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第三章 群組葉片系統之彎曲振動分析

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Academic year: 2022

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(1)

第三章 群組葉片系統之彎曲振動分析

3.1 前言

群組葉片系統,如圖 3-1 至 3-2 所示,可視為藉護環(Shroud)

將數個單一葉片串接而成之系統。由於護環的作用,將造成葉片與護 環產生偶合效應,此時不再能單就某個葉片進行振動特性分析,而需 就著整個系統進行討論,因此,群組葉片系統較單一葉片系統複雜。

圖 3-1 群組葉片系統示意圖

i

th

blade i+1

th

blade i-1

th

blade

i-1

th

pitch i

th

pitch

L

k

r

k

t

z'

y'

R Center of

Rotation

(2)

d b

b d

圖 3-2 群組葉片系統之單一葉片示意圖

此外,藉由 Euler 樑理論可求得系統之動能及應變能,並藉 Hamilton 定理可得控制微分方程式(Governing Differential Equation)

及相關邊界條件,且藉有限差分法來離散整個系統之定義域並求得其 未知數之近似數值解。二階之有限差分法較一階之有限差分法優異,

因此被本文採用於求解單一葉片系統之自然頻率,但由於本系統之邊 界條件方程式的限制,需使用一階之有限差分法來近似出葉片之根部 節點以及頂端之節點之各階微分值,此部份之說明,將詳述於 3.2 節。

至於中間節點部分,仍將採用二階之有限差分法求解。此外,本章將 選用 40 個元素建構群組葉片系統之單一葉片定義域,以滿足本系統 對數值近似解之精度的要求,並且有效地減少沉長的計算時間。

至於本章所採用之 ANSYS 模型,葉片部分將以 3D 樑元素(Beam 44)建構而成,藉由相關參數之設定,以達到預扭、錐度、安置角等 效應之模擬;根部剛性效應則利用彈簧-阻尼元素(Combine 14)模 擬線性彈簧之彈性常數 K

t

及旋轉彈簧之彈性常數 K

r

;護環部份則以 3D 樑元素(Beam 4)模擬,藉由輸入所需之幾何參數、材料性質,

求得合理之結果;轉盤半徑 R 則藉由設定旋轉中心與葉片根部之距

(3)

離,以模擬之,並藉由相關指令(OMEGA),模擬轉盤之轉速。

由於葉片頂端之邊界條件,當葉片根部之彈性常數為極大值時,

將 驅 使 系 統 產 生 Cantilever modes 、 Fixed-Supported modes 或 Fixed-Fixed modes。但是,當護環之質量沒大到一定值時,Fixed-Fixed modes 將不會發生。此外,由於本章主要探討二維群組葉片系統之彎 曲振動特性,故無法正確模擬預扭效應對彎曲振動之影響,因此,預 扭效應對彎曲振動之影響將不討論。

以下本章將探討二維群組葉片系統之錐度、根部剛性(Stiffness of root)、旋轉( Rotation)、轉盤半徑(Radius of Disk)、安置角(Stagger Angle)及群組葉片數目( No. of Grouped Blades)等效應於 Cantilever modes、Fixed-Supported modes 對系統之彎曲振動特性之影響。其中,

3.2 節將就群組葉片系統進行詳細的描述,並建立系統之數學模組。

3.3 節 將 就 3.2 節所建立之數學模組進行數值模擬分析,並藉由 ANSYS 及相關參考文獻驗證所求得之數值近似解其合理性。

(4)

3.2 系統描述與數學模組建立

由 N 片葉片所組成之群組葉片系統,如圖 3-1 所示,取其中某單 一葉片為例,如圖 3-2 所示,假設每一葉片之長度皆為 L,預扭角為

γ

,密度為

ρ

,其楊氏係數為 E

b

,底部之寬度為 b

0

,厚度為 d

0

,而頂 端之寬度為 b

1

,厚度為 d

1

,為於其根部之線性彈簧的剛性值為 K

t

, 而旋轉彈簧的剛性值為 K

r

,並且每一葉片均以一安置角 s 之狀態座落 於半徑為 R 之轉盤上,且以角速度Ω繞著 x

軸旋轉。其中,

{ x , y , z }

為 整 體 座 標 系 統 , {x, y, z} 為 中 立 座 標 系 統( Neutral Coordinate System),而{X, Y, Z}則為主座標系統。此外,假設護環之楊氏係數 為 E

s

,面積慣性矩為 I

s

,每一間距 P 之護環質量為 m

s

,並假設此質 量集中於葉片頂端。表 3-1 即條列簡述各項參數之定義與說明

(5)

表 3-1 群組葉片系統之參數定義

A(z)

葉片在任一截面上之面 積

{ x , y }

z′

總 體 座 標 系 統 ( Global Coordinate System)

b

0,

d

0

葉片根部之寬度及厚度 {x, y, z}

中 立 座 標 系 統 ( Neutral Coordinate System)

b

1

, d

1

葉片頂端之寬度及厚度 {X, Y, Z}

主 要 座 標 系 統 ( Principal Coordinate System)

r

b

葉片根部與底端之寬度 比(b

1

/ b

0

) I

s

護環在 x 方向上之面積慣性 矩

r

d

葉片根部與底端之厚度

比(d

1

/ d

0

) I

bx

(z)

葉片於任一截面上在 x 方向 上之面積慣性矩

E

s

護環之楊氏係數 I

XX

(z)

葉片於任一截面上在 X 方 向上之面積慣性矩

E

b

葉片之楊氏係數 I

YY

(z)

葉片於任一截面上在 Y 方 向上之面積慣性矩

K

t

線性彈簧之彈性常數 y

s

護環上任意一點之位置 K

r

旋轉彈簧之彈性常數 V

i

第 i 段護環左端之剪切力

N 葉片總數 V

i+1

第 i 段護環右端之剪切力 n 單一葉片之元素總數 M

i

第 i 片葉片頂端護環之左端 彎曲力矩

m

s

護環質量 M

i+1

第 i 片葉片頂端護環之右端 彎曲力矩

P 護環間距 M

ys

第 i 個護環在任意一點之位 置之彎曲力矩

(6)

R 轉盤半徑

θ i

第 i 片葉片頂端護環左側之 彎曲角度

ρ

葉片材料之密度

θ i+1

第 i 片葉片頂端護環右側之 彎曲角度

η

無因次參數(z / L) L 葉片之長度

γ

預扭角 t 時間

s 斜罩角(Stagger Angle)

ω

葉片之彎曲振動頻率

旋轉速率 h 相鄰節點間之距離(L / n)

U

si

第 i 個護環之應變能 i 葉片編號

U

s

護環之應變能 j 節點編號

U

b

葉片之應變能 v

i

第 i 個葉片在任意位置上於 y 方向上之位移函數

U

st

線性彈簧之應變能 T

b

葉片之動能 U

sr

旋轉彈簧之應變能 T

s

護環之動能

U

k

旋轉效應所產生之應變

能 T

s

護環之動能

(7)

