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一些特殊的拓樸性質

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Academic year: 2022

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(1)
(2)
(3)

拓樸 的 . 的 的 性質

的 及論 的 (以 導論 ).

以 , 及 , 的 以

. 以 的 , .

, 的 . , 論性

的 , . , 的 .

v

(4)
(5)

Topological Spaces

拓樸 的 的 一 的 ( 的

Topological Space 拓樸 ), 一 的拓樸 些性質

( ).

一 些 open sets, 些 的 “

”. 一 的 open sets 些 , 一 topological space.

topological space 及 的 的 性質, subspace

的 .

1.1. Standard Topology on R

以 以 的 topology. 的

一 , 的 standard topology, 以 一 topology 的 .

的 的 . ,

的 .

Definition 1.1.1. f :R → R. a∈ R, f is a continuous function at a ( a ) 的ϵ > 0 δ > 0 |x − a| < δ f (x)− f (a) < ϵ.

特 的, f R 的 一 , f is a continuous function onR.

的 , 以 的 . |x − a| < δ x

(a− δ, a + δ) , f (x)− f (a) < ϵ f (x) ∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ)

. 以 Definition 1.1.1 的 : x ∈ (a − δ, a + δ)

f (x)∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). 以 的 image 以及 inverse image 的

的 . 一 , 的 image 以及 inverse image 的 .

function f : X → Y 以及 X 的 subset A, A f 的

image Af 的 . f (A) ,

f (A) ={ f (a) | a ∈ A}. 特 的, the image of X under f , f (X) f 的 range ( ).

1

(6)

f (A) 的 , f (A) Y 的 subset. ,

的 . , . 外 的 , 的

f (a)∈ f (A) a ∈ A. 的, b< A

f (b)∈ f (A). f (A) 一 的 , f (A)Y

. y∈ f (A), a∈ A y = f (a). , y ∈ A a∈ A

y = f (a) y∈ f (A). 以 f (A) 一 的

f (A) ={y ∈ Y | ∃ a ∈ A, y = f (a)}.

, f (A) 的 .

, 的 inverse image. , 一 function f : X → Y 以

及 Y 的 subset C, C f 的 inverse image 些 f

C 的 的 . f−1(C) , f−1(C) ={x ∈ X : f (x) ∈ C}.

f−1(C) 的 , f−1(C) X 的 subset. inverse image 的

, 以 以 inverse image 的性質.

的 image 以及 inverse image 以 性的 一 .

Proposition 1.1.2. f :R → R a∈ R. 以 的.

(1) f is a continuous function at a (2) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 f(

(a− δ, a + δ))

⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ).

(3) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ f−1(

( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) . Question 1.1. Proposition 1.1.2. ( (2)⇔ (3) ?)

r, s, r < s, (r, s) = {x ∈ R | r < x < s}open interval ( ). 以 (a− δ, a + δ) 以 一 a 的 open interval, ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)f (a) 的 open interval. Proposition 1.1.2 (2)

a 的 open interval ff (a) 的 open interval.

, Proposition 1.1.2 (2) , ϵ ϵ δ,

. ϵ 一 f (a) 的 open interval, δ

a 的 open interval.f (a) 的 open

interval ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ),a 的 open interval (a− δ, a + δ) f(

(a− δ, a + δ))

⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). , 以 的 論.

Corollary 1.1.3. f :R → R a∈ R. 以 的.

(1) f is a continuous function at a.

(2) 一 f (a) 的 open interval Ia 的 open interval J f (J)⊆ I.

(3) 一 f (a) 的 open interval Ia 的 open interval J J ⊆ f−1(I).

(7)

Proof. (1)⇔ (3), 的 !

(1) ⇒ (3): f is a continuous function at a.f (a) 的 open interval I = (r, s), f (a)∈ I, r< f (a) < s. ϵ = min{ f (a) − r, s − f (a)}. Proposition 1.1.2 ((1) ⇒ (3)) δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ f−1(

( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) . J = (a− δ, a + δ), Ja 的 open interval

J⊆ f−1(

( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ))

⊆ f−1(I).

(3)⇒ (1): Proposition 1.1.2 (3) . ϵ > 0, I = ( f (a)−ϵ, f (a)+ϵ)f (a) 的 open interval,a 的 open interval J = (r, s)

J⊆ f−1(I). r< a < s, δ = min{a − r, s − a}, δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ J ⊆ f−1(I) = f−1(

( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) .

 Question 1.2. 的 Corollary 1.1.3 (1)⇔ (2).

Proposition 1.1.2 Corollary 1.1.3, open interval 一

的特 . 一 a 的 open interval I = (r, s) 一 γ > 0

(a− γ, a + γ) ⊆ I ( γ = min{a − r, s − a} ). 的特 (r, s) 的 open interval . (2, ∞) = {x ∈ R | x > 2}, (−∞, 2) = {x ∈ R | x < 2} 以及

(−2, 1) ∪ (3, 5) 些 的性質. 以 的 .

Definition 1.1.4. S ⊆ R a∈ S γ > 0 (a− γ, a + γ) ⊆ S ,

Sopen set. a∈ R S ⊆ R 一 a 的 open set, S a 的一

open neighborhood.

