1 多項式的乘法

(1)

CH1-3 多項式的乘除

多項式的乘法

1

多項式的除法

2

(2)

搭配頁數 P.

1 _{多項式的乘法}

33

　　單項式乘以單項式可以利用交換律、結合律與指數律運算，例如：

(1) 3 ． 7x⁴ ＝ 3 ． 7 ． x⁴ ＝ 21x⁴

(2) 6x ． 3x ＝ 6 ． x ． 3 ． x ＝ 6 ． 3 ． x ． x ＝ 18x²

(3) 2x ． ( － 5x²) ＝ 2 ． x ． ( － 5) ． x²

＝ 2 ． ( － 5) ． x ． x² ＝－ 10x³ (4) ( － 4x³)² ＝ ( － 4x³) ． ( － 4x³)

＝ ( － 4) ． ( － 4) ． x³ ． x³ ＝ 16x⁶ 　　由以上的例子可知，單項式乘以單項式時，

係數與係數相乘，未知數與未知數相乘。

　　單項式乘以多項式可以利用分配律運算，

如。

(3)

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) 2x ． (3x ＋ 2) (2) (x ＋ 8) ． ( － 3 x)

1

^{單項式乘以多項式} ³³

解

＝ 2x ． 3x ＋ 2x ． 2

＝ 6x² ＋ 4x

(1 )2x ． (3x ＋ 2)

(4)

搭配頁數 P.

(1) 2x ． (3x ＋ 2) (2) (x ＋ 8) ． ( － 3 x)

1

^{單項式乘以多項式} ³³

解

＝ x ． ( － 3x) ＋ 8 ． ( － 3x)

＝－ 3x² － 24x

(2) (x ＋ 8) ． ( － 3x)

(5)

搭配頁數 P.

(1) 6x ． (7x ＋ 1)

解

33

＝ 6x ． 7x ＋ 6x ． 1

＝ 42x² ＋ 6x

(6)

搭配頁數 P.

(2) ( － 5x ＋ 1) ． 4x

33

＝－ 5x ． 4x ＋ 1 ． 4x

解

＝－ 20x² ＋ 4x

(7)

搭配頁數 P.

　　多項式乘以多項式也可以利用分配律運算，

例如：

(x ＋ 3) (x ＋ 2) ＝ x² ＋ 2x ＋ 3x ＋ 6 ＝ x² ＋ 5x ＋ 6 分配律也可以寫成直式運算，方法如下：

34

① 從最高次項開始算 ② 從常數項開始算 x ＋ 3

x ＋ 2 x² ＋ 3x

2x ＋ 6 x² ＋ 5x ＋ 6

×

x ＋ 3 x ＋ 2 2x ＋ 6 x² ＋ 3x

x² ＋ 5x ＋ 6 或 ×

(8)

搭配頁數 P.

計算 (2x² － 3x ＋ 1) (3x ＋ 5) 的結果。

2

^{多項式乘以多項式}

解一用橫式運算

34

＝ 6x³ ＋ 10x² － 9x² － 15x ＋ 3x ＋ 5

＝ 6x³ ＋ x² － 12x ＋ 5 (2x² － 3x ＋ 1) (3x ＋ 5)

(9)

搭配頁數 P.

計算 (2x² － 3x ＋ 1) (3x ＋ 5) 的結果。

2

^{多項式乘以多項式}

解二用直式運算

34

① 從最高次項開始算，

式子宜靠左對齊。 ② 從常數項開始算，

式子宜靠右對齊。

×

2x²－ 3x ＋ 1 3x ＋ 5

6x³－ 9x²＋ 3x

10x²－ 15x＋ 5 6x³＋ x²－ 12x＋ 5

3x 10x²

6x³ 6x³

×

2x²－ 3x＋ 1

＋ 5

－ 15x＋ 5

－ 9x²＋ 3x

＋ x²－ 12x＋ 5

(10)

搭配頁數 P.

(1) (2x － 1) (3x ＋ 5)

解 ＝ 6x² ＋ 10x － 3x － 5

＝ 6x² ＋ 7x － 5

35

(11)

搭配頁數 P.