圖 3-3 第 i 個護環之彎曲示意圖

為了推導出群組葉片系統之控制微分方程式,首先考慮如圖 3-3 所示 之護環。由力之平衡可得左端之剪切力為

P M

Vi

=

Mi+1

i (3.1)

其中,M

i

為第 i 片葉片頂端護環之左端彎曲力矩,M

i+1

為第 i 片葉片 頂端護環之右端彎曲力矩。此外,彎曲力矩與斜率之間的關係為[14]

0 è

2 è I 4 E

M P i i 1

s s

i

+ +

+

=

(3.2) 0

è 4 è I 2 E

M P i i 1

s s 1

i+

− −

+

=

(3.3)

V

i+1

M

i

M

i+1

y

s

V

i

P

θ

i+1

θ

i

m

s

m

s

(8)

其中,θ

i

為第 i 片葉片頂端護環左側之彎曲角度,θ

i+1

為第 i 片葉片頂 端護環右側之彎曲角度。將(3.2)及(3.3)代入(3.1),經整理即 可得到

(

i i 1

)

2 s s

i è è

P I

V

=

6E

+

+ (3.4)

因此,得知第 i 個護環在任意一點之位置 y

s

之彎曲力矩

( )

2

(

i i 1

)

s

s s 1

i i

s s

s i i y s

y è P è

I 2è 6E

P 4è I E

y V M M

+

+

+ +

+

=

+

=

(3.5)

此外,由 Euler 樑理論可得第 i 個護環的彎曲應變能如下 [14]

=

0P s

s s

2 y s

si dy

I E M 2

U 1 (3.6)

將(3.5)代入(3.6),經整理可得到護環之應變能

( )

=

+

+

+

+

=

N 1

1 i

1 i i 2

1 i 2 i s s

s è è è è

P I

U 2E (3.7)

此外,當θ

i

以及θ

i+1

極小時,可得以下之關係式

L i, L , i

i dz

è d

v v

= ′

, i 1 i 1,L i 1,L z

d

è +

d

v

+

= v

+ (3.8)

(9)

其中,v

i, L

為第 i 片葉片之頂端於 y 方向之位移函數值,v

i+1, L

為第 i+1 片葉片之頂端於 y 方向之位移函數值。且將(3.8)代入(3.7)得到 護環之應變能如下

( )

=

′ + ′

+

+ ′ ′

+

=

N 1

1 i

L 1, i L i, 2

L 1, i 2 L i, s s

s P

I

U 2E

v v v v

(3.9)

此外,護環的動能可表為

( ( ) )

=

+

=

N

1 i

2 2

L i, 2 2

L i, s

s m Ù cos s

2

T 1

v & v

(3.10)

其中,

∑ ( )

= N

1 i

2 2

L i, 2

sÙ cos s

2m

1

v

為護環動能於 z 軸之分量 [26]

至於葉片

之動能則可表示為

( ) ( ( ) )

∑ ∫

=

+

=

N

1 i

L 0

2 2

L i, 2 2 i

b ñ A z Ù cos s dz

2

T 1

v & v

(3.11)

其中,

∑ ∫

N=

( ) ( )

1 i

L 0

2 2

L i,

2 cos s dz

Ù z A 2ñ

1

v

為葉片動能於 z 軸之分量 [26],ρ

為葉片材料之密度,A(z)為葉片在任一截面上之面積。由於葉片截面 特性為線性變化,故在任一位置 z,其寬度及厚度之關係式為

( ) z b ( 1 á z L )

b =

0

⋅ − ⋅

( ) z d ( 1 â z L )

d =

0

⋅ − ⋅

(3.12)

(10)

上式之

á = 1 − r

b

â = 1 − r

d, r

b

= b

1

/ b

0

及 r

d

= d

1

/ d

0

則分別為寬度比 及厚度比。因此,可得知葉片在任一截面上之面積 A(z)之關係式如下

( ) ( ) ( ) z b z d z A ( 1 á z L ) ( 1 â z L )

A = ⋅ =

0

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

(3.13)

其中,

A

0

= b

0

⋅ d

0為葉片根部(z = 0)之截面積

此外,葉片之應變 能為

( )( )

dz

2 z I

U E i 2

N

1 i

L 0

bx b

b

= ∑∫

=

v ′′

(3.14)

其中,v

i

為第 i 個葉片在任意位置上於 y 方向上之位移函數值,

I

bx

( ) z

為葉片於任一截面上在 x 方向上之面積慣性矩,其關係式如下

( )

z I

( )

z sin

(

ã z L

)

I

( )

z cos

(

ã z L

)

Ibx

=

YY

2

⋅ +

XX

2

(3.15)

( ) z

I

XX 以及

I

YY

( ) z

為葉片於任一截面上在 X 與 Y 方向上之面積慣性矩

( )

0X

( ) ( )

3

XX z I 1 á z L 1 â z L

I

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

( )

0Y

( ) ( )

3

YY z I 1 á z L 1 â z L

I

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

(3.16)

上式中之I0X

=

b0

d30/12 以及 I0Y

=

b0

d30 /12 則為葉片根部在 X 以 及 Y 方向上之面積慣性矩。此外,根部之線性彈簧應變能可表為

=

=

N

1 i

2 i,0 t

st k

2

U 1

v

(3.17)

(11)

其中,v

i, 0

為第 i 片葉片之根部於 y 方向位移函數值。

根部之旋轉彈簧應變能則為

=

=

N

1 i

2 i,0 r

sr k

2

U 1

v

(3.18)

至於由旋轉效應所產生之應變能

( )( )

(

A z R z dz

)

dz

Ù 2ñ

U 1 i2

N

1 i

L 0

L z 2

k

= ∑

=

∫ ∫ + v ′

(3.19) 由此,定義出此系統之 Lagrangian 方程式

L

= ( T

s

+ T

b

) ( - U

s

+ U

b

+ U

st

+ U

sr

+ U

k

)

(3.20) 由 Hamilton 定理可知此系統任一時刻之平衡條件為

12

t

ä t L dt =0 (3.21)

藉由 Hamilton 定理,即可推導出描述該系統之控制微分方程式,其 詳細推導過程請參見附錄 B。以無因次參數

ç = z L

取代 z,且令

( )

iùt

i

i

=

v z

e

v

,其中,

v

i

( ) z

為第 i 個葉片在任意位置上於 y 方向上之 振動形狀函數,經整理可得下式

(12)

( )

( )

( )

( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]

( ) ( ( ) )

[

ñÙA AL LÙ cosR/Ls çù v

]

v 0

(

3.22

)

v ç

4 1 â ç á

3 1 â á 2

ç 1

ç 3 1

â ç á

2 1 â ç á

L 1 L R A ñÙ - ç I E

v ç I E 2 v

ç I E

i 2 2

2 4

i 4

2

i 4

3 2

3 2

4 0 2 bx

b

i bx

b iv

i bx

b

=

⋅ +

⋅ ′ +

⋅ +

⋅ ′′

 

 

 

 

 − − + ⋅ − + ⋅ ⋅ −

+

 

  

 

 

