6-3 高次多項函數圖形與中間值定理

Precalculus，Ch6  多項函數與有理函數，Cheng‐Fang  Su

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6-3 高次多項函數圖形與中間值定理

在上一節的課程裡，我們提到了如何求出多項函數圖形與兩軸的交點。雖然我們已經知道，

對於函數y f x( )a x_n ⁿ a_n1x^n1  a x₁ a₀而言，我們若想求出此函數圖形與 x 軸的交點，

就需要計算出a x_n ⁿa_n1x^n1  a x₁ a ₀0所有的實根。但a x_n ⁿ a_n1x^n1  a x₁ a ₀0不 一定好解，如果左式能夠因式分解，就可以簡化我們的計算；如果左式完全不能夠因式分解，

而且次方較高，那麼解方程式a x_n ⁿa_n1x^n1  a x₁ a ₀0就會變成很困難的事。

【例】試求函數yg x( ) x x²( 1)(x 5)與 x 軸的交點坐標。

因為函數本身已經做好因式分解，

所以我們可以很容易地算出x x²( 1)(x 5)0的根為x0,1, 5， 所以我們要求的交點坐標就是(0, 0) (1, 0)、 、( 5, 0)。

一般而言，如果我們想解出a x_n ⁿa_n1x^n1  a x₁ a ₀0的根，可以藉助電腦計算出實

根的近似值。但在沒有電腦輔助的情形下，有時我們只需要判斷a x_n ⁿa_n1x^n1  a x₁ a ₀0 的根可能落在哪些整數之間就好，並不需要確切地把根算出來。因為多項函數的圖形是連續不 斷的，所以在 6-3 節中，我們想藉由多項函數圖形的連續性引出重要的「中間值定理」，並說 明高中時所學到的勘根定理其實就是中間值定理的一個特例。

中間值定理（Intermediate Value Theorem）

設 f 在 [a, b] 上連續，

若 f a( ) f b( )且 f a( )N  f b( )，則必存在c( , )a b 使得 f c( )N。

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勘根定理

設 f x( )是一個實係數多項函數，a 與 b 是兩個相異實數，

若 f a f b( ) ( )＜0（即 f a( )與 f b( )異號），則方程式 f x( )0在 a 與 b 之間至少有一個實根。

《說明》當 f a( )與 f b( )異號時，函數圖形上兩點(a， f a( ))、(b， f b( ))在 x 軸的相反兩 側，由於實係數多項函數的圖形是連續不斷的，因此在這兩點之間的圖形必然穿 過 x 軸至少一次，所以方程式 f x( )0在 a 與 b 之間至少有一個實根。

《思考》若 f a f b( ) ( )＞0，則 f x( )0在 a 與 b 之間是否可能有實根？

【例】利用勘根定理分析

f x

x

x

【例】利用勘根定理勘定方程式 2x³ + x ²－7 x－5=0 在哪些連續整數之間必有實根。