(2) (x ＋ 2) (3x² － 2x ＋ 6)

解 ＝ 3x³ － 2x² ＋ 6x ＋ 6x² － 4x ＋ 12

＝ 3x³ ＋ 4x² ＋ 2x ＋ 12

35

(12)

搭配頁數 P.35

　在作多項式的直式乘法時，通常先將式子依降冪排列，缺項補 0 。

(13)

搭配頁數 P.

利用直式計算 (2x² － 5) (3x － 6) 。

3

^{缺項的多項式乘法} ³⁵

解 ① 從最高次項開始算 ② 從常數項開始算

6x³

－ 12x²

×

2x²＋ 0x － 5 3x － 6

＋ 0x²－ 15x

－ 0x＋ 30 6x³－ 12x²－ 15x＋ 30

－ 12x² 6x³

6x³

×

2x²＋ 0x－ 5 3x－ 6

－ 0x＋ 30

＋ 0x²－ 15x

－ 12x²－ 15x＋ 30

(14)

搭配頁數 P.

利用直式計算 (2x² ＋ 1) (x － 7) 。

35

解 ① 從最高次項開始算 ② 從常數項開始算

2x³

－ 14x² 2x³

2x²

× x

＋ 0x ＋ 1

－ 7

＋ 0x²＋ x

－ 0x－ 7

－ 14x²＋ x－ 7

－ 14x² 2x³

2x³

2x²

× x

＋ 0x＋ 1

－ 7

－ 0x－ 7

＋ 0x²＋ x

－ 14x²＋ x－ 7

(15)

搭配頁數 P.

(1) (x ＋ 4)² (2) (3x － 1)²

(3) (x² － 9) (x² ＋ 9)

4

^{乘法公式之運用} ³⁶

解 (1) (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2 ． a ． b ＋ b² (x ＋ 4)² ＝ x² ＋ 2 ． x ． 4 ＋ 4²

＝ x² ＋ 8x ＋ 16

(16)

搭配頁數 P.

(1) (x ＋ 4)² (2) (3x － 1)²

(3) (x² － 9) (x² ＋ 9)

4

解 (2) ( a － b)² ＝ a² － 2 ． a ． b ＋ b² (3x － 1)² ＝ (3x)² － 2 ． 3x ． 1 ＋ 1²

＝ 9x² － 6x ＋ 1

(3x)² ＝ (3x) (3x)

＝ 9x²

(17)

搭配頁數 P.

(1) (x ＋ 4)² (2) (3x － 1)²

(3) (x² － 9) (x² ＋ 9)

4

解 (3) (a － b) (a ＋ b) ＝ a² － b² (x² － 9) (x² ＋ 9) ＝ (x²)² － 9²

＝ x⁴ － 81

(18)

搭配頁數 P.

(1) (6x ＋ 1)²

解 ＝ (6x)² ＋ 2 × 6x × 1 ＋ 1²

＝ 36x² ＋ 12x ＋ 1

36

(19)

搭配頁數 P.

(2) (1 － 2x)²

解＝ 1² － 2 × 1 × 2x ＋ (2x)²

＝ 1 － 4x ＋ 4x²

36

(20)

搭配頁數 P.

(3) (2x ＋ 3) (2x － 3)

解 ＝ (2x)² － 3²

＝ 4x² － 9

36

(21)

搭配頁數 P.

(4) (4x² ＋ 5) (4x² － 5)

解 ＝ (4x²)² － 5²

＝ 16x⁴ － 25

36

(22)

搭配頁數 P.

2 _{多項式的除法}

　　我們曾經學過整數的乘除關係，例如：

2 × ( 　　 ) ＝ 18 ，則 ( 　　 ) ＝ 18 ÷ 2 ＝ 9 ，

這種乘除互逆的關係，對於多項式也成立。

37

(23)

搭配頁數 P.

求下列 ( 　　 ) 中的多項式：

(1)5x × ( 　　 ) ＝－ 35x² (2)5x × ( 　　 ) ＝ 7x²

5

^乘除互逆 ³⁷

解 (1)5x ×( 　　 ) ＝－ 35x²

( 　　 ) ＝－ 35x²÷ (5x)

＝

＝－ 7x

－ 35x²÷ (5x) 與

－ 35x²÷ 5x 是相同的意思。

(24)

搭配頁數 P.

