拓樸 的 . 的 的 性質
的 及論 的 (以 導論 ).
以 , 及 , 的 以
. 以 的 , .
, 的 . , 論性
的 , . , 的 .
v
Topological Spaces
拓樸 的 的 一 的 ( 的
Topological Space 拓樸 ), 一 的拓樸 些性質
( ).
一 些 open sets, 些 的 “
”. 一 的 open sets 些 , 一 topological space.
topological space 及 的 的 性質, subspace
的 .
1.1. Standard Topology on R
以 以 的 topology. 的
一 , 的 standard topology, 以 一 topology 的 .
的 的 . ,
的 .
Definition 1.1.1. f :R → R. a∈ R, f is a continuous function at a ( a ) 的ϵ > 0 δ > 0 |x − a| < δ f (x)− f (a) < ϵ.
特 的, f R 的 一 , f is a continuous function onR.
的 , 以 的 . |x − a| < δ x ∈
(a− δ, a + δ) , f (x)− f (a) < ϵ f (x) ∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ)
. 以 Definition 1.1.1 的 : x ∈ (a − δ, a + δ)
f (x)∈ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). 以 的 image 以及 inverse image 的
的 . 一 , 的 image 以及 inverse image 的 .
一 function f : X → Y 以及 X 的 subset A, A f 的
image A 的 f 的 . f (A) ,
f (A) ={ f (a) | a ∈ A}. 特 的, the image of X under f , f (X) f 的 range ( ).
1
f (A) 的 , f (A) Y 的 subset. ,
的 . , . 外 的 , 的
f (a)∈ f (A) a ∈ A. 的, b< A
f (b)∈ f (A). f (A) 一 的 , f (A) 的 Y 的
. y∈ f (A), a∈ A y = f (a). , y ∈ A a∈ A
y = f (a) y∈ f (A). 以 f (A) 一 的
f (A) ={y ∈ Y | ∃ a ∈ A, y = f (a)}.
, f (A) 的 .
, 的 inverse image. , 一 function f : X → Y 以
及 Y 的 subset C, C f 的 inverse image 些 f
C 的 的 . f−1(C) , f−1(C) ={x ∈ X : f (x) ∈ C}.
f−1(C) 的 , f−1(C) X 的 subset. inverse image 的
, 以 以 inverse image 的性質.
的 image 以及 inverse image 以 性的 一 .
Proposition 1.1.2. f :R → R a∈ R. 以 的.
(1) f is a continuous function at a (2) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 f(
(a− δ, a + δ))
⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ).
(3) ∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) . Question 1.1. Proposition 1.1.2. ( (2)⇔ (3) ?)
r, s, r < s, (r, s) = {x ∈ R | r < x < s} 一 open interval ( ). 以 (a− δ, a + δ) 以 一 a 的 open interval, ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ) 一 f (a) 的 open interval. Proposition 1.1.2 (2)
一 a 的 open interval f 一 f (a) 的 open interval.
, Proposition 1.1.2 (2) , ϵ ϵ δ,
. ϵ 一 f (a) 的 open interval, δ
一 a 的 open interval. 一 f (a) 的 open
interval ( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ), 一 a 的 open interval (a− δ, a + δ) f(
(a− δ, a + δ))
⊆ ( f (a) − ϵ, f (a) + ϵ). , 以 的 論.
Corollary 1.1.3. f :R → R a∈ R. 以 的.
(1) f is a continuous function at a.
(2) 一 f (a) 的 open interval I 一 a 的 open interval J f (J)⊆ I.
(3) 一 f (a) 的 open interval I 一 a 的 open interval J J ⊆ f−1(I).
Proof. (1)⇔ (3), 的 !
(1) ⇒ (3): f is a continuous function at a. 一 f (a) 的 open interval I = (r, s), f (a)∈ I, r< f (a) < s. ϵ = min{ f (a) − r, s − f (a)}. Proposition 1.1.2 ((1) ⇒ (3)) δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) . J = (a− δ, a + δ), J 一 a 的 open interval
J⊆ f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ))
⊆ f−1(I).
(3)⇒ (1): Proposition 1.1.2 (3) . ϵ > 0, I = ( f (a)−ϵ, f (a)+ϵ) 一 f (a) 的 open interval, 一 a 的 open interval J = (r, s)
J⊆ f−1(I). r< a < s, δ = min{a − r, s − a}, δ > 0 (a− δ, a + δ) ⊆ J ⊆ f−1(I) = f−1(
( f (a)− ϵ, f (a) + ϵ)) .
Question 1.2. 的 Corollary 1.1.3 (1)⇔ (2).
Proposition 1.1.2 Corollary 1.1.3, open interval 一
的特 . 一 a 的 open interval I = (r, s) 一 γ > 0
(a− γ, a + γ) ⊆ I ( γ = min{a − r, s − a} ). 的特 (r, s) 的 open interval . (2, ∞) = {x ∈ R | x > 2}, (−∞, 2) = {x ∈ R | x < 2} 以及
(−2, 1) ∪ (3, 5) 些 的性質. 以 的 .
Definition 1.1.4. S ⊆ R a∈ S γ > 0 (a− γ, a + γ) ⊆ S ,
S 一 open set. a∈ R S ⊆ R 一 a 的 open set, S a 的一
open neighborhood.
R open set. 外 ∅ open set. ∅
, 以 open set 的 . ∅ open set, 的,
open set 性. 以 .