R open set. 外 ∅ open set. ∅

, 以 open set 的 . ∅ open set, 的,

open set 性. 以 .

, 前 (2, ∞), (−∞, 2) 以及 (−2, 1) ∪ (3, 5) 些 open set.

以 性質.

Proposition 1.1.5. {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si ⊆ R open set.

i∈I

Si open set.

Proof. a∈∪

i∈I

Si, k ∈ I a∈ Sk Sk open set, 以 γ > 0 (a− γ, a + γ) ⊆ Sk. (a− γ, a + γ) ⊆ Sk ⊆∪

i∈I

Si. 

Proposition 1.1.5 的 index set I ,

open set, 的 open set. open set 的

(8)

open set. . index set N, n ∈ N Sn = (−1/n, 1/n), Sn open set, ∩

n∈N

Sn ={0}, open set.

Question 1.3.

n∈N

(−1/n, 1/n) = {0} open set ?

open sets 以 一 open set. 以 的

.

Proposition 1.1.6. S1, . . . , Sn R 的 open set,

1≤i≤n

Si open set.

Proof. a∈ ∩

1≤i≤n

Si, i∈ {1, . . . , n}, a ∈ Si Si open set, γi > 0 (a− γi, a + γi) ⊆ Si. γ = min{γ1, . . . , γn}, γ > 0 i ∈ {1, . . . , n}, (a− γ, a + γ) ⊆ (a − γi, a + γi)⊆ Si. (a− γ, a + γ) ⊆

1≤i≤n

Si. 

的 , a ∈ ∩

1≤i≤n

Si, ∩

1≤i≤n

Si =∅ ?

a 前 , 以 論 的. ∅

open set 的 .

Question 1.4. a 的 open neighborhoods 的 a 的 open neighborhood

? a 的 open neighborhoods 的 a 的 open neighborhood ?

open set 的 , 以 Proposition 1.1.3 的 Proposition

1.1.2 以 .

Corollary 1.1.7. f :R → R a∈ R. 以 的.

(1) f is a continuous function at a.

(2) 一 f (a) 的 open neighborhood Ua 的 open neighborhood V f (V)⊆ U.

(3) 一 f (a) 的 open neighborhood Ua 的 open neighborhood V V ⊆ f−1(U).

Question 1.5. Corollary 1.1.7.

, 的 . f :R → R ,

f 一 的 . 以 a ∈ R, Corollary 1.1.7 ,

f (a)open neighborhood Ua 的 open neighborhood V

f (V)⊆ U. , f 一 one-to-one, b∈ R b, a

f (b) = f (a), a 的一 open neighborhood ,

b 的一 open neighborhood V f (V)⊆ U. f−1({ f (a)})

的 的, inverse image . 以 的 .

(9)

Theorem 1.1.8. f : R → R. f is a continuous function opens set U ⊆ R f−1(U)open set.

Proof. f , 一 open set U, f−1(U) open set.

x ∈ f−1(U), γ > 0 (x− γ, x + γ) ⊆ f−1(U).

x∈ f−1(U), f (x)∈ U, U open 的 ϵ > 0 ( f (x)−ϵ, f (x)+ϵ) ⊆ U.

f is continuous at x, Corollary 1.1.2 δ > 0 (x− δ, x + δ) ⊆ f−1(

( f (x)− ϵ, f (x) + ϵ))

⊆ f−1(U).

γ = δ .

, opens set U ⊆ R, f−1(U) 一 open set, f

, x ∈ R f is continuous at x. 以 Corollary

1.1.7 . 一 f (x) 的 open neighborhood Ux 的 open

neighborhood V V ⊆ f−1(U). U open set, f−1(U) 一 open set, x ∈ f−1(U) ( f (x) ∈ U), f−1(U) x 的一 open neighborhood.

V = f−1(U) . 

Question 1.6. f : R → R. f is a continuous functionopens set U ⊆ R f (U) 一 open set ?

以 Theorem 1.1.8 identity map id :R → R 的. R 的

open set U, f−1(U) = U open set. Theorem 1.1.8 一

些 特 的 的 , 的 ,

. 的 的 , 以 的

Theorem 1.1.8 . , Theorem 1.1.8

. Theorem 1.1.8 的 性, 的 ,

, 以 的 . 一 的

, open set 的 , 以 的 .

以 的 .

Question 1.7. Theorem 1.1.8 以及 的

.

以 的拓樸 , closed set.

Definition 1.1.9. S ⊆ R, S 的 Sc =R \ S open set, S closed set.

的 [−1, 3], 的 (−∞, −1) ∪ (3, ∞) open, [−1, 3]

closed set. , 以 closed set open set 的 , 以 一

open set closed set. 的 . [−1, 3) open

(10)

closed. R ∅ open closed. 言 , 一 closed, open set .

Question 1.8. 的 Z closed set?

Question 1.9. {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si ⊆ R closed set.

(1) ∩

i∈I

Si closed set.

(2) I 一 finite set ,∪

i∈I

Si closed set.

1.2. Open Sets and Closed Sets

的 些 open sets 以 , 一

些 subsets open sets 的. Proposition 1.1.5 Proposition

1.1.6, 的 open set 以及 open 的性質,

R 以及∅ open set. 以 open sets 以 的 .