求下列 ( 　　 ) 中的多項式：

(1)5x × ( 　　 ) ＝－ 35x² (2)5x × ( 　　 ) ＝ 7x²

5

^乘除互逆 ³⁷

解 (2)5x × ( 　　 ) ＝ 7x²

( 　　 ) ＝ 7x²÷ (5x)

＝

＝ x

(25)

搭配頁數 P.

在下列空格中填入適當的多項式：

(1)5x²× _______ ＝－ 15x³ (2)5x × _{_________} ＝ x²

解

( － 3x) x

37

(26)

搭配頁數 P.37

在第 (1) 題， ( － 35x²) ÷ (5x) 也可利用直式計算：

所以 ( － 35x²) ÷ (5x) ＝－ 7x 。

在上例 ( － 35x²) ÷ (5x) 的直式除法中

，－ 35x² 稱為被除式， 5x 稱為除式，－ 7x 稱為商式， 0 稱為餘式。當餘式為 0 時，稱為整除。

除式餘式

－ 35－ 35 0

－ 7 5

商

被除數餘數除數

5 × ( － 7)

－ 35x²

－ 35x² 5x

0

－ 7x 商式被除式

5x ． ( － 7x)

－ 35x² 減－ 35x²

(27)

搭配頁數 P.

　　多項式的除法運算中，被除式、除式、商式、餘式都是多項式，運算時先將被除式與除式依降冪排列，再開始進行除法運算，直到餘式的次數比除式的次數低或餘式為 0 。以

(6x² ＋ 8x － 3) ÷ (2x) 為例，說明如下：

步驟

1^2x：要乘以多少才會等於 6x² ？

6x² ＋ 8x － 3

2x 2x 6x² ＋ 8x － 3 6x²

8x

2x ． 3x

□

3x

6x²÷ 2x ＝ 3x

8x 的次數沒有低於除式 2x 的次數，還要繼續除。

38

………

…………

(28)

搭配頁數 P.

步驟

2_2x：_{要乘以多少才會等於}

8x ？

6x² ＋ 8x － 3

2x 2x 6x² ＋ 8x － 3 6x²

8x

2x ． 4

□

3x

8x ÷ 2x ＝ 4

－ 3 的次數低於除式

2x 的次數，除法直式計算完成

。

38

3x ＋ 6x²

8x

－ 3

＋ 4

所以 (6x² ＋ 8x － 3) ÷ (2x) 的商式為 3x ＋ 4 ，餘式為－ 3 。

……

餘式不為 0 時，其次數必須比除式的次數低。

(29)

搭配頁數 P.39

2 ÷ (3x) 的商式和餘式是多少呢？

我會！

Great ！商式是 0 ，

餘式是 2 。

如果被除式的次數低於除式的次數，則商式為 0 ，而餘式即為被除式。

(30)

搭配頁數 P.

求 (5x² － 4x) ÷ x 的商式及餘式。

6

^{多項式除以單項式} ³⁹

所以 (5x² － 4x) ÷ x 的商式為 5x － 4 ，

餘式為 0 。 5x² －

4x x

5x²

－ 4x 5x

－ 4x 0

－ 4

⋯⋯ － 4x 的次數沒有低於 除式 x 的次數。

解

(31)

搭配頁數 P.

求下列各式的商式及餘式：

(1) (9x² － 6x ＋ 5) ÷ (3x)

解

39

商式為 3x － 2 ，餘式為 5 。

9x² － 6x ＋ 5 3x

9x²

－ 6x 3x

－ 6x

5

－ 2

(32)

搭配頁數 P.

(2) (4x² － 6x) ÷ ( － 2x)

39

商式為－ 2x ＋ 3 ，餘式為 0 。

4x²

－ 6x

－ 2x

－ 6x 0

＋ 3 4x² － 6x

－ 2x

解

(33)

搭配頁數 P.

求 (4x² － 2x ＋ 5) ÷ (2x ＋ 1) 的商式及餘式。

7

^{二次式除以一次式} ⁴⁰

所以 (4x² － 2x ＋ 5) ÷ (2x ＋ 1) 的商式為 2x － 2 ，餘式為 7 。

4x² － 2x ＋ 5 2x ＋ 1

4x² ＋ 2x

－ 4x 2x

－ 4x － 2 7

－ 2

⋯⋯⋯⋯⋯ (2x ＋ 1) ． 2x

解

⋯⋯ (2x ＋ 1) ． ( － 2) 4x²÷ 2x ＝

2x ( － 4x) ÷ 2x ＝－ 2

7 比 2x ＋ 1 的 次數低，故餘式為 7 。

＋ 5

(34)

搭配頁數 P.

