◎許志農／台灣師範大學數學系

(1)

許教授 ^講故事

◎許志農／台灣師範大學數學系

每一個人將拳頭握緊，雙手的手臂張開，張得愈開，兩拳頭間的距離就愈大；這是大家都可以親身體驗的常識。這種手臂遊戲可以延伸成一個有趣的數學定理嗎？兩百年前的柯西，就是發現而且證明這個數學定理的學者，但有趣的是，他的證明有瑕疵，或者說，是有漏洞的。這個漏洞直到荀白克給薩林巴的一封信時，才被發現及填補起來。

為了便於了解，我們將手臂遊戲設計成四邊形：

1 如下圖所示，左、右兩圖是將同一條三節棍做不同角度彎曲的情況：

已知左、右兩圖都是凸四邊形，而且角度

α α ≥ ′

及

β β ≥ ′

，試問：三節棍兩端的距離（虛線長度），何者比較長？

這個問題解題關鍵在三角形的情形，而三角形的情形就是所謂的樞紐定理（或稱大角對大邊，小角對小邊定理）：給兩個三角形，有相同的兩個邊，這兩個相同邊夾角較大的三角形，其對應的第三個邊也較大。

如果將你的大拇指與食指當成相同的兩個邊，那麼樞紐定理是在講一件大家都清楚的事實：「當虎口張角

θ

張得愈大時，兩指尖的距離

AB

就愈大。」雖然這樣的比喻很容易了解，但是為了嚴密性，我們還是利用餘弦定理來證明樞紐定理。根據餘弦定理，兩指尖的距離

AB

會滿足

2 2 2

2 cos

AB = AC + BC − AC BC ⋅ θ

.

因為大拇指長度

AC

與食指長度

BC

是固定的，又虎口張角

θ

愈大時，

cos θ

愈小；

所以虎口張角

θ

張得愈大時，兩指尖的距離

AB

就愈大。

接下來利用樞紐定理來處理凸四邊形的情形，首先將左、右兩圖中的

BC

與

B C ′ ′

疊在一起，如下圖所示：

(2)

(1) 比較三角形

ABD

與三角形

A BD ′

：因為

AB = A B ′

及

BD = BD

，所以根據樞紐定理得

AD ≥ A D ′

.

(2) 比較三角形

A BD ′

與三角形

A BD ′ ′

：因為

A B ′ = A B ′

及

BD = BD′

，所以根據樞紐定理得

A D ′ ≥ A D ′ ′

. 綜合(1)與(2)得

AD ≥ A D ′ ′

.

因此，張角比較大的三節棍兩端之距離也比較長；同樣的情形也可以類推到手臂張開的情形或凸多邊形的情形。但是，你是否注意到「凸」的條件在哪裡用到了；如果沒有注意到，那將會跟數學家柯西一樣，犯了一個不容易察覺的錯誤。

(3)

關於高中數學─

^之淺見

◎葉善雲／台北市東山高中

筆者在課餘樂於拿歷屆（尤其是近年來）大學入學考試題目反覆推敲，嘗試從不同的角度尋求各種解法，偶爾有些心得。茲有關高中數學第二冊指數與對數部分，提供一些個人的淺見，

期盼引起各界的迴響或共鳴

。一、來源

【第 1 題】﹝取材自 90 年自然組數學選擇第 3 題﹞

根據內政部統計，台灣地區在西元 2000 年底有 2228 萬人，而最近九年人口平均年增加率皆為 0.0087。假設此後一世紀內，人口的年增加率皆為 0.0087，試問台灣地區將在哪一年人口增加 50％而達到 3342 萬人？

【第 2 題】﹝模仿 92 年學測補考選擇第 4 題﹞

試問有多少個正整數 n 滿足100 1.28≤ ⁿ≤1000？

二、列式

【第 1 題】自西元 2000 年底起算 k 年後，台灣地區的人口數為2228 1 0.0087⋅ +

( )

^k ≥3342，取對數以 10 為底得 log 3 log 2

log1.0087

k

≥ − 。

【第 2 題】取對數以 10 為底得 2 3 log1.28≤ ≤

n

log1.28。

三、評析與解法

在高中數學指數與對數的教材中，利用對數表作數的計算是介紹對數的重點。現今各版本教科書附錄的常用對數表，提供 1 到 10 之間每隔 0.01 的數之對數近似值到小數點後 4 位；若再配合所謂表尾差，可得 1 到 10 之間每隔 0.001 的數之對數近似值到小數點後 4 位。至於其他的數之對數值，要用對數的運算性質或內插法（利用直線上的點取代對數圖形上的點）求得。

【第 1 題】

解法一》由附表查表到小數 2 位，得 log1.00 0.0000, log1.01 0.0043= ≈ ，再用內插法估算得 log1.0087 0.003741≈ ，於是 log 3 log 2 0.1761

47.07 log1.0087 0.003741

k

−

≥ ≈ ≈ .

