Fibonacci 與 Padovan 的 對話 ( 上 ) : 將 Padovan 數列用

Fibonacci 與 ^Padovan 的 對話 ₍ 上 _{) :} 將 ^Padovan 數列用

「完全齊次對稱多項式」 表示

陳建燁

壹、 前言

各位讀者, 你知道 Fibonacci 數列與 Padovan 數列有什麼關聯性嗎? 對於這兩個引起 大量研究興趣的數列, 表面看似並不相關。 本文將揭示其內在的共通性, 並在下一篇文章研究涉 及此兩數列的一個恆等式。

對於著名的 Fibonacci 數列 hFⁿi :







F₀ = 0, F1 = 1 Fn+2 = Fn+1+ Fn

, 已知其一般項為

Fn = 1

√5

h1 +√ 5 2

n

−1 −√ 5 2

ni

(參考資料 [1])。

設 α 與 β 為特徵方程式 x²− x − 1 = 0 的兩根, 且 α > β, 則 F_n = 1

√5(αⁿ− βⁿ) = αⁿ− βⁿ

α− β = αⁿ⁻¹+ αⁿ⁻²β+ · · · + αβⁿ⁻²+ βⁿ⁻¹.

其中的 αⁿ⁻¹+ αⁿ⁻²β+ · · · + αβⁿ⁻²+ βⁿ⁻¹, 恰為 α 與 β 的 「完全齊次對稱多項式」, 記 作 h_n−1(α, β)。 以上說明了 Fn = h_n−1(α, β), 亦即可將費氏數列的一般項, 表示成完全齊次 對稱多項式。

相對地, 另一個引起研究興趣的遞迴數列是所謂的:

Padovan 數列 hPⁿi :







P₀ = P₁ = P₂ = 1 P_n = P_n−2+ P_n−3

。 (參考資料 [2])

數列的前幾項為 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, . . .。

71

根據參考資料 [2] 的說法, 此三階遞迴數列, 是在 1996 年, 由 Ian Stewart 在科學人雜 誌提出。

本文的主要動機是 : 相較於 Fibonacci 數列可表示成完全齊次對稱多項式, 是否能將 Padovan 數 列也表示成完全齊次對稱多項式?

答案是肯定的, 在本篇文章中, 將證明 Pn= hn+2(a, b, c), 其中 a, b, c 是 hPⁿi 的特徵方 程式 x³ − x − 1 = 0 的三個根。

貳、 本文

一、 定義、 記號與已知公式 :

1. 三階遞迴數列生成恆等式(參考資料 [3])

設 haⁿi 為三階遞迴數列, 滿足遞迴關係 aⁿ⁺³ = pan+2 + qan+1 + ran, 其中 n = 0, 1, 2, . . ., 則有

a₀xⁿ⁺³ + (a1− pa⁰)xⁿ⁺²+ (a2 − pa¹ − qa⁰)xⁿ⁺¹

= (x³− px²− qx − r)(a⁰xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ a2xⁿ⁻²+ · · · + an−2x² + a_n−1x+ an) +(pan+ qan−1+ ran−2)x²+ (qan+ ran−1)x + ran, 其中 n ≥ 2。

說明: 將 (x³ − px² − qx − r)(a⁰xⁿ + a1xⁿ⁻¹ + a2xⁿ⁻² + · · · + an−2x² + a_n−1x+ an) 乘開, 得 a₀xⁿ⁺³+ (a1 − pa⁰)xⁿ⁺² + (a2− pa¹ − qa⁰)xⁿ⁺¹− [(paⁿ+ qan−1+ ran−2)x² +(qan+ ra_n−1)x + ran], 移項之後即得。

2. 完全齊次對稱多項式(Complete Homogeneous Symmetric Polynomial)

定義:

h_k(a1, a₂, . . . , a_n) = X

λ1+λ2+·+λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ),

稱為 「變數 a₁, a₂, . . . , an 的 k 次完全齊次對稱多項式」。 特別地, h₀(a1, a₂, . . . , an) = 1, 且 hk(a) = a^k。

例:

h₂(a1, a₂, a₃) = X

λ1+λ2+λ3=2 λ1,λ2,λ3≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a²₁+ a²₂+ a²₃+ a1a₂ + a2a₃+ a3a₁.