 − − + ⋅ − + ⋅ ⋅ −

+ ′′

⋅ ′′′

+ ′

η ρ

η

此即本系統之控制微分方程式。此外,藉由 Hamilton 定理,也可求 得系統於 Cantilever mode 以及 Fixed – Supported mode 之邊界條件如 下

Cantilever mode 之邊界條件

² 每一片葉片之根部(i = 1~N,

ç

= 0)

[

E I v -k Lv

]

0

v

ä i,

0

b 0x i,

′′

0 r

i,0

=

( )

0 v L k 4 v

â á 3

â á 2 1

3 â á 2

â 1 á

L L R A ñÙ - v I E äv

0 i, 3 t i,0

4 0 2 0

i, 0x b 0

i,

 =

 

′ +

 

 

 

 − + + ⋅

+

 

  

 

 

 − + + ⋅

′′ ′

(3.23)

² 第一片葉片之頂端(i = 1,

ç

= 1)

( ) ( )

(

E I

( )

1 v

)

m L

(

Ù cos

( )

s ù

)

v 0

äv

0 v

v P 2

L I v 2E

1 I E v ä

1 1, 2 2

2 3 s 1

1, bx b 1

1,

1 2, 1 1, s

s 1

1, bx b 1 1,

 =

 

 − ′′ ′ − + ⋅

 =

 

 ′′ + ′ + ′

(3.24)

(13)

² 中間部分葉片之頂端(i = 2~N-1,

ç

= 1)

( ) ( )

(

E I

( )

1 v

)

m L

(

Ù cos

( )

s ù

)

v 0

äv

0 v

v 4 P v

L I v 2E

1 I E v ä

1 i, 2 2

2 3 s 1

i, bx b 1

i,

1 1, i 1 i, 1

1, - i s s 1

i, bx b 1 i,

 =

 

 − ′′ ′ − + ⋅

 =

 

 ′′ + ′ + ′ + ′

+

(3.25)

² 最後一片葉片之頂端(i = N,

ç

= 1)

( ) ( )

(

E I

( )

1 v

)

m L

(

Ù cos

( )

s ù

)

v 0

äv

0 v

2 P v

L I v 2E

1 I E v ä

1 N, 2 2

2 3 s 1

N, bx

b 1

N,

1 N, 1

1, - N s s 1

N, bx b 1 N,

 =

 

 − ′′ ′ − + ⋅

 =

 

 ′′ + ′ + ′

(3.26)

Fixed-Supported mode 之邊界條件

² 每一片葉片之根部(i = 1~N,

ç

= 0)

[

E I v -k Lv

]

0

v

ä i,

0

b 0x i,

′′

0 r

i,0

=

( )

0 v L k 4 v

â á 3

â á 2 1

3 â á 2

â 1 á

L L R A ñÙ - v I E äv

0 i, 3 t i,0

4 0 2 0

i, 0x b 0

i,

 =

 

′ +

 

 

 

 − + + ⋅

+

 

  

 

 

 − + + ⋅

′′ ′

(3.27)

² 第一片葉片之頂端(i = 1,

ç

= 1)

( ) ( )

[ ]

v 0

äv

0 v

v P 2

L I v 2E

1 I E v ä

1 1, 1 1,

1 2, 1 1, s

s 1

1, bx b 1 1,

=

 =

 

 ′′ + ′ + ′

(3.28)

(14)

² 中間部分葉片之頂端(i = 2~N-1,

ç

= 1)

( ) ( )

[ ]

v 0

äv

0 v

v 4 P v

L I v 2E

1 I E v ä

1 i, 1 i,

1 1, i 1 i, 1

1, - i s s 1

i, bx b 1 i,

=

 =

 

 ′′ + ′ + ′ + ′

+

(3.29)

² 最後一片葉片之頂端(i = N,

ç

= 1)

( ) ( )

[ ]

v 0

äv

0 v

2 P v

L I v 2E

1 I E v ä

1 N, 1 N,

1 N, 1

1, - N s s 1

, N bx b 1

N, 1

=

 =

 

 ′′ + ′ + ′

(3.30)

此外,由於採用有限差分法求解,因此需將系統每一葉片之定義 域切分為 n 段,如圖 3-4 所示。

L

Root Tip

Shroud i th Blade

n

n n

n n n

圖 3-4 群組葉片系統之單一葉片節點示意圖

(15)

圖中各段之交接處即為節點。假設相鄰節點之間距為 h,其中根部節 點之編號為 0,中間節點之編號為 1~ n-1,頂端節點之編號為 n,虛 擬節點之編號為-1 至-2 以及 n+1 至 n+2。倘若第 i 片葉片於節點 j 之 y 方向振動形狀函數值為 v

i, j

,由一階及二階之中央差分法可分別求 得其一至四階微分式如下 [36-37]

² 一階

( )

( )

( )

(

i,j 2 i,j1 i,j i,j1 i,j 2

)

4 (iv) j i,

2 j i, 1 j i, 1

j i, 2

j 3 i, j

i,

1 j i, j i, 1

j 2 i, j i,

1 j i, 1 j i, j

i,

v 4v

6v 4v

h v v 1

v 2v

2v 2h v

v 1

v 2v h v

v 1

v 2h v

v 1

+ +

+ +

+

+

+

− +

=

+

− +

′′′ =

+

′′ =

+

=

(3.31)

² 二階

( )

( )

( )

(

i,j 3 i,j 2 i,j1 i,j i,j1 i,j 2 i,j 3

)

4 (iv)

j i,

3 j i, 2 j i, 1 j i, 1

j i, 2

j i, 3 j 3 i, j

i,

2 j i, 1 j i, j

i, 1

j i, 2

j 2 i, j

i,

2 j i, 1 j i, 1 j i, 2

j i, j

i,

v 12v

39v 56v

39v 12v

6h v v 1

v 8v

13v 13v

8v 8h v

v 1

v 16v

30v 16v

12h v v 1

v 8v

8v 12h v

v 1

+ +

+

+ +

+

+ +

+ +

− +

− +

− +

=

− +

− +

′′′ =

− +

− +

′′ =

− +

′ =

(3.32)

此外,不同於單一葉片系統,本章將同時採用一階及二階之中央差分 法,以求得系統之彎曲振動頻率。由於加入根部剛性效應,懸臂樑結 構之邊界條件便不再適用,因此根部節點之位移及斜率便不再為零,

(16)

倘若仍以二階之中央差分法所得之各階微分值置入根部之節點,將產 生三個虛擬點,然而根部僅有兩個邊界條件方程式,因此將使系統產 生數值上的問題,因為兩個邊界條件方程式無法求解三個虛擬點所代 表之振動形狀函數值。同樣的問題也發生於 Cantilever mode 之頂端邊 界條件,至於 Fixed-Supported mode 則無此問題,因為以二階之中央 差分法所得之各階微分值置入其頂端之節點,仍僅產生兩個虛擬點。

所以,本章將以一階之中央差分法所得之關係式(3.31)代入運動方 程式(3.22)所對應之根部節點、頂端節點以及邊界條件(3.23)至

(3.30),因而於根部及頂端各僅產生兩個虛擬點,問題便得以解決。

至於中間節點,亦即 j = 1 ~ n-1 所代表之節點,仍將採用二階之中央 差分法所得之關係式(3.28)求解。因此,原控制微分方程式( 3.22)

