片。今所完成的 108 學年度教育部教學實踐研究計畫「開放式課程《工程數學》之應用個案探討」[2]，有新提供 110 個單元的工程應用案例介紹，此應極有助於幫助學生瞭解工程數學如何應用於工程個案 中。這些工程應用案例的解析，對於回答為什麼要學習工程數學、或學習工程數學有什麼用 這類的疑問應有助益。
圖1 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學」的 Google 檢索排名為第1 名
圖2 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學一」的 Google 檢索排名為第 1 名
圖3 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學二」的 Google 檢索排名為第 1 名
圖4 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學三」的 Google 檢索排名為第 1 名
圖5 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學四」的 Google 檢索排名為第 1 名
圖6 2020/09/19 進行關鍵字「工程數學教學影片」
的Google 檢索排名為第 1 名
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本計畫所完成的數位影音教材，均已安置於YouTube 開放式課程平台上，可免費提供給 莘莘學子們參考。計畫主持人至目前為止所完成的教學影片，均已安置或陸續安置於本校開 放式課程平台[3-6]、台灣開放式課程聯盟[7-10]及YouTube 平台[11-19]上。各教學影片的講解 過程，均著重於幫助學生們建立理解與邏輯分析能力，而非數學公式的記憶與套用，亦即計 畫主持人是採用啟發式教學，幫助學生們運用分析思考的智能，弄懂工程數學的應用過程與 解析方法，此一過程應有助於讓學生們獲得學習的樂趣。
表1 2019 年度開放式課程之使用者代表性見證
暱稱 留言 互動日期
JE O 謝謝教授！ 2019/12/07
Peter Yu 感謝老師詳細的講解！ 2019/12/03
我是ㄅㄅ 謝謝老師 講解得很好 2019/11/02
罐罐 加油窩 教授，看到你們做簡單易懂的分析，讓我這
些看久了研究所題庫的高壓學生輕鬆不少
2019/10/29 SunnyBall1234 教授您好：看完了大部分影片，您真的講解的很好，
這種用題目來讓我們思考公式的意義以及用法的方 式，真的讓學習的人可以很快地融會貫通。希望教授 您會再出影片！
2019/10/22
K Y 板書好工整啊!! 2019/10/22
SunnyBall1234 教授您解釋得實在太好！謝謝您！ 2019/10/08
Kyle Jiang 謝謝教授的講解，很詳細!! 2019/10/06
Oapa 66 老師做的影片簡而易懂 非常棒! 2019/09/18
yenting Chou 感謝呂老師分享，解題技巧俐落，講解的又清晰，非 常受用。
2019/08/31
陳太和 老師很認真 2019/08/15
yanpeng li 老师讲的真细致，太棒了。好多概念比如 Hankel 积 分变换，弄了好久才搞明白。
2019/08/08 Eric Apple 字體工整、邏輯清晰，呂教授真的厲害!!感謝分享~~ 2019/07/15 羅立渝 講的非常清楚 而且很有條理 謝謝您 2019/06/15 tabby wu 推導過程清晰易懂，謝謝您的教學!!! 2019/06/11
akila 感謝~講解十分清楚 2019/05/29
小凡 感謝老師在白忙中抽出時間給予解答疑惑 2019/05/11
chin Huang 原來如此 謝謝老師 2019/04/08
林仔新 感謝教授指導 幫助我超多^_^ 2019/03/17
陳太和 誨人不倦 2019/03/14
chenxu zhao 老师讲得不错 板书也很认真 好老师 2019/02/16
Xri yang 瞭解了！感謝老師回答 2019/02/14
Wei 老師 謝謝您 2019/02/13
卓立 懂了!謝謝老師! 2019/02/13
Zi Fang 講得很清晰，對於自學的學生有很大幫助 2019/02/09
Steven 謝謝老師 2019/01/31
Hero Chiu 感謝老師 讓我以前不清楚的地方 更加清楚了 2019/01/29 今已於108 學年度申請的教學實踐研究計畫案中，加強工程數學之工程應用案例的探討，
並完整錄製110 個工程問題之模式化(Modeling)方式及解析過程，此將有助於讓學生們瞭解工 程數學在各類工程個案中的應用方式，學生們亦可藉此學會解析問題的方法，此一安排可讓
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學生們真正瞭解為什麼要學工程數學並學好工程數學。所錄製的教學影片是以無需帳號密碼 且無廣告的開放式課程型式，分享給網路上眾多的莘莘學子們，可藉以提升學子們的學習動 機，並學好工程數學。
歷年來，計畫主持人所完成的工程數學開放式課程，其「工程數學」、「工程數學一」、「工 程數學二」、「工程數學三」、「工程數學四」、「工程數學教學影片」等關鍵字的Google 檢索排 名常位居前三名，如圖1 至圖 6 所示，由此可知，計畫主持人所規劃的教學研究主題，在網 路已具有相當的影響力，透過本計畫的完成，應有助於加深並推廣所建立的工程數學數位平 台之影響力。此外，網路上已有許多同學表達，計畫主持人所錄製的工程數學教學影片，確 實對其學習非常有幫助，如表 1 所示。工程數學是工程科學之母，計畫主持人認為同學們若 能學好工程數學，極有利於奠定學習者在工程領域相關科目之學習基礎，且至少可以擁有三 項優勢：
(a) 有能力將工程問題模式化：許多工程實務課題能否作出客觀準確的評估之關鍵，是工程師 是否有能力準確引用與工程問題相關之自然律及時空條件，建立工程問題之數學模式並加 以解析。這種有學理依據的工程問題之模擬分析過程，若能提高其準確率，將極有助於工 程之規劃、設計、施工、營運、及管理等過程。
(b) 讓理論與實務並重：工程實務課題若能透過學理分析方式加以詮釋，將有助於工程師進行 精準的規劃設計。而學理分析過程中，最重要的就是需具備模式化的能力。學好工程數學 將有助於建立此一能力，可落實理論與實務並重的學習目標。
(c) 強化邏輯分析推理能力：工程師的養成教育，相當重視理性思考能力的訓練，亦即較重視 邏輯分析推理能力的建立。計畫主持人認為，學好工程數學應極有助於建立工程師的理性 思考智能。此外，理性思考的邏輯分析能力亦可應用於程式撰寫、軟體開發、構造物的設 計建造施工等，並有助於跨領域的學習。計畫主持人認為工程數學為工程科學之母，學好 工程數學，許多工程科學相關領域的學習也會比較容易駕輕就熟。
本計畫所錄製的教學影片，是採用單元主題方式錄製，且非在課程旁邊側錄，乃採用課 前或課後另找安靜的時空加以錄製的方式。共計錄製110 個單元主題，合計 28 時 4 分 15 秒，