(1) (6x² － 17x － 7) ÷ (3x － 1)

40

商式為 2x － 5 ，餘式為－

12 。

6x² － 17x － 7 3x － 1

6x² － 2x

－ 15x 2x

－ 15x ＋ 5

－ 12

－ 5

－ 7

解

(35)

搭配頁數 P.

(2) ( － 4x² ＋ 12x ＋ 1) ÷ ( － 2x ＋ 1)

40

商式為 2x － 5 ，餘式為 6 。

－ 4x² ＋ 12x ＋ 1

－ 2x ＋

1 － 4x² ＋ 2x 10x 2x

10x － 5 6

－ 5

＋ 1

解

(36)

搭配頁數 P.

求 (3x² ＋ 6x ＋ 1) ÷ (3x ＋ 5) 的商式及餘式。

8

多項式的除法 ( 商式的係數有分數 ) ⁴¹

所以 (3x² ＋ 6x ＋ 1) ÷ (3x ＋ 5) 的 商式為 x ＋，餘式為－。

3x² ＋ 6x ＋ 1 3x ＋ 5

3x² ＋ 5x x x

x ＋

－

＋ ⋯⋯⋯⋯⋯ x ÷ 3x ＝

解

＋ 1

(37)

搭配頁數 P.

(1) (2x² ＋ 2x ＋ 1) ÷ (2x ＋ 3)

41

商式為 x －，餘式為。 2x² ＋ 2x ＋ 1

2x ＋ 3

2x² ＋ 3x

－ x x

－ x －

－

＋ 1

解

(38)

搭配頁數 P.

(2) (x² － 12x ＋ 5) ÷ (3x ＋ 9)

41

商式為 x － 5 ，餘式為 50 。

x² － 12x ＋ 5 3x ＋ 9

x² ＋ 3x

－ 15x x

－ 15x － 45 50

－ 5

＋ 5

解

(39)

搭配頁數 P.

　　除法和乘法一樣，遇到被除式或除式缺項時，通常要補 0 。

42

(40)

搭配頁數 P.

所以 (4x² ＋ 1) ÷ (4x ＋ 3) 的 商式為 x －，餘式為。

求 (4x² ＋ 1) ÷ (4x ＋ 3) 的商式及餘式。

9

多項式的除法 ( 缺項補零 ) 　 ⁴² 4x² ＋ 0x ＋ 1

4x ＋ 3

4x² ＋ 3x

－ 3x x

－ 3x －

解－

＋ 1

(41)

搭配頁數 P.

(1) (3x² － 5) ÷ (x ＋ 1)

解

42

商式為 3x － 3 ，餘式為－

2 。

3x² ＋ 0x － 5 x ＋

1 3x² ＋ 3x

－ 3x 3x

－ 3x － 3

－ 2

－ 3

－ 5

(42)

搭配頁數 P.

(2) (2x² － 1) ÷ (2x ＋ 1)

42

商式為 x －，餘式為－。

2x² ＋ 0x － 1 2x ＋

1 2x² ＋ x

－ x x

－ x －

－

－ 1

解

(43)

搭配頁數 P.43

在整數的除法中，被除數＝除數 × 商＋餘數，例如： 37 ÷ 7 的商為 5 ，餘數為 2 ，則 37

＝ 7 × 5 ＋ 2 ，這樣的關係在多項式的除法也成立

。 例如： (x² ＋ 3x ＋ 5) ÷ (x ＋ 1) 的商式為 x

＋ 2 ，餘式為 3 ，則 (x² ＋ 3x ＋ 5) ＝ (x ＋ 1) (x

＋ 2) ＋ 3 ，

即被除式＝除式 × 商式＋餘式。

(44)

搭配頁數 P.43

多項式的除法

被除式＝除式 × 商式＋餘式

(45)

搭配頁數 P.

