# 國 立 清 華 大 學 碩 士 論 文

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## 國 立 清 華 大 學 碩 士 論 文

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### 摘要

【關鍵詞】：坐標幾何(解析幾何)、McNemar's test

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## Abstract

The researcher of this study maintained that the junior high school curriculum emphasized too much on plane geometry and should incorporate existing high school curriculum on coordinate geometry when appropriate. Therefore, the researcher discussed with the researcher’s advisor and proposed a lesson plan “Using

Coordinates to Calculate the Area of a Triangle” for 9th graders to learn coordinate geometry. The researcher also developed research tools such as learning sheets and tests. This lesson plan was implemented on 9th graders in a junior high school in Taoyuan City, Taiwan. The feasibility of this lesson plan was evaluated according to the research results.

The teaching experiment results of coordinate geometry—Using Coordinates to Calculate the Area of a Triangle—showed that most 9th graders could fully

comprehend the content of this lesson plan. Few students found it somehow

acceptable, while extremely few students exhibited poor learning results. The methods of evaluating the learning results adopted by this study were posttest and delayed posttest. The McNemar’s test was used and revealed that the two test results did not show a regression. Therefore, the learning results did not regress over time.

Finally, based on research results, the researcher proposed suggestions for the content of the future curriculum and relevant research.

Key words：coordinate geometry , McNemar’s test

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### 表目錄

4.3.6 第一題後測與延後測之2 × 2 列聯表 ... 46

4.3.7 第二題後測與延後測之2 × 2 列聯表 ... 46

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### 第一節 研究動機與背景

(coordinate geometry)是能廣泛用於數學問題上，並且「威力」十足。舉例而 言，我們在國小、國中階段要計算三角形面積，我們需要知道底邊長以及高，

「坐標化」的觀念時就可以迎刃而解。因此研究者試想能否在國中時期就將坐 標幾何介紹給學生，所以設計出有關於坐標幾何的教學實驗，並進入國中教學 現場做實驗，以期望能透過該實驗讓學生領略到坐標幾何之用處。

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「舊」一類，因此需要刪減修正。而學習幾何的主要作用在於(一)認識和運用 一些幾何的規律；(二)做邏輯推理的訓練(張家麟、黃毅英、林智中，2010)。

2018)。

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### 第四節 研究範圍與限制

1. 研究對象

2. 研究工具

【附錄一】之教案、【附錄二】之學習單、【附錄三】之教學後測驗卷以 及【附錄四】之延後測測驗卷，對上述研究對象做實地教學與研究。

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### 第二節 台灣、日本有關幾何的教科書內容比較

1-1 比例線段與縮放圖形 1-2 相似與相似三角形 1-3 相似三角形的應用

1-1 比例線段與圖形縮放 1-2 相似形

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2-1 點、直線、圓之間的 位置關係

2-2 圓心角、圓周角及弦 切角

2-1 點、直線、圓之 間的位置與關係 2-2 圓心角、圓周角 及弦切角

3-2 外心、內心、重心

3-1 推理證明

3-2 三角形的外心、內心 與重心

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9以上，約有20 多頁。日本教科書中也是在九年級課本 第五章第三節有提到平行線截比例線段性質，但是內容僅佔據國三教科書 1

15， 僅有10 頁的內容，內容著重於基礎的平行線截比例線段性質。如圖 2.2.1。就 題數而言，台灣課本有關平行線截比例線段的題數包含例題8 題、類題+課後練 習有15 題；而日本課本有關平行線截比例線段的題數包含例題 3 題、類題+課 後練習有9 題，顯現出日本和台灣在平行線截比例線段的內容比重有差異。