每單元影片之平均時間長度為 15 分 19 秒。此一錄製方式有助於提升影片的品質，錄製教學 影片時，是採用板書為主、電腦螢幕擷取為輔的方式。為提高影片解析度和收音效果，板書 錄製過程中是採用解析度達 4K 之數位攝影機和指向性麥克風。影片後製過程是使用威力導 演等多媒體影音編輯軟體進行必要之剪輯。關於螢幕的擷取錄影，是考慮使用具有影音剪輯 功能的Camtasia 軟體。
2. 文獻探討(Literature Review)
本計畫之推動，除了解釋工程數學如何應用於工程問題外，亦包含所建立的數學模式之 解析過程，故實際上亦列舉了 110 個工程數學的解析範例，這些解題範例都可視為工程數學 題庫中之新題目的建立。Lohgheswary[20]等人曾探討 Mathematica 軟體在工程數學的應用成 效，並獲得正向的結論。Cheong 與 Koh[21]曾提供可進行虛擬學習的實驗室環境，探討工程 數學中之Fourier 分析原理的應用方式，藉以提高學生的學習動機與學習成效。Yelamarthi[22]
以學習者為中心，結合工程、數學、程式設計等進行課程的融合安排，發現可有效改善大二 學生的學習。Freeman 等人[23]的研究旨在探討主動學習成效，研究如何提高學生在科學、工 程和數學方面的學業成績表現；d’Inverno 等人[24]使用「工程數學」之個人回饋系統，促進學 生的學習與互動；Becker 和 Kyungsuk[25]曾提出綜合分析方法，用以瞭解科學、技術、工程 和數學等科目對學生學習的影響；Rahman、Yusof 和 Baharun[26]則引用行動研究方法，增進 工程數學的教學成效；Tawil 等人[27]曾引用互聯網工具，增進工程數學之教與學，並獲得成 效；Kipli 等人[28]曾針對馬來西亞砂勞越大學工程學院一年級學生，進行工程數學(一)之個案
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研究；Kashefi 等人[29]提出學生與老師可透過創造性之解決問題的比較研究方法，了解工程 數學的學習障礙並加以突破；Othman 等人[30]認為學生們可透過合作學習，學好工程數學。
相關之研究，不勝枚舉。
圖7 至 2020/9/19 為止有 2,370 位讀者訂閱計畫 主持人在YouTube 平台上所建立的教學社群
圖8 所錄製的 108 學年度工程數學應用個案之影音 教學影片已建立YouTube 開放式課程清單
由圖1 至圖 6得知，本人所建立的數位教材之Google 檢索排名常位居前三名，亦即所錄 製的工程數學教材確實廣受重視。另外，如圖7所示，至2020/9/19 為止，申請人在 YouTube 平台所建立的教學社群，已有 2,370 位讀者訂閱，約為 1 年前的兩倍。教學社群中之訂閱者 的提問，申請人均會盡可能在12 小時內回覆，讓學生們可以獲得即時的回饋。許多訂閱者的 留言，均表示此一YouTube 教學社群對其工程數學的學習的確相當關鍵且重要，如表1所示。
以上努力，應極有助於提升學生學習工程數學之動機與成效。
3. 研究問題(Research Question)
申請人所完成的教學研究計畫，是期待能幫助實體課程和網路上的開放式課程中之眾多 對工程數學的學習有興趣之學生，瞭解為何要學習工程數學、如何學好工程數學、且知道工 程數學在工程上的應用方式，為達成這些目標，擬訂並完成了以下研究主題。
(a) 新教材的研發
本計畫已錄製 110 個工程應用個案之教學影片，藉以解說工程數學如何應用於工程問題 中。自 1984 年起，計畫主持人所完成的碩博士論文及陸續發表的 30 餘篇 I 級期刊暨研討會 論文，即是引用工程數學中所介紹的模式化分析過程及微分方程之解析技巧等，已推導出30 餘種工程問題之閉合解(Closed-form Solution)或解析解(Analytical Solution)。計畫主持人本於 此一教學暨研究專長，由淺入深逐步介紹工程數學在工程上的應用方式，相關內容均已以教 學影片的方式錄製或同步撰寫教學講義，並上傳至YouTube 教學平台。若以應用主題加以分 類，所錄製的教學影片包括以下內容：
工程數學在結構學的跨領域應用：所擬訂的主題是基於梁之作用力 q(x)、剪力 V(x)和彎矩 M(x)之控制方程式的推導結果，進行均佈荷重 q 暨集中力 P 作用於簡支承梁或懸臂梁時之 剪力圖和彎矩圖的解析，也包括懸臂梁受均佈荷重 ω 作用時之撓度 y、旋轉角(傾角)θ、
剪力V 和彎矩 M 的解析，懸臂梁自由端受集中荷重 P 作用時之撓度 y、旋轉角(傾角)θ、
剪力V 和彎矩 M 的解析，懸臂梁自由端受彎矩 M 作用時之最大撓度 yₘₐₓ = ML²/2EI 和最 大傾角 θₘₐₓ = ML/EI，簡支承梁受均佈荷重作用時之梁中央撓度 δ = 5ωL⁴/384EI 和端點傾 角 θ = ωL³/24EI，簡支承梁受集中荷重 P 作用之梁正中央撓度 δ = PL³/48EI 和傾角 θ
= PL²/16EI，簡支承梁受端點彎矩 M 作用時之梁中央撓度 δ=ML²/16EI 和端點傾角θ = ML/3EI、ML/6EI，梁的兩個支承端均為固定端時受集中荷重 P 作用時之固定端彎矩 M = PL/8，梁的兩個支承端分別為固定端及輥支承端時受集中荷重 P 作用時之固定端彎矩 M
= 3PL/16，梁的兩個支承端均為固定端時受均佈荷重 ω 作用時之固定端彎矩 M = ωL²/12，
梁的兩個支承端分別為固定端及輥支承端時受均佈荷重 ω 作用時之固定端彎矩 M = ωL² /8，梁的支承端固定端時受集中荷重 P 作用時之固定端彎矩 M = Pab²/L²、M = Pa²b/L²，
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柱產生 Δ 的相對位移時之固定端彎矩與剪力 M = 6EIΔ/L²、V = 12EIΔ/L³，柱產生 θ 的相對傾角時之彎矩與剪力M = 4EIθ/L 及 2EIθ/L、V = 6EIθ/L²。相關問題之工程數學 的應用方式與解析案例共計34 個單元。
工程數學在材料力學的跨領域應用：所擬訂的主題旨在介紹微分方程在材料力學的初步應 用，包括曲率和曲率半徑之微分方程式的推導、曲率和撓度間的微分方程關係式之推導、
曲率和彎矩之微分方程關係的推導。此外，亦推導撓度和角變量(傾角)、彎矩、剪力及作 用力間之微分方程關係式。相關問題之工程數學的應用方式與解析案例共計5 個單元。
工程數學在滲流分析的跨領域應用：所擬訂的主題旨在介紹與滲流分析有關的達西定律 (Darcy’s Law)及其應用，應用主題包括西姆公式(Thiem Equation)的推導、自由含水層中之 穩態抽水(Steady-state Pumping)估算現地滲透係數、變水頭試驗、定水頭試驗、等向性地層 暨異向性地層穩態滲流之流量連續方程式的推導、考慮補注效應之限制含水層暨自由含水 層穩態和暫態連續方程式的解析、島嶼因降雨所引致之地下水位的解析、土壩中之滲流水 頭的解析、限制含水層暨自由含水層中之穩態抽水所引致的地下水位之解析、海水入侵地 下含水層的範圍之Ghyben-Herzberg 關係式 1:40 的解析等。相關問題之工程數學的應用方 式與解析案例共計17 個單元。
工程數學在彈性力學的跨領域應用：本主題旨在介紹彈性力學中之組成律關係式、應變位 移關係式、軸應變關係式、剪應變關係式、變位協調方程式、靜力平衡方程式、動力平衡 方程式、平面應力、平面應變等所對應之微分方程式。此外，亦討論以上議題在卡氏坐標、
