December 28, 2004

 

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December 28, 2004

 


1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 2

1.3

. . . . 3

1

1.1








1.1 (

) p

a

p

(1) a ^p−1 ≡ 1 (mod p).

(2)

d

a ^d ≡ 1 (mod p)

d | (p − 1).



(1)

p

a

p

p

1 · a, 2 · a, 3 · a, · · · , (p − 1) · a (mod p)



1, 2, 3, · · · , (p − 1) (mod p)






(1 · a) · (2 · a) · · · ((p − 1) · a) ≡ 1 · 2 · · · (p − 1) (mod p)

⇒ a ^p−1 · 1 · 2 · · · (p − 1) ≡ 1 · 2 · · · (p − 1) (mod p)

⇒ (a ^p−1 − 1)(1 · 2 · · · (p − 1)) ≡ 0 (mod p).



p

1 · 2 · · · (p − 1)

a ^p−1 − 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ a ^p−1 ≡ 1 (mod p).

(2) p − 1

d

q

r

p − 1 = dq + r, 0 ≤ r < d.



a ^p−1 ≡ 1 (mod p), a ^d ≡ 1 (mod p),



a ^r = a ^r · 1 ^q ≡ a ^r · (a ^d ) ^q = a ^dq+r = a ^p−1 ≡ 1 (mod p).



d

r = 0

d | (p − 1)

1.2

 


 

 




1.1

F ₄ = 2 ²

+ 1 = 65537.

 

p

F ₄

p | 2 ¹⁶ + 1 ⇒ 2 ¹⁶ ≡ −1 (mod p)

⇒ 2 ³² ≡ 1 (mod p).



??

32

32 | (p − 1) ⇒ p ≡ 1 (mod 32).



p = 32n + 1

n 1 2 3 4 5 6 7 8

p 33 65 97 129 161 193 225 257 .



33, 65, 129, 161, 225

97, 193

65537

√ 65537 < 257,



F ₄ = 2 ²

+ 1 = 65537



1.2

2 ¹³ − 1 = 8191

 

p

8191

p | 2 ¹³ − 1 ⇒ 2 ¹³ ≡ 1 (mod p).



??

13

13 | (p − 1)

p ≡ 1 (mod 2) ⇒

p ≡ 1 (mod 13)

p ≡ 1 (mod 2) ⇒ p ≡ 1 (mod 26).



p = 26n + 1

n 1 2 3

p 27 53 79 .



27

53, 79

8191

√

8191 < 92

2 ¹³ − 1 = 8191



1.3



1.3 p

a, b

p | a ² + b ²

(1)

n

p | 1 + n ²

(2) p ≡ 1 (mod 4)

 

(1)

a, b

x, y

ax − by = 1

(a ² + b ² )(x ² + y ² ) = (ax − by) ² + (ay + bx) ² ,



p | (x ² + y ² )(a ² + b ² ) = 1 + n ² ,

n = ay + bx.

(2)

p | 1 + n ²

n ² ≡ −1 (mod p)

n ⁴ ≡ 1 (mod p)

??



4

4 | (p − 1) ⇒ p ≡ 1 (mod 4).



1.4 m, n

(1) m ² − n ² , 2mn

3

(2) m ² − n ² , 2mn

4

(3) m ² − n ² , 2mn, m ² + n ²

5

 

(1)

m, n

3

3 | 2mn

m, n

3



m ² ≡ 1 (mod 3), n ² ≡ 1 (mod 3) ⇒ m ² − n ² ≡ 0 (mod 3)

⇒ 3 | m ² − n ² .

(2)

m, n

2

4 | 2mn,

m, n

2

m ² ≡ 1 (mod 4), n ² ≡ 1 (mod 4) ⇒ m ² − n ² ≡ 0 (mod 4)

⇒ 4 | m ² − n ² .

(3)

m, n

5

5 | 2mn

m, n

5



m ⁴ ≡ 1 (mod 5), n ⁴ ≡ 1 (mod 5) ⇒ m ⁴ − n ⁴ ≡ 0 (mod 5)



1.1

2 ¹¹ − 1 = 2047



1.2

2 ¹⁷ − 1 = 131071



1.3

2 ³⁷ − 1 = 137438953471



1.4

n

{n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5}

 
 


 






1.5 a, b, c

7 | abc(a ³ − b ³ )(b ³ − c ³ )(c ³ − a ³ ).

 



1, 2, 3, 4, 5

 

     


 

2 1

3 4

5

⇒ 4 1

2 3

5





a

x ² − x + a

x ¹³ + x + 90

a

 

1601

1665

1994



x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ,



n > 2

x, y, z


 

n = 4

n = 4


  


n = 4

??

 
%


F _n = 2 ²

+ 1




 DZ 
 

F 5 = 2 ²

+ 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.

  
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