已知多項式 A 除以 2x － 5 得商式為 3x ＋ 6

，餘式為 3 ，求多項式 A 。

10

^求被除式

解

43

被除式＝除式 × 商式＋餘式

＝ 6x² ＋ 12x － 15x － 30 ＋ 3＝ 6x² － 3x － 27

＝ (2x － 5) (3x ＋ 6) ＋ 3 A

所以多項式 A ＝ 6x² － 3x － 27 。

(46)

搭配頁數 P.

已知多項式 A 除以－ 3x ＋ 1 得商式為 x ＋ 5

，餘式為 2 ，求多項式 A 。

解 A ＝ ( － 3x ＋ 1) (x ＋ 5) ＋ 2

＝－ 3x² － 14x ＋ 7

＝－ 3x² － 15x ＋ x ＋ 5 ＋ 2

43

(47)

搭配頁數 P.

已知 2x² － 7x － 8 除以多項式 A 得商式為 x

－ 5 ，餘式為 7 ，求多項式 A 。

11

^求除式

解

44

被除式＝除式 × 商式＋餘 2x式² － 7x － 8 ＝ A × (x － 5) ＋ 7

A ＝ (2x² － 7x － 15) ÷ (x － 5) 2x² － 7x － 8 － 7 ＝ A × (x － 5) 2x² － 7x － 15 ＝ A × (x －

5)

＝ 2x ＋ 3

2x² － 7x － 15 2x² － 10x

3x － 15 2x ＋ 3

x － 5

3x － 15 0

(48)

搭配頁數 P.

已知－ 3x² － x ＋ 5 除以多項式 A 得商式為 x

＋ 4 ，餘式為－ 39 ，求多項式 A 。

解 － 3x² － x ＋ 5 ＝ A × (x ＋ 4) ＋ ( － 39) A ＝ ( － 3x² － x ＋ 44) ÷ (x ＋ 4)

－ 3x² － x ＋ 5 ＋ 39 ＝ A × (x ＋ 4)

44

＝－ 3x ＋ 11

－ 3x² － x ＋ 44

x ＋ 4

－ 3x² － 12x 11x

－ 3x

11x ＋

44 0

＋ 11

＋ 44

(49)

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

利用分配律與乘法公式進行多項式的乘法。

多項式的乘法

(3x ＋ 7) (2x － 5) ＝ 6x² － 15x ＋ 14x － 35

45

1

＝ 6x² － x － 35

(50)

重點回顧

(1) 多項式除以多項式時，先做降冪排列，再用直式算法運算。

多項式的除法

求 ( － 5x ＋ 6x² ＋ 6) ÷ (2x ＋ 3) 的商式與 餘式：

45

2

6x² － 5x ＋ 6

2x ＋ 3

6x² ＋ 9x

－ 14x ＋ 6

3x

－ 14x －

21 27

－ 7

商式為 3x － 7 ，餘式為 27 。

(51)

重點回顧

(2) 多項式的乘除法如有缺項，通常要補 0 。多項式的除法

求 (3x² ＋ 7) ÷ (x ＋ 2) 的商式與餘式：

45

2

3x² ＋ 0x ＋ 7

x ＋ 2

3x² ＋ 6x

－ 6x ＋ 7

3x

－ 6x －

12 19

－ 6

商式為 3x － 6 ，餘式為 19 。

(52)

重點回顧

(3) 被除式＝除式 × 商式＋餘式多項式的除法

(6x² － 5x ＋ 6) ÷ (2x ＋ 3) 的

商式為 (3x － 7) ，餘式為 27 。

所以 6x² － 5x ＋ 6 ＝ (2x ＋ 3) (3x － 7) ＋ 27 。

45

2

(53)

自我評量

(1) (2x ＋ 1) (3x － 8) 1

解

46

＝ 6x² － 16x ＋ 3x － 8＝ 6x² － 13x － 8

(54)

自我評量

(2) (4x ＋ 3)² 1

解

46

＝ (4x)² ＋ 2 ． 4x ． 3 ＋ 3²

＝ 16x² ＋ 24x ＋ 9

(55)

自我評量

(3) (2x － 7)² 1

解

46

＝ (2x)² － 2 ． 2x ． 7 ＋ 7²

＝ 4x² － 28x ＋ 49

(56)

