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主
!!编
!赵雄辉本 册 主 编
!向利平编
!!者
!向利平!肖千民!方碧霞 肖月圆!何义华湖南教育出版社
湖南教育出版社
湖南教育出版社
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第!章!二次函数 !!!!!!!!!!!!!! ""!! ! "
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二次函数!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! #
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二次函数的图象与性质! "" !!!!!!!!!!! ! ! %
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二次函数的图象与性质! $" !!!!!!!!!!! ! " !
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二次函数的图象与性质! #" !!!!!!!!!!! ! " #
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二次函数的图象与性质! &" !!!!!!!!!!! ! " '
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二次函数的图象与性质! (" !!!!!!!!!!! ! $ "
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不共线三点确定二次函数的表达式!!!!!!! ! $ &
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二次函数与一元二次方程的联系!!!!!!!!! ! $ )
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二次函数的应用!!!!!!!!!!!!!!!! ! # $
本章整理提升
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本章达标测试
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第#章!圆 !!!!!!!!!!!!!!!!! "$%! & %
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圆的对称性!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! & )
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圆心角#
圆周角! "" !!!!!!!!!!!!!!! ! ( #
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垂径定理!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! % %
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过不共线三点作圆!!!!!!!!!!!!!!! ! ' !
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直线与圆的位置关系! "" ! ' &
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投影!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " " !
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直棱柱#
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九年级下册达标测试 !!!!!!!!!!!!! !%%!
参考答案 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !(!湖南教育出版社
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!!
当周长!
为定值时!
如果矩形的长是"!
宽就是!!" " " !
矩形的面积#
随着它的长"
变化而变化
!
即矩形的面积#
是关于它的长"
的函数!
其函数关系式为## !!" "
" "!
整理 得##!"
"$ !
" ""
其中!
为常数# !
可以看出!
该函数表达式的自变量的最高次数是"!
不 是过去学习过的一次函数了$
!!
现实生活及数学中大量存在类似的函数关系!
这类函数的表达式都可以化成##
!"
"$ %"$&"
其中!! %! &
均为常数! !"%#
的形式!
为了便于研究这一类函数!
我们把表达 式中自变量的最高次数是"
的函数称为二次函数$
二次函数是一种很常见且十分重要的 函数!
是以后进一步学习数学$
物理$
化学的重要基础$
!!
在一次函数和反比例函数的学习中!
我们初步知道研究函数的一些基本思路!
讨论 一次函数和反比例函数的图象和性质!
用一次函数和反比例函数解决一些实际问题!
用 函数的观点看方程"
组# $
研究一次函数和反比例函数的性质!
我们主要研究函数的自变 量和函数值的取值范围$
函数值#
随自变量"
的变化情况$
函数图象的对称性等几个方 面$
类似地!
对二次函数的学习中!
我们也将研究这些问题$
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!!#!!!!
本章学习中我们将认识一种新的曲线
% % %
抛物线$
二次函数的图象是抛物线$
水平 抛出的物体的运行轨迹$
投掷出的铅球的运行轨迹$
发射出的炮弹的运行轨迹$
某些拱桥 的纵截面$
悬索桥的拉索等等!
都可以近似地看成抛物线!
我们都可以借助二次函数来研 究这些问题$
二次函数的图象和性质是本章的重点
!
也是本章的难点$
!$
回顾一次函数和反比例函数的知识在一次函数和反比例函数的学习中
!
我们学习了给定自变量的值求函数值!
根据函 数值求相应自变量的值!
用描点法画函数的图象!
根据函数的图象直观地看出函数的性 质!
根据给定的条件求函数的解析式等相关知识$
这些知识和方法均可以迁移到二次函 数的学习之中!
是学好二次函数的基础$
"$
用好一次函数和反比例函数学习中积累的经验研究函数主要研究它的性质
!
而对于函数的性质!
主要研究如下几个方面&
函数自变 量的取值范围!
函数值的变化范围!
函数值随自变量的增大"
减小#
而增大或减小情况!
函 数图象的对称性!
等等$
研究这些性质时我们不仅可以借助代数运算!
更要借助图象直观 地归纳函数的性质$
根据给定条件求函数的表达式也是函数学习的重要内容
$
对于一次函数!
因为其表 达式##'"$%
中有两个常数'
和%
需要确定!
所以只要有两个条件就可以用待定系数 法求得表达式'
对于反比例函数## '
" !
因为只有一个常数'
需要确定!
所以只需要一个 条件就可以用待定系数法求得表达式$
类似地!
我们也可以根据给定的条件!
用待定系数 法求得二次函数的表达式$
值得一提的是
!
根据给定的条件!
