類 科：經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目：統計學
考試時間：2小時 座號：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、美國職棒大聯盟的世界大賽系列賽是採7戰4勝制，即兩對戰球隊先 取得4勝者為世界冠軍。因此，此系列賽最少要打4場而最多要打到 7場才能決定世界冠軍。如果某年世界大賽系列賽是由球隊A對上球 隊B，且給定每場比賽球隊A贏球機率及球隊B贏球機率皆為0.5，即 5–5波，且每場比賽結果皆彼此獨立。如果隨機變數X代表此系列 賽總售票數，且總售票數與此系列賽的總比賽場數關係為：總售票 數=6400×(總比賽場數)2，例如，如果此系列賽總比賽場數為4場，
則總售票數為640042=102400。請問本系列賽總比賽場數最可能為 幾場以及算出X的期望值E(X)，即本系列賽預計的總售票數。（10分）
二、若 一 新生產機台其故障時間服從一平均值為
λ
（天）的指數分配（exponential distribution）。假定 p 為此機台連續運轉不故障超過3天1 的機率，p 為給定此機台已連續運轉2天不故障情形下再連續運轉超2 過1天不故障的條件機率，且
log p
2-log p
1=4
，其中log(a)為數字a的 自然對數值。試算出此生產機台在12小時內故障的機率。（指數2.718
e
）（10分）三、下列是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及最小 變異不偏估計量（minimum variance unbiased estimator）的問題。
考慮下列隨機變數X其機率密度函數（probability density function）：
2 2
2 2
1 2 2 1
2 1
8 2
1 , 1
, 1 2 , 1 1
, 1 2 2
x
x
e x f x x
f x f x x
e x
其 中
f x
1
為 一 平 均 值 為 1 及 標 準 差 為
的 常 態 機 率 密 度 函 數（normal probability density function），而
f
2 x 為一平均值亦為1及
標準差為2
的常態機率密度函數。
下列為一組服從上述機率分配所得的隨機樣本：
2 5 3 0 −2 −3 7
請算出
2之最大概似估計量的值。（10分）若某一次國家考試其某考試科目共有25題單選題，隨機變數X代表 考 生答對題 數， 且 X之分 配是每 題答對機 率為
p
的 二項式 分配（binomial distribution），下列是隨機取得6個考生答對題數資料：
12 15 20 10 5 13
根據上述資料，請算出X的標準差之最大概似估計量的值及
p
的最小 變異不偏估計量的值。（10分）四、一保險公司精算人員利用下列簡單線性迴歸模型來建立某美食外送平 台，其外送員車險理賠金額（Y）與理賠請求機車騎行里程數（X）之 間的關係：
0 1 1 20
i i i
y
x ε，i ,,其中y （單位為千元）為第i
i
件理賠請求的理賠金額，而x （單位為千i 公里）為第i
件理賠請求機車之騎行里程數，共計20件理賠請求；隨機 誤差ε1,,ε 為彼此獨立，期望值為0變異數皆為20
2的常態分配。根據 上述20件理賠請求，且利用最小平方法（least squares method）來估計
0及
1，得到下列資訊：x1,,x20與 y1,,y20的相關係數為0.693，1 20
y ,,y 之變異數為x1,,x20之變異數的0.52倍，估計迴歸關係式為：
0.5 0.5 Y X
請算出判定係數（coefficient of determination）R 。2 （2分）
在顯著水準
0.05
，利用F檢定法檢定H0 :
1 對0 H1:
1 。（4分）0在顯著水準
0.05
，利用t檢定法檢定H0 :
1 對1 H1:
1 。1 （4分）五、下列是關於母體平均以及母體比率之估計與檢定的問題：
假定某地區的每日最高溫服從一平均值為
及標準差為4的常態分配。針對下列假設，H0 :
28對H1:
30，隨機取得16筆此地區當日 最高溫資料。估計量 X 為樣本平均值。給定下列3種檢定法：檢定法A：若 X 則拒絕c H ，反之則不拒絕0 H ；0 檢定法B：若X 30.17則拒絕H ，反之則不拒絕0 H ；0 檢定法C：若X 30.5則拒絕H ，反之則不拒絕0 H 。0
已知檢定法A之檢定力（power）為0.1587，且設定顯著水準為
0.015
，請計算 的值並決定上述3個檢定法那一個或那一些符合 設定並有最大檢定力。（10分）一軟體公司欲比較一新版軟體是否較舊版軟體更能有效率執行程 式；假定
1為舊版軟體執行測試程式的平均執行時間，而
2為新版 軟體執行測試程式的平均執行時間，且x1,…,x6為舊版軟體執行測試 程式之執行時間的隨機資料，而y1,…,y6為新版軟體執行測試程式之 執行時間的隨機資料。給定下列資訊：x1,…,x6之平均值為7且變異數 為5.6，而y1,…,y6之平均值為6且變異數為2.4，x1,…,x6與y1,…, y6之相 關係數為0。請分別用獨立樣本（independent samples）t檢定法，即將 x1,…,x6與y1,…,y6視為獨立樣本，及成對樣本（paired samples or matched samples）t檢定法，即將（x1,y1），…，（x6,y6）視為成對樣本，在 顯 著 水 準
0.01
， 檢 定 H0 :
1
2 2.5對 H1:
1
2 2.5。（10分）
某民調機構欲比較候選人A的支持率 p 與候選人B的支持率1 p 的差2 異。下列是此民調機構關於兩候選人支持度的兩份問卷：
問卷 調查人數 支持此候選人人數
關於候選人A的問卷 4900 2450
關於候選人B的問卷 4900
n
已知根據上述問卷所得p1 p2之95%信賴區間其長度為0.0392，以及 候選人A的支持人數大於候選人B的支持人數，即n < 2450。請算出 n的值，並利用上述問卷得到p 的95%信賴區間。2 （10分）
六、欲比較3種品牌汽車其耗油程度，給定A品牌汽車其每公升行駛平均里 程數為
1，B品牌汽車其每公升行駛平均里程數為
2，而C品牌汽車其 每公升行駛平均里程數為
3。每種品牌各隨機抽測8台汽車並得到其 每公升行駛里程數。下列是關於此3組樣本其相關資訊以及利用這3組 樣本所做的統計分析：此3組樣本其平均值為A品牌之平均里程數最大，而B品牌之平均里程 數最小，此3組樣本其標準差皆相同，檢定H0 :
1
2對H1:
1
2的 獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為2，檢定H0 :
2
3對H1:
2
3的 獨立樣本t檢定其t統計量絕對值為1。在顯著水準 0.05
，請利用單因 子變異數分析法（one-way ANOVA）來檢定此3種品牌汽車其耗油程度 是否一致，即檢定H0 :
1
2
3對H1:
1、
2以及
3並不完全相等。（10分）
七、根據一份國人讀報偏好之報告指出，最常看A報的比率為 p1 0.25， B報的比率為p2 0.2，C報的比率為 p3 0.15，D報的比率為 p4 0.15， 而其他報的比率為p5 0.25。下列是一份關於民眾看報的問卷資料：
最常看報紙 A報 B報 C報 D報 其他報
人數 225 215 160 125 275
在顯著水準
0.1
，利用上述問卷資料以及卡方檢定（chi-squared test）來驗證上述報告是否可靠，即檢定：
0 : 1 0.25 2 0.2 3 0.15 4 0.15 5 0.25
H p 、p 、p 、p 、p 對
1 :
H 並非 p1 0.25、p2 0.2、p3 0.15、p4 0.15、p5 0.25。（10分）
附表一
附表二
附表三
附表四