Definition 1.2.1.X, 以及 T X 的一些 的 . T X

的一 topology T 以 .

(1) X, ∅ T .

(2) ∪ {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si T ,

i∈I

Si T .

(3) S1, . . . , Sn T ,

n i∈1

Si T .

X 一 topology, Xtopological space T 的

X 的 open set. x ∈ X S ⊆ X T x ∈ S , S x 的一 open

neighborhood.

Question 1.10. Definition 1.2.1 topology 的 (3)

( ): S1, S2 T , S1∩ S2 T .

的 X, 以 的 topology, 的 topological

space. 以 論特 的 一 topology.

一 的 的 open set, R 的 standard

topology. 以 論的 一 的 , X

topological space, 及 T , 的 論 的 topology 的.

X 以 topology 一 topological space.

X 的 topology T = {X, ∅} 的 trivial topology

indiscrete topology. T = P(X) (X 的 power set, X 的 的 )

(11)

的 discrete topology. , Definition 1.2.1 topology 的 .

以 的 一 的 的 topology,

“ ” 一 . 一 open set S 的一 x 的 open

neighborhood, Sx ( 一 的

一 ). x1 ∈ S1, x2 ∈ S2 S1, S2 open sets S1 ∩ S2 = ∅,

x1, x2 以 . , X indiscrete

topology, X 的 一 open neighborhood X .

一 , , indiscrete ( 的) 的 .

一 , 的 X discrete topology, x∈ X, {x} x 的一 open

neighborhood, 一 X 的 ( 的 )?

discrete ( 的) 的 .

Question 1.11. X = {1, 2} discrete topology indiscrete topology 外, 的 topology ?

一 的 topological space. R , 的 standard topology,

“ ” 的, 一 以 topology. 的 topological

space 特 metric space. 一 “ ”.

Definition 1.2.2.X, d : X× X → [0, ∞) a, b, c ∈ X

性質, d X 的一 metric.

(1) d(a, b) = d(b, a).

(2) d(a, b) = 0 if and only if a = b.

(3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

性質 (1) 的 a b 的 b a 的 . 性質 (2) 的 一 的

0, 的 0. 性質 (3) 的 . 以 性

質的 . R 的 |a − b| = d(a, b) 以 性質.

外 R2 d((x1, y2), (x2, y2)) = √

(x1− x2)2+ (y1− y2)2 R2 的一 metric.

Rn 的 d((x1, . . . , xn)− (y1, . . . , yn)) = √

(x1− y1)2+· · · + (xn− yn)2 Rn 的 metric.

X, 的 metric d , 以 X 的 open ball. a ∈ X,

r > 0 B(a; r) ={x ∈ X : d(x, a) < r}. Definition 1.1.4 X

的 open set. , S ⊆ X a ∈ S r> 0 B(a; r)⊆ S , S

open set. 的 open set Definition 1.2.1 的

. Proposition 1.1.5 Proposition 1.1.6 的 , 的

open sets X 一 topology. 一 一 metric,

metric 的一 topology.

(12)

Question 1.12. X 一 metric d,

T = {S ⊆ X | ∀ a ∈ S, ∃ r > 0, B(a; r) ⊆ S } X 的 topology.

X 的 topology, 一 一 Defini-

tion 1.2.1 的 , 一 的 open set 的特性 ,

些 topology 的 . R 的 standard topology,

的 的 , open sets. 以 , R 的

standard topology 的 open set 一些 ( 以 ) open interval 的 .

的 , metric space 的 topology 的 open sets, 一些 open

ball . 些 topology 的 , topology 的一

basis. 以 的 .

Definition 1.2.3. X T 的一 topological space. B T 的一些

open sets 的 , T 的 open set 一些B 的 open sets 的

, B T 的 basis ( base).

basis 的 的 open set S , x ∈ S , Sx ∈ B

x∈ Sx Sx ⊆ S , S 些 Sx 的 , S =

x∈S

Sx. R ,

standard topology T , 的 open set S ∈ T 的一 x ∈ S , γx > 0 (x− γx, x + γx) ⊆ S ,S =

x∈S

(x− γx, x + γx).

的 open intervals 的 R 的 standard topology 的一 basis. , metric space, open ball 的 metric space 的 topology 的一 basis.

Question 1.13. S x∈ S , Sx x∈ Sx

Sx ⊆ S . S =

x∈S

Sx, metric space 的 open ball

的 metric space 的 topology 的一 basis.

Question 1.13 一 topology 的 basis 一. 一 basis

一 topology. basis 的 , basis 的 open set, open

sets 的 open set, topology 的 basis, topology

的 open sets, 的 topology. 的 .

Question 1.14. X 的 T1, T2 X 的 topology. B T1, T2

的一 basis. T1=T2.

B topological space X 的一 basis , X open, X =

S∈B

S . 一 , S1, S2 ∈ B x ∈ S1∩ S2, S1∩ S2 open, S1∩ S2

一些 B 的 的 , x ∈ S1 ∩ S2 S ∈ B x ∈ S

S ⊆ S1∩ S2. 以 basis 的性質.

(13)

Proposition 1.2.4. B topological space X 的一 basis, B 以 : (1) X =

S∈B

S .