自我評量

(4) (5x ＋ 4) (5x － 4) 1

解

46

＝ (5x)² － 4²

＝ 25x² － 16

(57)

自我評量

(1) (4x² － 6x ＋ 8) ÷ (2x) 2

46

解

商式為 2x － 3 ，餘式為 8 。

4x² － 6x ＋ 8 2x

4x²

－ 6x 2x

－ 6x

8

－ 3

(58)

自我評量

(2) (x² ＋ 5x ＋ 6) ÷ (x ＋ 2) 2

46

解

商式為 x ＋ 3 ，餘式為 0 。

x² ＋ 5x ＋ 6 x ＋

2 x² ＋ 2x 3x x

3x ＋ 6 0

＋ 3

＋ 6

(59)

自我評量

(3) (6x² ＋ 4x ＋ 1) ÷ (2x ＋ 1) 2

46

解

商式為 3x ＋，餘式為。 6x² ＋ 4x ＋ 1

2x ＋

1 6x² ＋ 3x x 3x

x ＋

＋

＋ 1

(60)

自我評量

(4) (16x² － 10) ÷ (4x － 1) 2

46

解

商式為 4x ＋ 1 ，餘式為－

9 。

16x² ＋ 0x － 10 4x － 1

16x² － 4x 4x 4x

4x － 1

－ 9

＋ 1

－ 10

(61)

自我評量

3 已知多項式 A 除以 3x － 5 得商式為 2x

＋ 4 ，餘式為 6 ，求多項式 A 。

47

解被除式＝除式 × 商式＋餘式

A ＝ (3x － 5) × (2x ＋ 4) ＋ 6

＝ 6x² ＋ 12x － 10x － 20 ＋ 6

＝ 6x² ＋ 2x － 14

： 6x² ＋ 2x － 14 。

答

(62)

自我評量

4 如圖，三角形面積為

20x² － 47x ＋ 24 ，已知底為 4x － 3 ，求底邊上的高。

解三角形面積＝底 × 高 ×

20x² － 47x ＋ 24 ＝ (4x － 3) × 高 × 高＝ (40x² － 94x ＋ 48) ÷ (4x － 3)

47

4x － 3

(63)

自我評量

4 如圖，三角形面積為

20x² － 47x ＋ 24 ，已知底為 4x － 3 ，求底邊上的高。

解 高＝ (40x² － 94x ＋ 48) ÷ (4x － 3)

47

＝ 10x － 16

： 10x － 16 。

答

40x² － 94x ＋ 48

4x － 3

40x²

－ 64x 10x

－ 64x ＋

48 0

－ 16

4x － 3

－ 30x

＋ 48

(64)

自我評量

5 已知 A 為一個多項式，且

3x² ＋ 5x ＋ 10 ＝ (x ＋ 2) × A ＋ 12 ，求多 項式 A 。

解 3x² ＋ 5x ＋ 10 ＝ (x ＋ 2) × A ＋ 12

47

A ＝ (3x² ＋ 5x ＋ 10 － 12) ÷ (x ＋ 2)

＝ (3x² ＋ 5x － 2) ÷ (x ＋ 2)

＝ 3x － 1

3x² ＋ 5x － 2

x ＋ 2

3x²

－ x 3x

－ x －

2 0

－ 1

＋ 6x

： 3x － 1 。

答

－ 2

(65)

搭配頁數 P.48

艾美正在玩數字的填空遊戲。

4 9 2 3 5 7 8 1 6

規則：在剩餘的空白方格填入數字

，使得直、橫

、斜每排 3 個數的和都相等。

題目上的數字少一個也能解得開喔！

咦！真的嗎？如果把方格中的

數字換成多項式也可以玩喔！

(66)

搭配頁數 P.

1. 如果要將 6 個數分別填入右圖剩餘的 6 個空白方格中，使得直、橫、

斜每排 3 個數的和都相等，則：

(1) 求 a 。 (2) 完成其他空格。

48

解 (1) 如圖，因為 7 ＋ 5 ＋ b ＝ 4 ＋ b ＋ a所以 12 ＝ 4 ＋

a ，

4 7 5

a

： (1) 8 。

答

a ＝ 8 。

b

(67)

搭配頁數 P.