在平面直角坐标系中确定一次函数和反比例函数 的大致位置和形状是研究函数问题的重要方法和手段!
这些方法和手段也将用在二次函 数的学习之中$
总之
!
一次函数和反比例函数学习中积累的经验在二次函数学习中都非常有用!
要 善于总结用好这些已有的经验$
#$
注重数与形的结合数形结合是研究函数问题的最重要的方法
$
数学家华罗庚曾说过&(
数缺形时少直 观!
形缺数时难入微) $
借助图象的直观可以很好地发现函数值随自变量变化而变化的规 律!
但是不通过代数运算就不可以精确地刻画这些变化规律$
因此!
二次函数学习中既要 重视图象的学习!
也不能忽视必要的代数运算!
要防止重形轻数的倾向!
要特别注重一元 二次方程的有关知识在二次函数学习中的运用$
$$
可借助一些计算机软件辅助学习如果你学有余力
!
不妨学习一下几何画板软件的使用方法!
在计算机上借助这一软 件研究二次函数问题!
特别是探求一些综合性问题的解法时有其独特的优势$
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!$ ! !
二次函数!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
计算" "$"# " "!&#
的结果是" !!#
'( "
"!) *( "
"$) +( "
"! "!) ,( "
"$ "!)
"$
已知下列关系式& " -# ## -
" " ! " "# ##"
"! " &# # ###"! " .# #$-#"! " /# #
"# "$&$
其中! #
不是
"
的函数有" !!#
'( -
个*( "
个+( &
个,( .
个#$
下列函数中!
是一次函数是" !!#
'( ##" *( ##'" +( ## -
" $- ,( ##"
"!"
$$
下列各曲线中!
能表示#
是"
的函数的是" !!#
' * + ,
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$ -$
整式的乘法" -#
单项式与多项式相乘!
就是用单项式乘多项式的每一项!
再把所得的积相加$
即
!" %$&##! %$! &
" "#
多项式与多项式相乘!
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项!
再把 所得的积相加$
即
" !$%# " &$(##! &$!($% &$%(
"$
函数及一次函数的定义" -#
一般地!
如果在一个变化过程中!
有两个变量!
例如"
和#!
对于"
的每一个值! #
都有唯一的值与之对应
!
我们就称#
是"
的函数! "
是自变量! #
是因变量$
表示函数关系 的方法通常有三种&
表达式法$
列表法$
图象法$
" "#
若函数的表达式都是用自变量的一次整式表示的!
我们称它们为一次函数$
一次 函数通常可以表示为##'"$%
的形式!
其中'"%! '! %
是常数$
特别地!
当%#%
时!
一次 函数##'""
常数'"%#
就叫正比例函数$
正比例函数是特殊的一次函数$
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!!
八年级下学期我们学习过一次函数#
知道函数解析式中自变量的最高次数可以不止 一次$
今天我们就来学习一类新的更高次的函数$
二次函数$
!$
为什么学二次函数!
周长为某一定值的矩形面积与它的一条边的长度有什么关系呢
*
例如
!
不妨设矩形的周长为定值!!
一边长为"!
面积为#!
则## " !!" "#
" +"!
即##!"
"$ !
" "$
这一关系中
!
当"
变化时! #
随之变化!
而且对于"
的每一个取值! #
都有唯一确定的 值与之对应$
因此! #
是关于"
的函数!
其表达式是自变量的二次多项式$
生活和数学中!
类似的函数关系有很多!
为此!
我们有必要学习这种新的函数模型% % %
二次函数$
"$
什么是二次函数!
" -#
如果函数表达式是自变量的二次多项式!
那么这样的函数称为二次函数$
它的一般形式是
##!"
"$ %"$& " !"%! !! %! &
为常数# $
" "#
在二次函数定义中要求!"%!
但%! &
均可为%$
若
%#%!
则##!"
"$ &'
若
&#%!
则##!"
"$ %"'
若
%#&#%!
则##!"
"$
#$
对二次函数定义的理解可以用类似于对一次函数定义的理解的方式 函数的表达式是用自变量的一次整式表示的!
称为一次函数'
函数的表达式是用自变量的二次整式表示的
!
称为二次函数$
说明
"
按!
次数"
定义函数是给函数命名的一种方法#
用类似的方法#
今后还可以定义 更高次的函数$
$$
判断某函数是否为二次函数#
须将表达式其化简成##!"
"$ %"$&
的形式$
!$
已知函数& !##!"
"' "##&" "!-#
"!"'###" "$&#
"!" "
"'$## -
"
"$ "$
其中!
是二次函数的有
" !!#
'( -
个*( "
个+( &
个,( .