(2) S1, S2∈ B x∈ S1∩ S2, S ∈ B x∈ S S ⊆ S1∩ S2.

, B X 的一些 subsets 的 (1), (2) 性質, 一的

topology T , B T 的一 basis.

Proof. 一的 topology T , B T 的一 basis.

性, 以 T . B basis 的 open set B 的

一些 的 , T 的 B 的一些 的 ∅. 以

∅ 以及 以 B 的一些 的 的 subsets T T

topology 的 . ∅ ∈ T , X =

S∈B

S , X T . 外

T 的 B 的一些 的 , 以 T 一些 的 B

的一些 的 . T1, . . . , Tn B 的一些 的

, T1∩ · · · ∩ Tn B 的一些 的 . ,

n = 2 的 ( Question 1.10). T1, T2 ∈ T , index sets I, J T1=∪

i∈I

Si, T2 =∪

j∈J

Sj, Si, Sj B . 的 性質,

T1∩ T2= ∪

i∈I, j∈J

Si∩ Sj.

Si ∩ Sj 以 B 的一些 的 .

x∈ Si∩ Sj, Si, Sj B , 性質 (2) Sx ∈ B x∈ Sx Sx ⊆ Si∩ Sj.

Si∩ Sj= ∪

x∈Si∩Sj

Sx.

T X 的一 Topology B T 的一 basis. 

topological space 的 closed set.

Definition 1.2.5. X topological space. S ⊆ X, S 的 Sc = X\ S open set, S closed set.

, closed set open set 的 , 以 一 open set

closed set. 的 . 一 open closed. 一

一 open closed. 一 topological space 的 open

sets closed sets . Indiscrete topology discrete topology . 言 ,

一 closed, open set . 的性質,

Question 1.9, 以 的 .

Proposition 1.2.6. X 一 topological space,性質.

(14)

(1) X, ∅ closed.

(2) S1, . . . , Sn closed set,

n i∈1

Si closed set.

(3) {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si⊆ X closed set,

i∈I

Si closed set.

Question 1.15. indiscrete topology discrete topology open set closed set, closed set open set.

Question 1.16. 一 topological space , 的 closed sets , 以 的 open sets?

的 一 的 topological space 一 的 , 一

closed. indiscrete topology 一 . R 的 standard topology

, 以 . 特殊的 , R 的 standard topology 一

的 metric space , 一 的 一 closed.

1.3. Continuous Functions and Open Maps

一 topology, 的 性質 (Theorem 1.1.8)

的 . , 論一 topological space 的 ,

以 topological spaces 的 .

Definition 1.3.1. X, Y topological spaces f : X→ Y 一 function. Y 的 open set U f−1(U) X 的 open set, f continuous function.

, continuous function 的 的 open set 的 inverse image

的 open set. 的 open set image 的 open set.

Question 1.17. X, Y topological space, f : X→ Y function. 以 f continuous.

(1) X 的 topology discrete topology.

(2) Y 的 topology discrete topology.

(3) X 的 topology indiscrete topology.

(4) Y 的 topology indiscrete topology.

Question 1.18.X 的 identity function idX : X → X continuous function.

一 closed set 的 , open sets 的 closed sets

的 . closed set 的 inverse image 一 continuous.

(15)

Proposition 1.3.2. X, Y topological spaces f : X → Y 一 function. f continuous Y 的 closed set C f−1(C) X 的 closed set.

Proof. f continuous, Y 的 closed set C, f−1(C) X 的 closed set, X\ f−1(C) open. X\ f−1(C) = f−1(Y\ C) Y\ C open,

f continuous f−1(Y \ C), X\ f−1(C) open.

, Y 的 closed set C f−1(C) X 的 closed set. Y

的 open set U, Y\ U closed. f−1(Y \ U) = X \ f−1(U) X

closed set, f−1(U) open. f continuous. 

, f : X→ Y continuous, Y 的 open sets U f−1(U)

X 的 open set. Y 的 open sets , basis 的

一些 . 一 , Y 的一 basis,

basis 的 inverse image .

Proposition 1.3.3. X, Y topological space, B Y 的 topology 的一 basis.

f : X → Y continuous U∈ B, f−1(U) X 的 open set.

Proof. f continuous, U∈ B Y 的 open set, f−1(U) X 的 open set.

, U∈ B, f−1(U) X 的 open set. Y 的 open set U, B basis, index I 以及 Si ∈ B, ∀ i ∈ I U =

i∈ISi. f−1(U) =

i∈I f−1(Si) 以及

f−1(Si) open f−1(U) open, f continuous. 

X, Y, Z topological spaces, f : X → Y, g : Y → Z functions f, g

g◦ f : X → Z. g◦ f continuous, g◦ f 的 inverse

image f, g 的 inverse image 的 . Z 的一 subset S , g−1(S ) Y 的 subset, f−1(g−1(S )) X 的 subset.(g◦ f )−1(S ) X 的 subset,

f−1(g−1(S )) (g◦ f )−1(S ) ? x ∈ f−1(g−1(S )), f (x)∈ g−1(S ).

f (x)∈ g−1(S ) g◦ f (x) = g( f (x)) ∈ S , x∈ (g ◦ f )−1(S ). , x∈ (g ◦ f )−1(S ), g( f (x)) = g◦ f (x) ∈ S , f (x)∈ g−1(S ), x∈ f−1(g−1(S )).

