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❏
申論題解答一、【擬答】
多項羅吉特模式（Multinomial Logit Model, MNL）：
多項羅吉特模式（multinominal Logit model, MNL）係假設無法觀測的隨機誤差項，為獨立且相同（independent and identical distribution, IID）之岡伯分配（Gumbel distribution），經推導後得多項羅吉特模式（Ben-Akiva and Lerman, 1985）。其選擇機率 P(k)如下：
P(k)＝
m k
m v v
e e
Σ
(1) vm＝Σ
ha
mhx
mh (2)式中 P(k)：選擇運具 k 之機率 vm：運具 m 的非隨機效用函數 xmh：運具 m 的第 h 種屬性變數
amh：運具 m 的第 h 種屬性效用函數係數
由上式可知，多項羅吉特模式假設誤差項獨立且一致，導致多項羅吉特模式具有不相關替選方案的獨立性
（independence of irrelevant alternative, IIA），即兩替選方案選擇機率之比值，僅與兩方案的效用有關，而與其 他的替選方案之效用無關。此特性的優點，為當有新的替選方案可供選擇時，不需重新校估效用函數之參數值，
當替選方案數目很多時，可抽取全部替選方案中之部分替選方案來校估模式即可。至於其最大缺點為假設各替 選方案間完全獨立，若實際情況不符合此假設條件，則會造成錯誤估計及估計上之誤差。
為了解決 IIA 特性的問題，因而發展出其他的模式。
巢式羅吉特模式（Nested Logit Model, NL）：
巢式羅吉特模式（nested Logit model）最早是由 Ben Akiva（1974）所提出，主要目的是為了解決替選方案間 存在相關性的問題。模式中將具有相關性的替選方案置於同一獨立之巢層中，並利用包容值（inclusive value）
代表這些方案的共同效用，再與其他獨立之替選方案建構模式，以達到各方案間相互獨立的效果。
巢式羅吉特模式有兩派不同的理論架構，一個是 McFadden（1978）所提出的效用最大化巢式羅吉特模式（utility maximizing nested Logit model, UMNL），是由 GEV 模式所推導而來，故滿足效用最大理論。另一派為 Daly（1987）
提出非標準化巢式羅吉特模式（non-normalized nested Logit model, NNNL）。兩派除了在包容值與條件機率的 指定有些微差異外，其他幾乎完全相同，且兩種架構只有在所有的包容值參數皆相等才會相等。由於 NNNL 並 未滿足效用最大理論，因此，一般仍採用 McFadden 之巢式羅吉特架構。
McFadden 的巢式羅吉特模式：
Pn/m＝
∈ m ' m m m nN ' n
/ V
e e
Π μ μ
(3)
Pm＝
Mm' 1' m m m m
e e
＝ Π μ Π μ
(4)
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式中
Π
m為 m 巢層的包容值，Π
m＝
n'∈Nm n' m /eV
ln μ
μ
m為 m 巢層的包容值參數 Daly 的巢式羅吉特模式：Pn/m＝
∈ m n'n
N ' n
V V
e
e (5)
Pm＝
Mm' 1' m m m m
e e
＝ Π μ Π μ
(6)
式中
Π
m為 m 巢層的包容值，Π
m＝
∈ m ' nN ' n
eV
ln
μ
m為 m 巢層的包容值參數兩個模式架構不同，校估效果也不同，在相同巢層架構下，兩種模式會得到不同的參數值及概似函數值。其中 μ為尺度因子，當 0＜μ≤1 時才會滿足效用最大理論；而當μ＝1 時，表示此巢層內各方案間並無相關，則巢 式羅吉特模式可簡化成多項羅吉特模式。
混合羅吉特模式（Nested Logit Model, MXL）：
McFadden and Train (2000)提出混合羅吉特模式（mixed Logit model, ML），此模式以異質群體（heterogeneous populations）的觀點，允許個體具有偏好變異，同時也解除了多項羅吉特模式中 IIA 的限制。Train（2003）認 為混合羅吉特模式可探討顧客之喜好差異，具有不受限制之替代模式，以及允許誤差之跨時間相關。可知相對 於 MNL 模式而言，混合羅吉特模式不受到 IIA 的限制，可以更貼近真實的選擇行為，且可以探討顧客的喜好 差異，因此可提供更多關於顧客選擇行為的資訊。而 McFadden and Train（2000）指出，ML 模型由於機率型 式為開放型態，故有不易校估的缺點。