及邊界條件(3.23)至(3.30)所建構之系統,將離散為N

(

n

+

5

)

聯立方程式,寫成矩陣表示式如下

[ ] { } [ ]

[ ]

[ D ] { } v 0

D D v

D

c b a

=

 

 

=

(3.33)

其中,

[ ]

D 為群組葉片系統之結構矩陣,其維度(Dimension )為

(

n 5

)

N

⋅ + ×

N

(

n

+

5

)

[ ] D

a 為 第 一 片 葉 片 之 結 構 矩 陣 , 其 維 度 為

( n 5 )

2 5

n + × ⋅ +

[ ] D

b 為 中 間 部 分 葉 片 之 結 構 矩 陣 , 其 維 度 為

( N 2 ) ( n + 5 ) × N ( n + 5 )

[ ] D

c 為最後一片葉片之結構矩陣,其維度 為

n + 5 × 2 ( n + 5 )

{ }

v 為位移陣列,其維度為N

(

n

+

5

)

由於群組葉

片系統之結構矩陣維度龐大,因此,僅將非零元素列示如下

(17)

群組葉片系統於 Cantilever mode 之結構矩陣

² 第一片葉片之結構矩陣 [D

a

]

D

a

(1,1) = -C3, D

a

(1,2) = 2×C3+C4-C5, D

a

(1,3) = -2×C4+C6 D

a

(1,4) = -2×C3+C4+C5, D

a

(1,5) = C3

D

a

(2,2) = C1-C2, D

a

(2,3) = -2×C1, D

a

(2,4) = C1+C2 D

a

(3,1) = C7-C8, D

a

(3,2) = -4×C7+2×C8+C9-C10

D

a

(3,3) = 6×C7-2×C9+C11, D

a

(3,4) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

a

(3,5) = C7+C8

D

a

(k+3,k) = -C12+C13, D

a

(k+3,k+1) = 12×C12-8×C13-C14+C15 D

a

(k+3,k+2) = -39×C12+13×C13+16×C14-8×C15

D

a

(k+3,k+3) = 56×C12-30×C14+C11

D

a

(k+3,k+4) = -39×C12-13×C13+16×C14+8×C15 D

a

(k+3,k+5) = 12×C12+8×C13-C14-C15

D

a

(k+3,k+6) = -C12-C13 (for k = 1 ~ n-1)

D

a

(n+3, n+1) = C7-C8, D

a

(n+3, n+2) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

a

(n+3, n+3) = 6×C7-2×C9+C11

D

a

(n+3, n+4) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

a

(n+3, n+5) = C7+C8

D

a

(n+4, n+2) = C1-C17, D

a

(n+4, n+3) = -2×C1 D

a

(n+4, n+4) = C1+C17, D

a

(n+4, 2n+7) = -C18 D

a

(n+4, 2n+9) = C18

D

a

(n+5, n+1) = -C3, D

a

(n+5, n+2) = 2×C3+C4

D

a

(n+5, n+3) = -2×C4+C16, D

a

(n+5, n+4) = -2×C3+C4

D

a

(n+5, n+5) = C3 (3.34)

(18)

其中

C1 = E

b

I

bx

(

ç

) / h

2

(for

ç

= 0, 1)

C2 = -K

r

L / 2h

C3 = E

b

I

bx

(

ç

) / 2h

3

(for

ç

= 0, 1)

C4 = E

b I

bx

( ) ç

/ h

2

(for

ç

= 0, 1)

 

 

 

 

 − + +

 +

 

 − + +

=

4

áâ 3

â 0.5 á

3 áâ 2

â 1 á

L R 2h

L A C5 ñÙ

4 0 2

C6 = K

t

L

3

C7 = E

b

I

bx

(

ç

) / h

4

(for

ç

= 0, 1)

C8 = E

b I

bx

′ ( ) ç

/ h

3

(for

ç

= 0, 1)

( ) ( ) ( ) ( )

 

   

 

 − − + ⋅ − + −

′′ −

=

2 b bx 2 0 4 2 1 3

3 1 áâ

2 â 1 á

L L R A ñÙ ç I h E

C9 1

η η η

( ) ( ) ( )

 

 

 

 

 − − + ⋅ − + −

+

2 3 1 4

4 1 áâ

3 â 1 á

2

1

η η η

(for

ç

= 0, 1)

 

 

  +

=

ç

L R 2h

L ) A(

C10 ñÙ

4

2

η

(for

ç

= 0, 1)

(

2 2 2

)

4 Ù cos (s) ù

ñA(ç)L

C11

= − ⋅ +

(for

( )

L 1 h n L ~

ç

=

h

− ⋅

C12 = E

b

I

bx

(

ç

) / 6h

4

(for

( )

L 1 h n L ~

ç

=

h

− ⋅

C13 = E

b I

bx

( ) ç

/ 4h

3

(for

( )

L 1 h n L ~

ç

=

h

− ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

 

   

 

 − − + ⋅ − + −

′′ −

=

0 4 2 3

2 bx

2 b 1 ç

3 ç áâ 2 1

â ç á

L 1 L R A ñÙ ç I 12h E

C14 1

( ) ( ) ( )

 

 

 

 

 − − + ⋅ − + −

+

2 3 1 4

4 1 áâ

3 â 1 á

2

1

η η η

(for

( )

L 1 h n L ~

ç

=

h

− ⋅

(19)

 

 

  +

=

ç

L R 12h

L ) A(

C15 ñÙ

4

2

η

(for

( )

L 1 h n L ~

ç

=

h

− ⋅

(

2 2 2

)

3

sL Ù cos (s) ù

m

C16

= ⋅ +

Ph L I E C17

=

2 s s

Ph L I

C18

=

Es s (3.35)

其中,C1、C3、C4 及 C7 至 C15 等參數,將隨著節點位置而改變,

需特別留意。

² 中間部分葉片(i = 2 ~ N-1)之結構矩陣 [D

b

] D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+1)= -C3

D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+2)= 2×C3+C4-C5 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+3)= -2×C4+C6 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+4)= -2×C3+C4+C5 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+5)= C3

D

b

((i

2)

(n

+

5)+2, (i

1)

(n

+

5)+2)= C1-C2 D

b

((i

2)

(n

+

5)+2, (i

1)

(n

+

5)+3)= -2×C1 D

b

((i

2)

(n

+

5)+2, (i

1)

(n

+

5)+4)= C1+C2 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+1)= C7-C8

D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+2)= -4×C7+2×C8+C9-C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+3)= 6×C7-2×C9+C11

D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+4)= -4×C7-2×C8+C9+C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+5)= C7+C8

D((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k)= -C12+C13

(20)

D(

b

(i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+1)= 12×C12-8×C13-C14 +C15

D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+2)= -39×C12+13×C13 +16×C14-8×C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+3)= 56×C12-30×C14

+C11

D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+4)= -39×C12-13×C13 +16×C14+8×C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+5)= 12×C12+8×C13