1. 如果要將 6 個數分別填入右圖剩餘的 6 個空白方格中，使得直、橫

、

斜每排 3 個數的和都相等，則：

(1) 求 a 。 (2) 完成其他空格

。

48

解 (2) 同理， c ＋ d ＋ 4 ＝ c ＋ 5

＋ 8 ， 4 ＋ 5 ＋ e ＝ 8 ＋ f

＋ e ，

4 7 5

c d

e f a

答：

(2) 。 f ＝ 1

d ＝ 9 故每排總和為 9 ＋ 5 ＋ 1 ＝

15 ，

所以 c ＝ 15 － 9

－ 4 ＝ 2

e ＝ 15 － 4

－ 5 ＝ 6

b ＝ 15 － 4

－ 8 ＝ 3

b

2 9 4 7 5 3 6 1 8

(68)

搭配頁數 P.

2. 如果要將 6 個多項式分別填入右圖剩餘的 6 個方格中，使得直、

橫、斜每排 3 個多項式的和都相等，則此 6 個多項式分別為何？

48

解 因為 (x² ＋ 2x) ＋ x ＋ c ＝ 1 ＋ c ＋ f ，

1 x

x² ＋ 2x

b a

c e

d f

所以 f ＝ x² ＋ 3x － 1 。

同理， a ＋ x ＋ (x² ＋ 3x － 1) ＝ a ＋ b

＋ 1 ，b ＝ x² ＋ 4x － 2

1 ＋ x ＋ d ＝ d ＋ e ＋ (x² ＋ 3x － 1) ，

e ＝－ x² － 2x ＋ 2

(69)

搭配頁數 P.

48

解

1 x

x² ＋ 2x

b a

c e

d f

＝ 3x 所以 c ＝ 3x － 1 － (x² ＋ 3x －

1) a ＝ 3x － 1 － (x² ＋ 4x

－ 2)d ＝ 3x － 1 － x

故每排總和為

＝－ x²

＝－ x² － x

＝ 2x － ＋ 1 1

(x² ＋ 4x － 2) ＋ x ＋ ( － x² － 2x ＋ 2)

(70)

搭配頁數 P.

48

解

1 x

x² ＋ 2x

b a

c e

d f

答：

。

－ x² － x ＋

1 x² ＋ 4x － 2 1

x² ＋ 2x x － x²

2x － 1 － x² － 2x

＋ 2

x²＋ 3x － 1

(71)

搭配頁數 P.搭配頁數 P.49搭配頁數 P.

乘法速算

　　圖解式乘法是一種網路上常見的乘法速算方法，它的原理和分配律有關。在此以 13 × 21 為例，說明如下：

如圖一，先分別在紙的左下方與右上方畫 1 條粗線與 3 條細線。

步驟 1 ：

圖一

(72)

乘法速算

如圖二，在紙的左上方與右下方畫 2 條粗線與 1 條細線。

步驟 2 ：

圖二

(73)

乘法速算

如圖三，左方線的交點數 2 為百位數，

上方與下方線的交點數和 7 為十位數，

右方線的交點數 3 為個位數，即 13 × 21

＝ 273 。 步驟 3 ：

圖三

1 3 2 1 1 3 6

2

3 7

2

×

(74)

乘法速算　　這種看似神奇的速算法，其實只是分配律的應用，

因為

所以左邊的交點數是百位數，中間的交點數是十位數，右邊的交點數是個位數。

　　以上介紹的圖解式乘法不僅易懂好算，也可以讓我們了解到直式乘法的原理正是現在所學的分配律。

13 × 21 ＝ (10 ＋ 3) (20 ＋ 1)

＝ 10 × 20 ＋ 10 × 1 ＋ 3 × 20 ＋ 3 × 1

＝ 2 × 10 × 10 ＋ (1 ＋ 3 × 2) × 10 ＋ 3 × 1

＝ 2 × 100 ＋ 7 × 10 ＋ 3 × 1

(75)

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CH1-3 多項式的乘除

(76)

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解

1 多項式的乘法

CH1-3 多項式的乘除

1 多項式的乘法

1

1

2

2

3

4

4

4

2 多項式的除法

5

5

□

□

6

7

8

9

10

11

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CH1-3 多項式的乘除

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1 _{多項式的乘法}

2 _{多項式的除法}

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