圓柱坐標、極坐標等情況下，所呈現的微分方程式。相關問題之工程數學的應用方式與解 析案例共計18 個單元。
工程數學在數值分析的跨領域應用：本主題旨在介紹一階導函數 ϕ’、二階導函數 ϕ’’、三階 導函數ϕ’’’、四階導函數 ϕ’’’’等之有限差分式(Finite Difference Equation)，這些有限差分式 又 可 區 分 為 前 向 有 限 差 分(Forward Finite Difference) 、 中 央 有 限 差 分 (Central Finite Difference)、後向有限差分(Backward Finite Difference)；另外，在離散化的過程，也有考慮 2 點、3 點、4 點、5 點、6 點等的有限差分式。不同種類之有限差分式，計畫主持人均有 詳細加以推導，並以實際之案例分析其殘餘誤差量的差異。相關問題之工程數學的應用方 式與解析案例共計36 個單元。
以上共計已安排 110 個主題的工程應用案例，說明工程數學在工程上的應用方式，且已 超過原初所規劃之 100 個工程應用案例的教學影片錄製目標。每個應用案例，計畫主持人均 清楚呈現工程應用個案之模式化過程及數學模式的解析方法，所錄製的 4K 解析度之板書影 音教材，能清楚且詳細呈現黑板上之手寫內容。這些應用案例可對應至各週次所安排的工程 數學相關主題之解說，研究成果可供實體課程學生和網路上的開放式課程中之莘莘學子們參 考。這些努力應有助於提高學生們學習工程數學的動機，並可讓學生們學好工程數學。
(b)以學習者為中心
如圖 8 所示，所錄製的工程數學應用個案之數位影音教學影片，均已建立清單並安置於 YouTube 開放式課程平台中，學生們無需帳號密碼即可在 YouTube 瀏覽有興趣的教學影片，
可實現以學習者為中心的學習模式。YouTube 所提供的關聯影片連結功能，亦是以學習者為 中心的學習模式，學習者可繼續瀏覽相關的影片進行學習。同學們亦可利用關鍵字蒐尋的方 式，直接找到擬學習的單元或主題。
(c)結合數位科技進行學習成效評估
為了解學生的學習成效，有針對實體課程的學生，進行Google 問卷，這是以「問卷調查 法」了解學生們的學習成效。108 學年度上下學期的問卷成績分別為 87.83 分與 90.68 分，已 符合學校要求之至少80 分的標準。此一結合資訊科技的學習成效評估模式，有利於後續進行
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學習成效的統計分析。如表1所示之YouTube 的留言肯定，亦有助於學習成效的質性評估。
另外，YouTube 亦會提供影片點閱次數、喜歡/不喜歡人數、學習者年齡、性別等資訊，部分 內容已整理並發表於文獻[31]；正準備將本計畫之相關研究成果整理投稿之[32、33]，這些訊 息都有助於評估學生們的學習成效，並可藉以規劃後續之教學研究方向。
4. 研究設計與方法(Research Methodology) (a)研究設計說明
計畫主持人的研究設計構思是，在實體課程中，藉由與學生們的互動，了解學生們關於 學習工程數學的困擾，並嘗試找到為同學們解惑的關鍵。然後，在錄製以工程應用為主要目 標的教學影片時，將關鍵過程錄製成教學影片。最後，再以開放式課程的模式，將教學影片 分享給網路上眾多的工程數學之學習者。將教材置於YouTube 平台，亦是最直接有效的公開 發表。計畫主持人之研究主題與實體課程之「工程數學(一)」和「工程數學(二)」有關，擬訂 的研究設計內容，可同時照顧好實體課程和開放式課程中之學習者。
(b)研究步驟說明
研究架構
申請人所使用之開放式課程平台包括台灣開放式課程聯盟、中華大學開放式課程平台、
YouTube 平台等，其中 YouTube 平台會提供最近 28 天或自定時間內之「觀看次數」、「喜歡的 人數」、「不喜歡的人數」、「分享次數」、「觀看次數」等，這些都是非常有用的資訊。另外，
YouTube 還提供「資訊卡」、「結束畫面與註解」等超棒的功能，這些功能均極有助於建立關 聯檔案，讓學生能進行關聯單元的學習。個人認為，恰當的使用這類功能，將極有助於建立 有效的學習模式，讓學生能獲得融會貫通的學習樂趣。
本計畫是以全國對工程數學的學習有興趣之學生為研究對象，問卷調查法及Google 檢索 排名法均可用以了解所建立之開放式課程的教學成效，YouTube 所提供的統計資料，則可了 解那些影片更受青睞。計畫主持人已有非常豐富的影音製播經驗，這些經驗包括：(1)重錄比 後製更省時。(2)教室就是攝影棚。(3)一個人照樣可以錄。(4)重在清楚講解而非呈現華麗的配 樂與藝術效果。(5)鏡頭固定方向視覺效果佳。(6)熟悉威力導演、VideoScribe、Camtasia、
PhotoImpact、Photoshop、Dreamweaver 等類影音編輯軟體或網頁設計軟體。(7)有能力親自將 影片上傳YouTube 平台，並完成「資訊卡」、「結束畫面與註解」等之設定，且能掌握YouTube 提供的分析數據。(8)了解且完全尊重著作權法。(9)熟悉攝影器材，且知道如何操作使用。(10) 最重要的是能持續保持教學熱情。
研究假設
根據計畫主持人的開放式課程之教學經驗，本研究之基本假設有三點：(1)假設工程數學 之學習者都是努力投入學習的，因此學習者的每一種回饋，教師都應正向看待並積極給予回 應。(2)教學沒有最好，只有相對來說更好，因此努力突破自我和現狀的各種教學措施都是有 意義且應該被鼓勵的。(3)假設所設計的教學問卷或試題，都可以有效鑑別學習者的程度。
(c)研究範圍
本計畫之研究範圍限定如後：(1)只探討兩類的學習者，一是 YouTube 工程數學社群中之 學習者，二是實體課程中之學習者。(2)僅探討學習者使用所開發的數位教材之學習成效。(3) 僅探討YouTube 所提供的工程數學社群中之各種教學統計數據。
(d)研究對象
本計畫擬以實體課程的授課經驗為核心，再將工程數學之工程應用案例的教學心得錄製 成教學影片，並以開放式課程方式，提供給對工程數學之學習有興趣的學習者參考。由文獻
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[31]得知，YouTube 統計分析顯示，所建立的工程數學開放式課程，主要的觀眾年齡層是 18~24 歲，佔55.8%；次要的觀眾年齡層是 25~34 歲，佔 14.9%。女性觀眾與男性觀眾所佔百分比 分別為 15.5%和 84.5%，且女性觀眾呈逐年上升的趨勢。這些學習者的性別、瀏覽影片的方 式等YouTube 都有提供，值得加以深入探討。
(e)研究方法及工具
本計畫之相關研究方法，說明如後。
問題教學法：近年來，網路上眾多之莘莘學子們曾建議，工程數學若能提供更多的解題影 片，則對同學們的學習會更有幫助。因此，本計畫持續提供工程個案分析過程之解題影片，
供學子們參考。計畫主持人有能力提供不用死背公式的解題方法，訓練學生們擁有解決問 題的邏輯分析之思考能力。問題教學法將更有助於提升學生的學習動機，因學生們在短時 間內，集中精神了解常見題目之解法後，就會對工程數學的學習更有自信，並可獲得學習 樂趣。