个"$
如果函数##" '!"# "
'"!"'$"$ '"$-
是关于"
的二次函数!
那么'
的值是" !!#
'( -
或" *( %
或" +( " ,( %
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!!&!!!!
#$
已知关于"
的函数##" )
"! )# "
"$" )!-# "$"!")$
" -#
若这个函数是二次函数!
求)
的取值范围$
" "#
若这个函数是一次函数!
求)
的值$
" &#
这个函数可能是正比例函数吗*
为什么*
-$
形如##'"$%" '"%#
的函数叫作一次函数!
一次函数的表达式是关于自变量的一 次整式$
类似地!
二次函数的表达式是关于自变量的二次整式!
二次函数的一般形式是##!"
"$ %"$&" !"%#$
"$
按(
次数)
定义函数是给函数命名的一种方法!
用类似的方法!
今后还可以定义更 高次的函数$
&$
判断某函数是否为二次函数!
须将其表达式化简成##!"
"$ %"$&
的形式!
然后 判断表达式中的!
是否为%$
!$
圆面积公式为*#% +
"! *
与+
之间的关系是" !!#
'(
正比例函数*(
一次函数+(
二次函数,(
以上答案都不对"$
下列函数中!
一定为二次函数的是" !!#
'( ##"$& *( ##!"
"$ %"$&
+( ##,
"!" ,$" ,( ##"
"$ -
"
#$
对于任意实数)!
下列函数一定是二次函数的是" !!#
'( ##" )!-#
""
"*( ##" )$-#
""
"+$ ##" )
"$-# "
",( ##" )
"!-# "
"$$
对于##!"
"$ %"$&!
有以下四种说法!
其中正确的是" !!#
'(
当%#%
时!
是二次函数##!"
"$ & *(
当&#%
时!
是二次函数##!"
"$ %"
+(
当!#%
时!
是一次函数##%"$& ,(
以上说法都不对%$
设###
-!#
"! #
-与"
成正比例! #
"与"
"成正比例!
则#
与"
的函数关系是" !!#
'(
正比例函数*(
一次函数+(
二次函数,(
以上均不正确湖南教育出版社
!!'!!!!
!$ " !
二次函数的图象与性质!!"
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
与点-" -! "#
关于#
轴对称的点的坐标为" !!#
'( " !-! "# *( " !-! !"#
+( " -! !"# ,( " "! !-#
"$
关于函数##" "!
下列结论中正确的是" !!#
'(
函数图象经过点" "! -# *(
函数图象经过第二$
四象限+( #
随"
的增大而增大,(
不论"
取何值!
总有#$%
#$
直线##! "
& "$"
不经过" !!#
'(
第一象限*(
第二象限+(
第三象限,(
第四象限$$
在下图中!
反比例函数## "
"
的图象大致是" !!#
' * + ,
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$ -$
描点法是作函数图象的一种最基本方式$
步骤如下&
!
明确函数表达式'
"
列表&
取一些自变量与因变量的对应值'
#
描点&
根据列表所得自变量与函数值的对应值!
将每对对应值为坐标的点描在平 面直角坐标系内'
$
连线&
用平滑的曲线将所描点连起来$
"$
一次函数" -#
一般形式& ##'"$%" '"%#!
当%#%
时!
一次函数就变成了正比例函数$
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!!(!!!!
" "#
图象&
过" ! ' % ! % #
和" %! %#
两点的一条直线$
" &#
性质&
!
当'$%
时! #
随"
的增大而增大!
图象必过第一$
三象限'
"
当'%%
时! #
随"
的增大而减小!
图象必过第二$
四象限'
#
当%$%
时!
图象与#
轴交于正半轴!
必过第一$
二象限'
$
当%%%
时!
图象与#
轴交于负半轴!
必过第三$
四象限'
&
当%#%
时!
图象与#
轴交于坐标原点!
其图象为正比例函数的图象$
&$
反比例函数" -#
一般形式& ## '
" " '"%#$
" "#
图象&
反比例函数的图象是双曲线!
是不与两坐标轴相交的两条曲线$
" &#
性质&
!
当'$%
时!
图象位于第一$
三象限!
在每个象限内! #
随"
的增大而减小'
"
当'%%
时!
图象位于第二$
四象限!
在每个象限内! #
随"
的增大而增大'
#
反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形$
.$
研究函数图象通常从图象的形状$
经过的象限$
图象的变化趋势$
最值等方面进行 研究$
!!
前面我们学过一次函数%
反比例函数的图象与性质#
那么二次函数的图象可能是什么 形状呢&
二次函数又有哪些性质呢&
通过本节课的学习#
我们将逐步来解决这些问题$
!$
如何画二次函数的图象学习一次函数和反比例函数时
!