解法二》由附表查表（加表尾差）到小數第 3 位，得 log1.008 0.0033, log1.009 0.0037≈ ≈ ，對數表

log N

N 0

1 … 8 8 9 10 0000 0043 表尾差 33 37

12 ¹⁰⁷²

20 ³⁰¹⁰

30 ⁴⁷⁷¹

(4)

再用內插法估算得 log1.0087 0.00358≈ ，於是 log 3 log 2 0.1761

49.19 log1.0087 0.00358

k

≥ − ≈ ≈ .

【第 2 題】

解法一》利用2⁷ =128及對數的運算性質，得 27

log1.28 log 7 log 2 2 7 0.3010 2 0.1070

= 100= − ≈ × − ≈ ，

於是 2 2 3 3

18.69 28.04

log1.28≈0.1070≈ ≤ ≤

n

log1.28≈0.1070≈ ，可取

n

=19, 20,, 28共 10 個整數。

解法二》查對數表得 log1.28 0.1072≈ ，

於是 2 2 3 3

18.66 27.99

log1.28≈0.1072≈ ≤ ≤

n

log1.28≈0.1072≈ ，可取

n

=19, 20,, 27共 9 個整數。

讀者不難發現上述解法的差異，但要如何面對上述不同的結論呢？也許有些人認為：求近似值，結果產生誤差是正常的事！筆者卻不以為然，曾努力嘗試找出為什麼會產生上述差異的原因，並設法弭平歧異，茲提供一些心得供大家參考，並請先進們不吝賜教。

四、現象

(1) 用電算器檢驗（ log1.0087≈0.003762）發現第 1 題之﹝解法一﹞優於﹝解法二﹞，出乎意料之外，竟然多算了一位小數，反而不準。原來是在﹝解法二﹞中， log1.008 0.0033≈ 和

log1.009≈0.0037錯了，也就是說，教科書中「表尾差」所給的數值錯了（誤差已超出取 4 位小數的標準5 10× ⁻⁵）。

(2) 用電算器檢驗顯示（ log1.28≈0.107210），第 2 題之﹝解法二﹞優於﹝解法一﹞，實際上 1.2828≈1004.34 1000> 。

五、展望

1. 對數表中的「表尾差」欄位應為區間範圍，而非單一整數值，以 1~4 之間「表尾差 9」為例：

N 範圍教科書的表尾差 N 範圍教科書的表尾差 N 範圍教科書的表尾差

1.0 *

35.7~38.9 37

2.0 *

18.7~19.5 19

3.0 *

12.6~13.0 13

1.1*

32.7~35.4 34

2.1*

17.8~18.6 18

3.1*

12.2~12.6 12

1.2 *

30.2~32.5 31

^{2.2 *}

17.0~17.7 17

^{3.2 *}

11.9~12.2 12

1.3*

28.0~30.0 29

^2.3*

16.3~17.0 17

^3.3*

11.5~11.8 12

1.4 *

26.2~27.8 27

2.4 *

15.7~16.3 16

3.4 *

11.2~11.5 11

1.5*

24.5~26.0 25

2.5*

15.1~15.6 15

3.5*

10.9~11.2 11

1.6 *

23.1~24.4 24

^{2.6 *}

14.5~15.0 15

^{3.6 *}

10.6~10.8 11

1.7 *

21.8~22.9 22

^{2.7 *}

14.0~14.5 14

^{3.7 *}

10.3~10.6 10

(5)

2. 使用對數表尾差，不切實際，應刪除「表尾差」的用法。

(1) 使用對數表尾差，不如增加一位近似值（可取近似值到小數點後 5 位或 6 位）。以 log 3.60*, log 3.67*, log 3.68 * 為例：

對數表

log N

N

0 1 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

36 5563 5575 表尾差 1 2 4 5 6 7 8 10 11

內插法 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 實際上 1.21 2.41 3.62 4.82 6.03 7.23 8.44 9.64 10.84

36 ⁵⁶⁴⁷ ⁵⁶⁵⁸ 內插法 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 實際上 1.18 2.37 3.55 4.73 5.91 7.09 8.28 9.46 10.64

36(修正) 56467 56585 內插法 1.18 2.36 3.54 4.72 5.90 7.08 8.26 9.44 10.62

36 ⁵⁶⁵⁸ ⁵⁶⁷⁰ 內插法 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 實際上 1.18 2.36 3.54 4.72 5.90 7.08 8.25 9.43 10.61

