矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元素模式研究(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有 限元素模式研究(2/3)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC92-2212-E-011-008-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學機械工程系

計畫主持人： 林榮慶

報告類型： 精簡報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 31 日

摘 要

本研究計畫『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元 素模式研究(2/3)』之主要目的是針對擠製成形加工發展一以矩陣表示線性最小平 方差之逆解金屬擠製彈塑性大變形有限元素模式，經由擠製加工實驗，取得在擠 製成形的過程中擠製負荷的歷程，將此擠製負荷分配至衝頭與工件接觸節點，得 到衝頭與工件接觸節點之節點力增量，以此擠製加工衝頭與工件接觸節點之節點 力增量作為逆解工件與模具斷面縮減部分接觸邊界摩擦係數的依據，並配合本研 究所提出之正則化的方法，得到擠製加工模具斷面縮減部分與工件接觸面間摩擦 係數的變化的歷程，進而了解在擠製成形加工製程中模具與工件間之摩擦現象、

工件應力以及應變場之分佈。

Abstract

The major purpose of the research of “matrix-presentation linear least square error method of inverse elastic-plastic large deformation finite element model (2/3)” is to develop the analysis procedure about matrix-presentation linear least square error method of inverse elastic-plastic large deformation finite element model of metal extrusion. The history of the extrusion load is obtained using the experiment of extrusion. The history of the extrusion load can be distribution to the contact node of the section reduction part of die and work piece. Base on the force increment of the contact node, the history of the friction coefficient between the section reduction part of die and the work piece can be obtained by using the inverse mode as propose in this research combining with the regular method. And also obtained the stress and strain field of work piece.

前言

擠製加工是在常溫或高溫下施加壓力，以控制金屬之塑性變形，使材料通過 模具使其加工至所需之斷面形狀、尺寸及機械性質。而擠製工件與模具的接觸面 的摩擦現象是影響擠製製品品質的重要因素之一。而這些因素也是一直被關心研 究的課題。

對於塑性成形的研究，文獻中有許多，但均假設模具與材料間的摩擦係數為 定值，以擠製加工為例，由於工件與模具接觸邊界的摩擦係數會隨著擠製過程中 加工條件的改變而變化，而在模具之斷面縮減部分，因為模具承受之正向力相當 大，因此摩擦係數的變動對於摩擦力的影響不容忽略，所以假設摩擦係數為常數 在實際的工程應用上可能會導致一些誤差。

研究目的

本研究計畫『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元 素模式研究(2/3)』的目的主要是針對擠製成形加工發展一以矩陣表示線性最小平 方差之逆解金屬擠製彈塑性大變形有限元素模式，經由擠製加工實驗，取得在擠 製成形的過程中擠製負荷的歷程，將此擠製負荷分配至衝頭與工件接觸節點，得 到衝頭與工件接觸節點之節點力增量，以此擠製加工衝頭與工件接觸節點之節點

究所提出之正則化的方法，得到擠製加工模具斷面縮減部分與工件接觸面間摩擦 係數的變化的歷程，進而了解在擠製成形加工製程中模具與工件間之摩擦現象、

工件應力以及應變場之分佈。

文獻回顧

關於塑性加工的研究，一般以解正向問題為主。亦即模擬加工的過程，藉以求 得應力、應變及溫度場的分佈情形。Chranda 和 Mukerjee [1] 考慮材料和幾何非 線性，再加上考慮有應變率的黏彈塑性金屬變形，發展出模擬擠製加工的有限元 素分析模式；Lin 和 Pan [2] 對於冷擠製程發展出出應用 Modified Direct Iteration Method 之偶合彈塑性分析模式。Depierre 和 Gurney [3] 以量測圓環內外徑的變 化，配合上界限法來獲得摩擦係數在加工過程的變化；Kobayashi [4] 以量測圓 環內徑的縮減率來逆解表面摩擦係數在加工中的變化。Lin [5] 量測鍛粗成形的 外形，以實驗為基準，將摩擦係數假設為與下壓量成一二次函數(2^nd order function) 以及對數函數(Logarithm function)的型式，推估鍛粗成形的摩擦係數。