S ⊆ Z, f−1(g−1(S )) = (g◦ f )−1(S ). 性質, 以 的

.

Proposition 1.3.4. X, Y, Z topological spaces. f : X → Y, g : Y → Z continuous functions, g◦ f : X → Z continuous function.

Proof. U Z 的 open set, (g◦ f )−1(U) = f−1(g−1(U)). g : Y → Z continuous, g−1(U) Y 的 open set. f : X → Y continuous,

f−1(g−1(U)) X 的 open set. g◦ f : X → Z continuous function. 

(16)

, , 些 的特 性質

, 一 . 的 , 以

一 一 的 function, 些 function 的性質

. , group 論 的 group homomorphism.

group 一 一 的 group homomorphism ( isomorphism),

group isomorphic. topological spaces, topological spaces

的拓樸 的 ? spaces 一 一 的 ,

拓樸的 , continuous function !

. X 一 的 . identity map idX : X → X,

discrete topology, indiscrete topology. 的 topology , idX

continuous function, X 一 , topologies

. 一 , X, Y topological spaces f : X → Y 一 一 的

continuous function. Y 的 open set U, f continuous, f−1(U) X

open. 一 的 Y 的 open set U, f onto, f−1(U)

f−1(U) 的 (why?). 一 一 一的 Y 的

open sets X 的 open sets; X 的 open sets . 以 X

的 open sets Y 的 open sets ( X stronger topology),

X, Y 的拓樸性質. X 的 open set S , f (S )

Y 的 open set, f 一 一的, 一 一 一的 X 的 open sets

Y 的 open sets (why?). X, Y 的拓樸性質 的. 一

f : X→ Y X 的 open set S f (S ) Y 的 open set

( one-to-one and onto 以及 continuous 的 ), fopen map.

Question 1.19. X, Y topological spaces f : X → Y onto 的 continuous function g : X→ Y one-to-one 的 open map.

(1) U1, U2 Y 的 open sets, f−1(U1), f−1(U2) X 的 open sets.

(2) S1, S2 X 的 open sets, g(S1), g(S2) Y 的 open sets.

的 , X, Y topological spaces T , T X, Y 的 topology.

f : X→ Y 一 一 的 continuous function open map, 以 f

一 T T ( X 的 open sets 的 Y 的 open sets 的 )

的一 一 一 的 . X 的 open set S Y 的 open set f (U).

F :T → T S ∈ T f (S ) ( F(S ) = f (S )). f open map, f (S ) ∈ T F well-defined. f 一 一, Question 1.19 (2)

F 一 一. 一 U ∈ T f continuous, f−1(U)∈ T .

S = f−1(U) f onto ( f (X) = Y) S ∈ T

F(S ) = f (S ) = f ( f−1(U)) = U∩ f (X) = U ∩ Y = U.

(17)

F onto. X 的拓樸 Y 的拓樸 一 一 的 ,

X Y 的拓樸 , 以 的 .

Definition 1.3.5. X, Y topological spaces. 一 f : X→ Y 一 一 的 open map, f X, Y 的 homeomorphism. topological space X, Y homeomorphism, X, Y homeomorphic topological spaces.

一 一 一 的 (以

特殊的拓樸 ). f : X → Y open map , g : Y → X f 的

( , f−1 f 的 ). X 的 open set S ,

g−1(S ) = f (S ) (why?) f open map, g−1(S ) Y 的 open set. g

continuous. f 的 g continuous, X 的 open set S ,

f (S ) = g−1(S ) Y 的 open set, f open map. 以 .

Proposition 1.3.6. X, Y topological spaces, f : X → Y one-to-one and onto. f open map f 的 inverse function continuous.

Question 1.20. X, Y topological spaces, f : X → Y one-to-one and onto.

f continuous function f 的 inverse function open map.

Proposition 1.3.6 以 的 .

Corollary 1.3.7. X, Y topological spaces, f : X → Y X Y 的 . f homeomorphism f one-to-one, onto 以及 continuous f 的 inverse function

continuous.

Question 1.21. X, Y topological spaces, X≃ Y X, Y homeomorphic.

“≃” 一 topological spaces 的 equivalent relation.

Homeomorphisms 的性質, 以 .

1.4. Subset Topology and Disjoint Union Topology

的 topological space 的 . 一 topological

space 的 的拓樸, subset topology. 一 的 topological

spaces 一 topological space, disjoint union topology.

1.4.1. Subset Topology.f : X → Y, X X 的 subset,

restriction function f|X : X→ Y. f|X f 的 X,

Xf Y. f : X → Y continuous ,

f|X : X → Y continuous. X topological space,

的 ? 的 X 的 topology, 拓樸一

X 的拓樸 . 的 topology X 的 subspace topology.