設計教學法：設計教學法的涵意，是指由學生自己擬定計畫，決定自己要學習的進度與內 容。例如，學生若希望了解「為什麼要學習工程數學？」，則他只需閱讀計畫主持人所提 供的提要001 之教學影片與教學講義即可，當學生弄清楚一個問題之後，會有助於建立自 信心並提高學習動機。因所有的學習資源都已建構在開放式課程平台上，且已建立清單，
學生們可依自己的興趣和時間，規劃出適合自己的學習進度。
思考教學法：思考教學法包括○1 安排問題情境，○2 提供思考機會，○3 尋求解決方法等。許 多老師即是透過所安排的習題，提供學生思考與練習的機會，並幫助學生能以活用並熟練 解決問題的方法。學生們在學習工程數學的過程中，多以為需記憶解題公式，以此方式讀 工程數學，較不易獲得學習樂趣。計畫主持人認為，若能讓學生曉得解題公式的來源，就 能學到解決問題的邏輯思考方式，並且能訓練出理解與分析能力。計畫主持人即是幫助學 生了解問題之核心和關鍵，不用死記生硬的公式。期待學生們均能透過此一解題的邏輯分 析思考過程，獲得學習的樂趣。
自學輔導法：「教」學生如何「學」很重要，很多學生的學業成績不良，均與學習方法錯 誤有關，而這問題可能老師要負大部分的責任。工程數學使用自學輔導法時，老師有責任 先教會學生如何學，並讓學生依自己的時間規劃學習進度。本著知識共享的理念，並本著 對教育的熱情，計畫主持人很樂意完全免費提供學習資源，給對工程數學的學習有興趣之 全國學生。計畫主持人擅長寫出工整清楚的板書，且具備能將複雜問題以淺顯易懂的方式 清楚講解的能力，透過網路科技的幫助，應有助於幫助眾多學生建立自學的理想環境。
(f)資料處理與分析
YouTube 平台會提供許多有意義的分析數據，包括近期和長期的年齡、性別、使用媒體、
瀏覽平台等各項資料。申請人已大致完整了解有哪些分析資料，除可據以撰寫學術論文[31-33]
加以發表外，亦可作為調整教學內容之依據。例如根據申請人之前的研究發現，許多學生期 待能提供更多的解題影片[1]，又學習者常不清楚學習工程數學有何用途，故擬提出本計畫案 之執行[2]。
(g)實施程序
資訊軟硬體設備更新雖有其必要，但最重要的是教師必須能將工程數學的工程應用講解 得清楚明白，這才是關鍵。本研究之實施程序基本上如圖 9 所示，其中專家諮詢對計畫主持 人規劃後續之研究方向有相當的助益，例如有諮詢委員提出以下建議，這些都是值得思考的 具體方向。
實體課程搭配開放式課程的教材，朝向混成式學習。
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學校發展品牌課程，宣傳學校教學品質，為學校和參與教師創造收益。
開放式課程可以提供學生先修，提高學習與教學的彈性，幫助系所調整課程結構，培養學 生新的就業技能。
幫助企業進行人才培訓、教育訓練。
圖9 本研究之實施程序 5. 教學暨研究成果(Teaching and Research Outcomes) (a) 教學過程與成果
計畫執行期間，曾分別於 108 學年度第一、二學期講授「工程數學(一)」與「工程數學 (二)」，這兩門課程之翻轉教學過程，可透過附件1與附件2之翻轉教學成果報告書，分別檢 視實體課程中之教學成果。整體而言，實體課程之修課學生給予的問卷回饋分數，分別為87.83 分和90.68 分。可見修課同學普遍均認同所採用的翻轉教學之授課方式，並給予高度的評價。
本計畫執行期間，共計已發表 1 篇與本計畫相關之研討會論文[31]，請參閱附件 3 之說 明，目前正在撰寫另兩篇擬投稿之論文[32、33]。所完成的110 個工程數學之應用個案的教學 影片，其聯結網址與彙整結果，請參閱附件4之內容。
(b) 教師教學反思
自2003 年起，計畫主持人每學期均會向所服務的學校或教育部，申請一個數位教材開發 計畫案，至今已執行過35 個數位教材開發計畫案，且從未間斷。過程中，本人努力藉由網路 科技的運用，將資訊科技融入教學，已建立優質的工程數學之開放式課程教材，並在YouTube 平台上經營教學社群，已逐步實踐了「以學習者為中心」、「問題導向教學法」、「資訊科技融 入教學法」、「設計教學法」、「思考教學法」和「自學輔導法」等之教學原理與內涵。
(c) 學生學習回饋
為了解學生的學習成效，有針對實體課程的學生，進行Google 問卷，這是以「問卷調查 法」了解學生們的學習成效。108 學年度上下學期的問卷成績分別為 87.83 分與 90.68 分，此 一實體課程的問卷，已符合學校至少應獲得80 分的要求。開放式課程中學生們之代表性質性 回饋如表1所示，學生們在YouTube 的留言多表肯定與鼓勵，按讚的比例約為 93%，此一學 習成效的質性評估顯示是正面的。另外，透過圖1 至圖 6所示之Google 關鍵字檢索排名常位 居前三名得知，學生們常透過網路，瀏覽並使用計畫成果學習工程數學，學生們對所開發之
9 教材的喜愛，也肯定了計畫案之相關成果。
6. 建議與省思(Recommendations and Reflections)
計畫主持人認為教學沒有最好，只有相對來說更好。為了協助透過網路學習工程數學的 學習者能獲得後設認知(Metacognition)的技能，讓學習者能取得即時的回饋與互動，已於 109 學年度提出新的教學實踐研究計畫案「開放式課程《工程數學》之線上影片增加互動式測驗 的設計探討」之申請，並獲得教育部之經費補助。希能透過所設計之段落測驗和單元測驗，
讓學習者有機會立即了解自己的學習狀況；另外，亦擬安置關聯影片，讓學習者可以延伸學 習的深度與範圍。
二. 參考文獻(References)
[1] 呂志宗（計畫主持人），「開放式課程《工程數學》之教學暨解題講義/影片的建立與應用」， 教 育 部 教 學 實 踐 研 究 計 畫 ， PEE107085 ， 2018/08/01~2019/07/31 ， https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=1SIdmw。
[2] 呂志宗（計畫主持人），「開放式課程《工程數學》之應用個案探討」，教育部教學實踐研 究計畫，PEE1080315，2019/08/01~2020/07/31，https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=HqUjwy。
[3] 呂志宗，「工程數學(一)」，中華大學開放式課程收錄，https://goo.gl/iX3lpm，2013/04/18。
[4] 呂志宗，「工程數學(二)」，中華大學開放式課程收錄，https://goo.gl/uBko53，2013/05/01。
[5] 呂志宗，「工程數學(三)」，中華大學開放式課程收錄，https://goo.gl/W98Rgc，2014/02/07。
[6] 呂志宗，「工程數學(四)」，中華大學開放式課程收錄，https://goo.gl/VrzzeL，2013/05/03。
[7] 呂志宗，「工程數學(一)」，台灣開放式課程聯盟收錄，https://goo.gl/46kaQB，2013/09/15。
[8] 呂志宗，「工程數學(二)」，台灣開放式課程聯盟收錄，https://goo.gl/dkAgBI，2014/09/02。
[9] 呂志宗，「工程數學(三)」，台灣開放式課程聯盟收錄，https://goo.gl/nW6AAs，2014/02/20。
[10] 呂志宗，「工程數學(四)」，台灣開放式課程聯盟收錄，https://goo.gl/te0E3X，2014/09/04。
