國立高師大附中 102 學年度第二學期第一次期中考高一數學科試題
一、多重選擇題(每題6 分,錯一個選項得 3 分,錯兩個選項以上不得分;不作答不給分。
共30 分)
1. 若數列 an 之前n項之和Snn26n k ,其中k為常數,則下列何者正確?
(A) a17 (B) 不論k值為何﹐數列 an 必為一等差數列
(C) 若 an 為等差數列時,k 0 (D) anan12,其中n3,n為自然數 (E) 若k 0﹐則數列〈Sn
n 〉為一公差為等於2 的等差數列。
2. 下列各選項中﹐何者正確?
(A) 3 3( )
n k m
n m
,其中m n (B) 2
1 n k
n n
(C)
1 1 1
( 1) ( 1)
n n n
k k k
k k k k
(D)
1 1 1
n m n
k k k
k k k m
a a a
,其中m n (E) 1
1
2 2
1 ( 1)
n
n k
k
k k
。
3. 設集合A{ 1 , 2 , { 1, 2 } , },則下列選項哪些是正確的?
(A) 集合A有 32 個子集合 (B) { 1 , 2 } A (C) A (D) A (E) {{ 1, 2 }} A。 4. 某班人數 60 人,在一次之抽考英文、數學、化學之考試中,英文及格者 41 人,數學及格
者 39 人,化學及格者 42 人,英數不及格者 14 人,數化不及格者 13 人,英化不及格者 11人,至少一科不及格者 29 人,則下列何者為真?
(A) 三科不及格者 9 人 (B) 至少二科不及格者 11 人 (C) 只有英文不及格者 3 人 (D) 三科均及格者 31 人 (E) 只有一科不及格者 18 人。
5. 如右圖﹐從A走到B﹐走過的路不能再走﹐請選出下列正確者?
(A) 只可以走→﹐↑﹐走法有16種
(B) 只可以走→﹐↑﹐且要經過C 走法有6種
(C) 只可以走→﹐↑﹐且不可經過C 與D走法有14種 (D) 允許走→﹐↑﹐↓﹐走法有180種
(E) 允許走→﹐↑﹐↓﹐且要經過D走法有90種 。
二、填充題(不限題號,答對前7 格每格 6 分,其他每格 4 分,共 62 分,全對才給分)
1. 如圖,邊長為單位長的正方形,第一次將其平分成 9 塊(九宮格形),然後挖去中間一 塊。第二次再將剩餘各塊平分成 9 塊,然後去掉中間一塊。設第 n 次挖去之正方形面積為
an,
請問an 。
2. 附圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形模型:
數字 1 出現在第 1 列﹔數字 2,3 出現在第 2 列;數字 6,5,4
(從左至右)出現在第 3 列;數字 7,8,9,10 出現在第 4 列;依此類推。試問第 99 列 從左至右算第 51 個數字為 。
3. 設數列 a 之首項n a11﹐且an1an6n21﹐n N ﹐則第 n 項an 。
4. 若數列 a ﹐滿足n a12﹐an13an1﹐其中n N ﹐則一般項an 。(以n表 示)
5. 將大小相同的方塊積木堆成右圖的形狀:由上而下,第一層有 1 個方 塊,第二層有 3 個方塊,第三層有 6 個方塊, 等等,若利用 1000 塊積木,最多可堆 層。
6. 試求1 (2 n 1) 2 (2n 3) 3 (2n 5) n 1 。
7. 設 2
1
1
4 1
n n
k
S k
﹐則滿足 Sn 12 0.01之最小自然數 n 。
8. 設Ax x3 或x 1 , x R ﹐Bx x a2 b x R , ﹐已知A B R﹐且
3 5 ,
A B x x x R ﹐則數對( , )a b 。
9. 大雄每次用 24 根相同火柴棒圍成一個三角形﹐共可圍成 個不全等的三角形。
10. 大雄回到家裡後想要彩繪臥室的一面牆如右圖﹐若以 4 色塗入各區﹐
每區一色且相鄰區不得同色﹐顏色可重複使用﹐則有 種 不同的塗法。
11. 將 n 作質因數分解後可得n24 33 52 7﹐則 n 的正因數中為20的倍數,但不為9的倍 數
有 個。
12. 大雄口袋裡有 4 個 1 元硬幣﹐8 個 10 元硬幣﹐2 張 100 元鈔票﹐到商店買了一件商品,
付帳時發現不必找錢,若已知此商品至少 10 元,則其價格共有 種可能。
三、計算證明題(8 分)
1. 設數列 an 中﹐a11﹐ 1
1
n n n
a a
a
, 其中n N ﹐
(1)請推測an的值(以 n 表示)。(3 分)(2)試用數學歸納法證明(1)的結果。(5 分)
國立高師大附中 102 學年度第二學期第一次期中考高一數學科(答案卷)
高一 班 座號: 姓名:
一、多重選擇題(每題6 分,錯一個選項得 3 分,錯兩個選項以上不得分;不作答不給分。
共30 分)
1. 2. 3. 4. 5.
二、填充題(不限題號,答對前7 格每格 6 分,其他每格 4 分,共 62 分,全對才給分)
格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分 6 12 18 24 30 36 42 46 50 54 58 62
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
三、計算證明題( 8 分)
國立高師大附中 102 學年度第二學期第一次期中考高一數學科(答案卷)
高一 班 座號: 姓名:
一、多重選擇題(每題6 分,錯一個選項得 3 分,錯兩個選項以上不得分;不作答不給分。
共30 分)
1.
CD
2.
BD
3.
BCE
4.
ACD
5.
ABD
二、填充題(不限題號,答對前7 格每格 6 分,其他每格 4 分,共 62 分,全對才給分)
格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分 6 12 18 24 30 36 42 46 50 54 58 62 1.
() 2. 4900 3. n n(2 23n2) 4. 1 5 3 2 6
n
5. 17 6.
( 1)(2 1) 6
n n n 7. 25 8. ( 4﹐6)
9. 12 10. 168 11. 24 12. 130
三、計算證明題(8 分)
[解]
(1) a1 1﹐ 2 1
1
1 1 1 1 1 2 a a
a
﹐ 3 2
2
1 2 1 1 1 1 3
2 a a
a
﹐ 4 3
3
1 3 1 1 1 1 4
3 a a
a
…推 測 1
an
n﹒
(2)由數學歸納法證明an 1
n
當n 1 時﹐左式 a1 1﹐右式 11 1﹐左式右式﹒
設n k 時成立﹐即ak 1
k ﹐ 當n k 1 時﹐ 1
1 1
1
1 1
1 1 1
k k
k
a k k
a a k k
k k
表示n k 1 時﹐原式亦成立﹒
由數學歸納法原理知﹐對於所有的正整數n﹐原式成立﹒