我们借助描点法画出了它们的图象!
得出它们的图 象分别是直线和双曲线$
类似地!
我们也需要借助描点法来探究二次函数的图象是怎样 的曲线$
学习一次函数和反比例函数的图象时
!
我们发现它们的图象是由其表达式##'"$
%! ## '
"
中的'! %
确定的$
类似地!
二次函数##!"
"$ %"$&" !"%#
的图象是否也是由!!
%! &
确定的呢*
为此!
我们可从最特殊的形式##!"
"出发!
分!$%! !%%
两种情况探究湖南教育出版社
!!)!!!!
它的图象是怎样的曲线
$
"$
二次函数##!"
"$ !$%%
的图象为了探讨二次函数
##!"
"" !$%#
的图象!
我们可按(
从特殊到一般)
的思维方式!
先 画出诸如##"
"! ## -
" "
"等函数的图象!
然后得出一般性的结论& ##!"
"" !$%#
的图象 如图-$ " - -
所示$
图-$" - -
#$
从&
数'
与&
形'
两个角度认识二次函数##! "
"$ !$%%
的图象特点" -#
根据图象可以直观地看出!
二次函数##!"
"" !$%#
的图象关于#
轴对称$
从表达 式##!"
"" !$%#
也可以发现!
当自变量"
取一对互为相反数的数时!
函数值#
相等!
可知 其图象关于#
轴对称$
" "#
从图象可以看出!
在#
轴的左边部分!
图象上的点随自变量的增大而下降!
函数 值随自变量的增大而减小'
在#
轴的右边部分!
图象上的点随自变量的增大而上升!
函数 值随自变量的增大而增大$
借助表达式##!"
"" !$%#
也可以计算得出&
当自变量"%%
时
! #
随"
的增大而减小'
当自变量"$%
时! #
随"
的增大而增大$
" &#
从图象可以看出!
图象开口向上!
图象上所有点的最低位置为原点" %! %# $
借助表 达式##!"
"" !$%#
也可以发现!
不论自变量"
为何值!
函数值均大于或等于%!
即函数的 最小值为%$
!$
已知点" !-! #
-# ! " "! #
"# ! " !&! #
&#
都在函数##"
"的图象上!
则#
-! #
"! #
&之间的大小关系为
" !!#
'( #
-%#
"%#
&*( #
-%#
&%#
"+( #
&%#
"%#
-,( #
"%#
-%#
&"$
有下列四个二次函数& !##"
"! "##" "
"! ### -
" "
"! $##& "
"$
它们的图象开口从大 到小的排列顺序是!!!!!!!!$
#$
已知二次函数##"
"和##" "
"!
有以下说法&!
它们的图象都是开口向上'"
它们的 图象对称轴都是#
轴!
顶点坐标都是原点" %! %# ' #
当"$%
时!
它们的函数值#
都是随 着"
的增大而增大' $
它们的图象开口大小是一样的$
其中正确的说法有" !!#
'( -
个*( "
个+( &
个,( .
个湖南教育出版社
!!*!!!!
-$
我们学习了几个重要的知识&
" -#
利用描点法画二次函数##!"
"" !$%#
的图象$
" "#
二次函数##!"
"" !$%#
的图象是一条关于#
轴对称的曲线!
它的开口向上!
对称 轴与图象的交点是原点" %! %# '
图象在对称轴右边的部分!
函数值#
随自变量"
的增大而 增大"
函数图象从左至右呈上升的趋势# !
图象在对称轴左边的部分!
函数值#
随自变量"
的增大而减小
"
函数图象从左至右呈下降的趋势# $
"$
本内容的学习中我们用到了两个重要的方法$
" -#
我们通过比较横坐标互为相反数的两个点的坐标特点以及位置特点!
得出了二 次函数##!"
"" !$%#
的图象关于#
轴对称$
通过观察比较#
轴右边描出的各点的横坐标 变化时相应的纵坐标的变化情况!
发现了与之对应的图象的变化情况$
从而把(
数)
的特 征与(
形)
的特征有效地结合!
加深了我们对函数及其图象的认识!
这种将(
数)
的特征与(
形)
的特征有效结合起来处理数学问题的方法叫做(
数形结合法) $
" "#
画反比例函数图象时!
可以根据反比例函数图象关于原点的对称性画图!
简单方 便$
类比反比例函数图象的简易画法!
结合二次函数##!"
"关于其对称轴对称的性质!
我们在画二次函数##!"
"的图象时!
只需先通过描点画出该图象的对称轴一侧的部分!
再利用对称性!
画出图象在对称轴另一侧部分$
这种将遇到的复杂问题转化为简单问题 来解决的方法!