36^(修正) 565848 567026 內插法 1.18 2.36 3.53 4.71 5.89 7.07 8.25 9.42 10.60

(2) 如果「表尾差」在 10 以內（ log 4 到 log10 之間的數），「表尾差」形同虛設，因為我們會選擇使用內插法，以降低誤差值。以 log 3.9 **, log 4.3**, log 5.4 **, log 7.1**, log8.6 ** 為例

：

對數表

log N

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 表尾差 1 2 3 4 5 7 8 9 10 內插法 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9

43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 表尾差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 內插法 1 2 3 4 5 6 7 8 9

54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 表尾差 1 2 2 3 4 5 6 6 7 內插法 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2

71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 表尾差 1 1 2 2 3 4 4 5 5 內插法 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4

86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 表尾差 1 1 2 2 3 3 4 4 5 內插法 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

3. 科技發達，計算強的電算器已相當普遍，對於近似值的精確性更受重視，取到小數點後 4 位的常用對數表（現行高中數學教科書中的附表，誤差在6 10× ⁻⁵範圍內），應當作修正，建議可採用下列對數表（取對數近似值到小數點後 6 位，誤差在6 10× ⁻⁶範圍內），取代教科書中的常用對數表。

(1) 常用對數表前半： log1.00 ~ log 5.00 ；提供 1~2 之間每隔 0.01 的數之對數近似值到小數點後 6 位，及 2~5 之間每隔 0.02 的數之對數近似值到小數點後 6 位，其餘未提供的數可由內插法求得，此時誤差小於6 10× ⁻⁶。

(6)

常用對數表前半

log

N

(1.00≤

N

<5)

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 ⁰⁰⁰⁰⁰⁰ ⁰⁰⁴³²¹ ⁰⁰⁸⁶⁰⁰ ⁰¹²⁸³⁷ ⁰¹⁷⁰³³ ⁰²¹¹⁸⁹ ⁰²⁵³⁰⁶ ⁰²⁹³⁸⁴ ⁰³³⁴²⁴ ⁰³⁷⁴²⁶ 11 ⁰⁴¹³⁹³ ⁰⁴⁵³²³ ⁰⁴⁹²¹⁸ ⁰⁵³⁰⁷⁸ ⁰⁵⁶⁹⁰⁵ ⁰⁶⁰⁶⁹⁸ ⁰⁶⁴⁴⁵⁸ ⁰⁶⁸¹⁸⁶ ⁰⁷¹⁸⁸² ⁰⁷⁵⁵⁴⁷ 12 ⁰⁷⁹¹⁸¹ ⁰⁸²⁷⁸⁵ ⁰⁸⁶³⁶⁰ ⁰⁸⁹⁹⁰⁵ ⁰⁹³⁴²² ⁰⁹⁶⁹¹⁰ ¹⁰⁰³⁷¹ ¹⁰³⁸⁰⁴ ¹⁰⁷²¹⁰ ¹¹⁰⁵⁹⁰ 13 ¹¹³⁹⁴³ ¹¹⁷²⁷¹ ¹²⁰⁵⁷⁴ ¹²³⁸⁵² ¹²⁷¹⁰⁵ ¹³⁰³³⁴ ¹³³⁵³⁹ ¹³⁶⁷²¹ ¹³⁹⁸⁷⁹ ¹⁴³⁰¹⁵ 14 ¹⁴⁶¹²⁸ ¹⁴⁹²¹⁹ ¹⁵²²⁸⁸ ¹⁵⁵³³⁶ ¹⁵⁸³⁶² ¹⁶¹³⁶⁸ ¹⁶⁴³⁵³ ¹⁶⁷³¹⁷ ¹⁷⁰²⁶² ¹⁷³¹⁸⁶ 15 ¹⁷⁶⁰⁹¹ ¹⁷⁸⁹⁷⁷ ¹⁸¹⁸⁴⁴ ¹⁸⁴⁶⁹¹ ¹⁸⁷⁵²¹ ¹⁹⁰³³² ¹⁹³¹²⁵ ¹⁹⁵⁹⁰⁰ ¹⁹⁸⁶⁵⁷ ²⁰¹³⁹⁷ 16 ²⁰⁴¹²⁰ ²⁰⁶⁸²⁶ ²⁰⁹⁵¹⁵ ²¹²¹⁸⁸ ²¹⁴⁸⁴⁴ ²¹⁷⁴⁸⁴ ²²⁰¹⁰⁸ ²²²⁷¹⁶ ²²⁵³⁰⁹ ²²⁷⁸⁸⁷ 17 ²³⁰⁴⁴⁹ ²³²⁹⁹⁶ ²³⁵⁵²⁸ ²³⁸⁰⁴⁶ ²⁴⁰⁵⁴⁹ ²⁴³⁰³⁸ ²⁴⁵⁵¹³ ²⁴⁷⁹⁷³ ²⁵⁰⁴²⁰ ²⁵²⁸⁵³ 18 ²⁵⁵²⁷³ ²⁵⁷⁶⁷⁹ ²⁶⁰⁰⁷¹ ²⁶²⁴⁵¹ ²⁶⁴⁸¹⁸ ²⁶⁷¹⁷² ²⁶⁹⁵¹³ ²⁷¹⁸⁴² ²⁷⁴¹⁵⁸ ²⁷⁶⁴⁶² 19 ²⁷⁸⁷⁵⁴ ²⁸¹⁰³³ ²⁸³³⁰¹ ²⁸⁵⁵⁵⁷ ²⁸⁷⁸⁰² ²⁹⁰⁰³⁵ ²⁹²²⁵⁶ ²⁹⁴⁴⁶⁶ ²⁹⁶⁶⁶⁵ ²⁹⁸⁸⁵³