, 前 (2, ∞), (−∞, 2) 以及 (−2, 1) ∪ (3, 5) 些 open set.
以 性質.
Proposition 1.1.5. {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si ⊆ R open set. ∪
i∈I
Si open set.
Proof. a∈∪
i∈I
Si, k ∈ I a∈ Sk Sk open set, 以 γ > 0 (a− γ, a + γ) ⊆ Sk. (a− γ, a + γ) ⊆ Sk ⊆∪
i∈I
Si.
Proposition 1.1.5 的 index set I ,
open set, 的 open set. open set 的
open set. . index set N, n ∈ N Sn = (−1/n, 1/n), Sn open set, ∩
n∈N
Sn ={0}, open set.
Question 1.3. ∩
n∈N
(−1/n, 1/n) = {0} open set ?
open sets 以 一 open set. 以 的
.
Proposition 1.1.6. S1, . . . , Sn R 的 open set, ∩
1≤i≤n
Si open set.
Proof. a∈ ∩
1≤i≤n
Si, i∈ {1, . . . , n}, a ∈ Si Si open set, γi > 0 (a− γi, a + γi) ⊆ Si. γ = min{γ1, . . . , γn}, γ > 0 i ∈ {1, . . . , n}, (a− γ, a + γ) ⊆ (a − γi, a + γi)⊆ Si. (a− γ, a + γ) ⊆ ∩
1≤i≤n
Si.
的 , a ∈ ∩
1≤i≤n
Si, ∩
1≤i≤n
Si =∅ ?
a 前 , 以 論 的. ∅
open set 的 .
Question 1.4. a 的 open neighborhoods 的 a 的 open neighborhood
? a 的 open neighborhoods 的 a 的 open neighborhood ?
open set 的 , 以 Proposition 1.1.3 的 Proposition
1.1.2 以 .
Corollary 1.1.7. f :R → R a∈ R. 以 的.
(1) f is a continuous function at a.
(2) 一 f (a) 的 open neighborhood U 一 a 的 open neighborhood V f (V)⊆ U.
(3) 一 f (a) 的 open neighborhood U 一 a 的 open neighborhood V V ⊆ f−1(U).
Question 1.5. Corollary 1.1.7.
, 的 . f :R → R ,
f 一 的 . 以 a ∈ R, Corollary 1.1.7 ,
f (a) 一 open neighborhood U 一 a 的 open neighborhood V
f (V)⊆ U. , f 一 one-to-one, b∈ R b, a
f (b) = f (a), a 的一 open neighborhood ,
b 的一 open neighborhood V′ f (V′)⊆ U. f−1({ f (a)})
的 的, inverse image . 以 的 .
Theorem 1.1.8. f : R → R. f is a continuous function opens set U ⊆ R f−1(U) 一 open set.
Proof. f , 一 open set U, f−1(U) open set.
x ∈ f−1(U), γ > 0 (x− γ, x + γ) ⊆ f−1(U).
x∈ f−1(U), f (x)∈ U, U open 的 ϵ > 0 ( f (x)−ϵ, f (x)+ϵ) ⊆ U.
f is continuous at x, Corollary 1.1.2 δ > 0 (x− δ, x + δ) ⊆ f−1(
( f (x)− ϵ, f (x) + ϵ))
⊆ f−1(U).
γ = δ .
, opens set U ⊆ R, f−1(U) 一 open set, f
, x ∈ R f is continuous at x. 以 Corollary
1.1.7 . 一 f (x) 的 open neighborhood U 一 x 的 open
neighborhood V V ⊆ f−1(U). U open set, f−1(U) 一 open set, x ∈ f−1(U) ( f (x) ∈ U), f−1(U) x 的一 open neighborhood.
V = f−1(U) .
Question 1.6. f : R → R. f is a continuous function 的 opens set U ⊆ R f (U) 一 open set ?
以 Theorem 1.1.8 identity map id :R → R 的. R 的
open set U, f−1(U) = U open set. Theorem 1.1.8 一
些 特 的 的 , 的 ,
. 的 的 , 以 的
Theorem 1.1.8 . , Theorem 1.1.8
. Theorem 1.1.8 的 性, 的 ,
, 以 的 . 一 的
, open set 的 , 以 的 .
以 的 .
Question 1.7. Theorem 1.1.8 以及 的
.
以 的拓樸 , closed set.
Definition 1.1.9. S ⊆ R, S 的 Sc =R \ S open set, S closed set.
的 [−1, 3], 的 (−∞, −1) ∪ (3, ∞) open, [−1, 3]
closed set. , 以 closed set open set 的 , 以 一
open set closed set. 的 . [−1, 3) open
closed. R ∅ open closed. 言 , 一 closed, open set .
Question 1.8. 的 Z closed set?
Question 1.9. {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si ⊆ R closed set.
(1) ∩
i∈I
Si closed set.
(2) I 一 finite set ,∪
i∈I
Si closed set.
1.2. Open Sets and Closed Sets
的 些 open sets 以 , 一
些 subsets open sets 的. Proposition 1.1.5 Proposition
1.1.6, 的 open set 以及 open 的性質,
R 以及∅ open set. 以 open sets 以 的 .
Definition 1.2.1. 一 X, 以及 T X 的一些 的 . T X
的一 topology T 以 .
(1) X, ∅ T .
(2) ∪ {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si T ,
i∈I
Si T .