是数学学习中非常重要的方法$
!$
对于函数##/ "
"!
下列结论正确的是" !!#
'( #
随"
的增大而增大*(
图象开口向下+$
图象关于#
轴对称,(
无论"
取何值! #
的值总是正的"$
抛物线##& "
"的顶点坐标是" !!#
'( " &! %# *( " %! &# +( " %! %# ,( " -! &#
#$
二次函数##"
"的对称轴是" !!#
'(
直线##- *(
直线"#- +( #
轴,( "
轴$$
抛物线##!"
"的开口方向是" !!#
'(
向上*(
向下+(
向左,(
向右%$
关于## -
" "
"! ##"
"! ##" "
"的图象!
下列说法不正确的是" !!#
'(
顶点相同*(
对称轴相同+(
开口方向相同,(
图象形状相同湖南教育出版社
!"!!!!
!$ " !
二次函数的图象与性质!""
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
点" "! !&#
关于"
轴对称的点的坐标为" !!#
'( " !"! !&# *( " "! &#
+( " !"! &# ,( " &! "#
"$
关于函数## -
" "
"!
下列说法错误的是" !!#
'(
图象开口向上*(
图象关于#
轴对称+$
函数有最大值为%
,$
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而减小!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
如果两个点关于"
轴对称!
则这两个点的横坐标相同!
纵坐标互为相反数'
如果两 个点关于#
轴对称!
则这两个点的横坐标互为相反数!
纵坐标相同'
如果两个点关于原点 对称!
则这两个点的横坐标互为相反数!
纵坐标互为相反数$
"$
我们一般从函数图象的开口方向$
对称性$
函数值随自变量的变化情况$
最大值与 最小值等方面来理解函数##!"
"" !$%#
的图象的性质和特征!
函数##!"
"" !$%#
的图 象有如下特征&
开口向上'
关于#
轴对称'
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增 大而减小!
图象在对称轴右边部分!
函数值随自变量的增大而增大'
当"#%
时!
函数取最 小值!
最小值为%$
!!
上节课#
我们已经研究过形如##!"
"' !$%(
的二次函数的图象特征及性质$
那么形 如##!"
"' !%%(
的二次函数的图象又是怎样呢& ##!"
"' !%%(
的图象与##!"
"' !$%(
的图象有何区别与联系呢
&
湖南教育出版社
!"!!!"
!$
函数##!"
"$ !%%%
的图象图-$" " -
函数
##!"
"" !%%#
与函数##!"
"" !$%#
的表达式的形式 相同!
唯一不同的是二次项系数!
的符号!
一个为正一个为负$
所 以!
当自变量取相同的值时!
函数##!"
"" !%%#
与##!"
"" !$
%#
的值互为相反数!
可见!
函数##!"
"" !%%#
与##!"
"" !$%#
的图象关于
"
轴对称$
于是!
我们可根据前面得出的二次函数##
!"
"" !$%#
的图象得出##!"
"" !%%#
的图象!
如图-$ " " -$
"$
从&
数'
与&
形'
两个角度认识二次函数##!"
"$ !%%%
图象和性质" -#
根据图象可以直观地看出!
二次函数##!"
"" !%%#
的图象关于#
轴对称$
从表达 式##!"
"" !%%#
也可以发现!
当自变量"
取一对互为相反数的数时!
函数值#
相等!
可知 其图象关于#
轴对称$
" "#
从图象中可以看出!
在#
轴的左边部分!
图象上的点随自变量的增大而上升!
函 数值随自变量的增大而增大'
在#
轴的右边部分!
图象上的点随自变量的增大而下降!
函 数值随自变量的增大而减小$
借助表达式##!"
"" !%%#
也可以计算得出!
当自变量"%%
时
! #
随"
的增大而增大'
当自变量"$%
时! #
随"
的增大而减小$
" &#
从图象中可以看出!
图象的开口向下!
图象上所有点的最高位置为原点" %! %# $
借 助表达式##!"
"" !%%#
也可以发现!
不论自变量"
为何值!
函数值均为非正数!
即函数的 最大值为%$
#$
抛物线函数
##!"
"" !%%#
的图象的一段与生活中抛掷物体时物体运行的路线类似!
因此我 们称二次函数##!"
"的图象为抛物线!
简称抛物线##!"
"$
抛物线##!"
"关于#
轴对 称!
抛物线与它的对称轴的交点" %! %#
叫做抛物线的顶点$
!$
已知点" !-! #
-# ! " "! #
"# ! " !&! #
&#
都在函数##!"
"的图象上!
