第一節 認知診斷評量

第二章 文獻探討

本研究的目的是基於認知診斷評量的理念，編製認知診斷測驗，並嘗試 以貝氏網路為工具結合認知理論，建立以貝氏網路為基礎的認知診斷模式，

而後應用於診斷國小五年級學童在學習過小數單元後所產生的「小數」錯誤 類型與子技能缺失。因此，在本章的文獻探討中，將針對認知診斷評量、貝 氏網路、小數教材與錯誤類型等相關研究進行分析整理，此外，由於在本研 究模式的評估部分，亦涉及到使用試題反應理論(item response theory, IRT) 分析結果作為貝氏網路推理的證據，以了解試題反應理論與貝氏網路認知診 斷模式結合之可行性，是故，文獻探討的內容亦包含試題反應理論的簡介。

第一節 認知診斷評量

近年來，由於傳統評量的限制與認知心理學的快速發展，教育評量與認 知心理學結合的評量方式逐漸蔚為主流，Nichols(1994)就曾提及傳統評量理 論無法提供有效訊息，讓教師對學生的錯誤學習進行診斷，因此他主張將認 知科學與心理計量學結合，發展新的診斷評量方法。關於此種新的診斷評量 方法，Nichols(1994)將其稱為「認知診斷評量」。以下將分別探討認知診斷 評量的意義、特徵以及應用。

一、認知診斷評量的意義

認知診斷評量是指基於學習心理學「有意義的學習」及「認知建構過程」

等理論背景，結合心理計量學及統計分析模式，所形成的新式評量取向。其

主張現今的教學評量應妥善結合認知科學與心理計量的原理，發展能夠診斷

學 生 學 習 錯 誤 並 能 測 知 內 在 思 考 機 制 的 認 知 診 斷 工 具 與 模 式 (Nichols,

1994)。因此，評量的方向主要在於探討學生學科成就背後的認知結構與潛在

的解題策略與歷程，這些認知歷程與知識結構如何發展，以及專家與生手在 這些方面的差異。

二、認知診斷評量的特色

根據余民寧（2003）與 Nichols(1994)所述，認知診斷評量具有以下特點：

（一）認知診斷評量所用的測驗是應用明確客觀的假設來建構測驗的內容 和記分方式，並根據認知診斷測驗的編製步驟，才能編製出一份可以 反應受試者知識狀態的測驗，進而達成認知診斷評量所追求的目標。

（二）認知診斷評量模式的重點在於如何根據個體的反應過程做認知推論。

（三）認知診斷評量利用統計模式的記分方式，企圖深入了解學習者的學習 過程與知識結構。

三、認知診斷測驗的編製

針對認知診斷評量的第一個特點，Nichols(1994)主張認知診斷測驗的編

製，須經歷實質理論的建構(substantive theory construction)、設計的選擇

(design selection)、測驗實施(test administration)、反應記分(response scoring)

以及設計修正(design revision)等五個重要的編製歷程，如表 2-1-1 所示。

表 2-1-1 發展認知診斷測驗的五個編製步驟（引自 Nichols,1994）

步驟一 實質理論的建構

藉由實質理論描述技能與知識模式或理論之發展，這些技能 與知識被假定在認知表現中產生，而測量的試題必須能描述 個體表現出的知識與技能。

步驟二 設計的選擇

測驗編製者必須根據步驟一的實質理論選擇測量設計，建構 測量的程序是一種測量設計的操作化過程。

步驟三 測驗實施

包括監控測驗內容的每個部分，如試題形式、反應種類、記 分工具、施測環境等。

步驟四 反應記分

根據受試者的反應組型，給予某個數值，並將其反應組型與 實質理論所建構的策略或錯誤規則相連結。

步驟五 設計修正

透過證據的蒐集，獲知理論是被支持或挑戰的，測驗施測結 果應用來修正實質理論的建構。

四、認知診斷評量的相關研究

至於上述認知診斷評量第二及第三個特點之實踐，綜觀目前國外在 CDA 的測量方法論之發展，有一部份是由認知領域專家與心理計量領域專家共同 合作，部份則是由其中一領域的專家主導，企圖整合另一領域的發展方向。

從這些研究中可發現，二領域整合存有許多的障礙，例如二領域對知識技能

模式的假定有極大的差異，心理計量的理論多以單一向度或多向度來表徵知

識，而當代的認知理論則強調以概念網路(conceptual network)或產出系統的

轉變網路(transition network)來表徵知識，就數學上而言，這是不同的模式。

關於這些差異，研究者各自採用各種不同的方式來加以克服。目前國內外相 關的研究大致可分為以下三大類：

（ 一 ） 學 生 模 式 (student modeling)取 向 － 以 程 序 性 知 識 的 產 出 系 統 為 研 究 重 點，或 更 進 一 步 結 合 人 工 智 慧 與 心 理 計 量 的 統 計 方 法 。 例 如 ：

1. Anderson(1993)： ACT 計 畫 家 教 式 系 統 － LISP tutor。

2. Mislevy(1995)、 Martin & VanLehn(1995)： 應 用 貝 氏 推 論 法 則 進 行 學 生 的 認 知 診 斷 。

3. Polk, VanLehn, & Kalp(1995)： 發 展 ASPM2 系 統 ， 根 據 建 立 的 學 生 模 組 ， 計 算 可 用 來 解 釋 個 別 受 試 者 表 現 的 最 適 規 則 集 。

4. Marshall（ 1993）：提 出 SPS 系 統，結 合 人 工 智 慧（ artificial intelligence） 與 統 計 方 法 所 發 展 出 的 新 診 斷 系 統 ， 用 來 建 構 及 模 擬 人 類 解 決 數 學 文 字 題 的 認 知 程 序 與 知 識 結 構。國 內 施 淑 娟 （ 1997） 根 據 此 模 式 之 理 論 基 礎 ， 修 正 發 展 出「 認 知 網 路 評 量 模 式 」。 另 有 張 國 恩 、 侯 文 娟（ 1995）以 類 神 經 網 路 結 構 建 立 學 生 模 組 ， 偵 察 學 生 在 學 習 過 程 的 一 些 概 念 缺 失 。