-C14-C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+6)= -C12-C13

(for k = 1 ~ n-1)

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+1)= C7-C8

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+2)= -4×C7+2×C8

+C9-C10

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= 6×C7-2×C9+C11 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+4)= - 4×C7-2×C8+C9

+C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+5)= C7+C8 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+2)= -C18 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+4)= C18 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+2)= C1-C19 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= -2×C1 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+4)= C1+C19 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+2)= -C18

(21)

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+4)= C18 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+1)= -C3

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+2)= 2×C3+C4 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= -2×C4+C16 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+4)= -2×C3+C4

D(

b

(i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+5)= C3 (3.36)

其中

Ph L I E

C19

=

4 s s (3.37)

² 最後一片葉片之結構矩陣 [D

c

]

D

c

(1, n+6) = -C3, D

c

(1, n+7) = 2×C3+C4-C5

D

c

(1, n+8) = -2×C4+C6, D

c

(1, n+9) = -2×C3+C4+C5 D

c

(1, n+10) = C3

D

c

(2, n+7) = C1-C2, D

c

(2, n+8) = -2×C1 D

c

(2, n+9) = C1+C2

D

c

(3, n+6) = C7-C8, D

c

(3, n+7) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

c

(3, n+8) = 6×C7-2×C9+C11

D

c

(3, n+9) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

c

(3, n+10) = C7+C8

D

c

(k+3, k+n+5) = -C12+C13

D

c

(k+3, k+n+6) = 12×C12-8×C13-C14+C15

D

c

(k+3, k+n+7) = -39×C12+13×C13+16×C14-8×C15 D

c

(k+3, k+n+8) = 56×C12-30×C14+C11

D

c

(k+3, k+n+9) = -39×C12-13×C13+16×C14+8×C15 D

c

(k+3, k+n+10) = 12×C12+8×C13-C14+C15

(22)

D

c

(k+3, k+n+11) = -C12-C13 (for k = 1 ~ n-1)

D

c

(n+3, 2n+3) = C7-C8

D

c

(n+3, 2n+4) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

c

(n+3, 2n+5) = 6×C7-2×C9+C11

D

c

(n+3, 2n+6) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

c

(n+3, 2n+7) = C7+C8

D

c

(n+4, n+2) = -C18, D

c

(n+4, n+4) = C18

D

c

(n+4, 2n+7) = C1-C17, D

c

(n+4, 2n+8) = -2×C1 D

c

(n+4, 2n+9) = C1+C17

D

c

(n+5, 2n+6) = -C3, D

c

(n+5, 2n+7) = 2×C3+C4

D

c

(n+5, 2n+8) = -2×C4+C16, D

c

(n+5, 2n+9) = -2×C3+C4

D

c

(n+5, 2n+10) = C3 (3.38)

群組葉片系統於 Fixed-Supported mode 之結構矩陣

² 第一片葉片之結構矩陣 [D

a

]

D

a

(1,1) = -C3, D

a

(1,2) = 2×C3+C4-C5, D

a

(1,3) = -2×C4+C6 D

a

(1,4) = -2×C3+C4+C5, D

a

(1,5) = C3

D

a

(2,2) = C1-C2, D

a

(2,3) = -2×C1, D

a

(2,4) = C1+C2 D

a

(3,1) = C7-C8, D

a

(3,2) = -4×C7+2×C8+C9-C10

D

a

(3,3) = 6×C7-2×C9+C11, D

a

(3,4) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

a

(3,5) = C7+C8

D

a

(k+3,k) = -C12+C13, D

a

(k+3,k+1) = 12×C12-8×C13-C14+C15 D

a

(k+3,k+2) = -39×C12+13×C13+16×C14-8×C15

D

a

(k+3,k+3) = 56×C12-30×C14+C11

D

a

(k+3,k+4) = -39×C12-13×C13+16×C14+8×C15 D(k+3,k+5) = 12×C12+8×C13-C14-C15

(23)

D

a

(k+3,k+6) = -C12-C13 (for k = 1 ~ n-1)

D

a

(n+3, n+1) = C7-C8, D

a

(n+3, n+2) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

a

(n+3, n+3) = 6×C7-2×C9+C11

D

a

(n+3, n+4) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

a

(n+3, n+5) = C7+C8

D

a

(n+4, n+1) = -C20+C21, D

a

(n+4, n+2) = 16×C20-8×C21 D

a

(n+4, n+3) = -30×C20, D

a

(n+4, n+4) = 16×C20+8×C21 D

a

(n+4, n+5) = -C20-C21, D

a

(n+4, 2n+6) = C22

D

a

(n+4, 2n+7) = -8×C22, D

a

(n+4, 2n+9) = 8×C22 D

a

(n+4, 2n+10) = -C22

D

a

(n+5, n+3) = C23 (3.39)

其中

( )

2 bx b

12h 1 I C20

=

E

Ph 3

L I C21

=

Es s

Ph 6

L I C22

=

Es s

1

C23

=

(3.40)

² 中間部分葉片(i = 2 ~ N-1)之結構矩陣 [D

b

] D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+1)= -C3

D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+2)= 2×C3+C4-C5 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+3)= -2×C4+C6 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+4)= -2×C3+C4+C5 D

b

((i

2)

(n

+

5)+1, (i

1)

(n

+

5)+5)= C3

(24)

D

b

((i

2)

(n

+

5)+2, (i

1)

(n

+

5)+3)= -2×C1 D

b

((i

2)

(n

+

5)+2, (i

1)

(n

+

5)+4)= C1+C2 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+1)= C7-C8

D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+2)= -4×C7+2×C8+C9-C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+3)= 6×C7-2×C9+C11

D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+4)= -4×C7-2×C8+C9+C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+3, (i

1)

(n

+

5)+5)= C7+C8

D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k)= -C12+C13

D(

b

(i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+1)= 12×C12-8×C13-C14 +C15

D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+2)= -39×C12+13×C13 +16×C14-8×C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+3)= 56×C12-30×C14

+C11

D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+4)= -39×C12-13×C13 +16×C14+8×C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+5)= 12×C12+8×C13

-C14-C15 D

b

((i

2)

(n

+

5)+k+3, (i

1)

(n

+

5)+k+6)= -C12-C13

(for k = 1 ~ n-1)

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+1)= C7-C8

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+2)=- 4×C7+2×C8

+C9-C10 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= 6×C7-2×C9+C11

(25)

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+4)= -4×C7-2×C8+C9 +C10

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+3, (i

1)

(n

+

5)+ n+5)= C7+C8 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+1)= C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+2)= -8×C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+4)= 8×C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

2)

(n

+

5)+ n+5)= -C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+1)= -C20+C24 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+2)= 16×C20-8×C24 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= -30×C20

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+4)= 16×C20+8×C24 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, (i

1)

(n

+

5)+ n+5)= -C20-C24 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+1)= C22

D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+2)= -8×C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+4)= 8×C22 D

b

((i

2)

(n

+

5)+ n+4, i

(n

+

5)+ n+5)= -C22

D(

b

(i

2)

(n

+

5)+ n+5, (i

1)

(n

+

5)+ n+3)= C23 (3.41)