则" !!#
'( #
-%#
"%#
&*( #
&%#
-%#
"+( #
&%#
"%#
-,( #
"%#
-%#
&"$
有下列四条抛物线& !##!"
"! "##" "
"! ###! -
" "
"! $##& "
"$
开口从大到小的排 列顺序是!!!!!!$
湖南教育出版社
!"!!!#
#$
关于二次函数##!"
"和##! -
" "
"!
有以下说法& !
它们的图象都是开口向下'"
它 们图象的对称轴都是#
轴!
顶点坐标都是原点" %! %# ' #
当"$%
时!
它们的函数值#
都 是随着"
的增大而增大' $
它们图象开口的大小是一样的$
其中正确的说法有" !!#
'( -
个*( "
个+( &
个,( .
个-$
二次函数##!"
"" !"%#
的图象是一条抛物线$
"$
一般从函数图象的开口方向$
对称性$
函数值随自变量的变化情况$
最大值与最小 值等方面来理解函数##!"
"" !"%#
的图象特征及性质$
函数##!"
"" !"%#
的图象关于#
轴对称
! !
的符号决定抛物线的开口方向$
函数值随自变量的变化情况及最大值与最小值"
例如& !$%
时!
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而减小!
图象在对称轴右 边部分!
函数值随自变量的增大而增大$
当"#%
时!
函数取最小值!
最小值为%# $
!$
对于函数##! &
" "
"!
下列结论正确的是" !!#
'( #
随"
的增大而增大*(
图象开口向上+$
图象关于#
轴对称,(
无论"
取何值! #
的值总是正数"$
抛物线##!& "
"的顶点坐标是" !!#
'( " &! %# *( " %! &# +( " %! %# ,( " -! &#
#$
二次函数##!"
"图象的对称轴是" !!#
'(
直线##- *(
直线"#- +( #
轴,( "
轴$$
抛物线##!"
"的开口方向是" !!#
'(
向上*(
向下+(
向左,(
向右%$
关于##! -
" "
"! ##"
"! ##!" "
"的图象!
下列说法不正确的是" !!#
'(
顶点相同*(
对称轴相同+(
开口方向不相同,$
图象形状相同湖南教育出版社
!"!!!$
!$ " !
二次函数的图象与性质!#"
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
点" "! !&#
向右平移&
个单位长度后的坐标为" !!#
'( " !-! !&# *( " "! %#
+( " !"! !)# ,( " /! !&#
"$
平移不改变图形的" !!#
'(
位置*(
位置和形状+(
形状和大小,(
都不正确#$
将直线##" "$.
沿"
轴向右平移!" !$%#
个单位长度!
所得直线的函数表达式为" !!#
'( ##"" "!!#$. *( ##"" "$!#$.
+( ##" "$!$. ,( ##" "!!$.
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
将点." !! %#
向右移)
个单位长度得到." !$)! %#!
向左移)
个单位长度得到." !!)! %#$
"$
函数##!"
"" !"%#
的图象是一条抛物线!
关于#
轴对称$
当
!$%
时!
抛物线开口向上$
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而减 小'
图象在对称轴右边部分!
函数值随自变量的增大而增大$
当"#%
时!
函数取最小值!
最小值为%$
当
!%%
时!
抛物线开口向下$
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而增 大'
图象在对称轴右边部分!
函数值随自变量的增大而减小$
当"#%
时!
函数取最大值!
最大值为%$
&$
函数图象的平移实际上是函数图象上点的平移$
函数图象向左"
或向右#
平移!
个 单位长度!
则函数图象上的每一个点都向左"
或向右#
平移!
个单位长度$
!!
上节课#
我们已经研究过形如##!"
"' !"%(
的二次函数的图象特征及性质#
那么形 如##!' "!/(
"' !"%(
的二次函数图象又有什么特征呢& ##!' "!/(
"' !"%(
的图象与##!"
"' !"%(
的图象有何区别与联系呢&
湖南教育出版社
!"!!!%
!$
函数图象的平移函数图象的平移实际上是函数图象上点的平移
$
函数图象向左"
或向右#
平移!
个单 位长度!
则函数图象上的每一个点都向左"
或向右#
平移!
个单位长度$
可见!
函数图象的 平移不改变图象的形状!
只改变它在平面直角坐标系中的位置$
"$
函数##!$ "!/%
"$ !"%%
的图象函数
##!" "!/#
"" !"%#
与##!"
"" !"%#
的图象有什么关系呢*
为了解决这一问题
!
我们不妨先探究三个具体的二次函数##"
"! ##" "!"#
"! ##
" "$"#
"的图象之间的关系$
从上表中不难发现
!