（ 二 ） 概 念 網 路 (conceptual network)取 向 － 以 描 述 概 念 知 識 的 語 意 網 路 為 研 究 重 點 。 例 如 ：

1. 直 接 取 向 ： Naveh-Benjamin, Linn, & Mckeachie(1995)， 直 接 提 供 給 受 試 者 結 構，要 求 受 試 者 將 概 念 與 關 係 填 入 概 念 結 構 圖 中 ， 亦 即 所 謂 的 概 念 構 圖 法 在 評 量 上 的 應 用。國 內 學 者 宋 德 忠 、 陳 淑 芬 、 張 國 恩 （ 1998） 亦 進 行 類 似 研 究 。

2. 間 接 取 向 ： Johnson, Goldsmith, & Teague(1995)、 Britton &

Tidwell(1995)， 以 概 念 近 似 配 對 測 驗 的 方 式 ， 使 用 記 分 規 則

與 應 用 pathfinder 軟 體 來 推 論 最 可 能 的 潛 在 網 路 結 構 。 余 民

寧 （ 2003） 所 建 立 的 線上認知診斷評量模式亦屬於此類。

（ 三 ）心 理 計 量 屬 性 (psychometric attributes)取 向 － 以 試 題 屬 性 表 徵 知 識 狀 態 。 例 如 ：

1. Tatsuoka(1983, 1990)：提出規則空間(rule space)模式，國內趙育倫

（1997）據此發展出以無參數試題反應理論為基礎的規則空間，黃 桂君（1996）亦 應 用 此分析方法進行特殊兒童的研究。

2. Embretson(1991)：提出多向度潛在特質模式(MLTM)，國內林世華、

梁仁楷、劉子鍵（1998）則參考 Embretson 的 MLTM 模式提出認知 測量整合模式。

3. Yamamoto(1987)：結合潛在類別分析與 IRT 的整合模式（Hybrid 模 式）。

綜合上述這些模式可發現：各種方法因取向不同，各有其適用情境與限 制。其中，學生模式取向中的診斷系統多半是以貝氏網路作為主要的建構基 礎，透過貝氏網路不確定性的推理，呈現出個別學生在學生模式中所有概念 節點的精熟機率，相當符合真實情境中，學生作答反應與概念形成的不確定 性特質，然而，國內目前尚缺乏這方面的研究成果。爲掌握此方法的優勢，

本研究根據國外現有研究模式加以延伸，結合國內的數學研究成果與教材，

建立一個以錯誤類型為單位的學生模式來進行診斷，以提供更豐富的診斷資 訊。

此外，由於本 研 究 以 下 將 建 立 以「 小 數 」單 元 錯 誤 類 型 與 子 技 能

為 單 位 的 認 知 診 斷 模 式 ， 學 生 的 子 技 能 與 錯 誤 類 型 必 須 有 設 計 適 當

的 試 題 來 加 以 誘 發 ， 因 此 ， 研 究 方 法 中 將 依 據 文 獻 分 析 中 小 數 的 相

關 學 習 研 究 結 果 以 及 上 述 認 知 診 斷 測 驗 編 製 的 五 步 驟 來 編 製 本 研

究 之 測 驗 工 具 。

第二節 貝氏網路

由於科學方法要求嚴密性，為避免引用極端資料可能會扭曲研究結果，

因此，古典推論模式並不允許將先前知識引入計算中。然而在許多情況下，

善用先前知識或專家意見並結合可觀察的資訊是有助於推論的，此種推論模 式稱為貝氏推論。以貝氏推論為基礎的圖形模式即為貝氏網路。

貝氏網路亦稱為貝氏推論網路、貝氏信念網路、信念網路、因果關係網 路、機率網路、影響力圖表(influence diagram)等。是一種非常強大的知識表 現方法和推論工具，可用來說明變數間相互影響程度的機率關係。以下將根 據相關的文獻說明貝氏網路的本質與應用。

一、數學定義與基本概念

貝氏網路結合機率理論與圖形理論，是一種對於不確定的事物加以描述 與推論的工具 (Pearl, 1988)。此工具能夠用以表示出機率的關連性，因此常 用在描述許多真實世界中的問題，包括決策支援、問題診斷、預測、自動監 控、製程控制與資訊萃取等(Heckerman, Mamdani, & Wellman,1995)。以下便 針對此模式之數學定義與其推論的基礎－貝氏定理加以簡介。

（一）數學定義

基於圖形理論與機率理論中貝氏定理的概念，貝氏網路同時從質與量兩 個向度表徵一組變項之間的關係。從質的向度來看，貝氏網路是一種由節點 與連結所組成的非循環的有向圖，其中節點(node)代表所欲研究的變項，連 結(link)代表變項間的影響關係，當變項 A 被認為是產生變項 B 的機率性原 因，則從節點 A 到節點 B 的依賴性（dependence）連結便可被建立，此時節 點 A 被稱為節點 B 的父節點(parent)，節點 B 則稱為節點 A 的子節點(child)。

反之，倘若二節點之間沒有連結，即表示二節點間之獨立（independence）

或條件獨立（conditional independence）關係。透過此種圖形模式，我們便可

以很清楚了解變項間的依賴及條件獨立關係。就量的向度而言，貝氏網路中 數量的成分是以條件機率的方式表徵給定父節點的各種狀態後，子節點的所 有狀態的可能性，而後透過條件機率的連鎖規則（chain rule）計算網路中所 有節點的聯合機率分布。因此，在貝氏網路中，同時使用圖形與連鎖規則組 織一組變項所包含的依賴或條件獨立資訊是其一大特色，其數學定義如下

（Castillo, Gutierrez, & Hadi, 1997）：

【定義 2.2.1】設 D 為一個具有 n 個節點的非循環的有向圖（directed acyclic graph，簡稱 DAG），若 x 代表 D 中的第

個節點， 代表節點

x

之父節點所成的集合(

)，且 P= 





 為 D 中 所 有 節 點 的 條 件 機 率 集 合 ， 其 中 ， 若  

 則

) ( ) ( )

( x

p x

p x

p     ，則稱 (D, P)所組成的序對為貝氏網 路。又若令 X   x

, x

,  , x

 ，則這一組 P 就可定義 D 中所有節 點

的聯合機率分布（joint probability distribution，JPD）如下式：



ⁿ

i

i

xi

p X

p

1

) ( )