工程逆向問題較早的應用是用於求取未知熱源的問題，Alifanov 等人[6] 以 共軛梯度法逆解非線性逆向熱傳導問題；Gelin 和 Ghouati [7] 以靈敏度分析方 法逆解金屬成形構成方程式之參數值；Yang 和 Chen [8] 將熱傳方程式的矩陣重 新排列，將未知條件明確表示出來，並利用 Linear least-square error method 求出 未知熱源。但對於金屬成形彈塑性大變形有限元素模式如何近一步研究及推導，

則鮮少人探討。

研究方法

在實驗部分，本研究是以 AA1050 之鋁材作為擠製加工的材料，並將此 99.8%

之純鋁經過擠製成形之後，再加溫於 260°C 後爐冷退火。分別對於 AA1050 在 室溫下作拉伸試驗以及擠製加工實驗，以便順利獲得 AA1050 之真應力─真應變 關係曲線以及擠製加工時加工負荷之歷程。圖一為 AA1050 擠製加工實驗之示意 圖。圖二為本研究所進行之擠製加工模具圖。圖三為實驗所得之擠製加工負荷的 歷程。

在理論部分，基於大變形─大應變理論，配合 Updated Lagrangian

Formulation(ULF)以及應用彈塑性體偶合構成方程式，並利用虛功原理平衡方程 式，推導得到應用於本研究之彈塑性大變形─大應變的勁度統御方程式[3]。

[ ] ^{[ ]}

( ^K

ep

+ ^K

G

) { } ^d &= { } ^F &

(1)

令(1)式之大變形─大應變的勁度統制方程式中之

⁽ [ ] ^K

ep

+ [ ] ^K

G

⁾ = ^{[ K ]}

，並將 式中節點力增量及位移增量的已知部分移至等號右邊，以及模具斷面縮減部分與

工件接觸邊界之摩擦力與正向力增量

{ }









=



×

N T

m

f

f f

2 2 1

2 2

&

&

&

明確表示出來，

[ ] {

2

}

1 1

) 2 ( 1 1

) 3 ( 2

1 ×

× + +

×

=

 

 



 

 



p

m p m

p

p

D

f D

f K

K

K &

&

&

&

(2)

其中，

{ f &

¹

}

n×¹為與衝頭接觸邊界軸向節點力增量，

n

為與衝頭接觸之節點數。

}

{ D &

1 包含所有未知節點力增量及節點位移增量。

}

{ ^{D &}

² 包含所有已知節點力增量及節點位移增量。

令

[ K

1

K

2

]

_p×(_p−m)

= A

1^，

[ ] K

3 _p×2_m

= A

2^，

{ ^D &

₂

}

p_×1

= ^b

_，

1 1 ) 1 (

1

X

D f

m p



=









×

&

−

&

{ f &

2

}

2_m×1

= X

²

取

{ } X 中工件與衝頭接觸面節點之節點力增量

1

{ f &

¹

}

n×¹

{ }

^{1 1}

[

^{( 1 1) 1 1}

] [

^{1 ( 1 1)}−^{1 1 2 2}

]

×¹

×

−

×

=

^{T T} _n

−

^{T T} _n

n

A A A b A A A A X

f & (3)

假設

{ } ^{f &}

^mea 為工件與衝頭間接觸節點力增量量測值，並利用線性最小均方根

誤差法，即使量測值與計算值間誤差的平方和

F =

(

f &

_mea

− f &

₁)^T(

f &

_mea

− f &

₁)最小，

即

0

2

∂ =

∂ X

F

，並由庫倫摩擦定理知

{ ^{f &}

^2T

} ^{= µ} { ^{f &}

^2N

}

^，則

[ ] C

2m×2m

{ } X

2 2_m×1

= { } E

2_m×1

[ µ C

¹

+ C

²

]

²m×m

{ f &

²N

}

_m×¹

= ^{{ }} E

²_m×¹

(4)

其中，

[ ] [ ] [ ]

n m

T T T

n m T T m

m

A A A A A A A A

C

_{2 ×2}

= (

_{1 1}

)

⁻¹ _{1 22 ×}

(

_{1 1}

)

⁻¹ _{1 2 ×2}

[ ]

^{2 1}

[ ⁽

^{1 1}

⁾

^{1 1 2}

] [

²

⁽

^{1 1}

⁾

^{1 1}

] [

¹

⁽

^{1 1}

⁾

−^{1 1 2}

]