混合羅吉特模式可採用任何隨機效用型態，因此使用上較多項羅吉特模式更有彈性，函數形式如下：
Uni＝Vni＋
ε
ni＝Σ
kβ
nkxnik＋ε
ni (7) 式中 Uni：決策者 n 選擇 i 方案之效用Vni：決策者 n 選擇 i 方案時，可衡量之效用部分
ε
ni：決策者 n 選擇 i 方案時，不可衡量之效用部分β
nk：隨機變數xnik：方案與決策者特性有關之可觀測變數 混合羅吉特模式之選擇機率形式如下所示：
Pni＝
Lni( β ) f ( β ) d β
＝ Lni( β ) f ( β | θ ) d β
(8)
( β ) f ( β | θ ) d β
(8)其中 Lni(β)＝
Jj 1 V V) nj( ) ni(
e e
＝
β β
(9)
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在(8)式中，Pni為決策者 n 選擇方案 i 的機率；(9)式中，Lni(β)為羅吉特模式的選擇機率。θ為機率密度函數 f(β)之平均值、標準差或共變異數等（依分配特性而有差異）。機率函數中，若β為常數，即 f(β)＝1，則模 式可簡化為多項羅吉特模式，大多數研究通常將 f(β)設定為常態分配或對數常態分配（Revelt and Train, 1998）。
潛在類別羅吉特模式（Latent Class Logit Model, LCM）：
潛在類別模式則是透過計算限制分群數下分群解釋力之最佳分群，故該模式在討論異質性時為較佳的方法。雖 然使用上述混合羅吉特分析可得知決策個體之異質性，但該方法無法提供隨機參數變數內不同分類之實質分 群，而潛在類別模式則可以提供實際分群的資訊，使政策評估的面相得以更加細膩。因潛在類別模式可以做為 一非透過外生變數作為分群依據，可以透過此方式了解市場特性。
二、【擬答】
令勞工報酬 w，資本報酬 r，TC＝wL＋rK：
Min TC＝wL＋rK s.t. Q＝2L0.5K0.4
ℒ＝wL＋rK＋λ（Q－2L0.5K0.4）
∂ℒ∂L＝0→w＝2×0.5 00.5.4 L
K ＝ 0.5
4 . 0
L
K ...
∂ℒ∂K＝0→r＝2×0.4 00..56 K
L ＝0.8 00..56 K
L ...
∂ℒ∂λ＝0→Q＝2L0.5K0.4...
由相除可得：
r w
＝L 8 . 0
K →K＝
r wL 8 .
0 ...；L＝
w 8 . 0
rK ...
將代入可得：
Q＝2L0.5( r
wL 8 .
0 )0.4＝(
r
w)0.4×2×(0.8)0.4L0.9→L＝ 9
10 4 . 0 4 .
0
) Q ]
w ( r ) 8 . 0 ( 2
[ 1 ×
×
...將代入可得：
Q＝2(
0 . 8 w
rK
)0.5K0.4＝2×(w
r
)0.5× 0.90.5) 8 . 0 (
K
→K＝ 910 5 . 0 5 .
0 ) Q]
r (w ) 8 . 0 2 (
[1× × ...
將代回 TC＝wL＋rK 可得：
TC＝w× 9
10 4 . 0 4 .
0
) Q ]
w ( r ) 8 . 0 ( 2
[ 1 ×
×
＋r× 910 5 . 0 5 .
0 ) Q]
r (w ) 8 . 0 2 (
[1× ×
＝ 9
10 9 5 9 4 9 10 4 .
0
] r w Q
) 8 . 0 ( 2
[ 1 ×
×
＋ 910 9 4 9 5 9 5 10 . 0
Q r w 2 ]
) 8 . 0
[( ×
＝{ 9
10 4 . 0
] ) 8 . 0 ( 2 [ 1
×
＋ 95 10 . 0
2 ] ) 8 . 0
[( }× 9
10 9 5 9 4
Q
w
r
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要素需求函數：
L＝ 9
10 4 . 0 4 .
0
) Q ]
w ( r ) 8 . 0 ( 2
[ 1 ×
×
K＝ 9
10 5 . 0 5 .