(



根據上述

的聯合機率分布公式可知，貝氏網路的另一項特色，即為可

藉由網路所蘊涵的條件獨立特性與連鎖規則，達成簡化一組變項聯合機率分

布之表徵並降低其計算複雜性的目的，以下便以圖 2-2-1 中一個具有 4 個二

元節點（只有二種可能的輸出狀態的節點）的貝氏網路為例說明此項特色。

圖 2-2-1 有 4 個二元節點的貝氏網路

利用圖中條件獨立特性與連鎖規則，吾人便可將聯合機率分布的計算有 效地分解為數個簡化的條件機率分布如下式：

) , , ( ) , ( ) ( ) ( ) , , ,

(A B C D p A p BA p CA B p DA B C

p 

……….(1)

) ( ) ( ) ( )

(A p BA p CB p DB

p

………..(2)

相較之下，以公式(1)計算聯合機率分布必須估計 2

 =15 個參數，但 1 若以公式(2)來計算便可降低為只估計 7 個參數，由此可知，貝氏網路的定義 除了可以協助使用者有效組織一組變項的關係之外，更可達成簡化聯合機率 分布計算的目的。

（二）推論的基礎－貝氏定理

透過以上貝氏網路的定義，我們便可先由理論、實徵資料或專家的主觀 機率，獲得所欲研究的一組變項之先驗機率分布，然而更重要的是，後續當 我們取得某些變項的新資訊，如何以這些資訊作為證據，更新其他變項的後 驗機率分布？針對此問題，貝氏網路採用貝氏定理來加以解決，貝氏網路也 因此而得名。貝氏定理是由十八世紀數學家與神學家 Thomas Bayes 於 1763 年所提出。其數學式表示如下：

A

C B

D

【定理 2.2.1】貝氏定理

設

為二事件，

為先驗分布（prior distribution）， p ( z x ) 為 可能性（likelihood）， p ( x z ) 為後驗分布（posterior distribution）

若 ^{p ( x )  E}

^{p ( x z ) 為標準化係數，則}

) (

) ( ) ) (

|

( p x z p z x x p

z

p 

其中，

 





 











) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( )

( )

(

discrete z

z p z x p

continuous z

dz z p z x p z

x p E x p

為離散 當

為連續 當

透過以上的定理，在取得 x 變項的新資訊後，我們便可將

變項的機率 分布由先驗分布

，更新為更準確的後驗分布 p ( x z ) 。

二、貝氏網路的推論

由前述可知，貝氏網路具有可將不確定性的推論問題對應至條件機率架 構之功能，並藉由此有力的工具，明確結合不同命題所提供的證據，利用貝 氏定理進行證據式的推理，以引導所要的推論。此種以證據為中心的推論過 程稱為貝氏網路傳導（Bayesian network propagation），也是貝氏網路模式的 核心。至於完整的推論過程以及植基於機率理論的推論規則將詳述如下。

（一）推論過程

基於上述概念，以貝氏網路為基礎的推論過程將涉及三種不同類型的推

理：演繹推理（deductive reasoning），歸納推理（inductive reasoning）以及

外旋推理（abductive reasoning）。演繹推理是指從一般化的法則推論到較特

定的事例的過程，這個方法有時被通俗地稱為「由上而下」的推理。歸納推

理則是以另一方式運作，其是根據所觀察到的某些特定事例，進一步擴展到

一般化的原理原則，有時被稱做「由下而上」的推理。外旋推理則是綜合演

繹與歸納的推論歷程，先根據歸納法由觀察到的現象去假設造成此現象的原 因，而後再由演繹法由原因推論所有可能出現的現象，若發現有非預期現象 或結果，則再修正原有假設，形成新的假設。應用這三種推理來進行以貝氏 網路為基礎的推論過程，可大致分為以下四個步驟：

1. 外旋推理引導模式的建構：參考研究成果與先前經驗建立模式的基本結 構，並以統計分析加以改進。

2. 演繹推理附加事前參數估計：從給定模式之變項結構，假定觀察變項之 先驗分佈。

3. 歸納推理求出後驗分布：從某些給定的反應或行為觀察值，更新對模式 的信仰（機率），進而推論該模式的潛在變項之狀態，此部份所進行的 即為證據式推論。

4. 外旋推理擴展模式架構：通常是由資料中非預期的類型所促發，由歸納 的結果，形成對模式新的假設，再由新的假設演繹新的結果，並進行檢 定。

（二）證據式推論規則

在上述證據式推論過程中，如何根據數學上的機率理論，從給定的變項 觀察值，推論整個模式的潛在變項之狀態，以求得後驗分布，此部份可說是 貝氏網路模式的重點所在，許多學者提出不同的方法來執行此機率更新的機 制，例如Pearl(1988)所提出的信息傳遞法(message passing)、Lauritzen &

Spiegelhalter(1988)與Jensen(1996)的區塊樹法(trees of cliques)、Henrion &

Druzdzel(1990)的質性傳導法(qualitative propagation)，以及Gelman, Carlin, Stern, & Rubin(1995)的馬可夫鍊蒙地卡羅法(Markov Chain Monte Carlo,簡稱 MCMC)，其中，區塊樹法在相關研究與軟體設計中可說是最被廣泛應用的 方法，因此，以下就以區塊樹法簡介貝氏網路的證據推理規則。

1. 鍊狀與樹狀的貝氏網路之證據推論規則

鍊狀與樹狀貝氏網路都是屬於單一連結的網路（亦即二節點間之路徑不 超過一條），此種網路可以直接重複使用貝氏定理與條件機率來進行證據傳 導(Jensen,1996)。