例: h2(a, b, c) = a²+ b² + c²+ ab + bc + ca.

例: h₃(a, b) = a³+ b³ + a²b+ ab². 3. 拉格朗日插值型式

定義:

L_k(a1, a₂, . . . , a_n) =

n

X

i=1

a^k_i Q

1≤j≤n j6=i

(ai− a^j), 稱為 「變數 a1, a2, . . . , an 的 k 次拉格朗日插值型式」。

註: 以分子的次方來定義 L 的下標。

例:

L2(a1, a2, a3) =

3

X

i=1

a²_i Q

1≤j≤3 j6=i

(ai− a^j) = a²₁

(a1− a²)(a1− a³) + a²₂

(a2− a¹)(a2− a³)

+ a²₃

(a₃− a1)(a₃− a2). 例:

L8(a, b, c, d) = a⁸

(a − b)(a − c)(a − d) + b⁸

(b − a)(b − c)(b − d) + c⁸

(c − a)(c − b)(c − d)

+ d⁸

(d − a)(d − b)(d − c).

4. h−L 轉換公式 : hk(a1, a₂, . . . , an) = Lk+n−1(a1, a₂, . . . , an), 其中 n ≥ 2, k ≥ 0。

(參考資料 [4])

說明: 此一公式, 可將 「完全齊次對稱多項式」 與 「拉格朗日插值型式」 互相轉換。

例: 取 n = 3, k = 5, 得 h₅(a₁, a₂, a₃) = L₅₊₃₋₁(a₁, a₂, a₃) = L₇(a₁, a₂, a₃)。

說明: 對於

L₇(a1, a₂, a₃) = a⁷₁

(a1 − a²)(a1− a³) + a⁷₂

(a2− a¹)(a2− a³)+ a⁷₃

(a3− a¹)(a3− a²), 首先, 有 3 個變數 a₁, a₂, a₃, 則 n = 3。 接著, a⁷₁

(a1− a²)(a1− a³) 的分母為 2 次方, 分子為 7 次方, 所以化簡後所得齊次式 h_k(a1, a₂, a₃) 的次方 k 為 7 − 2 = 5, 於是有 L⁷(a1, a₂, a₃) = h₅(a₁, a₂, a₃)。

注意到 7 − 5 = 2 = 3 − 1, 可以看出: L 與 h 的下標之差, 恰為變數個數減 1。

由於 L 與 h 的下標之差, 恰為變數個數減 1, 因此 h − L 轉換公式, 也可寫成:

Lk(a1, a2, . . . , an) = h_k−(n−1)(a1, a2, . . . , an), 其中 k ≥ n − 1。

例: L11(a, b, c, d) = h_11−(4−1)(a, b, c, d) = h8(a, b, c, d) 。 例: Ln+3(α, β, γ) = h_{n+3−(3−1)}(α, β, γ) = hn+1(α, β, γ) 。 5. 基本對稱多項式(Elementary Symmetric Polynomial)

定義: ek(a1, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···+λn=k 0≤λ1,λ2,...,λn≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ), 稱為 「變數 a1, a₂, . . . , a_n的 k 次 基本對稱多項式」。

例: e2(a1, a2, a3) = P

λ1+λ2+λ3=2 0≤λ1,λ2,λ3≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a1a2+ a2a3+ a3a1 。

例: e0(a, b, c) = 1, e1(a, b, c) = a + b + c, e2 = ab + bc + ca, e3(a, b, c) = abc 。 例: (x − a)(x − b)(x − c) = x³− e¹(a, b, c)x²+ e2(a, b, c)x − e³(a, b, c) 。