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### 第三節 國中教育會考介紹

➢ 法源依據：國民小學及國民中學學生成績評量準則

➢ 辦理時間：自民國 103 年起每年 5 月舉辦 1 次

➢ 施測對象：全體國三學生

➢ 命題依據：國民中小學九年一貫課程綱要能力指標

➢ 計分方式：標準參照

➢ 結果呈現方式：國文、數學、社會及自然評量結果分為精熟、基礎及待加 強3 個等級；寫作測驗分為一至六級分。英語科包含聽力及閱讀兩項語言 技能，成績通知單除了分別呈現此2 項技能的能力表現等級，其中聽力分 為「基礎」及「待加強」2 個能力等級，而閱讀分為「精熟」、「基礎」及

「待加強」3 個能力等級，另外也會呈現英語科整體（閱讀加聽力）的能 力等級。

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### 第四節 行列式

「行列式」的原因是此觀念是國中的相似形、平行線截比例線段在坐標平面上 的直接應用，並且在遇到國中幾何難題時，用此方法則可以解決許多國中幾何 難題。本節為行列式的相關研究文獻探討。

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－以宜蘭縣某國中為例。

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### 第一節 研究設計與流程

1.蒐集日本、台灣之中學教材 2.擬定研究主題

3.設計教案及修訂

4.設計學習單、測驗卷及修訂

1.進行課前共備

2.至第一個班級進行教學實驗與測驗 3.進行課後檢討與修訂

4.至第二個班級進行教學實驗與測驗 5.進行延後測測驗

2.提出研究結果與建議

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(一)蒐集日本、台灣之中學教材

(二)擬定研究主題

(三)設計教案及修訂

1( )

(五)設計學習單、測驗卷及修訂

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### 第二階段──教學實驗階段(民國 108 年 9 月~109 年 1 月)

(一)進行課前共備

(二)至第一個班級進行教學實驗與測驗

(三)進行課後檢討與修訂

1. 板書的空間配置可以分成兩塊，並於證明時，與實際數字互相比對。

2. 在證明結束後，必須將三角形面積公式標註於黑板明顯處且不能擦掉。

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3. 學生在寫類題演練時，教師應於整理黑板後，巡視班級情況。

(四)至第二個班級進行教學實驗與測驗

(五)至兩個班級進行延後測測驗

### 第二節 實驗研究對象

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75.12 / 19.99

69.56 / 25.41 國三上第二次段考平均/

76.39 / 17.55

73.77 / 21.62 國三上第三次段考平均/

77.35 / 18.58

74.69 / 23.33

### 第三節 教學實驗處理

(1) 教學實驗施行者

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(2) 教學活動

【附錄四】。 一、教案設計理念

(1) 核心理念：讓學生理解坐標幾何的好用之處及其威力。

(2) 教學目標：利用實例、數學式推導讓學生在有三角形三頂點坐標時，能夠 迅速的計算出三角形面積(詳述請參照附錄一)

(3) 教學內容：分成第一堂教學實驗以及第二堂教學實驗，詳述如下。

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2a' ，所以須算出 'd a ，利用上述所說之相似形概念，得到a a b− ' : =c d: ；

' ( ')

bc=ada d =d a a− ' bc ' bc

a a a a

d d

 − =  = − ，Δ𝑂𝑃𝑄面積為1

( ) 2 adbc 教學策略：先以𝑑 > 0的情況作推導，輔以剛剛的題目作對比，使學生能夠接受 未知數較多的情況。

3.3.1 作 OQ 之平行線交 x 軸於 A 點

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Δ𝑂𝐴𝑄=1

2𝑎′(−𝑑) 。而 P 在 OQ 直線的左邊，則意味著 𝑎′ < 0 所以 Δ𝑂𝐴𝑄=1

2|𝑎′𝑑| =1

2(−𝑎′)|𝑑|。總之，最後的結果不是 1

2(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 就是 1

2(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)。在學生證明期間，教師在課堂內巡視學生的證明情況並適時給予指點。

3.3.2 當 d < 0 時，作 OQ 之平行線交 x 軸於 A 點

2(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)、1

2(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)僅相差一負 號，所以算出來若是為負，則直接加絕對值讓他變正即可(因為面積恆正)。