其中

Ph 3

L I E

C24

=

2 s s (3.42)

² 最後一片葉片之結構矩陣 [D

c

]

D

c

(1, n+6) = -C3, D

c

(1, n+7) = 2×C3+C4-C5

D

c

(1, n+8) = -2×C4+C6, D

c

(1, n+9) = -2×C3+C4+C5

(26)

D

c

(2, n+7) = C1-C2, D

c

(2, n+8) = -2×C1 D

c

(2, n+9) = C1+C2

D

c

(3, n+6) = C7-C8, D

c

(3, n+7) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

c

(3, n+8) = 6×C7-2×C9+C11

D

c

(3, n+9) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

c

(3, n+10) = C7+C8

D

c

(k+3, k+n+5) = -C12+C13

D

c

(k+3, k+n+6) = 12×C12-8×C13-C14+C15

D

c

(k+3, k+n+7) = -39×C12+13×C13+16×C14-8×C15 D

c

(k+3, k+n+8) = 56×C12-30×C14+C11

D

c

(k+3, k+n+9) = -39×C12-13×C13+16×C14+8×C15 D

c

(k+3, k+n+10) = 12×C12+8×C13-C14+C15

D

c

(k+3, k+n+11) = -C12-C13 (for k = 1 ~ n-1)

D

c

(n+3, 2n+3) = C7-C8

D

c

(n+3, 2n+4) = -4×C7+2×C8+C9-C10 D

c

(n+3, 2n+5) = 6×C7-2×C9+C11

D

c

(n+3, 2n+6) = -4×C7-2×C8+C9+C10 D

c

(n+3, 2n+7) = C7+C8

D

c

(n+4, n+1) = C22, D

c

(n+4, n+2) = -8×C22 D

c

(n+4, n+4) = 8×C22, D

c

(n+4, n+5) = -C22

D

c

(n+4, 2n+6) = -C20+C21, D

c

(n+4, 2n+7) = 16×C20-8×C21 D

c

(n+4, 2n+8) = -30×C20, D

c

(n+4, 2n+9) = 16×C20+8×C21 D

c

(n+4, 2n+10) = -C20-C21

D

c

(n+5, n+8) = C23 (3.43)

(27)

3.3 彎曲振動分析

本節將使用前文 3.2 節所推導之數學模組求解群組葉片系統之彎 曲振動頻率,並與 ANSYS 所得之數值比對。參考圖 3-1 及 3-2 所示,

假設葉片之楊氏係數 E

b

等幾何參數與材料性質如表 3-2 所列者,本 節以下即針對錐度、根部剛性、旋轉、轉盤半徑、安置角、及群組葉 片數目等效應對系統之彎曲振動頻率的影響進行較深入之探討。

表 3-2 群組葉片系統之相關參數設定 [14]

葉片之楊氏係數(E

b

) 1.96×10

11

Pa 葉片之長度(L) 0.2 m 葉片之密度(ρ) 5.95×10

3

kg/m

3

葉片根部之寬度(b

0

) 0.03 m 葉片根部之厚度(d

0

) 0.00138 m 護環之楊氏係數(E

s

) 1.96×10

11

Pa 護環在 x 方向上之面積慣性矩(I

s

) 0.66×10

-11

m

4

護環質量(m

s

) 3.84×10

-3

kg

護環間距(P) 0.014 m

由參考文獻 [33] 得知,由數學模組所得每一組 Cantilever mode 之彎曲振動模組數目皆等於群組葉片之數目 N,因群組葉片之彎曲振 動特性會趨向單一葉片之彎曲振動特性。由於每一組 Cantilever mode 之所有彎曲振動模組所對應振動頻率十分相近,且振動模態皆相同,

因此,以下所採用於每一組 Cantilever mode 之數值(數學模組部份), 皆為每一組 Cantilever mode 之所有振動彎曲模組所對應振動頻率的 平均值。此外,每一組 Fixed-Supported mode 將產生 N-1 個彎曲振動

(28)

模組,且其所對應之振動模態皆不相同。

當根部剛性值極大,錐度、旋轉、轉盤半徑以及安置角等效應皆 不考慮之情況下,由五片葉片所組成的群組葉片系統之無因次參數比

較,如表 3-3 所列示,其中 C1 mode 為第一組 Cantilever mode,

F1(n)mode 為第一組 Fixed-Supported mode 之第 n 個彎曲振動模組, C2 mode 為第二組 Cantilever mode。此外,無因次參數λ之定義與前 文 2.3 節同。由表 3-3 之數值比較,可知前文 3.2 節所推導之數學模 組其合理性。

表 3-3 由五片葉片所組成的群組葉片系統之無因次參數λ比較 Mode Numerical ANSYS Rao [14]

C1 5.0475 5.0685 5.0721 F1(1) 21.4075 21.3929 21.5126 F1(2) 21.4846 21.4723 21.5476 F1(3) 21.8656 21.8256 21.9848 F1(4) 22.0140 21.9824 22.1247 C2 27.8658 28.0636 28.0013

由前文 3.2 節可知,當葉片總數 N 越大時,系統之結構矩陣的維 度(Dimension)也隨之增大,所花費之計算時間相對增加,因此,

除了 3.3.7 節(探討群組葉片數目對系統之彎曲特性的影響)以外,

以下僅針對 3 片葉片所組成之群組葉片系統加以討論。

(29)

3.3.1 錐度效應

如前文 2.3.1 節所述,錐度效應將使葉片單位長度之質量及面積 慣性矩沿著軸向而改變,進而影響單一葉片系統之彎曲振動特性,因 此,我們也可預期錐度效應對群組葉片系統之影響。

圖 3-5 至 3-7 為在不同寬度比 r

b

= b

1

/ b

0

之下,厚度比 r

d

= d

1

/ d

0

與無因次常數λ之關係圖。圖 3-8 至 3-11 為在不同彎曲振動模組之 下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖。圖 3-12 至 3-19 將藉由 Bessel 方程式所推導之數學模組[33]進行數值比對。圖 3-12 至 3-15 為在不同彎曲振動模組之下,厚度比與無因次常數之關係圖。圖 3-16 至 3-19 為在不同彎曲振動模組之下,厚度比及寬度比與無因次常數 之關係圖,其中,厚度比等於寬度比(r

b

= r

d

)。

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

C1 mode F1(1) mode F1(2) mode C2 mode

圖 3-5 在寬度比為 0.5 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

(30)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

C1 mode F1(1) mode F1(2) mode C2 mode

圖 3-6 在寬度比為 1.0 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

0 5 10 15 20 25 30 35

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

C1 mode F1(1) mode F1(2) mode C2 mode

圖 3-7 在寬度比為 1.5 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

(31)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ rb=0.5 (Numerical)

rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-8 在 C1 mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-9 在 F1(1) mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

(32)

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-10 在 F1(2) mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

15 20 25 30 35 40

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-11 在 C2 mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

(33)

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=1 (Numerical) rb=1 (Bessel)

圖 3-12 在 C1 mode 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

10 12 14 16 18 20 22 24 26

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=1 (Numerical) rb=1 (Bessel)