6. 對稱多項式的 「e−h 恆等式」(參考資料 [5])

m

X

k=0

(−1)^ke_k· hn−k = 0, 其中 n ≥ m,

亦即 hn−e¹h_n−1+· · ·+(−1)^teth_n−t+· · ·+(−1)^memh_n−m = 0 。 (其中 ek = ek(a1, a2, . . ., am), hk = hk(a1, a2, . . . , am))

說明: 此式刻劃了基本對稱多項式與完全齊次對稱多項式的關聯性, 也說明了 hk(a1, a₂, . . ., am) 是 m 階遞迴數列。

特別地, 當 m = 3 時, 有 P³

k=0(−1)^kek· h^n−k = 0, 即

h_n(a1, a₂, a₃) − e¹(a1, a₂, a₃)h_n−1(a1, a₂, a₃) + e2(a1, a₂, a₃)h_n−2(a1, a₂, a₃)

−e3(a₁, a₂, a₃)h_n−3(a₁, a₂, a₃) = 0, 簡記為 hn− e1· hn−1+ e₂· hn−2− e3· hn−3 = 0。

二、 主要工作 :

(一) 將三階遞迴數列的一般項 an 表示成完全齊次對稱多項式 h_n(α, β, γ) 的線性組合:

1. 設 haⁿi 為三階遞迴數列, 滿足遞迴關係 aⁿ⁺³ = pan+2 + qan+1+ ran, 且設特徵方程式 x³− px²− qx − r = 0 有三相異根 α、 β 與 γ 。

由 「三階遞迴數列生成恆等式」, 有:

a0xⁿ⁺³+ (a1− pa⁰)xⁿ⁺²+ (a2− pa¹− qa⁰)xⁿ⁺¹

=

(x

− px

− qx − r)

+(pa

+ qa

+ ra

)x

=

(x − α)(x − β)(x − γ)

令 f (x) = a₀xⁿ⁺³+(a₁−pa0)xⁿ⁺²+(a₂−pa1−qa0)xⁿ⁺¹ = Axⁿ⁺³+Bxⁿ⁺²+Cxⁿ⁺¹ 可將上式視為:

「f (x) 除以 (x − α)(x − β)(x − γ) 的餘式為 aⁿ⁺¹x²+ (qan+ ra_n−1)x + ran」。

可以看出, 三階遞迴數列的一般項 a_n+1, 正好是餘式 an+1x²+ (qan+ ran−1)x + ran 的 x² 項的係數。

2. 由 「拉格朗日插值多項式」, 可得

餘式 a_n+1x²+ (qan+ ran−1)x + ran

= f (α) · (x − β)(x − γ)

(α − β)(α − γ) + f (β) · (x − α)(x − γ)

(β − α)(β − γ) + f (γ) ·(x − α)(x − β) (γ − α)(γ − β) 比較 x² 的係數, 可得

an+1= f(α)

(α − β)(α − γ) + f(β)

(β − α)(β − γ) + f(γ) (γ − α)(γ − β)

=Aαⁿ⁺³+Bαⁿ⁺²+Cαⁿ⁺¹

(α−β)(α−γ) +Aβⁿ⁺³+Bβⁿ⁺²+Cβⁿ⁺¹

(β −α)(β−γ) +Aγⁿ⁺³+Bγⁿ⁺²+Cγⁿ⁺¹ (γ −α)(γ −β)

= A· αⁿ⁺³

(α − β)(α − γ) + A· βⁿ⁺³

(β − α)(β − γ) + A· γⁿ⁺³ (γ − α)(γ − β) + B· αⁿ⁺²

(α − β)(α − γ)+ B· βⁿ⁺²

(β − α)(β − γ) + B · γⁿ⁺² (γ − α)(γ − β) + C· αⁿ⁺¹

(α − β)(α − γ)+ C· βⁿ⁺¹

(β − α)(β − γ) + C· γⁿ⁺¹ (γ − α)(γ − β)

