國 立 瑞 芳 高 工 1 0 1 學 年 度（學科筆試）
第一次專任教師甄試 數學 試題卷
一 一 一
一、、、填充題、填充題填充題填充題：：：共：共共 20 題共 題，題題，，每題，每題每題 4 分每題 分分。分。。 。
01、設 a1，a2，...，a50是從－1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1＋a2＋...＋a50＝9，
且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋...＋(a50＋1)2＝107，則 a1，a2，...，a50當中有幾項是 0？
02、設α 、β、γ 為 2x3－3x2－4x－8＝0 之三根，求 1 1 1
1 1 1
α+ +β+ +γ + = 。
03、設 x 為任意實數，則函數 f(x)＝
10 sin 2 cos
sin 2 cos
+ +
+ x x
x
x 的最大值為？
04、投擲一顆骰子 5 次，出現點數依次以 a、b、c、d、e 表之，則（a－b）（b－c）（c－d）（d－e）＝0 的機率＝ 。
05、若數列 θn 滿足 cosθn＝1－
n 2
1
2，則
∑∞
=tan 2
1
2 θn n
＝？
06、十名學生數學之平時成績（X）與段考成績（Y）如下表：
X 62 66 60 64 72 68 66 62 60 60 Y 64 72 58 72 82 80 68 68 76 60 求 Y 對 X 的迴歸直線方程式為 。
07、在坐標平面上 A（4，6）處有一光源，則將圓 C：x2＋y2＋6x－4y＋12＝0 投射到 x 軸的影長＝ 。
08、方程式 x2－2x－1－
x 2＋
x2
1 ＝0 的所有實數根之和為？
09、一個直圓柱體的體積為 54π，求其全表面積的最小值？
10、若橢圓 1
16 25
2 2
= + y
x 的切線在第一象限與二坐標軸圍出一個三角形，則此三角形面積的最小值？
11、設 z＝－1＋cos100o＋i sin80o，則 Arg(z)＝？
12、小明向銀行貸款 100 萬元，約定從次月開始每月還給銀行 1 萬元，依月利率 0.6%複利計算，
則小明大約需要 n 年(n∈N)可還清，求 n＝？(已知 log2＝0.3010，log1.006＝0.0026)
13、求 c c b b a a
3 3 3
1 1 1
＝
14、設 f(x)＝
5 2
− 3
+ x
x ，求 f '(2)＝？
15、求拋物線 y＝－x2＋4x－3 及其在點(0，－3)、(4，－3)之二切線所圍區域之面積？
16、已知 L1：x－1＝y＝4－z、L2： 1 3 2
3 2 5
x+ y− z−
= =
− 為空間中一組歪斜線，
試求：此兩直線 L1、L2的距離＝ 。
17、設 A＝
1 3
2 2
3 1 2 2
−
，求
2012
1999 n n
A
=
∑ ＝ 。
18、有一工廠生產一種座椅，其外型是由雙曲線的一支繞其共軛軸旋轉所成的曲面（如下圖所示）， 已知 A、B 是雙曲線的頂點，座椅的上下底直徑均為 40 公分，高 60 公分， AB ＝20 公分，
求座椅的體積＝ 立方公分。
A B
19、根據市場調查結果，預測某種電腦零件，從今年 101 年 1 月 1 日開始的 n 個月累積的需求量為 Sn萬件，
滿足 Sn＝ ( 2 24 11) 3
n −n + n− ，其中 n＝1，2，3，…，12，按此預測，在 101 年度內，需求量超過 54 萬件的月份 是哪幾個月份？ 。
20、對矩陣
1 5
2 0
3 1
a b b c
a c
−
作列運算若干次後得到
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
，則 abc＝ 。
二二
二、二、、、計算證明題計算證明題計算證明題計算證明題：：：共：共共 2 題共 題，題題，，每題，每題每題 10 分每題 分分。分。。 。
01、設有一正圓錐體高 120cm，底半徑為 50cm，求內接於正圓錐之正圓柱體尺寸，使其體積最大？
02、試證：M 個產品中有 n 個不良品（M＞n），今從這 M 個產品中，隨機取出 k 個（n＞k），則取出不良品個數的期望值為kn M 。