20 ³⁰¹⁰³⁰ ³⁰⁵³⁵¹ ³⁰⁹⁶³⁰ ³¹³⁸⁶⁷ ³¹⁸⁰⁶³

21 ³²²²¹⁹ ³²⁶³³⁶ ³³⁰⁴¹⁴ ³³⁴⁴⁵⁴ ³³⁸⁴⁵⁶

22 ³⁴²⁴²³ ³⁴⁶³⁵³ ³⁵⁰²⁴⁸ ³⁵⁴¹⁰⁸ ³⁵⁷⁹³⁵

23 ³⁶¹⁷²⁸ ³⁶⁵⁴⁸⁸ ³⁶⁹²¹⁶ ³⁷²⁹¹² ³⁷⁶⁵⁷⁷

24 ³⁸⁰²¹¹ ³⁸³⁸¹⁵ ³⁸⁷³⁹⁰ ³⁹⁰⁹³⁵ ³⁹⁴⁴⁵²

25 ³⁹⁷⁹⁴⁰ ⁴⁰¹⁴⁰¹ ⁴⁰⁴⁸³⁴ ⁴⁰⁸²⁴⁰ ⁴¹¹⁶²⁰

26 ⁴¹⁴⁹⁷³ ⁴¹⁸³⁰¹ ⁴²¹⁶⁰⁴ ⁴²⁴⁸⁸² ⁴²⁸¹³⁵

27 ⁴³¹³⁶⁴ ⁴³⁴⁵⁶⁹ ⁴³⁷⁷⁵¹ ⁴⁴⁰⁹⁰⁹ ⁴⁴⁴⁰⁴⁵

28 ⁴⁴⁷¹⁵⁸ ⁴⁵⁰²⁴⁹ ⁴⁵³³¹⁸ ⁴⁵⁶³⁶⁶ ⁴⁵⁹³⁹²

29 ⁴⁶²³⁹⁸ ⁴⁶⁵³⁸³ ⁴⁶⁸³⁴⁷ ⁴⁷¹²⁹² ⁴⁷⁴²¹⁶

30 ⁴⁷⁷¹²¹ ⁴⁸⁰⁰⁰⁷ ⁴⁸²⁸⁷⁴ ⁴⁸⁵⁷²¹ ⁴⁸⁸⁵⁵¹

31 ⁴⁹¹³⁶² ⁴⁹⁴¹⁵⁵ ⁴⁹⁶⁹³⁰ ⁴⁹⁹⁶⁸⁷ ⁵⁰²⁴²⁷

32 ⁵⁰⁵¹⁵⁰ ⁵⁰⁷⁸⁵⁶ ⁵¹⁰⁵⁴⁵ ⁵¹³²¹⁸ ⁵¹⁵⁸⁷⁴

33 ⁵¹⁸⁵¹⁴ ⁵²¹¹³⁸ ⁵²³⁷⁴⁶ ⁵²⁶³³⁹ ⁵²⁸⁹¹⁷

34 ⁵³¹⁴⁷⁹ ⁵³⁴⁰²⁶ ⁵³⁶⁵⁵⁸ ⁵³⁹⁰⁷⁶ ⁵⁴¹⁵⁷⁹

35 ⁵⁴⁴⁰⁶⁸ ⁵⁴⁶⁵⁴³ ⁵⁴⁹⁰⁰³ ⁵⁵¹⁴⁵⁰ ⁵⁵³⁸⁸³