[11] 呂志宗，「工程數學(一)新剪輯」，YouTube 收錄，https://goo.gl/5oZfwP，2017/10/09。
[12] 呂志宗，「工程數學(一)加字幕」，YouTube 收錄，https://goo.gl/cerjaT，2016/02/05。
[13] 呂志宗，「工程數學(一)解題影片」，YouTube 收錄，https://goo.gl/Xfktac，2018/01/09。
[14] 呂志宗，「工程數學(二)新剪輯」，YouTube 收錄，https://goo.gl/VclLNI，2016/02/23。
[15] 呂志宗，「工程數學(二)加字幕」，YouTube 收錄，https://goo.gl/Vm37PN，2016/06/29。
[16] 呂志宗，「工程數學(二)新錄製」，YouTube 收錄，https://goo.gl/nE5ELs，2017/09/04。
[17] 呂志宗，「工程數學(三)」，YouTube 收錄，https://goo.gl/JTDcFY，2016/03/14。
[18] 呂志宗，「工程數學(三)加字幕」，YouTube 收錄，https://goo.gl/TRaS6Y，2017/11/02。
[19] 呂志宗，「工程數學(四)」，YouTube 收錄，https://goo.gl/8Qf4Xu，2016/05/08。
[20] Lohgheswary, N., E. Zakaria, Z.M., Nopiah, and A.A. Aziz, “Innovative learning in engineering mathematics,” 2017 7th World Engineering Education Forum (WEEF), pp. 768-772, 2017.
[21] Cheong, K. H., and J. M. Koh, “Integrated virtual laboratory in engineering mathematics education: Fourier theory,” IEEE Access, Vol. 6, pp. 58231-58243, 2018.
[22] Yelamarthi, K., “Improving student success through an effective learner-centered course in introductory engineering, mathematics, and programming,” International Journal of Engineering Education, Vol. 34, No. 6, pp. 1829-1837, 2018.
10
[23] Freeman, S., S.L. Eddy, M. McDonough, M.K. Smith, N. Okoroafor, H. Jordt, and M.P.
Wenderoth, “Active learning increases student performance in science, engineering, and mathematics,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 111, No. 23, pp. 8410-8415, 2014.
[24] d’Inverno, R., H. Davis, and S. White, “Using a personal response system for promoting student interaction,” Teaching Mathematics and its Applications, Vol. 22, No. 4, pp. 163-169, 2003.
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[26] Rahman, R.A., Y.M. Yusof, and S. Baharun, “Improving the teaching of engineering mathematics using action research,” Procedia - Social and Behavioral Sciences, Vol. 56, pp. 483- 493, 2012.
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[28] Kipli, K., N. Bateni, M.S. Osman, N. Sutan, A. Joseph, and O.S. Selaman, “Engineering mathematics I: A case study of first year students at faculty of engineering, UNIMAS,” Procedia - Social and Behavioral Sciences, Vol. 56, pp. 573-578, 2012.
[29] Kashefi, H., Z. Ismail, and Y.M. Yusof, “Engineering mathematics obstacles and improvement:
A comparative study of students and lecturers perspectives through creative problem solving,”
Procedia - Social and Behavioral Sciences, Vol. 56, pp. 556-564, 2012.
[30] Othman, H., I. Asshaari, H. Bahaludin, N.M. Tawil, and N.A. Ismail, “Student’s perceptions on benefits gained from cooperative learning experiences in engineering mathematics courses,”
Procedia - Social and Behavioral Sciences, Vol. 60, pp. 500-506, 2012.
[31] 呂志宗，「YouTube 工程數學教學頻道的巨量資料分析」，2020 中華大學教學實踐研究與 創新研討會論文集，新竹市，第205~215 頁，2020/06/12。
[32] 呂志宗，「依觀眾年齡探討所建立之工程數學 YouTube 教學平台的創新學習模式」，準備 投稿中，2020。
[33] Lu, John C.-C., “Student experience on the developed YouTube teaching materials used in engineering mathematics courses,” Journal of Advances in Social Science, Education and Humanities Research, ISSN: 2352-5398, Prepared to Submit for Reviewing, 2020.