² ×

[ ]

×¹

×

−

×

×

=

−

−

mea n

T n m T T n T T T

n m T T

m

A A A A A A A b A A A A f

E &

(4)

式即為本研究所推導之以矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬擠製彈塑性大 變形有限元素模式。

由於一般工程逆向問題大多屬於不適定問題，而擠製加工所得之擠製負荷的 歷程具有不可避免的量測誤差，而量測誤差可能導致逆解所得摩擦係數的歷程產 生不穩定的震盪現象。因此本研究配合正則化的方法，使得本研究所推導之逆解 模式具有較佳的穩定性。本研究假設一非負的連續泛函數

Ω ( µ ) = µ − µ

_c ²，其中

µ

c為有限元素分析時上一個步驟所逆解得到的摩擦係數。利用正則化的方法，

求正則解使得

{ } ^{α α µ µ}

²

^{[ µ ]} { } ^{{ }}

²

µ & = − + + & −

極小，其中

α

^{稱為正則參數。}

求正則參數的步驟如下：

1. 任取

α

_i^代入

⁽⁵⁾

式，利用數值方法求出使上式極小之摩擦係數

µ ( α

_i

)

^。

2. 計算

Ω ( µ ( α

_i

))

是否滿足

Ω ( µ ) ≤ γ

，

γ

為摩擦係數

µ

與上一個有限元素步驟所 得到之摩擦係數間的容許差值。次如果不滿足

Ω ( µ ) ≤ γ

，則取遞增數列

α

_i+1， 繼續步驟 1~2。

3. 如果滿足

Ω ( µ ) ≤ γ

，則

α

_i即為正則參數。

結果與討論

本研究主要是針對擠製成形加工發展一以矩陣表示線性最小平方差之逆解 金屬擠製彈塑性大變形有限元素模式，經由擠製加工實驗，取得在擠製成形的過 程中擠製負荷的歷程，將此擠製負荷分配至衝頭與工件接觸節點，得到節點力增 量，以此擠製加工衝頭與工件接觸節點之節點力增量作為逆解工件與模具斷面縮 減部分接觸邊界摩擦係數的依據，配合本研究所提出之正則化的方法，得到擠製 加工模具斷面縮減部分與工件接觸面間摩擦係數的變化的歷程。

圖四為由實驗所得之擠製負荷歷程，並將擠製負荷分配製衝頭與工件接觸節 點，基於此衝頭與工件接觸節點之節點力，利用本研究所提出之逆解模式，並配 合正則化的方法，所得之擠製加工工件與模具邊界

A

接觸面間摩擦係數變化的 歷程。由圖中可知，於擠製加工初期，材料的塑性流動較小，摩擦係數的變化不 大；當塑性流動逐漸增大時，模具邊界

A

與工件間之摩擦係數隨之增大；當有 較多節點流出模具後摩擦係數趨於穩定。圖中

a

、

b

兩點為有節點流出模具時衝

頭之

stroke

，在此階鍛利用本研究之逆解模式配合正則化的方法，逆解所得工件

與模具邊界

A

接觸面間之摩擦係數值變動較大。此外，逆解得到工件與模具邊 界

A

接觸面間之摩擦係數值由

0.09

變化製

0.35

左右，由文獻

[10]

知，金屬之間 的摩擦係數在乾摩擦的情形下其平均摩擦係數約為

0.2

左右，因此本研究所逆解 得到工件與模具邊界

A

接觸面間摩擦係數變化的結果，甚為合理。利用九次多 項式綴合，

AA1050

擠製加工模具邊界

A

與工件接觸面間摩擦係數變化的歷程如 下式：

9 8

7 6

5 4

3 2

0003 . 0 0067

. 0 0683

. 0 3720

. 0

1718 . 1 1235 . 2 0792

. 2 009

. 1 2075

. 0 1003 . 0

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

− +

− +

− +

−

× +

×

− µ =

(6)

其中， Z 為擠製加工時衝頭之衝程。

圖五為擠製工件網格變形的情形。圖六為工件與模具邊界 A 接觸表面，以

(6)

式 作為摩擦係數變化的歷程模擬擠製加工所得之等效應力分佈與假設摩擦係數為 常數

( µ = 0 . 1 )