36 ⁵⁵⁶³⁰³ ⁵⁵⁸⁷⁰⁹ ⁵⁶¹¹⁰¹ ⁵⁶³⁴⁸¹ ⁵⁶⁵⁸⁴⁸

37 ⁵⁶⁸²⁰² ⁵⁷⁰⁵⁴³ ⁵⁷²⁸⁷² ⁵⁷⁵¹⁸⁸ ⁵⁷⁷⁴⁹²

38 ⁵⁷⁹⁷⁸⁴ ⁵⁸²⁰⁶³ ⁵⁸⁴³³¹ ⁵⁸⁶⁵⁸⁷ ⁵⁸⁸⁸³²

39 ⁵⁹¹⁰⁶⁵ ⁵⁹³²⁸⁶ ⁵⁹⁵⁴⁹⁶ ⁵⁹⁷⁶⁹⁵ ⁵⁹⁹⁸⁸³

40 ⁶⁰²⁰⁶⁰ ⁶⁰⁴²²⁶ ⁶⁰⁶³⁸¹ ⁶⁰⁸⁵²⁶ ⁶¹⁰⁶⁶⁰

41 ⁶¹²⁷⁸⁴ ⁶¹⁴⁸⁹⁷ ⁶¹⁷⁰⁰⁰ ⁶¹⁹⁰⁹³ ⁶²¹¹⁷⁶

42 ⁶²³²⁴⁹ ⁶²⁵³¹² ⁶²⁷³⁶⁶ ⁶²⁹⁴¹⁰ ⁶³¹⁴⁴⁴

(7)

45 ⁶⁵³²¹³ ⁶⁵⁵¹³⁸ ⁶⁵⁷⁰⁵⁶ ⁶⁵⁸⁹⁶⁵ ⁶⁶⁰⁸⁶⁵

46 ⁶⁶²⁷⁵⁸ ⁶⁶⁴⁶⁴² ⁶⁶⁶⁵¹⁸ ⁶⁶⁸³⁸⁶ ⁶⁷⁰²⁴⁶

47 ⁶⁷²⁰⁹⁸ ⁶⁷³⁹⁴² ⁶⁷⁵⁷⁷⁸ ⁶⁷⁷⁶⁰⁷ ⁶⁷⁹⁴²⁸

48 ⁶⁸¹²⁴¹ ⁶⁸³⁰⁴⁷ ⁶⁸⁴⁸⁴⁵ ⁶⁸⁶⁶³⁶ ⁶⁸⁸⁴²⁰

49 ⁶⁹⁰¹⁹⁶ ⁶⁹¹⁹⁶⁵ ⁶⁹³⁷²⁷ ⁶⁹⁵⁴⁸² ⁶⁹⁷²²⁹

(2) 常用對數表後半： log 5.00 ~ log10.00 ；提供 5~10 之間每隔 0.05 的數之對數近似值到小數點後 6 位，其餘未提供的數可由內插法求得，此時誤差小於6 10× ⁻⁶。

常用對數表後半

log

N

(5.00≤

N

<10)