三. 附件(Appendix)
本研究計畫之相關成果資料，如附件1 至附件 5所示。
【附件1】呂志宗，2020/09/19，「108-1《工程數學(一)》翻轉 FUN 教學課程成果報告書」。
【附件2】呂志宗，2020/07/22，「108-2《工程數學(二)》翻轉 FUN 教學課程成果報告書」。
【附件3】呂志宗，2020/06/12，「YouTube 工程數學教學頻道的巨量資料分析」，2020 中 華大學教學實踐研究與創新研討會論文集，第205~215 頁。
【附件4】呂志宗，2020/9/20，「開放式課程《工程數學》之應用個案探討」，教育部教 學 實 踐 研 究 計 畫 ， PEE1080315 ， 2019/08/01~2020/07/31 ， https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=HqUjwy。
【附件5】呂志宗，2020/08/24，「發表證明」，參與 108 年度教育部教學實踐研究計畫- 工程學門、數理學門暨社會(含法政)學門成果交流會。
附件 1
呂志宗， 2020/09/19， 「 108-1《工程數學 (一)》翻轉 FUN 教學課程成果報告書」 。
中 華 大 學
108 學年度第 1 學期
「翻轉 FUN 教學」
成果報告
中華民國 109 年 9 月 19 日 單位名稱：土木工程學系
課程名稱：工程數學(一) 課號：B04203A
授課教師：呂志宗
附件1-1
中華大學 「翻轉教學」成果報告
編號 無 姓名 呂志宗 職稱 教授
聯絡電話 03-5186708 手機 0920047787 E-mail cclu@chu.edu.tw
開課單位 土木工程學系二年甲班
課程名稱 工程數學（一）
課號 B04203A
開課班級數 1
成果報告
課程目標
本課程之教學目標是希望修課同學能在上課過程中，培養出以數 學及科學方法解決工程問題的能力，其教學內容會牽涉到「認識工程 問題」、「數學模式的建立」、及「數學模式的解析」等。教學過程中，
會讓修課同學瞭解「模式化（Modeling）」的觀念與方法，以及許多解 析數學模式的技巧與觀念。
本 學 期 的 教 學 重 點 為 ：(1) 一 階 常 微 分 方 程 式 (First － Order Differential Equations)的解析。(2)二階及高階線性微分方程式(Linear Differential Equations of Second and Higher Order)的解析。(3)聯立微分方 程式(Systems of Differential Equations)的解析。
「翻轉教學」
之教學規劃與 設計
1. 本課程共計安排 10 回的線上單元測驗，如圖 1a 所示，這些測驗均 採翻轉教學的模式進行。學生可藉由單元測驗瞭解授課重點，每一 測驗題目都會指引學生應點閱瀏覽的教學影片與講義，如圖 1b 所 示，好讓修課學生可以在教學影片中找到答案，以獲得學習成就 感，進而提升學生的學習成效。
圖1a 本課程共計安排 10 回的線上單元測驗
附件1-2
圖1b 每一測驗題目都會指引學生應點閱瀏覽的教學影片或講義 2. 本課程亦安排 10 次的紙筆作業，如圖 2a 與圖 2b 所示，紙筆計算能
力很重要，故以紙筆作業訓練修課同學。
圖2a 本課程亦安排 10 次的紙筆作業
圖2b 本課程安排的紙筆計算之作業 1
3. 持 續 重 新 建 構 本 校 開 放 式 課 程 平 台 上 之 「 工 程 數 學 ( 一 ) 」 http://ocw.chu.edu.tw/course/view.php?id=6，所錄製的教學影片均符 合MOOCs(Massive Open Online Courses)精神，如圖 3 所示。
附件1-3
圖3 中華大學開放式課程平台上重新建構的「工程數學(一)」
4. 本 課 程 資 料 已 獲 得 台 灣 開 放 式 課 程 聯 盟 的 收 錄 https://goo.gl/46kaQB，如圖4 所示。
圖4 「工程數學(一)」已獲得臺灣開放式課程聯盟的收錄 5. 107 學年度的教育部教學實踐研究計畫新錄製超過 65 個小時共計
407 題的各校之研究所考古題之解題影片，並已安置於 YouTube 平 台 https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=1SIdmw，如圖5 所示。
圖5 107 教學實踐研究計畫新錄製超過 65 個小時的解題影片 6. 108 學年度的教育部教學實踐研究計畫新錄製超過 28 個小時共計
110 個主題的工程數學在工程上之應用的解題影片，已安置於
附件1-4
YouTube 平台 https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=HqUjwy，如圖6 所示。
圖6 108 教學實踐研究計畫新錄製超過 28 個小時的教學影片 7. 本課程「工程數學(一)」之教學影片亦已加字幕並安置於 YouTube
平台https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=m4b42f，如圖7 所示。
圖7 YouTube 平台上加字幕的「工程數學(一)」教學影片 8. 本課程「工程數學(一)」之加字幕教學影片亦已安置於 YouKu 平台
https://s.chu.edu.tw/R.aspx?rd=k7jIFT，如圖8 所示。
圖8 「工程數學(一)」的教學影片已安置於 YouKu 平台 9. 本課程有安排兩次總結性的評量，即期中考與期末考各有一次，這
一部分是採用紙筆測驗完成的。
附件1-5 教學實施情形
如前所述，本課程共計安排10 回的單元測驗和 10 次的紙筆作業，
這些測驗和作業均採翻轉教學的模式進行。各週次之課程安排進度與 內容，如表1 所示。
表1 授課進度及內容
單元名稱與內容(Unit Title & Content) 教學方法 (Teaching Methods)
評量方法 (Evaluation
Methods) 1.
●課程簡介(Course introduction)
【教學影片】
提要001：為什麼要學習工程數學？
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
2.
●數學模式的建立與解析
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要002：如何建立數學模式？(一) 提要003：如何建立數學模式？(二) 提要004：如何建立數學模式？(三) 提要005：如何建立數學模式？(四) 提要006：如何建立數學模式？(五)
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
3.
●一階常微分方程式的解析(3－1)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要007：認識五個專有名詞
提要008：解一階 ODE 的第一個方法－直接積分 法
提要009：解一階 ODE 的第二個方法－變數可分 離之ODE 的解法
提要010：解一階 ODE 的第三個方法－更換變數 使成變數分離(1)
提要011：解一階 ODE 的第四個方法－更換變數 使成變數分離(2)
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
4.
●一階常微分方程式的解析(3－2)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要012：解一階 ODE 的第五個方法－正合微分 方程式的解法
提要013：解一階 ODE 的第六個方法－非正合微 分方程式的解法
提要014：解一階 ODE 的第七個方法－一階線性 微分方程的合併法
提要015：解一階 ODE 的第八個方法－Bernoulli 方程式的解法
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
5.
● 1. 一階常微分方程式的解析(3－3)
● 2. 一階常微分方程式在工程上的應用
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要016：解一階 ODE 的第九個方法－Riccati 方 程式的解法
提要017：解一階 ODE 的第十個方法－Clairaut 方 程式的解法
提要018：解一階 ODE 的第十一個方法－Picard
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
附件1-6
循環積分方法
提要019：解一階 ODE 的第十二個方法－作圖法 提要020：如何推求正交軌跡？
6.
●二階常係數齊性常微分方程式的解析(2－1)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要021：認識非齊性微分方程之解
提要022：認識重疊原理(Superposition Principle) 提要023：二階常係數齊性 ODE 的解法(一)－相異 實根
提要024：二階常係數齊性 ODE 的解法(二)－重根
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
7.
●二階常係數齊性常微分方程式的解析(2－2)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要025：二階常係數齊性 ODE 的解法(三)－複數 根
提要026：認識微分運算子
提要027：為何要學習二階 ODE 問題？
提要028：與大自然相關的數有那些？
提要029：如何建立自由振動問題的數學模式？
提要030：自由振動問題的數學模式之解
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
8.
●Euler－Cauchy 方程式的解析
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要031：認識 Euler－Cauchy 方程式的解法(一)
－相異實根
提要032：認識 Euler－Cauchy 方程式的解法(二)
－重根
提要033：認識 Euler－Cauchy 方程式的解法(三)
－複數根
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
9. ●期中考(Midterm)
綜合第1~8 週 之上課內容 舉辦總結性 評量
筆試 (Writing Test)
10.
●二階微分方程式的基本性質
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要034：初始值問題之解的存在性與惟一性定理 提要035：線性相關與線性獨立(一)
提要036：線性相關與線性獨立(二) 提要037：線性相關與線性獨立(三) 提要038：Wronskian 的定義
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
11.