圖 3-13 在 F1(1) mode 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

(34)

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=1 (Numerical) rb=1 (Bessel)

圖 3-14 在 F1(2) mode 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=1 (Numerical) rb=1 (Bessel)

圖 3-15 在 C2 mode 之下,厚度比與無因次常數之關係圖

(35)

3 3.5 4 4.5 5 5.5

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rb & rd

λ

Numerical Bessel

圖 3-16 在 C1 mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

10 12 14 16 18 20 22 24 26

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rb & rd

λ

Numerical Bessel

圖 3-17 在 F1(1) mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

(36)

10 12 14 16 18 20 22 24 26

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rb & rd

λ

Numerical Bessel

圖 3-18 在 F1(2) mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rb & rd

λ

Numerical Bessel

圖 3-19 在 C2 mode 之下,厚度比及寬度比與無因次常數之關係圖

(37)

經由以上各圖之綜合比較,得到以下結論:

(1) 在寬度比不變之條件下,當厚度比漸增時將使系統之彎曲剛性的 效應大於質量效應,故造成系統之彎曲振動頻率上升,因此,屬 於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數均隨之遞增。

(2) 在厚度比不變之條件下,當寬度比遞增時,雖然系統之彎曲剛性 增加,但此時系統質量效應對系統之影響更為顯著,因而造成屬 於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數均遞減。

(3) 由於厚度比之變化對葉片於任一截面上在 x 方向上之面積慣性矩 之影響較大,亦即對系統之彎曲剛性之影響較大,因此,厚度比 對系統彎曲振動頻率之影響較寬度比顯著。

(4) 由有限差分法所推導之數學模組、Bessel 方程式所推導之數學模 組以及 ANSYS 所得之值皆十分近似。

3.3.2 根部剛性效應

一般而言,當我們分析葉片之動態特性時,皆假設葉片為懸臂樑 結構,亦即根部節點之位移及斜率皆為 0,但實際上,當汽機運轉時 因彎曲振動造成轉盤的偏轉量與位移量將會轉移至葉片根部。此外,

大型汽渦輪機組葉片多半是以插入方式(Fir root)裝置,轉盤機械性質 改變時亦會造成葉片根部剛性之變化。

本節將以加於葉片根部之線性彈簧之彈性常數 K

t

及旋轉彈簧之 彈性常數 K

r

模擬葉片根部剛性,以探討葉片根部剛性對群組葉片系 統彎曲振動頻率之影響。

(38)

此外,由於葉片根部加入彈性效應之故,Cantilever mode 將會變 為 Flexible-Free mode 而 Fixed-Supported mode 則 會 變 為 Flexible-Supported mode。圖 3-20 至 3-23 為在不同彎曲振動模組之 下,線性彈簧之彈性常數與無因次常數之關係圖,其中 FF1 mode 為 第一組 Flexible-Free mode,FS1(n) mode 為第一組 Flexible-Supported mode 之第 n 個彎曲振動頻率, FF2 mode 為第二組 Flexible-Free mode。圖 3-24 至 3-27 為在不同彎曲振動模組之下,旋轉彈簧之彈性 常數與無因次常數之關係圖。

Kr=1.0E+30

4 4.5 5 5.5 6

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

K t

λ

Numerical ANSYS

圖 3-20 在 FF1 mode 之下,線性彈簧剛性與無因次常數之關係圖

(39)

Kr=1E+30

19 20 21 22 23

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kt

λ

Numerical ANSYS

圖 3-21 在 FS1(1) mode 之下,線性彈簧剛性與無因次常數之關係圖

Kr=1E+30

19 20 21 22 23

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kt

λ

Numerical ANSYS

(40)

Kr=1E+30

24 25 26 27 28 29 30

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kt

λ

Numerical ANSYS

圖 3-23 在 FF2 mode 之下,線性彈簧剛性與無因次常數之關係圖

Kt=1E+30

4 4.5 5 5.5 6

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kr

λ

Numerical ANSYS

(41)

Kt=1E+30

19 20 21 22 23

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kr

λ

Numerical ANSYS

圖 3-25 在 FS1(1) mode 之下,旋轉彈簧剛性與無因次常數之關係圖

Kt=1E+30

19 20 21 22 23

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kr

λ

Numerical ANSYS

圖 3-26 在 FS1(2) mode 之下,旋轉彈簧剛性與無因次常數之關係圖

(42)

Kt=1E+30

24 25 26 27 28 29 30

1.00E+05 1.00E+07 1.00E+09 1.00E+11

Kr

λ

Numerical ANSYS

圖 3-27 在 FF2mode 之下,旋轉彈簧剛性與無因次常數之關係圖

整理以上各圖之結果得知:

(1) 當根部之線性彈簧剛性增加時,系統之彎曲剛性也隨之增加,但 當根部之剛性增加至一臨界值後,系統之彎曲剛性便不再有明顯 變化,因此,由數學模組所得屬於 FF1、FS1(1)、FS(2)及 FF2 mode 之無因次常數,均隨線性彈簧之彈性常數遞增至一定值後,便不 再有明顯變化。此外,當線性彈簧之彈性常數遞增,由 ANSYS 所得屬於 FS1(1)及 FS1(2) mode 之無因次常數並無明顯變化。

(2) 當旋轉彈簧之彈性常數遞增,屬於 FF1、FS1(1)、FS1(2)、及 FF2 mode 之無因次常數均無明顯變化,由此可知根部之旋轉彈簧剛 性對系統之彎曲剛性影響不大。此外,由數學模組所得之值與 ANSYS 所得之值極為近似。

(3) 線性彈簧之彈性常數對無因次常數之影響較旋轉彈簧之彈性常 數顯著。

(43)

3.3.3 旋轉效應

由於旋轉效應所產生之離心力,將使葉片之彎曲剛性增加 [14],

因此,旋轉效應對系統之彎曲振動頻率之影響是可預期的。

本節將討論轉盤半徑 R 為 0.2 m 之群組葉片系統,其轉速與彎曲 振動頻率之關係,以及錐度效應對旋轉之群組葉片系統其彎曲振動特 性的影響。圖 3-28 至 3-31 為在不同彎曲振動模組之下,轉速與無因 次常數之關係圖。圖 3-32 至 3-35 為當轉速等於 5000 rpm,錐度與無 因次常數於不同彎曲振動模組之關係圖。

0 5 10 15 20 25 30

0 2500 5000 7500 10000

λ

Numerical ANSYS

(44)

0 10 20 30 40 50 60 70

0 2500 5000 7500 10000

λ

Numerical ANSYS

圖 3-29 在 F1(1) mode 之下,轉速與無因次常數之關係圖

0 10 20 30 40 50 60 70

0 2500 5000 7500 10000

λ

Numerical ANSYS

圖 3-30 在 F1(2) mode 之下,轉速與無因次常數之關係圖

(45)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 2500 5000 7500 10000

λ

Numerical ANSYS

圖 3-31 在 C2 mode 之下,轉速與無因次常數之關係圖

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-32 當轉速為 5000 rpm,於 C1 mode 之下,厚度比及寬度比與 無因次常數之關係圖