模擬結果之比較圖。由於本研究之工件胚料與模具之形狀相同，又 於模具出入口處倒圓角，如圖一所示，因此，在模具出口及入口部分只有些許應 力集中之現象。如圖所示，隨著衝頭衝程的增加，由於摩擦係數逐漸增大，以

(6)

式作為摩擦係數變化的歷程模擬擠製加工所得之等效應力值與假設

( µ = 0 . 1 )

時 之結果的差值也漸漸增大。圖中亦可得知，由於工件與模具邊界 A 接觸面之摩擦

係數的增大也使得工件表面節點之流動比假設摩擦係數為常數時為慢。圖七及圖 八為將

(6)

式所得之方程式作為摩擦係數變化的歷程所得之擠製加工之等效應力 及等效應變分佈圖。

本研究所建立之逆解模式，並配合本研究所提出之正則化的方法，在逆解的 過程中，無須初始猜測值及最佳化的過程即能逆解出擠製加工模具斷面縮減部分 與工件接觸面間之摩擦係數變化的歷程，因此不會有收斂至局部最佳值得危險且 可減少大量的運算時間。並且不會因量測所得之擠製負荷具有不可避免之量測誤 差，而使得逆解所得模具斷面縮減部分與工件接觸面間之摩擦係數具有不穩定 性。因此本研究所建立的逆解模式配合正則化的方法在工程逆向問題的學術原創 性及產業應用性上具有相當的價值。

參考文獻

1. Abbjit, C., and Subrata, M., “A Finite Element Analysis of Metal Forming

Problems with an Elastic-Viscoplastic Material Model”, Int. J. for Num. Mech. in Eng., Vol. 20, pp.1613~1628 (1984).

2. Lin, Z. C., and Pan, W. C., “A Coupled Thermo-Elastic-Plastic Model with A Modified Direct Iteration Method in Cold Extrusion Process”, Journal of Strain Analysis, Institution of Mechanical Engineering, I. Mech. E. U. K., Vol.28, No.2, pp.89~100(1993).

3. Depiere, V., and Gurney, F., “A Method for Determination of Constant and

Varying Friction Factors During Ring Compression Tests”, Trans. ASME. J. Lubr.

Technology, Vol. 96, pp. 482~488 (1974).

4. Hwang, S. M., and Kobayashi, S., “A Note on Evaluation of Interface Friction in Ring Tests”, Proc. of the 18

^th

MTDR Conference, pp.193~196(1977).

5. Lin, S.Y., “An Investigation of Die-Workpiece Interface Friction During the Upsetting Process”, Journal of Materials Processing Technology, Vol. 54, pp.239~248(1995).

6. Alifanov, O. M., and Mikhailov, V. V., “Solution of the Nonlinear Inverse Thermal Conductivity Problem by the Iteration Method”, High Temperature, Vol.36, No.6, pp.1501~1506(1978).

7. Gelin, J. C., and Ghouati, O., “The Inverse Approach for the Determination of Constitutive Equation in Metal Forming”, Annals of the CIRP, VOL.44, pp.189~192(1995).

8. Yang, Ching-yu and Chen, Cha’o-Kuang “The Boundary Estimation in

Two-Dimensional Inverse Heat Conduction Problems”, J. Phys. D: Appl. Phys. 29, pp.333~339(1996).

9. A. N. Tihonov (Tikhonov), Solution of incorrectly posed problems and The Regularization Method, in: Soviet Math. Dokl., Vol. 4, No. 4 (1963) 1035-1038.

10. J. Carvill, Mechanical Engineer’s Data Handbook, CRC Press, Boca Raton, New

Billet

圖一 AA1050 擠製加工實驗之示意圖

圖二 擠製加工模具圖

0 1 2 3 4 5

Stroke (mm)

0 5 10 15 20 25

Loading (ton)

圖三 實驗所得之擠製加工負荷的歷程

0 1 2 3 4 5

Stroke (mm)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Friction coefficient

resulted of this paper resulted of this paper after curve fitting

a b

圖四 基於實驗所得之擠製負荷歷程，利用本 研究所提出之逆解模式，並配合正則化的方 法，所得之擠製加工工件與模具邊界 A 接觸

面間摩擦係數變化的歷程

Boundary A of die Boundary B of die

Stroke of punch = 5 mm

圖五 擠製工件網格變形的情形

-10 -5 0 5 10 15

25 26 27 28 29

-10 -5 0 5 10 15

25 26 27 28 29

-10 -5 0 5 10 15

25 26 27 28 29

-10 -5 0 5 10 15

25 26 27 28 29

-10 -5 0 5 10 15

25 26 27 28 29

-10 -5 0 5 10 15

z (mm)