(3) S1, . . . , Sn T ,
∩n i∈1
Si T .
X 一 topology, X 一 topological space T 的
X 的 open set. x ∈ X S ⊆ X T x ∈ S , S x 的一 open
neighborhood.
Question 1.10. Definition 1.2.1 topology 的 (3)
( ): S1, S2 T , S1∩ S2 T .
的 X, 以 的 topology, 的 topological
space. 以 論特 的 一 topology.
一 的 的 open set, R 的 standard
topology. 以 論的 一 的 , X 一
topological space, 及 T , 的 論 的 topology 的.
的 X 以 topology 一 topological space.
X 的 topology T = {X, ∅} 的 trivial topology
indiscrete topology. T = P(X) (X 的 power set, X 的 的 )
的 discrete topology. , Definition 1.2.1 topology 的 .
以 的 一 的 的 topology,
“ ” 一 . 一 open set S 的一 x 的 open
neighborhood, S 的 x ( 一 的
一 ). x1 ∈ S1, x2 ∈ S2 S1, S2 open sets S1 ∩ S2 = ∅,
x1, x2 以 . , X indiscrete
topology, X 的 一 open neighborhood X .
一 , , indiscrete ( 的) 的 .
一 , 的 X discrete topology, x∈ X, {x} x 的一 open
neighborhood, 一 X 的 ( 的 )?
discrete ( 的) 的 .
Question 1.11. X = {1, 2} discrete topology indiscrete topology 外, 的 topology ?
一 的 topological space. R , 的 standard topology,
“ ” 的, 一 以 topology. 的 topological
space 特 metric space. 一 “ ”.
Definition 1.2.2. 一 X, d : X× X → [0, ∞) a, b, c ∈ X 以
性質, d X 的一 metric.
(1) d(a, b) = d(b, a).
(2) d(a, b) = 0 if and only if a = b.
(3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).
性質 (1) 的 a b 的 b a 的 . 性質 (2) 的 一 的
0, 的 0. 性質 (3) 的 . 以 性
質的 . R 的 |a − b| = d(a, b) 以 性質.
外 R2 d((x1, y2), (x2, y2)) = √
(x1− x2)2+ (y1− y2)2 R2 的一 metric.
Rn 的 d((x1, . . . , xn)− (y1, . . . , yn)) = √
(x1− y1)2+· · · + (xn− yn)2 Rn 的 metric.
X, 的 metric d , 以 X 的 open ball. a ∈ X,
r > 0 B(a; r) ={x ∈ X : d(x, a) < r}. Definition 1.1.4 X
的 open set. , S ⊆ X a ∈ S r> 0 B(a; r)⊆ S , S
一 open set. 的 open set Definition 1.2.1 的
. Proposition 1.1.5 Proposition 1.1.6 的 , 的
open sets X 一 topology. 一 一 metric,
metric 的一 topology.
Question 1.12. X 一 metric d,
T = {S ⊆ X | ∀ a ∈ S, ∃ r > 0, B(a; r) ⊆ S } X 的 topology.
一 X 的 topology, 一 一 Defini-
tion 1.2.1 的 , 一 的 open set 的特性 ,
些 topology 的 . R 的 standard topology,
的 的 , open sets. 以 , R 的
standard topology 的 open set 一些 ( 以 ) open interval 的 .
的 , metric space 的 topology 的 open sets, 一些 open
ball . 些 topology 的 , topology 的一
basis. 以 的 .
Definition 1.2.3. X T 的一 topological space. B T 的一些
open sets 的 , T 的 open set 一些B 的 open sets 的
, B T 的 basis ( base).
basis 的 的 open set S , x ∈ S , Sx ∈ B
x∈ Sx Sx ⊆ S , S 些 Sx 的 , S =∪
x∈S
Sx. R ,
standard topology T , 的 open set S ∈ T 的一 x ∈ S , γx > 0 (x− γx, x + γx) ⊆ S , 以 S =∪
x∈S
(x− γx, x + γx).
的 open intervals 的 R 的 standard topology 的一 basis. , metric space, open ball 的 metric space 的 topology 的一 basis.
Question 1.13. S x∈ S , Sx x∈ Sx
Sx ⊆ S . S = ∪
x∈S
Sx, metric space 的 open ball
的 metric space 的 topology 的一 basis.
Question 1.13 一 topology 的 basis 一. 一 basis
一 topology. basis 的 , basis 的 open set, open
sets 的 open set, topology 的 basis, topology
的 open sets, 的 topology. 的 .
Question 1.14. X 的 T1, T2 X 的 topology. B T1, T2
的一 basis. T1=T2.
B topological space X 的一 basis , X open, X = ∪
S∈B
S . 一 , S1, S2 ∈ B x ∈ S1∩ S2, S1∩ S2 open, S1∩ S2
一些 B 的 的 , x ∈ S1 ∩ S2 S ∈ B x ∈ S
S ⊆ S1∩ S2. 以 basis 的性質.
Proposition 1.2.4. B topological space X 的一 basis, B 以 : (1) X =∪
S∈B
S .
(2) S1, S2∈ B x∈ S1∩ S2, S ∈ B x∈ S S ⊆ S1∩ S2.
, B X 的一些 subsets 的 (1), (2) 性質, 一的
topology T , B T 的一 basis.
Proof. 一的 topology T , B T 的一 basis.