当"#)
时! ##"
"的函数值为##)
"$
当"#)$"
时! ##" "!"#
"的函数值也为
##)
"$
也就是说! ##"
"在"#)
时的函数值与##" "!"#
"在"#)$"
时的函数值相等
$
可见
! ##" "!"#
"的图象可看作是由##"
"的图象向右平移"
个单位长度得到的$
类 似地! ##" "$"#
"的图象可看作是由##"
"的图象向左平移"
个单位长度得到的!
如 图-$ " & -$
图-$" & -
更一般地
!
当/$%
时! ##!" "!/#
"" !"%#
的图象可看作是由##!"
"" !"%#
的图象 向右平移/
个单位长度得到的'
当/%%
时! ##!" "!/#
"" !"%#
的图象可看作是由##
!"
"" !"%#
的图象向左平移# /#
个单位长度得到的$
例如
!
要画出函数## -
" " "$&#
"的图象!
我们只需先将函数表达式变形为##
-
" , "!"!&# -
"!
因此只需先画出## -
" "
"的图象!
再将它向左平移&
个单位长度即可$
湖南教育出版社
!"!!!&
#$ !# /
与函数##!$ "!/%
"$ !"%%
图象间的关系!
决定函数图象的形状$ /
只影响函数图象在平面直角坐标系中的位置!
不改变图象 的形状$
$$
函数##!$ "!/%
"$ !"%%
的性质从图
-$ " & "
所示的函数##!" "!/#
"的图象可以直观地得出&
图-$" & "
" -#
函数##!" "!/#
"的图象是以直线"#/
为对称轴!
点" /! %#
为顶点的抛物线$
" "#
当!$%
时!
抛物线##!" "!/#
"的开口向上!
图象的最低点为" /! %# !
当"#/
时 函数取最小值%'
在对称轴"#/
的左侧!
抛物线##!" "!/#
"上的点随"
的增大而下降!
函数值随"
的增大而减小!
在对称轴"#/
的右侧!
抛物线##!" "!/#
"上的点随"
的增 大而上升!
函数值随"
的增大而增大$
" &#
当!%%
时!
抛物线##!" "!/#
"的开口向下!
图象的最高点为" /! %# !
当"#/
时 函数取最大值%'
在对称轴"#/
的左侧!
抛物线##!" "!/#
"上的点随"
的增大而上升!
函数值随"
的增大而增大!
在对称轴"#/
的右侧!
抛物线##!" "!/#
"上的点随"
的增 大而下降!
函数值随"
的增大而减小$
!$
已知二次函数##&" "$-#
"的图象上有三点0" -! #
-# ! 1" "! #
"# ! 2"!"! #
&# !
则#
-! #
"!
#
&的大小关系为" !!#
'( #
-$#
"$#
&*( #
"$#
-$#
&+( #
&$#
-$#
",( #
&$#
"$#
-"$
将二次函数##"
"的图象向右平移&
个单位长度!
得到的新图象的函数表达式是" !!#
'( ##"
"$& *( ##"
"!&
+( ##" "$&#
",( ##" "!&#
"#$
抛物线##& "
"与##&" "$&#
"的不同点是" !!#
'(
开口方向*(
开口大小+(
形状,(
对称轴湖南教育出版社
!"!!!'
$$
当"#"
时!
二次函数##!" "!/#
"取最大值!
且此函数的图象经过点" -!!&# !
求此二 次函数的表达式!
并指出"
为何值时#
随"
的增大而增大$
-$
函数##!" "!/#
"" !"%#
的图象可以看作是由##!"
"" !"%#
的图象向左" /%%#
或向右
" /$%#
平移# /#
个单位长度而得到的$
"$
处理函数及其图象性质问题时!
通常既研究函数表达式中#
随自变量"
的变化情 况!
又研究函数图象变化情况!
应从(
数)
和(
形)
两种不同角度来思考$
!$
抛物线##"" "!&#
"的顶点在" !!#
'(
第一象限*(
第二象限+( #
轴上,( "
轴上"$
关于函数##&" "!"#
"!
下列说法正确的是" !!#
'(
当"$%
时! #
随"
的增大而减小*(
当"%%
时! #
随"
的增大而增大+$
当"$"
时! #
随"
的增大而增大,(
当"$!"
时! #
随"
的增大而减小#$
将二次函数##!"
"$ %"$&
的图象向左平移"
个单位长度!
得到##"
"!" "$-
的图象
!
则%
和&
的值分别为" !!#
'( %#!)! � *( %#)! &#!0 +$ %#.! &#!0 ,( %#!&! &#)
湖南教育出版社
!"!!!(
!$ " !