例如假定觀察到 x 的值，鍊狀貝氏網路之證據傳導如圖 2-2-2 所示，樹 狀貝氏網路之證據傳導如圖 2-2-3 所示

圖 2-2-2 鍊狀貝氏網路之證據傳導

圖 2-2-3 樹狀貝氏網路之證據傳導

2. 多重連結的複雜貝氏網路之區塊樹法

在多重連結的貝氏網路中，二節點之間的路徑可能不只一條，如圖 2-2-4 所示，直接重複使用貝氏定理與條件機率來進行證據傳導是不可行的，此時

u

v

x

y

z

根據更新的 x ,以 條件機率更新

的機率分布 根據新的 x ,使用

貝氏定理更新 v 的機率

) ( xy

) p

( vx p

根據新的 x ,使用 更新 v 的機率

v x ^y

更新 x 的機率分布 根據更新的 x ,以條件 機率更新

的機率分

) (

)

| ( ) ) (

|

( P x

v x P v x P v

P 

可使用區塊樹法來解決問題(Jensen,1996)。其關鍵概念在於：在複雜網路中 可先將變項群組為幾個子集，使得每一個子集形成一個鍊狀或樹狀貝氏網 路，稱為一個區塊(clique)，如圖 2-2-5 所示，如此區塊內變項便可利用上述 樹狀貝氏網路的證據傳導規則進行機率之更新，並透過區塊交集進行區塊間 證據的傳導，最後更新整個網路變項的機率。

圖 2-2-4 多重連結的貝氏網路

圖 2-2-5 複雜網路之區塊化與區塊交集

u

v

x

y z

w

u

v

x

y z

w

w v

u ,, u ,,v x u ,,x y x,z

三、貝氏網路的執行

綜合以上理論，以下就以一個簡單的錯誤類型診斷的例子，具體說明如 何將貝氏網路應用於實際領域。

假設 x ,

x ,

x ,

x 皆為二元（有、無或對、錯）變項，四個變項間具

有如圖 2-2-6 的關係：

圖 2-2-6 一個錯誤類型診斷的貝氏網路架構

如何根據先前的施測結果所得到的資料分佈以及學生 A 在試題上的作 答反應（證據），透過此貝氏網路架構推論其具有這二種錯誤類型的機率有 多大？以下列出實際執行的七個步驟：

（一）步驟一：將欲研究的一組變項以非循環之有向圖加以組織，建立貝氏 網路架構，並進行結構的檢視、評估與修正。

貝氏網路的執行起始於發現一組變項間的條件獨立關係結構，以及指定 適當的條件機率給每一個變項。在實際執行時，此部分可大致分為四種不同 的情況(Russell & Norvig, 1995; Sahin, 2000)：1.網路結構假定已知且所有變項 均是可觀察的；2.網路結構未知但所有變項均是可觀察的；3.網路結構假定 已知但有些變項是不可觀察的；4. 網路結構未知且有些變項是不可觀察的。

在真實的情況中，貝氏網路的結構大多數都是未知的，因此我們必須使 用一些技術設法加以發現，實務上常用的方法包括領域專家設定以及從資料

錯誤類型一 x

錯誤類型二 x

試題一 x

試題二 x

中學習，而後再經由比較不同結構的貝氏網路之分析結果，進行模式的評估 與修正。

圖 2-2-6 的圖形表徵是由領域專家設定的結構，圖形中每一個變項就是 一個節點，箭號由父節點（因）朝向子節點（果），指出了變項間的條件依 賴關係（就本例而言即為學生具有某一錯誤類型的機率會影響其試題答對的 機率），而其他非直接關聯變項間的條件獨立關係可由圖形理論中的 D 分離

（D-separation，又稱為有向分離）標準來加以判定（Castillo et al., 1997）。

【定義 2.2.2】D 分離（有向分離）

z y

x, ,

為非循環的有向圖 D 中三個不相交的節點子集，若且唯若 從

中的每一節點到

中每一個節點的無向路徑（undirected path）

存在中介節點 w ，且 w 滿足以下條件之一：

1. w 是有向箭頭對有向箭頭（head-to-head）的節點，且 w 及其後 裔（ w 的所有子節點及其下位節點）皆不屬於 x 。

2. w 不是有向箭頭對有向箭頭的節點，且 w 屬於 x 。 則稱 x 將

與

予以 D 分離

在有向圖中，若 x 將

與

予以 D 分離，便稱

與

在給定 x 的情況下為 條件獨立，以圖 2-2-7 為例，例一與例二中若給定包含 x 的證據，則

與

獨 立，而例三中若給定不包含 x 或其所有子節點及下位節點的證據，則

與

獨 立。

例一 例二 例三

圖 2-2-7 D 分離例示

p(y|x) p(z|x)

y z

x p(x)

x z

p(x|y) p(z|x)

y p(y)

z p(z) y

p(y) x p(x|..)

（二）步驟二：對應至步驟一的圖形，根據所假定變項之間的關係，列出所 有變項聯合機率分布之遞迴表徵，並利用條件獨立性質簡化 聯合機率分布的計算。

此步驟是將機率的代數表徵與圖形表徵連結，其中代數式的表徵方式必 須與圖形中的方向性與非循環性一致。例如對應圖 2-2-6 中變項聯合機率分 布之遞迴表徵如下式所列：

) ( ) ( ) , ( ) , (

) ( ) ( ) , ( ) , , ( ) , , , (

1 2 1 2 3 2 1 4

1 1 2 1 2 3 3 2 1 4 4

3 2 1

x p x p x x x p x x x p

x p x x p x x x p x x x x p x x x x p





理論上，此遞迴表徵可以任意的變項次序來表示，不過在實際計算時，

變項次序的安排須考慮到哪些變項的值要作為推論的證據以及能否適當地 顯示出整個貝氏網路的條件獨立關係。

遞迴表徵方式確定後，吾人可經由理論、專家經驗或實徵資料來決定 x

與 x 之先驗分布以及給定錯誤類型狀態下之試題作答反應的條件機率（亦即

) , ( , ) ,

( x

x

x

p x

x

x

p ）。例如圖 2-2-6 中，由預試的資料，假設 p( x =

有)=0.11，p( x =無)=0.89，p(

x =有)=0.11，p(

x =無)=0.89，而給定錯誤類型

狀態下之試題作答反應的條件機率表如表 2-2-1 所示。

表 2-2-1 給定錯誤類型狀態下之試題作答反應的條件機率 x

x

p（ x ）=錯

p（ x ）=對

有

有 無 無

有 無 有 無

0.99 0.90 0.90 0.01

0.01 0.10 0.10 0.99 x

x

p（ x ）=錯

p（ x ）=對

有

有 無 無

有 無 有 無

0.91 0.05 0.90 0.01

0.09

0.95

0.10

0.99

（三）步驟三：將非循環的有向圖轉為無向三角化圖(triangulated graph) 爲利於後續以證據為中心的推論，前述文獻中曾提及必須將複雜網路 中之變項分解群組為幾個區塊。而根據圖形理論，在進行區塊化之前，必須 先將原來的 DAG 轉換為無向三角化圖。因此本步驟的重點即在執行去方向 性及三角化的程序，轉換過程包含以下三個子步驟：

