6-3 高次多項函數圖形與中間值定理

Download (0)

全文

(1)

Precalculus,Ch6  多項函數與有理函數,Cheng‐Fang  Su

6-3-1

6-3 高次多項函數圖形與中間值定理

在上一節的課程裡,我們提到了如何求出多項函數圖形與兩軸的交點。雖然我們已經知道,

對於函數yf x( )a xn nan1xn1  a x1a0而言,我們若想求出此函數圖形與 x 軸的交點,

就需要計算出a xn nan1xn1  a x1a 00所有的實根。但a xn nan1xn1  a x1a 00不 一定好解,如果左式能夠因式分解,就可以簡化我們的計算;如果左式完全不能夠因式分解,

而且次方較高,那麼解方程式a xn nan1xn1  a x1a 00就會變成很困難的事。

【例】試求函數yg x( ) x x2( 1)(x 5)與 x 軸的交點坐標。

因為函數本身已經做好因式分解,

所以我們可以很容易地算出x x2( 1)(x 5)0的根為x0,1, 5, 所以我們要求的交點坐標就是(0, 0) (1, 0)、 、( 5, 0)。

一般而言,如果我們想解出a xn nan1xn1  a x1a 00的根,可以藉助電腦計算出實

根的近似值。但在沒有電腦輔助的情形下,有時我們只需要判斷a xn nan1xn1  a x1a 00 的根可能落在哪些整數之間就好,並不需要確切地把根算出來。因為多項函數的圖形是連續不 斷的,所以在 6-3 節中,我們想藉由多項函數圖形的連續性引出重要的「中間值定理」,並說 明高中時所學到的勘根定理其實就是中間值定理的一個特例。

中間值定理(Intermediate Value Theorem)

f 在 [a, b] 上連續,

f a( ) f b( )且 f a( )Nf b( ),則必存在c( , )a b 使得 f c( )N

(2)

Precalculus,Ch6  多項函數與有理函數,Cheng‐Fang  Su

6-3-2

勘根定理

f x( )是一個實係數多項函數,a 與 b 是兩個相異實數,

f a f b( ) ( )<0(即 f a( )與 f b( )異號),則方程式 f x( )0在 a 與 b 之間至少有一個實根。

《說明》當 f a( )與 f b( )異號時,函數圖形上兩點(a, f a( ))、(b, f b( ))在 x 軸的相反兩 側,由於實係數多項函數的圖形是連續不斷的,因此在這兩點之間的圖形必然穿 過 x 軸至少一次,所以方程式 f x( )0在 a 與 b 之間至少有一個實根。

《思考》若 f a f b( ) ( )>0,則 f x( )0在 a 與 b 之間是否可能有實根?

【例】利用勘根定理分析

f x

( )

x

3  與 x 軸的相交情形。

x

1

【例】利用勘根定理勘定方程式 2x3 + x 2-7 x-5=0 在哪些連續整數之間必有實根。

數據

Updating...

參考文獻

相關主題 :