25 26 27 28 29

Effective stress (Mpa)

Boundary A of die

1 2 3

1 : stroke of punch = 2 mm 2 : stroke of punch = 4 mm 3 : stroke of punch = 5 mm simulation result after inverse regression simulation result (µ =0.1)

圖六 工件與模具邊界 A 接觸表面，以 (6) 式作 為摩擦係數變化的歷程模擬擠製加工所得之

等效應力分佈與假設摩擦係數為常數

) 1 . 0

( µ = ^{模擬結果之比較圖}

圖七 將 (6) 式作為摩擦係數變化的歷程所得 之擠製加工之等效應力分佈圖 (unit : Mpa,

stroke of punch = 5 mm)

圖八 將 (6) 式作為摩擦係數變化的歷程所得 之擠製加工之等效應變分佈圖 (stroke of

punch =5mm)

計畫成果自評

本研究計畫『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元

素模式研究

(2/3)

』的主要目的是針對擠製加工發展一以矩陣表示線性最小平方差 之逆解金屬擠製彈塑性大變形有限元素模式，經由擠製加工實驗，取得在擠製成 形的過程中擠製負荷的歷程，將此擠製負荷分配至衝頭與工件接觸節點，得到衝 頭與工件接觸節點之節點力增量，以此擠製加工衝頭與工件接觸節點之節點力增 量作為逆解工件與模具斷面縮減部分接觸邊界摩擦係數的依據，配合本文所提出 之正則化的方法，可使逆解所得擠製加工模具斷面縮減部分與工件接觸面間摩擦 係數的變化的歷程具有穩定性及正確性，進而了解在擠製成形加工製程中模具斷 面縮減部分與工件接觸面間之摩擦現象、工件應力以及應變場之分佈。

本研究所提出之方法是將彈塑大變形有限元素模式之勁度統御方程式重新 排列，使得未知參量得以明確的表示出來，並利用線性最小均方根誤差法將衝頭 與工件間之節點力增量與實驗值之間的誤差極小，推導出以矩陣表示線性最小平 方差之逆解金屬擠製彈塑性大變形有限元素模式，並據以解得模具斷面縮減部分 與工件接觸面之摩擦係數。此種方法在逆解的過程中，只是簡單的線性代數的問 題，且無需給定初始的猜測值及最佳化的過程，並且其數值演算並不會因預測未 知參量個數的增加而增加其複雜程度，此種特性對於應用於解工程逆向問題上具 有相當大的好處。此外，由於擠製加工實驗量測所得之擠製加工負荷具有不可避 免之量測誤差，一般而言，工程逆向問題大多為不適定問題，而擠製負荷之量測 誤差會導致逆解所得之摩擦係數產生不穩定之震盪現象，因此應用本文所推導之 逆解模式配合正則化的方法，可使逆解所得之摩擦係數的歷程具有穩定性及正確 性。

本計劃所完成的工作項目概述如下：

1.

完成

AA1050

鋁材之拉伸試驗即擠製加工實驗，並順利取得

AA1050

之真

應力─真應變關係曲線及實驗擠製加工負荷。

2.

設計及製作擠製加工模具。

3.

建立以實驗擠製負荷為基準之『以矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬擠 製大變形有限元素模式』並配合正則化方法之逆解模式。

4.

撰寫『以矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬擠製大變形有限元素模式』

並配合正則化方法之逆解程式。

5.

得到擠製成形加工時，模具與工件接觸面間之摩擦係數變化的歷程，並分 析模具斷面縮減部分與工件接觸面間之摩擦係數值對於擠製加工負荷及 等效應力之影響。

整體而言，本研究除了達成『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大 變形有限元素模式研究

(2/3)

』計畫之預期目標之外，針對逆解過程產生不穩定之 震盪現象提出正則化的方法使得本研究所提出之逆解模式更具有穩定性及正確 性。