1. 排除方向性

2. 一給定子點的所有母點必須相連

3. 三角化：所謂三角化圖定義如下（Castillo et al., 1997）

【定義 2.2.3】在一個無向圖中，若每一個長度大於或等於 4 的迴圈（loop）

中至少存在一個弦（chord），則稱此圖被三角化。其中弦是指一 迴圈中不包含於迴圈路徑中之二節點的連結

例如圖 2-2-8，圖中只有一個長度為 4 的迴圈

-

-

-

-

，

與

的 連結就是一個弦，因此，此圖為一個三角化圖。

圖 2-2-8 一個三角化圖與弦

圖 2-2-6 之三角化後的圖形表徵如圖 2-2-9 所示：

u

v

x

y z

w

圖 2-2-9 三角化後的圖形表徵

（四）步驟四：決定區塊與區塊交集

以上述無向三角化圖為基礎，根據圖形理論的定義，便可決定區塊以及 區塊的交集為何，以利於後續證據的傳導。

1. 區塊的定義如下，而圖 2-2-6 之區塊化結構如圖 2-2-10 所示。

【定義 2.2.4】圖形的最大完全子圖稱為一個區塊，亦即區塊不會是其他最大 完全子圖的真子集。

區塊 1 區塊 2

圖 2-2-10 貝氏網路之區塊化結構

錯誤類型一 x

錯誤類型二 x

試題一 x

試題二 x

錯誤類型一 x

錯誤類型二 x

試題一 x

試題二 x

2. 重疊的變項形成一集合稱為區塊交集(clique intersection)，例如圖 2-2-10 之區塊交集為{錯誤類型一、錯誤類型二}。

（五）步驟五：將區塊化結構轉換成聯合樹（join or junction tree）表徵 將上 述區 塊與 區塊 交 集表 示成 樹狀 結構 即 為所 謂的 聯合 樹 ， 如圖 2-2-11。由聯合樹表徵中，可以很清楚地看出每一區塊都是單一連結的貝氏 網路，可直接利用條件機率與貝氏定理進行機率更新，並且由於聯合樹具有 流動的交集（running intersection）之特性，亦即若一變項同時出現在兩個區 塊，則其必定也會出現在連接兩區塊的區塊交集中。利用此特性，便可有效 地由其中一區塊機率的更新，將新資訊流動至區塊交集，再流動至另一區 塊，以進行證據的傳遞。

區塊 1 區塊交集 區塊 2

圖 2-2-11 將區塊化結構轉為聯合樹表徵

（六）步驟六：利用步驟一之資料計算各區塊所有變項的初始聯合機率分布 此步驟之重點為利用先驗分布 p( x =有)=0.11，p(

x =無)=0.89，p(

x =

有)=0.11，p( x =無)=0.89，以及表 2-2-1，先算出各區塊變項之初始聯合機率

分布，例如區塊 1 之三個變項初始聯合機率分布可計算如下：

) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 有 x

 有 x

 錯  p x

 有 p x

 有 p x

 錯 x

 有 x

 有 p

012 . 0 99 . 0 11 . 0 11 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 有 x

 無 x

 錯  p x

 有 p x

 無 p x

 錯 x

 有 x

 無 p

088 . 0 90 . 0 89 . 0 11 .

0   



試題一

錯誤類型一 錯誤類型二

錯誤類型一 錯誤類型二

試題二

錯誤類型一

錯誤類型二

) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 無 x

 有 x

 錯  p x

 無 p x

 有 p x

 錯 x

 無 x

 有 p

088 . 0 90 . 0 11 . 0 89 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 無 x

 無 x

 錯  p x

 無 p x

 無 p x

 錯 x

 無 x

 無 p

008 . 0 01 . 0 89 . 0 89 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 有 x

 有 x

 對  p x

 有 p x

 有 p x

 對 x

 有 x

 有 p

00012 . 0 01 . 0 11 . 0 11 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 有 x

 無 x

 對  p x

 有 p x

 無 p x

 對 x

 有 x

 無 p

010 . 0 10 . 0 89 . 0 11 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 無 x

 有 x

 對  p x

 無 p x

 有 p x

 對 x

 無 x

 有 p

010 . 0 10 . 0 11 . 0 89 .

0   



) ,

( ) (

) (

) ,

,

( x

 無 x

 無 x

 對  p x

 無 p x

 無 p x

 對 x

 無 x

 無 p

784 . 0 99 . 0 89 . 0 89 .

0   



仿照以上的計算，可求得所有區塊之變項初始聯合機率分布如表 2-2-2。

表 2-2-2 變項的初始聯合機率分布 區塊 1

錯誤類型 1 錯誤類型 2 試題一：錯 試題一：對 有

有 無 無

有 無 有 無

0.012 0.088 0.088 0.008

0.000 0.010 0.010 0.784 區塊交集

錯誤類型 1 錯誤類型 2 機率

有 有 無 無

有 無 有 無

0.012 0.098 0.098 0.792 區塊 2

錯誤類型 1 錯誤類型 2 試題二：錯 試題二：對 有

有 無 無

有 無 有 無

0.011 0.005 0.088 0.008

0.001 0.093 0.010 0.784

（七）步驟七：以後驗機率更新架構

最後的步驟是將已觀測到的變項之機率重新調整，而後以此為證據，從 變項所在的區塊之機率更新，傳遞至區塊交集，再傳遞至另一區塊，一直到 所有的區塊都被更新為止，此部分具體的計算方式摘要說明如下。

假設在圖 2-2-6 的貝氏網路架構下，已知學生 A 答錯試題一，此時區塊 1 中試題一答對的機率重新調整為 0，試題一答錯的機率可先按原先的比例 重新正規化，使其和等於 1，而後傳遞至區塊交集，最後再根據下面的式子，

進行區塊 2 中其他變項機率之更新。

) , ( ) ].