(18)

, X 的 open sets

些, 些 “ 的” open sets 的 X 的 topology. ,

f|X : X → Y continuous, Y 的 open set U f|−1X(U) X 的 open set. f|−1X(U) = f−1(U)∩ X, x ∈ f |−1X(U) x ∈ X

f (x)∈ U ( U Y 的 subset , open 的 ). f : X→ Y

continuous, f−1(U) X 的 open set. 以 的 f : X → Y,

f|X : X → Y , 的 X 的 open sets X 的 open set

X 的 . ! X 些 open set ,

X 的 topology. , T X 的 topology,

T ={S ∩ X : S ∈ T }, T X 的 topology. , TX

subset, 以 T Definition 1.2.1 的 . X, ∅

T , 以 X = X∩ X, ∅ = ∅ ∩ X T. 以 (1) . (2) ? 一 index set I, Si ∈ T,∀ i ∈ I, , Si ∈ T Si = Si∩ X. 以

i∈I

Si =∪

i∈I

(Si∩ X) = (∪

i∈I

Si)∩ X. T X 的 topology, 以 ∪

i∈ISi ∈ T , ∪

i∈ISi ∈ T. S1, S2 ∈ T, S1, S2 ∈ T S1 = S1 ∩ X, S2 = S2∩ X, S1∩ S2 = (S1∩ S2)∩ X, 以及 S1∩ S2 ∈ T S1∩ S2∈ T, (3) . , 以 的 .

Definition 1.4.1. X topological space T topology. X 的 subset X, 以 X 的一些 subsets 的

T={S∈ P(X) : S= S ∩ X, for some S ∈ T }.

T X 的 topology, topology X 的 subspace topology. X X 的 subspace topology 的 topological space , X X 的 subspace.

Question 1.22. X ⊆ X. X X 的 indiscrete topology 的 subspace topology ? X X 的 discrete topology 的 subspace topology ? Question 1.23. [−1, 1) R 的 standard topology 的 subspace topology.

[−1, 0) open? [0, 1) closed?

Question 1.24. X topological space X subspace. C X 的 closed set X 的 closed set C C= C∩ X.

Question 1.23 , subspace topology 的 open set 的

topology 的 open set 一 , . subset open ,

的 .

Lemma 1.4.2. X topological space X X 的 open subset. X X 的 subspace topology. S X 的 open set S X 的 open set S ⊆ X.

(19)

Proof. S X 的 open set, subspace topology 的 , X 的 open set U S = U∩ X. X X 的 open set, S = U∩ X⊆ X X 的 open set. S X 的 open set S ⊆ X, S = S ∩ X, subspace topology 的

, S X 的 open set. 

Question 1.25. X topological space X X 的 open subset. X X 的 subspace topology. X 的 closed set X 的 closed set ? Lemma

1.4.2, closed set 的 的.

subspace topology 的 的. X topological space X 的 subset,

X 的 topology X 的 topology 的 f : X → Y,

f|X : X→ Y continuous. subspace topology . X

的 topology 以 的性質 ? 以 f 的 X 的拓

樸, 的. 的拓樸 的 f . 一

X 的拓樸 subspace topology , f|X continuous. ( 一 , T , T X 的 topologies. T 的 open set T 的 open set, T ⊆ T, T

T (stronger) (finer) 的 topology. T T (weaker)

(coarser) 的 topology.) X discrete topology 以 f|X 的 .

的, 的 . subspace topology 的

的 topology. f identity map id : X→ X, f|X : X → X X 的 open set U, f|−1X(U) = U∩ X X 的 open set. 言 , f|X : X → X, X 的 topology subspace topology 的 open set.

subspace topology 性質 的 topology. 以 的 論.

Proposition 1.4.3. X, Y topological space X ⊆ X. X X 的 subspace topology, 的 continuous function f : X → Y, f |X : X → Y continuous function.subspace topology weakest topology continuous function 的 restriction continuous. T X的一 topology 的 continuous function f : X → Y, f |X : X → Y continuous function, subspace topology T

weaker topology.

Question 1.26. X topological space X⊆ X. X X 的 subspace topology, 的 open map f : X → Y, f |X : X→ Y open map?

Subspace topology 的 一 continuous functions “ ” 一

continuous function.

Proposition 1.4.4. X topological space X1, X2 X 的 open subsets X1 ∪ X2 = X. Y topological space X1, X2 X 的 subspace topology,

f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y continuous f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ X1∩ X2. f : X→ Y

f (x) =

{ f1(x), x∈ X1; f2(x), x∈ X2.

(20)

f continuous function.

Proof. , f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ X1 ∩ X2, 以 f well-defined. f continuous, S Y 的 subset, f−1(S ) = f1−1(S )∪ f2−1(S ).

x ∈ f1−1(S )∪ f2−1(S ) x ∈ f1−1(S ) x ∈ f2−1(S ). x ∈ f1−1(S ) x ∈ X1

f1(x) ∈ S , x ∈ X f (x) ∈ S , x ∈ f−1(S ). x ∈ f2−1(S ) x ∈ f−1(S ). x ∈ f−1(S ), x ∈ X f (x) ∈ S . X = X1 ∪ X2, x∈ X1 x ∈ X2. x∈ X1, f (x) = f1(x), x∈ f1−1(S ).

x∈ X2, x∈ f2−1(S ). f−1(S ) = f1−1(S )∪ f2−1(S ).

Y 的 open set U,f−1(U) = f1−1(U)∪ f2−1(U). f1, f2

continuous, f1−1(U), f2−1(U) X1, X2 的 open set. X1, X2 X 的 open sets 以及 Lemma 1.4.2, f1−1(U), f2−1(U) X 的 open set. f−1(U) = f1−1(U)∪ f2−1(U) f−1(U) X 的 open set, f : X → Y continuous. 