性, 以 T . B basis 的 open set B 的
一些 的 , T 的 B 的一些 的 ∅. 以
∅ 以及 以 B 的一些 的 的 subsets T T
topology 的 . ∅ ∈ T , X = ∪
S∈B
S , X T . 外
T 的 B 的一些 的 , 以 T 一些 的 B
的一些 的 . T1, . . . , Tn B 的一些 的
, T1∩ · · · ∩ Tn B 的一些 的 . ,
n = 2 的 ( Question 1.10). T1, T2 ∈ T , index sets I, J T1=∪
i∈I
Si, T2 =∪
j∈J
S′j, Si, S′j B . 的 性質,
T1∩ T2= ∪
i∈I, j∈J
Si∩ S′j.
以 Si ∩ S′j 以 B 的一些 的 .
x∈ Si∩ S′j, Si, S′j B , 性質 (2) Sx ∈ B x∈ Sx Sx ⊆ Si∩ S′j.
Si∩ S′j= ∪
x∈Si∩S′j
Sx.
T X 的一 Topology B T 的一 basis.
topological space 的 closed set.
Definition 1.2.5. X topological space. S ⊆ X, S 的 Sc = X\ S open set, S closed set.
, closed set open set 的 , 以 一 open set
closed set. 的 . 一 open closed. 一
一 open closed. 一 topological space 的 open
sets closed sets . Indiscrete topology discrete topology . 言 ,
一 closed, open set . 的性質,
Question 1.9, 以 的 .
Proposition 1.2.6. X 一 topological space, 以 性質.
(1) X, ∅ closed.
(2) S1, . . . , Sn closed set,
∪n i∈1
Si closed set.
(3) {Si, i ∈ I} 以 I index set 的 indexed family Si⊆ X closed set, ∩
i∈I
Si closed set.
Question 1.15. indiscrete topology discrete topology open set closed set, closed set open set.
Question 1.16. 一 topological space , 的 closed sets , 以 的 open sets?
的 一 的 topological space 一 的 , 一
closed. indiscrete topology 一 . R 的 standard topology
, 以 . 特殊的 , R 的 standard topology 一
的 metric space , 一 的 一 closed.
1.3. Continuous Functions and Open Maps
一 topology, 的 性質 (Theorem 1.1.8)
的 . , 論一 topological space 的 ,
以 topological spaces 的 .
Definition 1.3.1. X, Y topological spaces f : X→ Y 一 function. Y 的 open set U f−1(U) X 的 open set, f continuous function.
, continuous function 的 的 open set 的 inverse image
的 open set. 的 open set image 的 open set.
Question 1.17. X, Y topological space, f : X→ Y function. 以 f continuous.
(1) X 的 topology discrete topology.
(2) Y 的 topology discrete topology.
(3) X 的 topology indiscrete topology.
(4) Y 的 topology indiscrete topology.
Question 1.18. 一 X 的 identity function idX : X → X continuous function.
一 closed set 的 , open sets 的 closed sets
的 . closed set 的 inverse image 一 continuous.
Proposition 1.3.2. X, Y topological spaces f : X → Y 一 function. f continuous Y 的 closed set C f−1(C) X 的 closed set.
Proof. f continuous, Y 的 closed set C, f−1(C) X 的 closed set, X\ f−1(C) open. X\ f−1(C) = f−1(Y\ C) Y\ C open,
f continuous f−1(Y \ C), X\ f−1(C) open.
, Y 的 closed set C f−1(C) X 的 closed set. Y
的 open set U, Y\ U closed. f−1(Y \ U) = X \ f−1(U) X 的
closed set, f−1(U) open. f continuous.
, f : X→ Y continuous, Y 的 open sets U f−1(U)
X 的 open set. Y 的 open sets , basis 的
一些 . 一 , Y 的一 basis,
basis 的 inverse image .
Proposition 1.3.3. X, Y topological space, B Y 的 topology 的一 basis.
f : X → Y continuous U∈ B, f−1(U) X 的 open set.
Proof. f continuous, U∈ B Y 的 open set, f−1(U) X 的 open set.
, U∈ B, f−1(U) X 的 open set. Y 的 open set U, B basis, index I 以及 Si ∈ B, ∀ i ∈ I U =∪
i∈ISi. f−1(U) = ∪
i∈I f−1(Si) 以及
f−1(Si) open f−1(U) open, f continuous.
X, Y, Z topological spaces, f : X → Y, g : Y → Z functions f, g
g◦ f : X → Z. g◦ f continuous, g◦ f 的 inverse
image f, g 的 inverse image 的 . Z 的一 subset S , g−1(S ) Y 的 subset, f−1(g−1(S )) X 的 subset. 一 (g◦ f )−1(S ) X 的 subset, 以
f−1(g−1(S )) (g◦ f )−1(S ) ? x ∈ f−1(g−1(S )), f (x)∈ g−1(S ).
f (x)∈ g−1(S ) g◦ f (x) = g( f (x)) ∈ S , x∈ (g ◦ f )−1(S ). , x∈ (g ◦ f )−1(S ), g( f (x)) = g◦ f (x) ∈ S , f (x)∈ g−1(S ), x∈ f−1(g−1(S )).
S ⊆ Z, f−1(g−1(S )) = (g◦ f )−1(S ). 性質, 以 的
.