, (

) , , [ (

) , ( ) , ( ) , , (

2 1 2

1 2 1 4

2 1 2

1 4 4

2 1

x x x p

x p

x x x p

x x p x x x p x x x p

new new new





根據上式與表 2-2-1，區塊 2 之更新機率計算如下，整體更新後的聯合 機率分布如表 2-2-3 所示。

) ,

,

( x

 有 x

 有 x

 錯

p

)

, ,

( x

 有 x

 無 x

 錯

p

)

, ,

( x

 無 x

 有 x

 錯

p

)

, ,

( x

 無 x

 無 x

 錯

p

)

, ,

( x

 有 x

 有 x

 對

p

)

, ,

( x

 有 x

 無 x

 對

p

)

, ,

( x

 無 x

 有 x

 對

p

)

, ,

( x

 無 x

 無 x

 對

p

表 2-2-3 已知試題一答錯後更新的聯合機率分布 區塊 1

錯誤類型 1 錯誤類型 2 試題一：錯 試題一：對 有

有 無 無

有 無 有 無

0.012 0.088 0.088 0.008

0 0 0 0 區塊交集

錯誤類型 1 錯誤類型 2 機率 正規化後

的機率 有

有 無 無

有 無 有 無

0.012 0.088 0.088 0.008

0.06 0.45 0.45 0.04 更新後的區塊 2

錯誤類型 1 錯誤類型 2 試題二：錯 試題二：對 有

有 無 無

有 無 有 無

0.011 0.004 0.080 0.000

0.001 0.084 0.009 0.008 正規化後的區塊 2

錯誤類型 1 錯誤類型 2 試題二：錯 試題二：對 有

有 無 無

有 無 有 無

0.056 0.020 0.406 0.000

0.005

0.426

0.046

0.041

依據上述的步驟，吾人便能根據假定的先驗分布，再結合可觀測的證 據，去推論不可觀測的潛在變項發生的機率，例如在上例中，我們根據學生 實際的作答反應對錯來推論其具有某種錯誤類型的可能性有多大，如此，便 可獲得所欲的診斷資訊。

四、在教育測驗上之應用

為了探討如何將貝氏網路應用於實際教育評量中，近年來已累積了一些

相關的研究成果，其中包括理念的闡述(Mislevy, 1994)；學科領域應用

(Mislevy, 1995)；建立以機率推理為基礎的智慧家教系統(Mislevy & Gitomer,

1996)；以貝氏網路建立評量設計的概念架構，再利用 MCMC 技術估計實徵

資料所需的條件機率(Mislevy, Almond, Yan, & Steinberg, 1999)；以及如何建

立 以 貝 氏 網 路 的 圖 形 模 式 為 基 礎 的 電 腦 適 性 測 驗 (Almond & Mislevy,

1999) 。ETS 目前也有許多研究者正在進行探討如何使用圖形模式（包括貝

氏網路與多向度 IRT）去模擬學生的知識與評量的歷程，特別是在面臨新的

評量取向挑戰之際，如何應用一個新的統計方法論去更新我們對學生的瞭

解，做更合理的推論。至於在國內的文獻部分，由於將貝氏網路應用於教育

評量尚屬新興的研究領域，目前的研究尚不多見。以下將初步已收集到的貝

氏網路應用於實際教育評量之相關文獻整理如表 2-2-4：

表 2-2-4 貝氏網路應用於教育評量之相關文獻

作者 文獻主題 文獻內容

許雅菱(2005) 探討以證據中心的 評量設計為基礎，在 概念性的評量架構 中的學生模式採用 以機率推理為基礎 的貝氏網路作為分 析工具，應用在國小 面積學習單元的評 量中，用來診斷學生 錯誤類型及子技能 的有無。

本研究討論貝氏網路在教育測驗 的應用，結果發現：

1. 以證據中心為主的評量設計原 則與步驟，結合貝氏網路建構 以概念性的評量架構為主的評 量傳送模式，可有效應用於診 斷學生之錯誤類型與子技能。

2. 根據貝氏網路欲測之錯誤類型 來設計選項，發現不同的作答 資料輸入值對 辨識率 造成影 響，其中以二元資料輸入值在 錯誤類型與子技能的辨識率較 佳。

3. 將所有的錯誤類型與子技能的 決斷值固定，並不能得到最好 的辨識結果，若採以「動態決 斷值選取法」來選取決斷值，

其辨識結果較佳。

4. 欲建構出一個完整且有效的貝 氏網路，首先進行文獻探討建 立貝氏網路，利用實徵資料進 行分析修正，再結合刪去法，

可改良專家所建立貝氏網路。

表 2-2-4 貝氏網路應用於教育評量之相關文獻（續）

作者 文獻主題 文獻內容

李俊儀(2005) 將貝氏網路應用到 電腦化適性測驗，了 解不同的選題策略 之推論正確率。

研究結果發現：

1. 動態程式化法與 AO*演算法分 類正確率相同。

2. AO*選題策略在建構試題結構 的時間明顯較少。

林垣圻(2006) 本研究以國小四年 級數學科「面積」單 元為例，利用試題證 據訓練貝氏網路，選 用ＡＯ*演算法來作 為選題策略，建構試 題結構，以建立基於 貝氏網路的實體電 腦線上診斷系統，並 探討其可行性。

研究發現：

1. 基於貝氏網路的實體線上學習 診斷系統之選題數必須至少 5 題以上，才具有可行性。

2. 在達到相同的分類正確率之前 提下，採用演算停止閾值方式 的適性選題策略較固定選題數 8 題與 15 題可節省更多的試 題。

3. 適性選題的策略在基於貝氏網 路的 實體線上 學習診 斷系統 上，具有節省試題的功效。

Mislevy(1994) 應用以數學機率為 基礎的推理方式於 教育評量中之理念 闡述。

說明以數學機率為基礎的推理，如

何應用於各種評量案例。

表 2-2-4 貝氏網路應用於教育評量之相關文獻（續）

作者 文獻主題 文獻內容

Mislevy(1995) 應用機率式推理進 行學習診斷。

1. 提出應用機率式推理進行學習 診斷之程序。

2. 將此程序實際應用於數學學科 領域進行分數 減法的 資料分 析。

Mislevy &

Gitomer(1996)