=A · Lⁿ⁺³(α, β, γ) + B · Lⁿ⁺²(α, β, γ) + C · Lⁿ⁺¹(α, β, γ) 3. 由 h − L 轉換公式 (參見第 74 頁), 可得

A· Lⁿ⁺³(α, β, γ) + B · Lⁿ⁺²(α, β, γ) + C · Lⁿ⁺¹(α, β, γ)

= A · hn+1(α, β, γ) + B · hⁿ(α, β, γ) + C · hn−1(α, β, γ).

4. 由 1, 2, 3, 可得

a_n+1 = A · hⁿ⁺¹(α, β, γ) + B · hⁿ(α, β, γ) + C · hn−1(α, β, γ), 其中 n ≥ 2

⇒ aⁿ= A · hⁿ(α, β, γ) + B · hn−1(α, β, γ) + C · hn−2(α, β, γ), 其中 n ≥ 3, 且 A = a₀, B = a₁− pa0, C = a₂− pa1− qa0 。

至此, 已將三階遞迴數列的一般項 an 表示成完全齊次對稱多項式 hn(α, β, γ) 的線性組 合。

(二) Padovan 數列的一般項

1. 在上述的推導過程中, 取 a₀ = a₁ = a₂ = 1 與 p = 0, q = 1, r = 1, 則數列 haⁿi 即為 Padovan 數列 hPⁿi。

設特徵方程式 x³− x − 1 = 0 的三相異根為 a, b, c(註), 則有

Pn= A · hⁿ(a, b, c) + B · hn−1(a, b, c) + C · hn−2(a, b, c), 其中 n ≥ 3, 此時 A = a₀ = 1, B = a₁−pa0 = 1−0·1 = 1, C = a2−pa1−qa0 = 1−0·1−1·1 = 0, 即得 P_n= hn(a, b, c) + h_n−1(a, b, c) 。

2. 更進一步地, 由 「e −h 恆等式」(參見第 74 頁), 有 hⁿ(a, b, c) −e¹(a, b, c) ·hn−1(a, b, c) + e2(a, b, c) · hn−2(a, b, c) − e³(a, b, c) · hn−3(a, b, c) = 0, 其中 n ≥ 3 。

又由 x³ − x − 1 = (x − a)(x − b)(x − c), 可得

e1(a, b, c) = a + b + c = 0, e2(a, b, c) = ab + bc + ca = −1, e³(a, b, c) = abc = 1

⇒ hⁿ(a, b, c) − 0 · hⁿ⁻¹(a, b, c) + (−1) · hⁿ⁻²(a, b, c) − 1 · hⁿ⁻³(a, b, c) = 0

⇒ hⁿ(a, b, c) = h_n−2(a, b, c) + h_n−3(a, b, c), 其中 n ≥ 3

⇒ hⁿ⁺²(a, b, c) = hn(a, b, c) + h_n−1(a, b, c), 其中 n ≥ 1.

3. 由 1, 2, 可得 Pn= hn(a, b, c) + h_n−1(a, b, c) = h_n+2(a, b, c), 其中 n ≥ 3 。

至此, 已將 Padovan 數列 hPni 的一般項表示為完全齊次對稱多項式 hⁿ⁺²(a, b, c), 即 P_n = hn+2(a, b, c), 其中 n ≥ 3, 且 a, b, c 為 hPⁿi 的特徵方程式 x³ − x − 1 = 0 的三 根。 此一表達式, 也可寫成 hn(a, b, c) = P_n−2, 其中 n ≥ 5 。

(三) 延拓至所有整數下標 1. 對於 Padovan 數列 hPⁿi :

(P₀ = P₁ = P₂ = 1

Pn = P_n−2+ P_n−3, Pn 的下標取值範圍可為所有整數。

由 P_n = P_n−2+ P_n−3 ⇒ Pn−3 = Pn− Pn−2, 可由此定出 P₋₁, P₋₂, P₋₃, . . .:

P₋₁= P2− P⁰ = 1 − 1 = 0, P₋₂= P1− P−1 = 1 − 0 = 1, P₋₃= P0− P⁻² = 1 − 1 = 0,

...