(46)

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-33 當轉速為 5000 rpm,於 F1(1) mode 之下,厚度比及寬度比 與無因次常數之關係圖

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-34 當轉速為 5000 rpm,於 F1(2) mode 之下,厚度比及寬度比 與無因次常數之關係圖

(47)

0 10 20 30 40 50 60 70

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

rd

λ

rb=0.5 (Numerical) rb=0.5 (ANSYS) rb=1.0 (Numerical) rb=1.0 (ANSYS) rb=1.5 (Numerical) rb=1.5 (ANSYS)

圖 3-35 當轉速為 5000 rpm,於 C2 mode 之下,厚度比及寬度比與 無因次常數之關係圖

經由以上各圖之綜合比較發現:

(1) 由於旋轉效應所產生之離心力,將使系統之彎曲剛性增加,因 此,屬於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數皆隨轉速遞 增。

(2) 當轉速及寬度比固定,厚度比越大,系統之彎曲剛性亦隨之增 加,因此,屬於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數皆隨 之上升。

(3) 當轉速及厚度比固定,寬度比越大,雖然此時系統之質量也相對 增加,但系統之彎曲剛性效應對系統之影響更為顯著,因此,由 數學模組所得屬於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數皆 隨之上升。相同之條件下,由 ANSYS 所得屬於 C1 mode 之無因 次常數則隨之下降,至於 F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數

(48)

(4) 轉速效應對低頻之模組的影響較高頻之模組顯著。

(5) 由 ANSYS 所得之值皆高於數學模組所得之值,且轉速越快,差 距愈大。

3.3.4轉盤半徑效應

當轉盤轉速固定,轉盤半徑增加,所產生之離心力隨之增加,葉 片之彎曲剛性也相對增加 [14],因此,我們可預期系統之彎曲振動 頻率將受之影響。

本節將討論轉速Ω為 5000 rpm 之群組葉片系統,其轉盤半徑 R 與彎曲振動頻率之關係。圖 3-36 至 3-39 為在不同彎曲振動模組之 下,轉盤半徑與無因次常數之關係圖。

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5

R / L

λ

Numerical ANSYS

圖 3-36 在 C1 mode 之下,轉盤半徑與無因次常數之關係圖

(49)

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5

R / L

λ

Numerical ANSYS

圖 3-37 在 F1(1) mode 之下,轉盤半徑與無因次常數之關係圖

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5

R / L

λ

Numerical ANSYS

(50)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 1 2 3 4 5

R / L

λ

Numerical ANSYS

圖 3-39 在 C2 mode 之下,轉盤半徑與無因次常數之關係圖

由圖 3-36 至 3-39 之綜合比較,我們發現:

(1) 當轉盤轉速固定,轉盤半徑增加,所產生之離心力隨之增加,葉 片之彎曲剛性也相對增加,因此,屬於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數,皆隨轉盤半徑遞增。轉速效應對低頻之模組的影 響較高頻之模組顯著。

(2) 由 ANSYS 所得之值皆略高於由有限差分法所推導之數學模組所 得之值。

3.3.5安置角效應

一般而言,為達到工程設計目的,葉片常需以一安置角 s 之狀態 座落於轉盤上,因此,當我們探討群組葉片之彎曲振動特性時,安置 角效應是值得重視的。圖 3-40 至 3-43 為在不同彎曲振動模組之下,

安置角與無因次常數之關係圖。

(51)

0 5 10 15 20 25

0 15 30 45 60

s

λ

Numerical ANSYS

圖 3-40 在 C1 mode 之下,安置角與無因次常數之關係圖

25 30 35 40 45

0 15 30 45 60

s

λ

Numerical ANSYS

圖 3-41 在 F1(1) mode 之下,安置角與無因次常數之關係圖

(52)

25 30 35 40 45

0 15 30 45 60

s

λ

Numerical ANSYS

圖 3-42 在 F1(2) mode 之下,安置角與無因次常數之關係圖

35 40 45 50 55

0 15 30 45 60

s

λ

Numerical ANSYS

圖 3-43 在 C2 mode 之下,安置角與無因次常數之關係圖

(53)

經由以上各圖之綜合比較可知:

(1) 由於葉片之寬度之尺寸較厚度之尺寸大許多,因此葉片在 x 方向 之面積慣性矩將隨安置角而遞增,亦即葉片之彎曲剛性增加,所 以,屬於 C1、F1(1)、F1(2)及 C2 mode 之無因次常數皆隨安置角 遞增。

(2) 由 ANSYS 所得之無因次常數皆高於有限差分法所推導之數學模 組所得之解許多,其主要原因可能在於:一、由 ANSYS 所建構 之模型為三維之系統,本章所採用之數學模組則為二維之系統。

二、ANSYS 所採用於分析系統之彎曲振動特性的座標系統為數 學模組之總體座標系統,與數學模組所採用的中立座標系統不 同。

3.3.6 群組葉片數目對系統之影響

由於系統之剛性常隨著群組葉片數目變化,因此,可預期系統之 彎曲振動頻率也將受之影響。

當群組葉片數目增加,每一組 Fixed-Supported mode 之彎曲振動 模組數目也將隨之增加,因每一組 Fixed-Supported mode 之彎曲振動 模組數目為群組葉片數目減一。此外,由於每一組 Fixed-Supported mode 之所有彎曲振動模組所對應之振動頻率十分相近,縱然其所對 應 之 振 動 模 態 皆 不 同 , 為 了 方 便 比 較 群 組 葉 片 數 目 於 第 一 組 Fixed-Supported mode 對 系 統 之 影 響 , 我 們 將 採 用 第 一 組 Fixed-Supported mode 之所有彎曲振動模組所對應的無因次函數之平 均值,以進行討論。圖 3-44 至 3-46 為在不同彎曲振動模組之下,群

(54)

Fixed-Supported mode 之所有彎曲振動模組所對應的無因次函數之平 均值。

4 4.5 5 5.5 6

3 5 7 9 11

N

λ

Numerical ANSYS

圖 3-44 在 C1 mode 之下,群組葉片數目與無因次常數之關係圖

20.5 21 21.5 22 22.5

3 5 7 9 11

N

λ

Numerical ANSYS

圖 3-45 在 F1 mode 之下,群組葉片數目與無因次常數之關係圖

(55)

27 27.5 28 28.5 29

3 5 7 9 11

N

λ

Numerical ANSYS

圖 3-46 在 C2 mode 之下,群組葉片數目與無因次常數之關係圖

經由綜合比較以上各圖,得知:

(1) 當群組葉片數目增加,系統之彎曲剛性亦隨之增加,因此,由數 學模組所得之值顯示,屬於 C1、F1 及 C2 mode 之無因次常數皆 隨之升高,但無因次常數之變化趨勢,將因群組葉片數目增加而 趨於平緩。

(2) 由 ANSYS 所得之值顯示,當群組葉片數目增加,屬於 C1 及 C2 mode 之無因次常數皆隨之遞減。至於 F1 mode 之無因次常數的 變化趨勢則與數學模組相同。

參考文獻

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