建立以機率推理為 基礎的智慧家教系 統。

檢視貝氏網路的概念與工具，探討 貝氏網路應用於飛行器水壓系統 疑難排除之智慧家教系統所扮演 的可能角色。

Mislevy, Almond, Yan, &

Steinberg(1999)

採用貝氏網路建立 以證據推理為中心 的評量設計架構。

提出基於貝氏網路的評量設計架 構，並試驗如何利用 MCMC 技術 從實徵資料中估計所需的條件機 率。

Almond &

Mislevy(1999)

整合圖形模式的概 念與教育測驗，特別 是應用於電腦適性 測驗（CAT）的試題 反應理論（IRT）。

1. 分析 IRT-CAT（以試題反應理 論為基礎的電腦適性測驗）與 GM-CAT（以圖形模式為基礎 的電腦適性測驗）的關係。

2. 提出 GM-CAT 之評量設計方 式。

3. 多變項的貝氏網路學生模式與

證據模式可視為多向度 IRT 的

延伸。

表 2-2-4 貝氏網路應用於教育評量之相關文獻（續）

作者 文獻主題 文獻內容

Lee(2003) 使用貝氏網路診斷 多 位 整 數 減 法 的 bugs。

1. 在四個網路中使用不同的決斷 值，對四個 bug 的預測率皆高 於 85%。

2. 加入子技能後，對 bug 的預測 率提昇極小。

3. 使用特定答案作為證據，有助 於 bug 預測率之提昇。

4. 最佳 bug 預測率發生於固定決 斷值 0.5 時。

Liu(2004a) 採用貝氏網路建立 一個模擬的評量環 境。

採用貝氏網路所建立模擬器有利 於探究評量作業的本質。

Liu(2004b) 提出基於貝氏網路 的適性測驗選題策 略－mutual

information。

比 較 BnMi ， DistMi ， BnHMi ， DistHmi， DistDist，DistRand幾種 選題規則，發現BnHMi表現較其他 方法為佳。

Vomlel (2004a) 以分數基本運算為 例，應用貝氏網路於 教育測驗。

試驗結果發現不論是適性測驗，或 是固定式測驗使用貝氏網路模擬 技能間的關係有助於測驗設計。

Vomlel (2004b) 提出一個架構來建 立使用貝氏網路的 選題決策策略，並探 討其在適性測驗的 應用。

提出使用實際資料來建立貝氏網 路，在進行選題決策分析時，AO*

規則是可採納的捷思函數。

表 2-2-4 貝氏網路應用於教育評量之相關文獻（續）

作者 文獻主題 文獻內容

Shih & Kuo (2005)

探討應用貝氏網路 於診斷學生錯誤類 型的精確度，以及實 際的測驗資料作答 型態之不同、分類決 斷值之不同，對於貝 氏網路診斷正確性 的影響。

研究結果發現：

1. 貝氏網路模式應用於診斷國小 四年級學童「小數加減」錯誤 類型可達到不錯的診斷結果。

2. 不同類型的作答資料輸入值在 本研究中並未對貝氏網路診斷 精準度造成影響，未來應使用 根據錯誤類型設計的診斷測 驗，進行更進一步的研究。

3. 不同的分類決斷值會對貝氏網 路診斷精準度造成影響，但本 研究並未發現一致的最佳決斷 值。

綜合上述文獻以及本章第一節中有關 CDA 的簡介，可知將此貝氏網路

應用在認知評量中，其基本概念為「以貝氏網路為基礎定義一個學生模式的

空間，以及一可觀察結果的證據模式空間，透過學生模式中變項及變項間的

關係簡化地描述學生的知識、技能與策略的特性，而後根據證據模式進行對

學生模式中潛在變項的推論」，換言之，我們可先以貝氏網路來建立學生模

式與證據模式，然後根據理論與實際資料，事先假定模式中的學生潛在變項

與答題的先驗分布與條件機率，而後再進一步透過前述證據推論的機制，從

學生作答行為的觀測值推論出學生模式中參數的可能值。為了進一步落實此

概念，Mislevy et al.(1999)在其文章中提出具體設計評量架構如圖 2-2-12 所

示：

圖 2-2-12 高層次的評量設計物件（譯自 Mislevy et al., 1999）

上圖中以貝氏網路為基礎的評量設計，包含學生模式、證據模式、作業 模式以及測驗組合模式四個重要的評量物件。玆分述如下：

1. 學生模式：由以貝氏網路表示的學生模式(student model based on Bayesian inference network, 簡稱 SM-BIN)組成，包含不可觀察的潛在變項，例如 學生的知識、技能、錯誤類型、迷失概念，記為 

 ( 

,  , 

) ， 其中

表示第

個受試者，

表示學生模式共包含

個潛在變項。所有受試者的 學生模式變項記為

，SM-BIN 可管理 的不確定性，也是整個評量要推

論的目標。

2. 證 據 模 式 ： 由 以 貝 氏 網 路 表 示 的 證 據 模 式 (evidence model based on Bayesian inference network, 簡稱 EM-BIN)與證據規則(evidence rule)組 成，描述如何從學生的作答反應抽取關鍵的證據，以進行對潛在變項的 推論。證據規則產生可觀察變項的值，記為

，其中 j 表

學生模式

（Student Model）

以貝氏網路表示的 學生模式

（SM-BIN）

證據模式

（Evidence Model(s)）

作業模式

（Task Model(s)）

試題特徵 組合模式(Assembly Model)

以貝氏網路 表示的證據

模式

（EM-BIN）

證據規則

（Evidence rule）

示第 j 項作業，

表示第

個子測驗。EM-BIN 描述

與的關係。所 有受試者在所有作業上的反應集記為

。

3. 作業模式：描述各種試題的特徵、試題內容與每一項作業的關聯，也包 含了受試者特徵與作業間之連結，因此可與證據模式整合為一更完整的 證據模式。作業模式的主要變項記為