1.4.2. Disjoint Union Topology. ( ) 的 ,

disjoint union. X1, X2 的 , 特 X1⊔ X2

, X1⊔ X2 X1∪ X2 一 的, X1⊔ X2

X1, X2 的.

X1, X2 的 topological spaces T1, T2 X1, X2 的 topologies.

X1, X2 的 topologies , T1∪ T2, X1⊔ X2 的 topology.

X1⊔ X2 的 topology, X1⊔ X2 T1∪ T2 . 的

T1∪ T2 = {S | S ∈ T1 or S ∈ T2}. 以 S1 ∈ T1, S2 ∈ T2, S1, S2 ∈ T1⊔ T2

S1∪ S2 T1⊔ T2 . T = {S1⊔ S2 | S1 ∈ T1, S2 ∈ T2} 一 X1⊔ X2 的 topology, X1⊔ X2 topological space, disjoint union topology.

T = {S1⊔ S2 | S1 ∈ T1, S2 ∈ T2} X1⊔ X2 的 topology.

∅ ∈ T , ∅ ∈ T1 ∅ ∈ T2 以 ∅ = ∅ ⊔ ∅ ∈ T . 一 X1 ∈ T1, X2 ∈ T2X1⊔ X2∈ T . Definition 1.2.1 的 (1) 的. I index set

i∈ I, Ui ∈ T , Si,1 ∈ T1, Si,2 ∈ T2 Ui = Si,1⊔ Si,2.

i∈I

Ui =∪

i∈I

(Si,1⊔ Si,2) =∪

i∈I

(Si,1∪ Si,2) = (∪

i∈I

Si,1)∪ (∪

i∈I

Si,2). T1, T2 topologies ∪

i∈ISi,1 ∈ T1

i∈ISi,2 ∈ T2, ∪

i∈IUi ∈ T , 及

(2) . (3), U, U ∈ T U∩ U ∈ T .

S1, S1 ∈ T1, S2, S2 ∈ T2 U = S1⊔ S2, U = S1⊔ S2,

U∩ U = (S1⊔ S2)∩ (S1⊔ S2) = (S1∩ S1)∪ (S2∩ S2)

( S1 ∩ S2 = S2 ∩ S1 = ∅), T1, T2 topologies S1 ∩ S1 ∈ T1

S2∩ S2 ∈ T2, U∩ U∈ T .

(21)

X1, X2 的 topological spaces, 以 X1, X2 X1⊔X2的 subsets.

X1⊔ X2 的 disjoint union topology, topology X1 的 subspace

topology, X1 的 topology ? 的, X1⊔ X2

open set S1⊔ S2 S1, S2 X1, X2 的 open set. (S1⊔ S2)∩ X1 = S1, (S1⊔ S2)∩ X2 = S2, X1, X2 X1⊔ X2 的 subspace topology 的 open set X1, X2 的 open set. 外 X1 的 open set S1, S1⊔ ∅ X1⊔ X2 disjoint union topology 的 open set. (S1⊔ ∅) ∩ X1 = S1 X1⊔ X2

X1 subspace topology 的 open set. 以 X1 的 open set X1 ⊔ X2

subspace topology 的 open set. 以 X1 topology 一 的. X2

一 . 以 的 .

Proposition 1.4.5. X1, X2 的 topological spaces, T1, T2

topology. X1⊔X2 的 disjoint union topology T . X1 T 的 subspace topology T1, X2 T 的 subspace topology T2.

Question 1.27. X topological spaceT topology. X1, X2 ⊆ X X1∩ X2 = ∅, X = X1 ⊔ X2. X1, X2 X 的 subspace topology, T1, T2. T T1, T2 的 disjoint union topology?

Proposition 1.4.5 X1, X2 的 topological spaces, 以 X1⊔ X2 disjoint union topology 的 subspace topology “ ” X1, X2 的 topology.

的 topological space Y X = X1 ⊔ X2 disjoint union topology, 的 f : X → Y, 以 “ ” f|X1 : X1 → Y 以及 f |X2 : X2 → Y, . 一 , X1, X2 X = X1 ⊔ X2 的 disjoint union topology open sets, 以

f1 : X1 → Y, f2: X2 → Y , X1∪ X2 =∅, Proposition 1.4.4 一 X = X1⊔ X2 Y 的 , f : X→ Y, f (x) =

{ f1(x), x ∈ X1; f2(x), x ∈ X2.

以 論.

Proposition 1.4.6. X1, X2, Y topological spaces. X = X1⊔ X2 X1, X2disjoint union topology.

F ={ f | f : X → Y is continuous}, F={( f1, f2)| f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y are continuous}

f 7→ ( f |X1, f |X2) 一 F F 一 一 一 的 .

Disjoint union topology 的 以 X1, X2 的 . X1

X1 ={(x, 1) | x ∈ X1}, X2 X2 ={(x, 2) | x ∈ X2} 的 ( universal set X X ={(x, i) | x ∈ X, i ∈ {1, 2}}). X1, X2 ,

X1⨿ X2 = X1 ⊔ X2, X1, X2 的 disjoint union. X1⨿ X2 disjoint

union 的 X1, X2 , X1, X2 X1⊔ X2 一 的, 以

X1, X2 , X1⨿ X2 X1, X2 的 disjoint union.