2. 設 a, b, c 為特徵方程式 x³ − x − 1 = 0 的三根, 由 「e − h 恆等式」, 有 hⁿ(a, b, c) = h_n−2(a, b, c) + h_n−3(a, b, c), 其中 n ≥ 3, 簡記為 hⁿ = h_n−2 + h_n−3, 其中 n ≥ 3, 此式說明了 hhⁿi 也構成一個三階遞迴數列, 而數列的前 3 項分別為: h⁰(a, b, c) = 1, h1(a, b, c) = a + b + c = 0, h2(a, b, c) = (a + b + c)²− (ab + bc + ca) = 0 − (−1) = 1, 所以有:

hhⁿi :

(h₀ = 1, h1 = 0, h2 = 1 h_n= h_n−2+ h_n−3

類似於 Padovan 數列, hn 的下標取值範圍也可為所有整數。 由 hn = h_n−2 + h_n−3 ⇒ h_n−3 = hn− hn−2, 可由此定出 h₋₁, h₋₂, h₋₃, . . .:

h₋₁= h2− h⁰ = 1 − 1 = 0, h₋₂= h1− h⁻¹ = 0 − 0 = 0, h₋₃= h0− h−2 = 1 − 0 = 1,

...

3. 注意到 P0 = 1 = h2, P−1 = 0 = h1 與 P₋₂ = 1 = h0, 即 hPⁿi 與 hhⁿi 有連 續三項是相同的。 又 hPⁿi 的遞迴關係式為 Pⁿ = P_n−2 + P_n−3, hhⁿi 的遞迴關係式為 hn = h_n−2+ h_n−3, 形式完全相同, 所以可看出 hPⁿi 與 hhⁿi 兩數列中的項完全相同, 只 有下標相差 2, 亦即 Pn = hn+2(a, b, c), 其中 n 為任意整數。

舉例而言, 從 P₀ = 1 = h2, P₋₁= 0 = h1 與 P₋₂ = 1 = h0 出發, 則

P₋₃= P0− P−2 = h2− h⁰ = h₋₁, P₋₄ = P₋₁− P−3 = h1− h−1 = h₋₂, . . .; P1= P₋₁+ P₋₂ = h1+ h0 = h3, P2 = P0+ P₋₁ = h2+ h1 = h4,

P₃= P₁+ P₀ = h₃+ h₂ = h₅, . . . ,

可得 Pn= hn+2(a, b, c) 對所有整數下標皆成立。

註: 方程式 x³− x − 1 = 0 有三相異根, 此一事實之證明置於附錄。

參、 結語

回顧本文的工作, 第一階段, 先注意到三階遞迴數列一般項 an+1, 正好出現在多項式除法 的餘式 an+1x²+ (qan+ ra_n−1)x + ran 的 x² 項的係數; 接著用拉格朗日插值多項式寫出餘 式, 求得餘式的 x² 項的係數為 A · Lⁿ⁺³+ B · Lⁿ⁺²+ C · Lⁿ⁺¹; 再用 h − L 轉換公式, 轉換 成 A · hn+1+ B · hⁿ+ C · hn−1。 用以上的方式, 將三階遞迴數列的一般項 an, 表示成完全 齊次對稱多項式 h_n(α, β, γ) 的線性組合。