Proposition 1.3.4. X, Y, Z topological spaces. f : X → Y, g : Y → Z continuous functions, g◦ f : X → Z continuous function.
Proof. U Z 的 open set, (g◦ f )−1(U) = f−1(g−1(U)). g : Y → Z continuous, g−1(U) Y 的 open set. f : X → Y continuous,
f−1(g−1(U)) X 的 open set. g◦ f : X → Z continuous function.
, , 些 的特 性質
, 一 . 的 , 以
一 一 的 function, 些 function 的性質
. , group 論 的 group homomorphism.
group 一 一 的 group homomorphism ( isomorphism),
group isomorphic. topological spaces, topological spaces
的拓樸 的 ? spaces 一 一 的 ,
拓樸的 , continuous function !
. X 一 的 . identity map idX : X → X,
discrete topology, indiscrete topology. 的 topology , idX 一
continuous function, X 一 , topologies
. 一 , X, Y topological spaces f : X → Y 一 一 的
continuous function. Y 的 open set U, f continuous, f−1(U) X
open. 一 的 Y 的 open set U′, f onto, f−1(U)
f−1(U′) 的 (why?). 一 一 一的 Y 的
open sets X 的 open sets; X 的 open sets . 以 X
的 open sets Y 的 open sets ( X stronger topology),
X, Y 的拓樸性質. X 的 open set S , f (S )
Y 的 open set, f 一 一的, 一 一 一的 X 的 open sets
Y 的 open sets (why?). X, Y 的拓樸性質 的. 一
一 f : X→ Y X 的 open set S f (S ) Y 的 open set
( one-to-one and onto 以及 continuous 的 ), f 一 open map.
Question 1.19. X, Y topological spaces f : X → Y onto 的 continuous function g : X→ Y one-to-one 的 open map.
(1) U1, U2 Y 的 open sets, f−1(U1), f−1(U2) X 的 open sets.
(2) S1, S2 X 的 open sets, g(S1), g(S2) Y 的 open sets.
的 , X, Y topological spaces T , T′ X, Y 的 topology.
f : X→ Y 一 一 的 continuous function open map, 以 f
一 T T′ ( X 的 open sets 的 Y 的 open sets 的 )
的一 一 一 的 . X 的 open set S Y 的 open set f (U).
F :T → T′ S ∈ T f (S ) ( F(S ) = f (S )). f open map, f (S ) ∈ T′ F well-defined. f 一 一, Question 1.19 (2)
F 一 一. 一 U ∈ T′ f continuous, f−1(U)∈ T .
S = f−1(U) f onto ( f (X) = Y) S ∈ T
F(S ) = f (S ) = f ( f−1(U)) = U∩ f (X) = U ∩ Y = U.
F onto. X 的拓樸 Y 的拓樸 一 一 的 ,
X Y 的拓樸 , 以 的 .
Definition 1.3.5. X, Y topological spaces. 一 f : X→ Y 一 一 的 open map, f X, Y 的 homeomorphism. topological space X, Y homeomorphism, X, Y homeomorphic topological spaces.
一 一 一 的 (以
特殊的拓樸 ). f : X → Y open map , g : Y → X f 的
( , f−1 f 的 ). X 的 open set S ,
g−1(S ) = f (S ) (why?) f open map, g−1(S ) Y 的 open set. g
continuous. f 的 g continuous, X 的 open set S ,
f (S ) = g−1(S ) Y 的 open set, f open map. 以 .
Proposition 1.3.6. X, Y topological spaces, f : X → Y one-to-one and onto. f open map f 的 inverse function continuous.
Question 1.20. X, Y topological spaces, f : X → Y one-to-one and onto.
f continuous function f 的 inverse function open map.
Proposition 1.3.6 以 的 .
Corollary 1.3.7. X, Y topological spaces, f : X → Y X Y 的 . f homeomorphism f one-to-one, onto 以及 continuous f 的 inverse function
continuous.
Question 1.21. X, Y topological spaces, X≃ Y X, Y homeomorphic.
“≃” 一 topological spaces 的 equivalent relation.
Homeomorphisms 的性質, 以 .
1.4. Subset Topology and Disjoint Union Topology
的 topological space 的 . 一 topological
space 的 的拓樸, subset topology. 一 的 topological
spaces 一 topological space, disjoint union topology.
1.4.1. Subset Topology. 一 f : X → Y, X′ X 的 subset,
一 restriction function f|X′ : X′→ Y. f|X′ f 的 X′,
X′ 的 f Y. f : X → Y continuous ,
f|X′ : X′ → Y continuous. X′ topological space,
的 ? 的 X′ 的 topology, 拓樸一
X 的拓樸 . 的 topology X 的 subspace topology.