●二階非齊性常微分方程式的解析
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要039：二階非齊性 ODE 之通解
提要040：以待定係數法解析二階常係數非齊性 ODE 之特解(一)
提要041：以待定係數法解析二階常係數非齊性 ODE 之特解(二)
提要042：以待定係數法解析二階常係數非齊性 ODE 之特解(三)
提要043：認識參數變換法
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
附件1-7
12.
●二階常微分方程式在工程上的應用
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要044：強制振動問題之數學模式 提要045：強制振動問題之數學模式的解 提要046：認識振動問題與電流問題之類比關係
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
13.
●高階齊性常微分方程式的基本性質
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要047：為何要學習高階 ODE 問題？
提要048：認識高階 ODE 之重疊原理(Superposition Principle)
提要049：高階初始值問題之解的存在性與惟一性 定理
提要050：認識高階 ODE 之解的基底所對應的 Wronskian
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
14.
●高階常係數齊性常微分方程式的解析
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要051：高階常係數齊性 ODE 之通解(一)－相異 實根
提要052：高階常係數齊性 ODE 之通解(二)－重根 提要053：高階常係數齊性 ODE 之通解(三)－複數 根
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
15.
●高階常係數非齊性常微分方程式的解析
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要054：以待定係數法解析高階常係數非齊性 ODE 之特解(一)
提要055：以待定係數法解析高階常係數非齊性 ODE 之特解(二)
提要056：以待定係數法解析高階常係數非齊性 ODE 之特解(三)
提要057：以參數變換法解析高階非齊性 ODE 之 特解
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
16.
●聯立常微分方程式的解析(2－1)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要058：認識聯立 ODE 問題
提要059：聯立齊性 ODE 的解法(一)－讓一個方程 式只包含一個未知數
提要060：聯立齊性 ODE 的解法(二)－矩陣解法(相 異根)
提要061：聯立齊性 ODE 的解法(三)－矩陣解法(重 根)
提要062：聯立非齊性 ODE 之非齊性解的解法(一)
－讓一個方程式僅含一個未知數
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至 e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
17.
●聯立常微分方程式的解析(2－2)
●實施翻轉教學
【教學影片】
提要063：聯立非齊性 ODE 之非齊性解的解法(二)
講授(Lecture) 個案教學 (Case Study)
【請修課同 學至
【請修課同 學完成 e-Campus 平台線上單 元測驗】
附件1-8
－矩陣解法(非齊性項與齊性解不重複)
提要064：聯立非齊性 ODE 之非齊性解的解法(三)
－矩陣解法(非齊性項與齊性解重複時)
提要065：聯立非齊性 ODE 之非齊性解的解法(四)
－矩陣解法(參數變換法)
提要066：特徵向量的解法(一)－相異特徵根 提要067：特徵向量的解法(二)－特徵根有重根
e-Campus 平 台瀏覽教學 影片】
18. 期末考(Final exam)
綜合第10~17 週之上課內 容舉辦總結 性評量
筆試 (Writing Test)
學習評量方式如以下所示：
1. 單元測驗和紙筆作業：30%
2. 期中考試及期末考試：40%
3. 出席率暨參與討論：14%
4. 小考：16%
註：本次授課未舉辦小考，故將小考配分等比例分配至其他項目。
學生學習成效
本課程於期末時，曾在 Google 平台進行翻轉教學之期末問卷評 量，共計11 位同學回答了問卷，問卷題目如下。其中「非常滿意」、「滿 意」、「普通」、「不同意」、「非常不同意」分別給予100 分、85 分、70 分、60 分、50 分。
1、老師的翻轉教學，有助於提升我對本課程的學習興趣。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 2、修習這門課，有助於提升我在本課程領域的專業知識。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 3、老師使用多元的學習資源或管道進行翻轉教學。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意
4、老師所提供的課前數位教材，有助於我完成作業或進行小組討論。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 5、老師在翻轉教學時會引導我們進行作業或小組討論。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 6、老師的翻轉教學，能增強我們的學習效果。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意
7、老師對本課程所安排翻轉教學的作業、報告或考試，能確實反映我 們的學習內容。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 8、整體而言，我對本課程任課老師的教學感到滿意。
(A)非常同意 (B)同意 (C)普通 (D)不同意 (E)非常不同意 Google 平台上所安排的問卷結果，如圖 9a 至圖 9h 所示。
附件1-9
圖9a 課程網路問卷第1 題：「老師的翻轉教學，有助於提升我對 本課程的學習興趣。」
圖9b 課程網路問卷第2 題：「修習這門課，有助於提升我在本課 程領域的專業知識。」
圖9c 課程網路問卷第3 題：「老師使用多元的學習資源或管道進 行翻轉教學。」
附件1-10
圖9d 課程網路問卷第4 題：「老師所提供的課前數位教材，有助 於我完成作業或進行小組討論。」
圖9e 課程網路問卷第5 題：「老師在翻轉教學時會引導我們進行 作業或小組討論。」
圖9f 課程網路問卷第6 題：「老師的翻轉教學，能增強我們的學 習效果。」
附件1-11
圖9g 課程網路問卷第7 題：「老師對本課程所安排翻轉教學的作 業、報告或考試，能確實反映我們的學習內容。」
圖9h 課程網路問卷第8 題：「整體而言，我對本課程任課老師的 教學感到滿意。」
32 位修課同學中，共計 11 位修課同學回答了以上問卷，由問卷結 果得知，問卷之平均分數為87.83 分。可見修課同學普遍均認同本學期 所採用的翻轉教學之授課方式，並給予高度的評價。
因本課程之授課教材完全對網路上之使用者開放，由Google 檢索 排名得知，若輸入關鍵字「工程數學」或「工程數學一」，則前三個被 蒐尋到的課程教材，即為本人所完成的「工程數學(一)」數位影音輔 助教材，如圖10 與圖 11 所示。亦即授課老師所開發出的教學影片和講 義，在網路上已有眾多學生採用這份教材，以進行課程預習或複習。
網路上眾多莘莘學子的喜歡瀏覽，應亦可證明所完成的教學影片確實 具有提升學習成效之效果。
附件1-12
圖10 2020/09/19 關鍵字「工程數學」之 Google 檢索排名為第 1 名
圖11 2020/09/19 關鍵字「工程數學一」之 Google 檢索排名為第 1 名