第二階段, 取 a0 = a1 = a2 = 1 與 p = 0, q = 1, r = 1, 則數列 haⁿi 即為 Padovan 數列 hPⁿi, 得 Pⁿ = 1 · hⁿ+ 1 · hn−1+ 0 · hn−2 = hn+ h_n−1; 再用 e − h 恆等式, 得 hn+ h_n−1 = hn+2; 最後將下標延拓至所有整數, 得到 Pn = hn+2(a, b, c), 其中 n 為任意整 數, 且 a, b, c 為特徵方程式 x³− x − 1 = 0 的三根, 將 hPⁿi 的一般項表示為完全齊次對稱多 項式。

相較於將 Padovan 數列用一系列由小到大的正三角形邊長來呈現 (參考資料 [2]) 所展現 的幾何面貌, 本篇文章揭示的是Padovan 數列的 「代數本質」, 亦即本質上, Padovan 數列可 視為完全齊次對稱多項式的一種特殊情形。 由此, 即有可能透過對完全齊次對稱多項式進行更 一般的研究, 反過來得到 Padovan 數列的一些性質, 這是本文的目的所在。

附錄

方程式 x³− x − 1 = 0 有三相異根。

證明:

1. 若 x³− x − 1 = (x − k)³ = x³− 3kx²+ 3k²x− k³

⇒







−3k = 0 3k² = −1

−k³ = −1

, 不合, 由此可知 x³− x − 1 = 0 沒有三重根。

2. 若 x³− x − 1 = (x − α)²(x − β) = x³ − (2α + β)x²+ (α² + 2αβ)x − α²β, 其中 α6= β ⇒







−(2α + β) = 0 α²+ 2αβ = −1

−α²β = −1

將 β = −2α 代入 α²+ 2αβ = −1 與 −α²β = −1, 得 3α² = 1 與 2α³ = −1 將兩式 相除, 得 α = −3

2 ⇒ β = −2α = 3 ⇒ α²β = 27

4 6= 1, 不合, 由此可知 x³− x − 1 = 0 沒有二重根。

3. 由 1, 2 可知, x³− x − 1 = 0 有三相異根。

另證: 由一元三次方程式的公式解, 可直接解出 x³− x − 1 = 0 的三根為

3

s 1

2+r 23 108 + ³

s 1

2−r 23 108, ³

s 1

2 +r 23

108 · ω + ³ s

1

2 −r 23 108 · ω² 與 ³

s 1

2+r 23

108 · ω²+ ³ s

1

2 −r 23 108 · ω, 其中 ω = −1 +√

3i

2 , 亦可看出此三根相異。

參考資料

1. 陳建燁。 推導費氏數列性質三部曲(中): 用根與係數關係。 高中數學學科中心電子報第109 期 , p.1, 2016 年 4 月。

2. 廖信傑。 用矩陣方法探討三階遞迴數列。 數學傳播, 38(1), 36-50, 2005。

3. 陳建燁。 用 「拉格朗日插值多項式」 求三階遞迴數列的一般項(三相異根)。 高中數學學科中心電子 報第115 期, 1-2, 2016 年 10 月。

4. 陳建燁。 推廣的 Vandermonde 行列式 (最右行升次型)。 高中數學學科中心電子報第 114 期, p.6, 11, 12, 14, 2016 年 9 月。

5. I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 12-14.

—本文作者任教台北市立第一女子高級中學_—

2017 全國技專院校 「文以載數創作獎」 作品選集

你說 , ^{我說 文 / 黃鈺婷}

時間滴答滴地過偶然相遇的輪廓 造就奇特的邂逅在我的試卷畫下了因果

你說彼此在一起就像彗星撞上了地球 兩點一直線的距離遠遠大於一道馬里亞納海溝

我說相遇在一起就像兩個圓凝聚成了果 兩點一直線的距離僅僅小於一個眼神一個回眸

你說這個未知數風險過大不足以投注 我說給個概數我將義無反顧 在幾何的世界兩點相連成線 於倍數增長的催化編織成新的一面

—本文作者就讀正修科技大學國際企業系—