, X′ 的 open sets
些, 些 “ 的” open sets 的 X′ 的 topology. ,
f|X′ : X′ → Y continuous, Y 的 open set U f|−1X′(U) X′ 的 open set. f|−1X′(U) = f−1(U)∩ X′, x ∈ f |−1X′(U) x ∈ X′
f (x)∈ U ( U Y 的 subset , open 的 ). f : X→ Y
continuous, f−1(U) X 的 open set. 以 的 f : X → Y,
f|X′ : X′ → Y , 的 X′ 的 open sets X 的 open set
X′ 的 . ! X′ 些 open set ,
X′ 的 topology. , T X 的 topology,
T′ ={S ∩ X′ : S ∈ T }, T′ X′ 的 topology. , T′ 的 X′ 的
subset, 以 T′ Definition 1.2.1 的 . X, ∅
T , 以 X′ = X∩ X′, ∅ = ∅ ∩ X′ T′. 以 (1) . (2) ? 一 index set I, S′i ∈ T′,∀ i ∈ I, , Si ∈ T S′i = Si∩ X′. 以
∪
i∈I
S′i =∪
i∈I
(Si∩ X′) = (∪
i∈I
Si)∩ X′. T X 的 topology, 以 ∪
i∈ISi ∈ T , ∪
i∈IS′i ∈ T′. S′1, S′2 ∈ T′, S1, S2 ∈ T S′1 = S1 ∩ X′, S′2 = S2∩ X′, S′1∩ S′2 = (S1∩ S2)∩ X′, 以及 S1∩ S2 ∈ T S′1∩ S′2∈ T′, (3) . , 以 的 .
Definition 1.4.1. X topological space T topology. X 的 subset X′, 以 X′ 的一些 subsets 的
T′={S′∈ P(X′) : S′= S ∩ X′, for some S ∈ T }.
T′ X′ 的 topology, topology X 的 subspace topology. X′ X 的 subspace topology 的 topological space , X′ X 的 subspace.
Question 1.22. X′ ⊆ X. X′ X 的 indiscrete topology 的 subspace topology ? X′ X 的 discrete topology 的 subspace topology ? Question 1.23. [−1, 1) R 的 standard topology 的 subspace topology.
[−1, 0) open? [0, 1) closed?
Question 1.24. X topological space X′ subspace. C′ X′ 的 closed set X 的 closed set C C′= C∩ X′.
Question 1.23 , subspace topology 的 open set 的
topology 的 open set 一 , . subset open ,
的 .
Lemma 1.4.2. X topological space X′ X 的 open subset. X′ X 的 subspace topology. S X′ 的 open set S X 的 open set S ⊆ X′.
Proof. S X′ 的 open set, subspace topology 的 , X 的 open set U S = U∩ X′. X′ X 的 open set, S = U∩ X′⊆ X′ X 的 open set. S X 的 open set S ⊆ X′, S = S ∩ X′, subspace topology 的
, S X′ 的 open set.
Question 1.25. X topological space X′ X 的 open subset. X′ X 的 subspace topology. X′ 的 closed set X 的 closed set ? Lemma
1.4.2, closed set 的 的.
subspace topology 的 的. X′ topological space X 的 subset,
X 的 topology X′ 的 topology 的 f : X → Y,
f|X′ : X′→ Y continuous. subspace topology . X′
的 topology 以 的性質 ? 以 f 的 X′ 的拓
樸, 的. 的拓樸 的 f . 一
X′ 的拓樸 subspace topology , f|X′ continuous. ( 一 , T , T′ X 的 topologies. T 的 open set T′ 的 open set, T ⊆ T′, T′
T (stronger) (finer) 的 topology. T T′ (weaker)
(coarser) 的 topology.) X′ discrete topology 以 f|X′ 的 .
的, 的 . subspace topology 的
的 topology. f identity map id : X→ X, f|X′ : X′ → X X 的 open set U, f|−1X′(U) = U∩ X′ X′ 的 open set. 言 , f|X′ : X′ → X 的 , X′ 的 topology subspace topology 的 open set.
subspace topology 性質 的 topology. 以 的 論.
Proposition 1.4.3. X, Y topological space X′ ⊆ X. X′ X 的 subspace topology, 的 continuous function f : X → Y, f |X′ : X′ → Y continuous function. 一 subspace topology weakest topology continuous function 的 restriction continuous. T′ X′的一 topology 的 continuous function f : X → Y, f |X′ : X′ → Y continuous function, subspace topology T′
weaker topology.
Question 1.26. X topological space X′⊆ X. X′ X 的 subspace topology, 的 open map f : X → Y, f |X′ : X′→ Y open map?
Subspace topology 的 一 continuous functions “ ” 一
continuous function.
Proposition 1.4.4. X topological space X1, X2 X 的 open subsets X1 ∪ X2 = X. Y topological space X1, X2 X 的 subspace topology,
f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y continuous f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ X1∩ X2. f : X→ Y
f (x) =
{ f1(x), x∈ X1; f2(x), x∈ X2.
f continuous function.
Proof. , f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ X1 ∩ X2, 以 f well-defined. f continuous, S Y 的 subset, f−1(S ) = f1−1(S )∪ f2−1(S ).
x ∈ f1−1(S )∪ f2−1(S ) x ∈ f1−1(S ) x ∈ f2−1(S ). x ∈ f1−1(S ) x ∈ X1
f1(x) ∈ S , x ∈ X f (x) ∈ S , x ∈ f−1(S ). x ∈ f2−1(S ) x ∈ f−1(S ). x ∈ f−1(S ), x ∈ X f (x) ∈ S . X = X1 ∪ X2, x∈ X1 x ∈ X2. x∈ X1, f (x) = f1(x), x∈ f1−1(S ).
x∈ X2, x∈ f2−1(S ). f−1(S ) = f1−1(S )∪ f2−1(S ).
Y 的 open set U, 前 f−1(U) = f1−1(U)∪ f2−1(U). f1, f2
continuous, f1−1(U), f2−1(U) X1, X2 的 open set. X1, X2 X 的 open sets 以及 Lemma 1.4.2, f1−1(U), f2−1(U) X 的 open set. f−1(U) = f1−1(U)∪ f2−1(U) f−1(U) X 的 open set, f : X → Y continuous.