N

5 6 7 8 9

N

5 6 7 8 9

00 ⁶⁹⁸⁹⁷⁰ ⁷⁷⁸¹⁵¹ ⁸⁴⁵⁰⁹⁸ ⁹⁰³⁰⁹⁰ ⁹⁵⁴²⁴³ 50 ⁷⁴⁰³⁶³ ⁸¹²⁹¹³ ⁸⁷⁵⁰⁶¹ ⁹²⁹⁴¹⁹ ⁹⁷⁷⁷²⁴ 05 ⁷⁰³²⁹¹ ⁷⁸¹⁷⁵⁵ ⁸⁴⁸¹⁸⁹ ⁹⁰⁵⁷⁹⁶ ⁹⁵⁶⁶⁴⁹ 55 ⁷⁴⁴²⁹³ ⁸¹⁶²⁴¹ ⁸⁷⁷⁹⁴⁷ ⁹³¹⁹⁶⁶ ⁹⁸⁰⁰⁰³ 10 ⁷⁰⁷⁵⁷⁰ ⁷⁸⁵³³⁰ ⁸⁵¹²⁵⁸ ⁹⁰⁸⁴⁸⁵ ⁹⁵⁹⁰⁴¹ 60 ⁷⁴⁸¹⁸⁸ ⁸¹⁹⁵⁴⁴ ⁸⁸⁰⁸¹⁴ ⁹³⁴⁴⁹⁸ ⁹⁸²²⁷¹ 15 ⁷¹¹⁸⁰⁷ ⁷⁸⁸⁸⁷⁵ ⁸⁵⁴³⁰⁶ ⁹¹¹¹⁵⁸ ⁹⁶¹⁴²¹ 65 ⁷⁵²⁰⁴⁸ ⁸²²⁸²² ⁸⁸³⁶⁶¹ ⁹³⁷⁰¹⁶ ⁹⁸⁴⁵²⁷ 20 ⁷¹⁶⁰⁰³ ⁷⁹²³⁹² ⁸⁵⁷³³² ⁹¹³⁸¹⁴ ⁹⁶³⁷⁸⁸ 70 ⁷⁵⁵⁸⁷⁵ ⁸²⁶⁰⁷⁵ ⁸⁸⁶⁴⁹¹ ⁹³⁹⁵¹⁹ ⁹⁸⁶⁷⁷² 25 ⁷²⁰¹⁵⁹ ⁷⁹⁵⁸⁸⁰ ⁸⁶⁰³³⁸ ⁹¹⁶⁴⁵⁴ ⁹⁶⁶¹⁴² 75 ⁷⁵⁹⁶⁶⁸ ⁸²⁹³⁰⁴ ⁸⁸⁹³⁰² ⁹⁴²⁰⁰⁸ ⁹⁸⁹⁰⁰⁵ 30 ⁷²⁴²⁷⁶ ⁷⁹⁹³⁴¹ ⁸⁶³³²³ ⁹¹⁹⁰⁷⁸ ⁹⁶⁸⁴⁸³ 80 ⁷⁶³⁴²⁸ ⁸³²⁵⁰⁹ ⁸⁹²⁰⁹⁵ ⁹⁴⁴⁴⁸³ ⁹⁹¹²²⁶ 35 ⁷²⁸³⁵⁴ ⁸⁰²⁷⁷⁴ ⁸⁶⁶²⁸⁷ ⁹²¹⁶⁸⁶ ⁹⁷⁰⁸¹² 85 ⁷⁶⁷¹⁵⁶ ⁸³⁵⁶⁹¹ ⁸⁹⁴⁸⁷⁰ ⁹⁴⁶⁹⁴³ ⁹⁹³⁴³⁶ 40 ⁷³²³⁹⁴ ⁸⁰⁶¹⁸⁰ ⁸⁶⁹²³² ⁹²⁴²⁷⁹ ⁹⁷³¹²⁸ 90 ⁷⁷⁰⁸⁵² ⁸³⁸⁸⁴⁹ ⁸⁹⁷⁶²⁷ ⁹⁴⁹³⁹⁰ ⁹⁹⁵⁶³⁵ 45 ⁷³⁶³⁹⁷ ⁸⁰⁹⁵⁶⁰ ⁸⁷²¹⁵⁶ ⁹²⁶⁸⁵⁷ ⁹⁷⁵⁴³² 95 ⁷⁷⁴⁵¹⁷ ⁸⁴¹⁹⁸⁵ ⁹⁰⁰³⁶⁷ ⁹⁵¹⁸²³ ⁹⁹⁷⁸²³ 六、

結論

1. 現有的常用對數表應淘汰。由於常用對數函數 ( )

f N

=log

N

的圖形為遞增且凹向下，對數表中的值應符合：當

h

> 時，log(0

N

+

h

)−log

N

<log

N

−log(

N

− 。也就是說，當真數間隔 h

h

) 相同時，對數值的差距隨著 N 增加愈來愈小。但現今教科書中的常用對數表竟不符合此性 質。請觀察我們所建議的對數表，計算的結果列表如下：

log(

N

+0.01)−log

N

（其中 N 介於 1~2 之間）

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 ⁴³²¹ ⁴²⁷⁹ ⁴²³⁷ ⁴¹⁹⁶ ⁴¹⁵⁶ ⁴¹¹⁷ ⁴⁰⁷⁸ ⁴⁰⁴⁰ ⁴⁰⁰² ³⁹⁶⁷