二次函数的图象与性质!$"
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
点" "! !&#
向上平移&
个单位长度后的坐标为" !!#
'( " !-! !&# *( " "! %#
+( " !"! !)# ,( " /! !&#
"$
将直线##!" "!&
向上平移/
个单位长度!
所得直线的表达式为" !!#
'( ##!"" "!/#!& *( ##!"" "$/#!&
+$ ##!" "!1 ,( ##!" "$"
#$
关于函数## -
" " "!-#
"!
下列说法错误的是" !!#
'(
图象开口向上*(
图象的对称轴为直线"#- +$
函数的最小值为%
,$
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而增大!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
将点." !! %#
向上平移)" )$%#
个单位长度得到." !! %$)#!
向下平移)" )$%#
个单位长度得到
." !! %!)#$
"$
将直线##'"$%
向上平移)" )$%#
个单位长度!
所得直线的表达式为##'"$%$
)'
将直线##'"$%
向下平移)" )$%#
个单位长度!
所得直线的表达式为##'"$%!)$
&$
函数##!" "!/#
"" !"%#
的图象是一条抛物线!
关于直线"#/
对称$
当
!$%
时!
抛物线开口向上!
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而减小!
图象在对称轴右边部分!
函数值随自变量的增大而增大$
当"#/
时!
函数取最小值!
最小值 为%$
当
!%%
时!
抛物线开口向下!
图象在对称轴左边部分!
函数值随自变量的增大而增 大!
图象在对称轴右边部分!
函数值随自变量的增大而减小$
当"#/
时!
函数取最大值!
最大值为%$
湖南教育出版社
!"!!!)
!!
我们已经研究过形如##!' "!/(
"' !"%(
的二次函数图象特征及性质#
那么形如##!' "!/(
"$ '' !"%(
的二次函数图象又有怎样的特征呢& ##!' "!/(
"$ '' !"%(
的 图象与##!' "!/(
"' !"%(
的图象有何区别与联系呢&
!$
函数##!$ "!/%
"$ '$ !"%%
的图象函数
##!" "!/#
"$ '" !"%#
与##!" "!/#
"" !"%#
的图象有什么关系呢*
为了解决这一问题
!
我们不妨先探究三个具体的二次函数##" "!"#
"! ##" "!"#
"$
&! ##" "!"#
"!&
的图象之间的关系$
图-$" . -
不难发现
!
不论自变量"
取何值!
相应的##" "!"#
"$&
的函数值总比
##" "!"#
"的函数值大&! ##" "!"#
"!&
的函 数值总比##" "!"#
"的函数值小&$
所以! ##" "!"#
"$&
的 图象可看作是由##" "!"#
"的图象向上平移&
个单位长度 得到的$
类似地! ##" "!"#
"!&
的图象可看作是由##" "!
"#
"的图象向下平移&
个单位长度得到的$
如图-$ " . -$
更一般地
!
当'$%
时! ##!" "!/#
"$ '" !"%#
的图象 可看作是由##!" "!/#
"" !"%#
的图象向上平移'
个单位 长度得到的'
当'%%
时! ##!" "!/#
"$ '" !"%#
的图象可 看作是由##!" "!/#
"" !"%#
的图象向下平移# '#
个单位 长度得到的$
例如
!
要画出函数## -
" " "$&#
"!/
的图象!
可先画出## -
" "
"的图象!
再将该图象 向左平移&
个单位长度!
得到## -
" " "$&#
"的图象!
再向下平移/
个单位长度便得到## -
" " "$&#
"!/
的图象$
"$ !# /# '
与函数##!$ "!/%
"$ '$ !"%%
的图象的关系!
决定函数图象的形状$ /
和'
只影响函数图象在平面直角坐标系中的位置!
不影响 图象的形状$
#$
函数##!$ "!/%
"$ '$ !"%%
的性质从图
-$ " . "
所示的函数##!" "!/#
"$ '
的图象可以直观地得出&
" -#
函数##!" "!/#
"$ '
图象是以直线"#/
为对称轴!
点" /! '#
为顶点的抛物线$
湖南教育出版社
!"!!!*
图-$" . "
" "#
当!$%
时!
抛物线##!" "!/#
"$ '
的开口向 上!
图象的最低点为" /! '#!
当"#/
时!
函数取最小值''
在对称轴
"#/
的左侧!
抛物线##!" "!/#
"$ '
上的点 随"
的增大而下降!
函数值随"
的增大而减小!
在对称轴"#/
的右侧!
抛物线##!" "!/#
"$ '
上的点随"
的增 大而上升!
函数值随"
的增大而增大$
" &#
当!%%
时!
抛物线##!" "!/#
"$ '
的开口向 下!
图象的最高点为" /! '#!
当"#/
时!
函数取最大值''
在对称轴