1.4.2. Disjoint Union Topology. ( ) 的 ,
disjoint union. X1, X2 的 , 特 X1⊔ X2 的
, X1⊔ X2 X1∪ X2 一 的, X1⊔ X2
X1, X2 的.
X1, X2 的 topological spaces T1, T2 X1, X2 的 topologies.
X1, X2 的 topologies , T1∪ T2, X1⊔ X2 的 topology.
X1⊔ X2 的 topology, X1⊔ X2 T1∪ T2 . 的
T1∪ T2 = {S | S ∈ T1 or S ∈ T2}. 以 S1 ∈ T1, S2 ∈ T2, S1, S2 ∈ T1⊔ T2
S1∪ S2 T1⊔ T2 . T = {S1⊔ S2 | S1 ∈ T1, S2 ∈ T2} 一 X1⊔ X2 的 topology, X1⊔ X2 topological space, disjoint union topology.
前 T = {S1⊔ S2 | S1 ∈ T1, S2 ∈ T2} X1⊔ X2 的 topology.
∅ ∈ T , ∅ ∈ T1 ∅ ∈ T2 以 ∅ = ∅ ⊔ ∅ ∈ T . 一 X1 ∈ T1, X2 ∈ T2 以 X1⊔ X2∈ T . Definition 1.2.1 的 (1) 的. I index set
i∈ I, Ui ∈ T , Si,1 ∈ T1, Si,2 ∈ T2 Ui = Si,1⊔ Si,2.
∪
i∈I
Ui =∪
i∈I
(Si,1⊔ Si,2) =∪
i∈I
(Si,1∪ Si,2) = (∪
i∈I
Si,1)∪ (∪
i∈I
Si,2). T1, T2 topologies ∪
i∈ISi,1 ∈ T1 ∪
i∈ISi,2 ∈ T2, ∪
i∈IUi ∈ T , 及
(2) . (3), U, U′ ∈ T U∩ U′ ∈ T .
S1, S′1 ∈ T1, S2, S′2 ∈ T2 U = S1⊔ S2, U′ = S′1⊔ S′2,
U∩ U′ = (S1⊔ S2)∩ (S′1⊔ S′2) = (S1∩ S′1)∪ (S2∩ S′2)
( S1 ∩ S′2 = S2 ∩ S′1 = ∅), T1, T2 topologies S1 ∩ S′1 ∈ T1
S2∩ S′2 ∈ T2, U∩ U′∈ T .
X1, X2 的 topological spaces, 以 X1, X2 X1⊔X2的 subsets.
X1⊔ X2 的 disjoint union topology, topology X1 的 subspace
topology, X1 的 topology ? 的, X1⊔ X2 的
open set S1⊔ S2 S1, S2 X1, X2 的 open set. (S1⊔ S2)∩ X1 = S1, (S1⊔ S2)∩ X2 = S2, X1, X2 X1⊔ X2 的 subspace topology 的 open set X1, X2 的 open set. 外 X1 的 open set S1, S1⊔ ∅ X1⊔ X2 disjoint union topology 的 open set. (S1⊔ ∅) ∩ X1 = S1 X1⊔ X2
X1 subspace topology 的 open set. 以 X1 的 open set X1 ⊔ X2
subspace topology 的 open set. 以 X1 topology 一 的. X2 的
一 . 以 的 .
Proposition 1.4.5. X1, X2 的 topological spaces, T1, T2
topology. X1⊔X2 的 disjoint union topology T . X1 T 的 subspace topology T1, X2 T 的 subspace topology T2.
Question 1.27. X topological spaceT topology. X1, X2 ⊆ X X1∩ X2 = ∅, X = X1 ⊔ X2. X1, X2 X 的 subspace topology, T1, T2. T T1, T2 的 disjoint union topology?
Proposition 1.4.5 X1, X2 的 topological spaces, 以 X1⊔ X2 disjoint union topology 的 subspace topology “ ” X1, X2 的 topology.
的 topological space Y X = X1 ⊔ X2 disjoint union topology, 的 f : X → Y, 以 “ ” f|X1 : X1 → Y 以及 f |X2 : X2 → Y, . 一 , X1, X2 X = X1 ⊔ X2 的 disjoint union topology open sets, 以
f1 : X1 → Y, f2: X2 → Y , X1∪ X2 =∅, Proposition 1.4.4 一 X = X1⊔ X2 Y 的 , f : X→ Y, f (x) =
{ f1(x), x ∈ X1; f2(x), x ∈ X2.
以 論.
Proposition 1.4.6. X1, X2, Y topological spaces. X = X1⊔ X2 X1, X2 的 disjoint union topology.
F ={ f | f : X → Y is continuous}, F′={( f1, f2)| f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y are continuous}
f 7→ ( f |X1, f |X2) 一 F F′ 一 一 一 的 .
Disjoint union topology 的 以 X1, X2 的 . X1
X1′ ={(x, 1) | x ∈ X1}, X2 X2′ ={(x, 2) | x ∈ X2} 的 ( universal set X X′ ={(x, i) | x ∈ X, i ∈ {1, 2}}). X1′, X′2 ,
X1⨿ X2 = X1′ ⊔ X′2, X1, X2 的 disjoint union. X1⨿ X2 disjoint
union 的 X1, X2 , X1, X2 X1⊔ X2 一 的, 以
X1, X2 , X1⨿ X2 X1, X2 的 disjoint union.