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2|𝑎𝑑 − 𝑏𝑐|即可。

1. 能計算出在已知三角形三頂點 坐標且一頂點在原點的情況下 的三角形面積。

2. 能推導出已知三角形三頂點坐 標，其中兩頂點坐標為未知數 且一頂點在原點的情況下的三 角形面積公式。

1. 教師利用畫輔助線、幾何原理 的概念製造相似形，藉此計算 出三角形面積。

2. 教師運用相似形的邊長成比例 之觀念，並運用比例式推導出 三角形面積。

1. 能計算出在已知三角形三頂點 坐標，能利用平移的觀念求得 三角形面積。

2. 能推導出已知三角形三頂點的 坐標，其中三頂點坐標皆為未

1. 教師利用畫圖的方法，讓學生 了解平移並不會影響三角形之 面積，再利用上一節課的觀念 求得三角形面積。

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2. 教師運用平移、上一節課所教 導之三角形面積推得已知三頂 點坐標之三角形面積公式。

2，以及在國二時學習到的平面坐標系，讓學生將其學習歷程中毫無關係的兩 個知識合在一起，使學生思考如果在平面坐標系放入一個三角形，給定三角形 的三頂點坐標，能夠如何算出三角形的面積。在喚起學生的先備知識當中，也 激起學生的學習動機。

[例 1]

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[練習 1]

[任務 1]

[任務 2]

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[例 2]

[練習 2]

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[任務 3]

[練習 3]

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### 第四節 資料分析方法

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exact-P-value = 2 ∑ (𝑛 𝑖)

𝑛 𝑖=𝑏

0.5𝑖(1 − 0.5)𝑛−𝑖

### mid-P McNemar's test (mid-p binomial test)之計算公式：

mid-p-value = 2(∑ (𝑛 𝑖)

𝑛 𝑖=𝑏

0.5𝑖(1 − 0.5)𝑛−𝑖− 0.5(𝑛

𝑏)0.5𝑏(1 − 0.5)𝑛−𝑏) 亦即

mid-p-value = exact-p-value − (𝑛

𝑏)0.5𝑏(1 − 0.5)𝑛−𝑏

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### 第一節 上課狀況

4 的學生有認真聽課，其餘同學出現恍神以及 打瞌睡的情況。在教師巡班觀看學生練習狀況時，有部分學生已經不練習題目 了，但仍有多數學生是願意練習，顯示此班對於該教學實驗有部分學生不能接 受，但仍有多數學生是願意聽課且練習題目。

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### 第三節 測驗卷狀況

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2，導致兩題皆錯。圖4.3.7 乙班學生 N 學 生在後測測驗卷時兩題皆對，但在延後測測驗卷時背錯公式，將減號記成加 號，導致兩題皆錯。圖4.3.8 甲班 O 學生在後測測驗卷兩題皆對，在延後測測 驗卷兩題也皆對。

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「兩題皆對」人數變化 (後測→延後測)

「僅一題對」人數變化 (後測→延後測)

「兩題皆錯」人數變化 (後測→延後測) 甲班 20(66.67%)→13(43.33%) 4(13.3%)→7(23.33%) 6(20%)→10(33.33%) 乙班 14(48.28%)→11(37.93%) 6(20.69%)→4(13.79%) 9(31.03%)→14(48.28%)

2 × 2 列聯表(合併甲乙兩班

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2 × 2 列聯表

### 行總和 35 24 59

0: b c

H p = p (時間不會影響成績)

1: b c

H pp (時間會影響成績)

### 計算 mid-p-value(程式碼詳見附錄五)，計算得到第一題之 mid-p-value 為

1.998047，大於 0.05，所以不拒絕虛無假設，亦即時間不會影響成績結果。

2 × 2 列聯表

### 行總和 24 35 59

0: b c

H p = p (時間不會影響成績)

1: b c

H pp (時間會影響成績)

### 計算 mid-p-value(程式碼詳見附錄五)，計算得到第一題之 mid-p-value 為

1.999023，大於 0.05，所以不拒絕虛無假設，亦即時間不會影響成績結果。

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## References

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