感人故事一則
網路上有許多莘莘學子持續不斷表達感謝本課程提供的網路教 學，代表範例如後說明所示。例如2019/10/22 SunnyBall1234 同學透過 YouTube 留言板說：「教授您好：看完了大部分影片，您真的講解的很 好，這種用題目來讓我們思考公式的意義以及用法的方式，真的讓學 習的人可以很快地融會貫通。希望教授您會再出影片！」，肯定本人所 錄製的教學影片。類似的肯定留言已有數十則，不勝枚舉。同學們所 提出之各類工程數學問題，均會盡可能於12 小時內及時給予回覆。
其他相關 說明
1. 本課程已順利完成，共計 32 位同學選修本課程，學期成績顯示有 1 位同學不及格。擬請學期成績不及格的同學繼續努力，並給予必要 的輔導與協助。
2. 本課程包含 1 位不及格同學之學期成績平均分數為 74.78 分；另外，
扣除不及格者的學期成績平均分數是 77.03 分。顯然多數同學均已 獲得本課程之基本知識與能力。
3. 本課程於期末時，曾在 Google 平台上進行翻轉教學之期末問卷評 量，問卷之平均分數為 87.83 分，可見修課同學普遍均認同本學期 所採用的翻轉教學之授課方式，並給予極高度的評價。
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4. 為確保修課同學均有親自上網完成所擬定之單元測驗，獲得必備之 工程數學(一)的基本知識與能力，本課程之期中考試與期末考試是 安排在實體教室中進行紙筆測驗。
5. 本課程有搭配本校 e-Campus 平台進行授課，也會在該平台安排線 上單元測驗、課程作業、課程講義，並使用Zuvio 的點名功能。
照片
圖12 持續錄製新的「工程數學」教學影片並上傳至 YouTube 備註 其他佐證資料請教師依實際教學情形提供：
教師簽章： 系主管審核簽章：
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附件1-15
附件 2
呂志宗， 2020/07/22， 「 108-2《工程數學 (二)》翻轉 FUN 教學課程成果報告書」 。
中 華 大 學
108 學年度第二學期
「翻轉 FUN 教學」
成果報告
中華民國 109 年 7 月 22 日 編號：108-2-B04-001
申請單位：土木工程學系 課程名稱：工程數學(二) 課號：B04204A
授課教師：呂志宗
附件2-1
中華大學 「翻轉 FUN 教學」成果報告
編號 108-2-B04-001 姓名 呂志宗 職稱 教授 聯絡電話 03-5186708 手機 0920-047787 E-mail cclu@chu.edu.tw
開課單位 建築與設計學院/土木工程學系
課程名稱 工程數學(二)
課號 B04204A
開課班級數 1
成果報告
課程目標
本課程之教學目標是希望修課同學能在上課過程中，培養出以數 學及科學方法解決工程問題的能力，其教學內容會牽涉到「認識工程 問題」、「數學模式的建立」、及「數學模式的解析」等三部分的連結。
教學過程中，需讓修課同學瞭解「模式化（Modeling）」的觀念與方法，
以及許多解析數學模式的技巧與觀念。
本學期的教學重點為：(1)高階線性微分方程式(Linear Differential Equations of Second and Higher Order) (2)聯立微分方程式(Systems of Differential Equations) (3)拉氏轉換(Laplace Transforms) (4)微分方程 式的級數解(Series Solutions of Differential Equations) (5)矩陣與行列 式(Matrix ＆ Determinant)。
「翻轉 FUN 教 學」之教學規
劃與設計
1. 整理目前已錄製好的教學影片。這些教學影片的全長超過 100 個小 時，目前均已安置於：
(1) 本校開放式課程平台http://ocw.chu.edu.tw/course/view.php?id=8。 (2) 台灣開放式課程聯盟https://goo.gl/dkAgBI。
(3) YouTube 平台：
(a) 2019 教育部教學實踐研究計畫 https://reurl.cc/Wd6mp7 (b) 2018 教育部教學實踐研究計畫 http://bit.ly/2LuDHSo (c) 工程數學（二）★新剪輯★ https://goo.gl/VclLNI (d) 工程數學（二）★加字幕★ https://goo.gl/Vm37PN (e) 工程數學（二）★新錄製★ https://goo.gl/nE5ELs
2. 透過本校開放式課程平台、本校 Moodle 平台、台灣開放式課程聯 盟之課程平台及YouTube 平台，進行課程的教學規劃，擬於課程中 進行翻轉教室之教學模式，每一單元均會給予適當之測驗，測驗中 則搭配所錄製的教學影片，修課學生必須瀏覽過教學影片，才會有 能力完全答對所擬之單元測驗。
評量方式包括：
1. 單元測驗(Quizzes)及作業(Homework)：30%
2. 期中考試及期末考試(Midterm & Final Exam)：40%
3. 第一次小考：8%
4. 第二次小考：8%
附件2-2
5. 出席率(Attendance)暨參與討論(Participate in Discussions)：14%。
小考、期中考與期末考擬於所安排的上課教室採紙筆測驗方式進 行。
教學實施情形
如前所述，本課程會安排手寫作業，各週次之課程安排進度與內 容，如表1 所示。
表1 授課進度及內容
單元名稱與內容 (Unit Title & Content)
教學方法 (Teaching Methods)
評量方法 (Evaluation Methods)
第 1 週
●瞭解拉氏轉換的基本觀念
●Laplace 積分轉換與反轉換之定義的 由來
●Laplace 積分轉換方法的主要用途
●應用 Laplace 積分轉換方法時所可能 遭遇的瓶頸
講授(Lecture)
●本週進行第 1 次翻轉 教學
作業(Homework)
第 2 週
●基本函數之拉氏轉換
●Laplace 積分轉換方法與複變分析有 什麼關係？
●Laplace 積分轉換之存在性定理與線 性相加定理
●常數 1 之 Laplace 積分轉換
●函數 t 之 Laplace 積分轉換
●函數 t² 之 Laplace 積分轉換
●函數 tⁿ 之 Laplace 積分轉換
●函數 exp(at) 之 Laplace 積分轉換
●函數 cosh(at) 之 Laplace 積分轉換
●函數 sinh(at) 之 Laplace 積分轉換
●函數 cos(at) 之 Laplace 積分轉換
●函數 sin(at) 之 Laplace 積分轉換
講授(Lecture)
●本週進行第 2 次翻轉 教學
作業(Homework)
第 3 週
●瞭解拉氏轉換的移位性質與週期函 數
●瞭解部分分式法求反拉氏轉換
●函數 f’(t) 之 Laplace 積分轉換
●函數 f”(t) 之 Laplace 積分轉換
●函數 f(t) 之 n 次微分的 Laplace 積 分轉換
●單位階梯函數 u(t － a) 之 Laplace 積分轉換
●單位脈衝函數之 Laplace 積分轉換
●函數 exp(at)*f(t) 之 Laplace 積分轉 換
●函數 f(t － a)u(t － a) 之 Laplace 積分轉換
講授(Lecture)
●本週進行第 3 次翻轉 教學
作業(Homework)
第 4 週
●瞭解拉氏轉換的迴旋積分
●迴積分定理(Convolution Theorem)
●單位階梯函數 u(t － a) 在工程上 的應用
●單位脈衝函數在工程上的應用
講授(Lecture)
●本週進行第 4 次翻轉 教學
作業(Homework)
第 5 週
●第 1 次小考 ●綜合第 1~4 週之上課
內容舉辦總結性評量 筆試(Writing Test)
第 6 週
●瞭解單位脈衝函數與狄拉克函數之 拉氏轉換
●瞭解拉氏轉換法解微分方程式
●包含單位階梯函數之數學模式的解
●包含單位脈衝函數之數學模式的解
●週期為 p 之函數 f(t) 的 Laplace
講授(Lecture)
●本週進行第 5 次翻轉 教學
作業(Homework)