的 disjoint union 以 的 的 product . R ⨿ R 的 (r, 1) (s, 2), r, s ∈ R; R × R 的 (r, s), r, s ∈ R. 以 R ⨿ R
, R × R , .
Question 1.28. I1 = (−1, 0), I2 = (0, 1), I3 = (−0.5, 0.5). I1∪ I2, I1⨿ I2, I1∪ I3, I1⨿ I3 的 性.
X1 topological space T1 topology, X1′ ={(x, 1) | x ∈ X1} topological space. S ∈ T1, S′ ={(s, 1) | s ∈ S }, T1′ ={S′ | S ∈ T1},
T1′ X′1 的 topology. topology, f : X1 → X′1
f (x) = (x, 1) 一 一 一 的 open map, f 一
homeomorphism. X1 X1′ homeomorphic, 以 的拓樸
. X2 topological space, X2′ X2 的拓樸 .
X1′, X′2 的 disjoint union topology X1⨿ X2 的 topology. ,
topology X1, X2 的 disjoint union topology. X1, X2 X1⨿ X2 的 subset, X1′, X′2, 以前 Proposition 1.4.5 及 Proposition 1.4.6 的 以 .
, .
Proposition 1.4.7. X1, X2 topological spaces, T1, T2 topology.
X = X1⨿ X2 的 disjoint union topology T , 以 . (1) X1, X2 T 的 subspace topology T1, T2. (2) Y topological space.
F ={ f | f : X → Y is continuous}, F′={( f1, f2)| f1 : X1 → Y, f2 : X2 → Y are continuous}
f 7→ ( f |X1, f |X2) 一 F F′ 一 一 一 的 .
Question 1.29. I1= (−1, 0), I2 = (0, 1), I3= (−0.5, 0.5) R 的 standard topology 的 subspaces. I1∪ I2, I1∪ I3 R 的 subspace topology, I1 ⨿ I2, I1⨿ I3
disjoint topology, 些 topological spaces 些 homeomorphic?
一 , disjoint union topology 以 topological spaces
的 , 的 及性質 的 一 的, .
1.5. Product Space Topology and Quotient Space Topology
的 topological spaces 的 . product space topology
拓 的 , quotient space topology 一 拓樸 的一
些 “ ” 一 .
1.5.1. Product Space Topology. X1, X2 , 的 Cartesian product X1× X2 ={(x1, x2)| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2}. X1× X2 projection maps:
π1 : X1× X2→ X1, π2 : X1× X2 → X2,
π1(x1, x2) = x1, π2(x1, x2) = x2,∀ (x1, x2)∈ X1× X2. X1, X2 topological spaces, 以 X1× X2 的 topology π1, π2 continuous function. X1× X2
的拓樸 product space topology.
T1, T2 X1, X2的 topology, X1×X2的 topology π1, π2
continuous. π1 : X1× X2 → X1 的 , X1 的 open set U,
π−11 (U) = U×X2 X1×X2的 open set. X2 的 opens set V,π−12 (V) = X1×V X1× X2 的 open set. 以 的 {U × X2| U ∈ T1} ∪ {X1× V | V ∈ T2},
一 topology. X1 × X2 ∅ 內 ( ∅ × X2 = ∅),
U ∈ T1, V ∈ T2, (U × X2)∩ (X1 × V) = U × V 內,
的 open sets topology (3) 的 . 以
的 {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2}. 一 U, U′ ∈ T1, V, V′ ∈ T2,
(U× V) ∩ (U′× V′) = (U∩ U′)× (V ∩ V′) ( U∩ U′ ∈ T1, V ∩ V′ ∈ T2).
topology (3) 的 , (2) 的 .
(U× V) ∪ (U′× V′) 以 U′′× V′′ 的 . 以 的
U× V 的 的 , 言 的 以B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 topology.
Question 1.30. X, Y . Cartesian product X× Y.
(1) S ⊆ X, S × ∅ = ∅.
(2) S, S′⊆ X, T, T′ ⊆ Y, (S× T) ∩ (S′× T′) = (S ∩ S′)× (T ∩ T′).
(3) S, S′ ⊆ X, T, T′ ⊆ Y (S× T) ∪ (S′× T′) S′′× T′′, S′′⊆ X, T′′ ⊆ Y 的 .
以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 topology ? 的
以 topology 的 basis, 一 Proposition 1.2.4 以
一 topology 的 basis 的 . X1 ∈ T1, X2 ∈ T2, 以 X1 × X2 ∈ B, Proposition 1.2.4 (1) 的. 外 S1 = U × V, S2 = U′× V′ B ,
S1∩ S2 = (U∩ U′)× (V ∩ V′) B , Proposition 1.2.4 (2) .
一 一的 X1 × X2 的 topology 以 B basis. 前 ,
π1 : X1× X2 → X1 以及 π2 : X1× X2 → X2 continuous, B 的 open set, 以 的 topology X1× X2 π1, π2 continuous function 的拓樸.
以 的 .
Definition 1.5.1. X1, X2 topological spaces T1, T2 topology. 以 B = {U × V | U ∈ T1, V ∈ T2} basis 的 X1 × X2 的 topology, topology