4300 4300 4200 4200 4200 4100 4100 4000 4000 4000

11 ³⁹³⁰ ³⁸⁹⁵ ³⁸⁶⁰ ³⁸²⁷ ³⁷⁹³ ³⁷⁶⁰ ³⁷²⁸ ³⁶⁹⁶ ³⁶⁶⁵ ³⁶³⁴

3900 3900 3900 3800 3800 3800 3700 3700 3600 3700

12 ³⁶⁰⁴ ³⁵⁷⁵ ³⁵⁴⁵ ³⁵¹⁷ ³⁴⁸⁸ ³⁴⁶¹ ³⁴³³ ³⁴⁰⁶ ³³⁸⁰ ³³⁵³

3600 3600 3500 3500 3500 3500 3400 3400 3400 3300

13 ³³²⁸ ³³⁰³ ³²⁷⁸ ³²⁵³ ³²²⁹ ³²⁰⁵ ³¹⁸² ³¹⁵⁸ ³¹³⁶ ³¹¹³

3400 3300 3300 3200 3200 3200 3200 3200 3100 3100

14 ³⁰⁹¹ ³⁰⁶⁹ ³⁰⁴⁸ ³⁰²⁶ ³⁰⁰⁶ ²⁹⁸⁵ ²⁹⁶⁴ ²⁹⁴⁵ ²⁹²⁴ ²⁹⁰⁵

3100 3100 3000 3100 3000 3000 2900 3000 2900 2900

(8)

15 ²⁸⁸⁶ ²⁸⁶⁷ ²⁸⁴⁷ ²⁸³⁰ ²⁸¹¹ ²⁷⁹³ ²⁷⁷⁵ ²⁷⁵⁷ ²⁷⁴⁰ ²⁷²³

2900 2800 2900 2800 2800 2800 2800 2800 2700 2700

16 ²⁷⁰⁶ ²⁶⁸⁹ ²⁶⁷³ ²⁶⁵⁶ ²⁶⁴⁰ ²⁶²⁴ ²⁶⁰⁸ ²⁵⁹³ ²⁵⁷⁸ ²⁵⁶²

2700 2700 2700 2600 2700 2600 2600 2600 2600 2500

17 ²⁵⁴⁷ ²⁵³² ²⁵¹⁸ ²⁵⁰³ ²⁴⁸⁹ ²⁴⁷⁵ ²⁴⁶⁰ ²⁴⁴⁷ ²⁴³³ ²⁴²⁰

2600 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2400 2500 2400

18 ²⁴⁰⁶ ²³⁹² ²³⁸⁰ ²³⁶⁷ ²³⁵⁴ ²³⁴¹ ²³²⁹ ²³¹⁶ ²³⁰⁴ ²²⁹²

2400 2400 2400 2300 2400 2300 2300 2400 2300 2300

19 ²²⁷⁹ ²²⁶⁸ ²²⁵⁶ ²²⁴⁵ ²²³³ ²²²¹ ²²¹⁰ ²¹⁹⁹ ²¹⁸⁸ ²¹⁷⁷

2200 2300 2300 2200 2200 2300 2200 2200 2200 2100

説明：(1) log1.09 log1.08 0.0040027− ≈

(2) 表中粗體部份為教科書中常用對數表的「差值」；框線部份不符合上述「圖形凹向下的遞減性質」。

2. 對數取近似值到小數點後第 6 位最恰當。在取真數到小數兩位的前提下，內插法的誤差已接近6 10× ⁻⁶。使用計算器實際操作得 log1 0= 與 log1.01 0.004321373783= ；由內插法得

log1.005=0.002160686891，與實際操作計算器得 log1.005 0.002166061757= ，其誤差小於 5.38 10× ⁻6（此應為最大誤差）。

3. 由 101 對數表可導出常用對數表。

(1) 101 對數表提供 1~2 之間每隔 0.01 的數（共有 101 個數）之對數近似值到小數點後 6 位。

101 對數表

log

N

(1.00≤

N

≤2)