，其中 j 表示第 j 項 作業， t 表示第 t 項作業特徵。所有題庫中的作業之所有特徵記為

。 4. 測驗組合模式：描述如何組合作業成一份可執行的評量，可依測驗者需

求組成固定測驗或適性測驗。

本研究之以「錯誤類型」及「子技能」為診斷單位的認知診斷模式，主 要聚焦於以貝氏網路建立上述學生模式與證據模式，並涉及初步的作業模式 之設計（認知診斷測驗之編製），至於測驗組合模式之建立則尚待診斷題庫 系統建立後才能發揮其功能，因此本研究尚未涉及測驗組合模式的設計。

五、貝氏網路的優點與限制

綜合相關文獻(Almond & Mislevy, 1999; Liu, 2004a, 2004b; Mislevy, 1994,1995; Mislevy, Almond, Yan, & Steinberg,1999; Mislevy, Almond, Dibello, Jenkins, Steinberg, Yan, & Senturk, 2001; Steinberg & Gitomer, 1996;

Vomlel ,2004a, 2004b)，以下整理出使用貝氏網路進行認知診斷評量所具有的 優勢：

（1） 貝氏網路以機率為基礎的推理可有效處理、描述及評估學生模式與證 據模式變項的不確定性。

（2） 可有效整合專家意見、先前的研究結果、理論以及實徵資料的經驗值 至診斷模式中，提昇診斷的精確性。

（3） 可有效表現學生知識結構的模組化特徵。

（4） 推論與學習採用較符合學生實際學習情形的分散式規則。

（5） 貝氏網路的圖形化表徵可清楚展現及管理變項間依賴或條件獨立的 關係，並簡化計算變項聯合機率分布的複雜性。

（6） 學生模式與證據模式變項間的因果關係可透過貝氏網路加以檢視，並 彈性地加以修正。

（7） 有健全的理論基礎，提供強而有力的機率推理模式，可藉由證據模式 中一組可觀測變項的機率作為證據，估計學生模式中欲研究的變項之 機率，並可隨時根據任一觀測證據的變動，動態更新整個模式架構。

然而，根據先前的研究亦顯示，貝氏網路在使用上較容易產生以下問題：

（1） 雖然一般而言，利用貝氏網路的條件獨立特性可簡化計算變項聯合機 率分布的複雜性。但實際情境中，許多高度複雜的貝氏網路模式，估 計參數的數量通常是隨變項數目呈現指數成長，仍可能會產生計算量 過 大 ， 甚 至 計 算 的 複 雜 性 比 非 確 定 性 的 多 項 式 時 間 問 題

（non-deterministic polynomial-time,簡稱 NP）更難的問題，即所謂 NP-hard（non-deterministic polynomial-time hard）問題，其計算上的 繁複程度甚至會超過電腦的負荷量。

（2） 先驗分布的設定對於模式的良窳具有決定性的影響，然而其涉及主觀 機率，雖然可以協助整合領域專家的意見至網路模式中，不過如何設 定一個適當的先驗分布仍是一個極大的挑戰。

值此貝氏網路在教育評量上的研究開始蓬勃發展之際，再加上上述優點

顯示採用貝氏網路來建立本研究之認知診斷模式十分恰當。因此，本研究將

利用貝氏網路的優點來建立貝氏網路認知診斷模式。此外，為了避免計算過

於繁複的問題，本研究在潛在變項的選取上將根據預試與正式施測的結果進

行變項的合併與簡化。

六、貝氏網路的套裝程式

由於貝氏網路之計算十分繁複，特別是多層的複雜網路之估計，為了提 昇貝氏網路的實用性，許多研究者試圖藉助電腦科技之發展來協助貝氏網路 的計算，檢閱相關文獻發現：目前針對貝氏網路所發展出的程式或軟體數量 十分豐富，且各具特色，以下便根據目前已發展之貝氏網路套裝程式的幾項 主要特徵列表加以比較。

表 2-2-5 貝氏網路套裝程式特徵比較（譯自 Murphy,2005a）

套 裝 程 式 名 稱

作 者

是 否 提 供 原 始 程 式 碼

是 否 包 括 應 用 程 式 介 面

可 執 行 環 境

是 否 支 援 連 續 潛 在 變 項

是 否 包 括 圖 形 使 用 者 介 面

能 否 進 行 參 數 學 習

能 否 進 行 結 構 學 習

支 援 效 能 或 決 策 評 估

是 否 免 費

支 援 哪 些 圖 形 模 式

使 用 何 種 推 論 規 則

Analytica Lumina N Y W, M

G Y N N Y $ D Samplin

g

Bassist

U.

Helsinki C++ Y U G N Y N N 0 D MH

Bayda

U.

Helsinki Java Y WU

M G Y Y N N 0 D ?

BayesBuilde r

Nijman (U.

Nijmeg en)

N N W Ds Y N N N 0 D ?

BayesiaLab Bayesia Ltd

N N - Cd Y Y Y N $ C

G

Jtree,G

Bayesware Discoverer

Bayesw

are N N

WU

M Cd Y Y Y N $ D ?

表 2-2-5 貝氏網路套裝程式特徵比較（譯自 Murphy,2005a）（續）

套 裝 程 式 名 稱

作 者

是 否 提 供 原 始 程 式 碼

是 否 包 括 應 用 程 式 介 面

可 執 行 環 境

是 否 支 援 連 續 潛 在 變 項

是 否 包 括 圖 形 使 用 者 介 面

能 否 進 行 參 數 學 習

能 否 進 行 結 構 學 習

支 援 效 能 或 決 策 評 估

是 否 免 費

支 援 哪 些 圖 形 模 式

使 用 何 種 推 論 規 則

B-course

U.

Helsinki N N WU

M Cd Y Y Y N 0 D ?

Belief net power constructor

Cheng (U.Albe rta)

N Y W Ds Y Y CI N 0 D ?

BNT

Murph y (U.C.Be rkeley)

Matlab

/C Y

WU

M G N Y Y Y 0

D,

U Many

BNJ

Hsu (Kansas )

Java - - Ds Y N Y N 0 D Jtree, IS

BucketElim

Rish (U.C.Irv ine)

C++ Y WU Ds N N N N 0 D Varelim

BUGS

MRC/I mperial College

N N WU Cs W Y N N 0 D Gibbs

Business Navigator 5

Data Digest Corp

N N W Cd Y Y Y N $ D Jtree