(22)

的 disjoint union 以 的 的 product . R ⨿ R 的 (r, 1) (s, 2), r, s ∈ R; R × R 的 (r, s), r, s ∈ R. 以 R ⨿ R

, R × R , .

Question 1.28. I1 = (−1, 0), I2 = (0, 1), I3 = (−0.5, 0.5). I1∪ I2, I1⨿ I2, I1∪ I3, I1⨿ I3 的 性.

X1 topological space T1 topology, X1 ={(x, 1) | x ∈ X1} topological space. S ∈ T1, S ={(s, 1) | s ∈ S }, T1 ={S | S ∈ T1},

T1 X1 的 topology. topology, f : X1 → X1

f (x) = (x, 1) 一 一 一 的 open map, f

homeomorphism. X1 X1 homeomorphic, 以 的拓樸

. X2 topological space, X2 X2 的拓樸 .

X1, X2 的 disjoint union topology X1⨿ X2 的 topology. ,

topology X1, X2 的 disjoint union topology. X1, X2 X1⨿ X2 的 subset, X1, X2, 以前 Proposition 1.4.5 及 Proposition 1.4.6 的 以 .

, .

Proposition 1.4.7. X1, X2 topological spaces, T1, T2 topology.

X = X1⨿ X2 的 disjoint union topology T ,. (1) X1, X2 T 的 subspace topology T1, T2. (2) Y topological space.

F ={ f | f : X → Y is continuous}, F={( f1, f2)| f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y are continuous}

f 7→ ( f |X1, f |X2) 一 F F 一 一 一 的 .

Question 1.29. I1= (−1, 0), I2 = (0, 1), I3= (−0.5, 0.5) R 的 standard topology 的 subspaces. I1∪ I2, I1∪ I3 R 的 subspace topology, I1 ⨿ I2, I1⨿ I3

disjoint topology, 些 topological spaces 些 homeomorphic?

一 , disjoint union topology 以 topological spaces

的 , 的 及性質 的 一 的, .

1.5. Product Space Topology and Quotient Space Topology

的 topological spaces 的 . product space topology

拓 的 , quotient space topology 一 拓樸 的一

些 “ ” 一 .

(23)

1.5.1. Product Space Topology. X1, X2 , 的 Cartesian product X1× X2 ={(x1, x2)| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2}. X1× X2 projection maps:

π1 : X1× X2→ X1, π2 : X1× X2 → X2,

π1(x1, x2) = x1, π2(x1, x2) = x2,∀ (x1, x2)∈ X1× X2. X1, X2 topological spaces, 以 X1× X2 的 topology π1, π2 continuous function. X1× X2

的拓樸 product space topology.

T1, T2 X1, X2的 topology, X1×X2的 topology π1, π2

continuous. π1 : X1× X2 → X1 的 , X1 的 open set U,

π−11 (U) = U×X2 X1×X2的 open set. X2 的 opens set V,π−12 (V) = X1×V X1× X2 的 open set. 以 的 {U × X2| U ∈ T1} ∪ {X1× V | V ∈ T2},

一 topology. X1 × X2 ∅ 內 ( ∅ × X2 = ∅),

U ∈ T1, V ∈ T2, (U × X2)∩ (X1 × V) = U × V 內,

的 open sets topology (3) 的 . 以

{U × V | U ∈ T1, V ∈ T2}. 一 U, U ∈ T1, V, V ∈ T2,

(U× V) ∩ (U× V) = (U∩ U)× (V ∩ V) ( U∩ U ∈ T1, V ∩ V ∈ T2).

topology (3) 的 , (2) 的 .

(U× V) ∪ (U× V) 以 U′′× V′′ 的 . 以 的

U× V 的 的 , 言 的 以B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 topology.

Question 1.30. X, Y . Cartesian product X× Y.

(1) S ⊆ X, S × ∅ = ∅.

(2) S, S⊆ X, T, T ⊆ Y, (S× T) ∩ (S× T) = (S ∩ S)× (T ∩ T).

(3) S, S ⊆ X, T, T ⊆ Y (S× T) ∪ (S× T) S′′× T′′, S′′⊆ X, T′′ ⊆ Y 的 .

B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 topology ? 的

以 topology 的 basis, 一 Proposition 1.2.4 以

一 topology 的 basis 的 . X1 ∈ T1, X2 ∈ T2, 以 X1 × X2 ∈ B, Proposition 1.2.4 (1) 的. 外 S1 = U × V, S2 = U× V B ,

S1∩ S2 = (U∩ U)× (V ∩ V) B , Proposition 1.2.4 (2) .

一的 X1 × X2 的 topology 以 B basis. 前 ,

π1 : X1× X2 → X1 以及 π2 : X1× X2 → X2 continuous, B 的 open set, 以 的 topology X1× X2 π1, π2 continuous function 的拓樸.

以 的 .

Definition 1.5.1. X1, X2 topological spaces T1, T2 topology. 以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 X1 × X2 的 topology, topology

參考文獻

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