0
) Q ]
r ( w ) 8 . 0 2 (
[ 1
× ×TC＝{ 9
10 4 . 0
] ) 8 . 0 ( 2 [ 1
× ＋ 9
5 10 . 0
2 ] ) 8 . 0
[( }× 9
10 9 5 9 4
Q w r
AC＝
Q
TC
＝{ 910 4 . 0
] ) 8 . 0 ( 2 [ 1
× ＋ 9
5 10 . 0
2 ] ) 8 . 0
[( }× 9
1 9 5 9 4
Q w r
MC＝Q
TC
∂
∂
＝9
10×{ 9
10 4 . 0
] ) 8 . 0 ( 2 [ 1
×
＋ 95 10 . 0
2 ] ) 8 . 0
[( }× 9
1 9 5 9 4
Q w r
AC MC
＝9 10
SE＝1－
AC MC
＝1－9 10
＝－9
1
＜0→為規模不經濟勞工成本與資本成本比例：
勞工成本＝wL＝ 9
10 9 5 9 4 9 10 4 .
0
] r w Q
) 8 . 0 ( 2
[ 1 ×
×
...資本成本＝rK＝ 9
10 9 4 9 5 9 5 10 . 0
Q r w 2 ]
) 8 . 0
[ ( ×
...相除可得：
rK wL
＝8 . 0
1
＝1.25三、【擬答】
Cournot 解：
Max
π
1＝TR－TC＝[a－b(q
1＋q
2)]q
1－(cq
1＋d)1 1
∂ q π
∂
＝0→a－2bq
1－bq
2＝c... Max
π
2＝TR－TC＝[a－b(q
1＋q
2)]q
2－(cq
2＋d)2 2
∂ q π
∂
＝0→a－bq
1－2bq
2＝c... 聯立解得：
q
1＝q
2＝b 3
c a
－Stackelberg 解（假定廠商 1 為 leader，廠商 2 為 follower）：
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解 follower 反應函數：
Max
π
2＝TR－TC＝[a－b(q
1＋q
2)]q
2－(cq
2＋d)2 2
∂ q π
∂
＝0→a－bq
1－2bq
2＝c→q
2＝ b 2c bq a－ 1－
...
將代入
π
1：Max
π
1＝TR－TC＝[a－b(q
1＋b 2
c bq a
－ 1－)]
q
1－(cq
1＋d)1 1
∂ q π
∂
＝0→a－2bq
1－2
a
＋bq
1＋2
c
＝c→q
1＝ b 2c
a－ ；
q
2＝ b 4c a－
Collusion 解（令 Q＝
q
1＋q
2）：Max π ＝
π
1＋π
2＝[a－b(
q
1＋q
2)](q
1＋q
2)－cq
1－d－cq
2－d＝(a－bQ)Q－c(
q
1＋q
2)－2d＝aQ－bQ2－cQ－2d
∂ Q π
∂
＝0→a－c＝2bQ→Q＝b 2
c a
－→
q
1＝q
2＝b 4
c a
－
其中 Cournot 解為 A 點，Stackelberg 解為 B 點，Collusion 解為 C 點。
四、【擬答】
票差補貼，是為政府補貼給公車業者運價跟票價的差距，一般而言，當運價越高，公車票價也應該越高，但越 高的票價也會使一般乘客使用公共運輸的意願下降，是以現在臺北市市區公車的票價皆低於運價（全票 15 元，
但運價高出 15 元）。而票差補貼之政策，將使一般大眾可以用較低的價格使用公共運輸工具，是以市場需求增
b
3 c a－
b 4
c a－
q2
firm1 反應曲線
firm2 反應曲線 A
B C
q1
b 4
c a－
b 3
c a－
b 2
c
a－
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加。
法定優待票補貼，為政府對軍警、老人及孩童等特定族群的優待，而此對供需的影響與票差補貼類似，都將會 使公共運輸需求增加，只是對象改為軍警、老人及孩童等特定族群。
當有車輛汰舊換新補助時，或許將可刺激公車業者將舊車換成新車。就供給數量上而言也許公車的總數量不 變，但新的公車或許因為性能較佳、搭乘更舒適、環境汙染較少等優點，而吸引更多的民眾搭乘。換句話說，
即便供給面沒有顯著的變動，應該也可增加民眾公共運輸的需求。
捷運公車雙向轉乘補貼，此為政府為了刺激民眾多利用公共運輸之政策，也就是在搭乘公車或捷運後的某段時 間內，若改搭捷運或公車，此時若用悠遊卡將可得到減免費用的優惠，而此因為有低價搭乘之誘因，因此將可 造成民眾對公共運輸的需求增加（不管是搭公車轉捷運，或是搭捷運轉公車）。
虧損補貼，此是為政府對公車營運虧損的補助。倘若沒有虧損補貼，在長期虧損下，公車的供給必然減少退出 市場，而在有虧損補貼的情況下，公車營運較無後顧之憂（虧損時有政府在背後買單），如此公共運輸的供給 將不會減少，甚至有可能增加。