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 ⁰⁰⁰⁰⁰⁰ ⁰⁰⁴³²¹ ⁰⁰⁸⁶⁰⁰ ⁰¹²⁸³⁷ ⁰¹⁷⁰³³ ⁰²¹¹⁸⁹ ⁰²⁵³⁰⁶ ⁰²⁹³⁸⁴ ⁰³³⁴²⁴ ⁰³⁷⁴²⁶ 11 ⁰⁴¹³⁹³ ⁰⁴⁵³²³ ⁰⁴⁹²¹⁸ ⁰⁵³⁰⁷⁸ ⁰⁵⁶⁹⁰⁵ ⁰⁶⁰⁶⁹⁸ ⁰⁶⁴⁴⁵⁸ ⁰⁶⁸¹⁸⁶ ⁰⁷¹⁸⁸² ⁰⁷⁵⁵⁴⁷ 12 ⁰⁷⁹¹⁸¹ ⁰⁸²⁷⁸⁵ ⁰⁸⁶³⁶⁰ ⁰⁸⁹⁹⁰⁵ ⁰⁹³⁴²² ⁰⁹⁶⁹¹⁰ ¹⁰⁰³⁷¹ ¹⁰³⁸⁰⁴ ¹⁰⁷²¹⁰ ¹¹⁰⁵⁹⁰ 13 ¹¹³⁹⁴³ ¹¹⁷²⁷¹ ¹²⁰⁵⁷⁴ ¹²³⁸⁵² ¹²⁷¹⁰⁵ ¹³⁰³³⁴ ¹³³⁵³⁹ ¹³⁶⁷²¹ ¹³⁹⁸⁷⁹ ¹⁴³⁰¹⁵ 14 ¹⁴⁶¹²⁸ ¹⁴⁹²¹⁹ ¹⁵²²⁸⁸ ¹⁵⁵³³⁶ ¹⁵⁸³⁶² ¹⁶¹³⁶⁸ ¹⁶⁴³⁵³ ¹⁶⁷³¹⁷ ¹⁷⁰²⁶² ¹⁷³¹⁸⁶ 15 ¹⁷⁶⁰⁹¹ ¹⁷⁸⁹⁷⁷ ¹⁸¹⁸⁴⁴ ¹⁸⁴⁶⁹¹ ¹⁸⁷⁵²¹ ¹⁹⁰³³² ¹⁹³¹²⁵ ¹⁹⁵⁹⁰⁰ ¹⁹⁸⁶⁵⁷ ²⁰¹³⁹⁷ 16 ²⁰⁴¹²⁰ ²⁰⁶⁸²⁶ ²⁰⁹⁵¹⁵ ²¹²¹⁸⁸ ²¹⁴⁸⁴⁴ ²¹⁷⁴⁸⁴ ²²⁰¹⁰⁸ ²²²⁷¹⁶ ²²⁵³⁰⁹ ²²⁷⁸⁸⁷ 17 ²³⁰⁴⁴⁹ ²³²⁹⁹⁶ ²³⁵⁵²⁸ ²³⁸⁰⁴⁶ ²⁴⁰⁵⁴⁹ ²⁴³⁰³⁸ ²⁴⁵⁵¹³ ²⁴⁷⁹⁷³ ²⁵⁰⁴²⁰ ²⁵²⁸⁵³ 18 ²⁵⁵²⁷³ ²⁵⁷⁶⁷⁹ ²⁶⁰⁰⁷¹ ²⁶²⁴⁵¹ ²⁶⁴⁸¹⁸ ²⁶⁷¹⁷² ²⁶⁹⁵¹³ ²⁷¹⁸⁴² ²⁷⁴¹⁵⁸ ²⁷⁶⁴⁶² 19 ²⁷⁸⁷⁵⁴ ²⁸¹⁰³³ ²⁸³³⁰¹ ²⁸⁵⁵⁵⁷ ²⁸⁷⁸⁰² ²⁹⁰⁰³⁵ ²⁹²²⁵⁶ ²⁹⁴⁴⁶⁶ ²⁹⁶⁶⁶⁵ ²⁹⁸⁸⁵³ 20 ³⁰¹⁰³⁰

(2) 2~4 之間每隔 0.02 的數之對數近似值由下列關係式導出：

log(2+0.02×

h

)=log 2+log(1 0.01+ ×

h h

), =0,1, 2,,99，其中 log 2 與 log(1 0.01+ × 為 101

h

) 對數表中的值。

(9)

對數表 log

N

(2≤

N

< 4)

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 ³⁰¹⁰³⁰ ³⁰⁵³⁵¹ ³⁰⁹⁶³⁰ ³¹³⁸⁶⁷ ³¹⁸⁰⁶³

21 ³²²²¹⁹ ³²⁶³³⁶ ³³⁰⁴¹⁴ ³³⁴⁴⁵⁴ ³³⁸⁴⁵⁶

22 ³⁴²⁴²³ ³⁴⁶³⁵³ ³⁵⁰²⁴⁸ ³⁵⁴¹⁰⁸ ³⁵⁷⁹³⁵

23 ³⁶¹⁷²⁸ ³⁶⁵⁴⁸⁸ ³⁶⁹²¹⁶ ³⁷²⁹¹² ³⁷⁶⁵⁷⁷

24 ³⁸⁰²¹¹ ³⁸³⁸¹⁵ ³⁸⁷³⁹⁰ ³⁹⁰⁹³⁵ ³⁹⁴⁴⁵²

25 ³⁹⁷⁹⁴⁰ ⁴⁰¹⁴⁰¹ ⁴⁰⁴⁸³⁴ ⁴⁰⁸²⁴⁰ ⁴¹¹⁶²⁰

26 ⁴¹⁴⁹⁷³ ⁴¹⁸³⁰¹ ⁴²¹⁶⁰⁴ ⁴²⁴⁸⁸² ⁴²⁸¹³⁵

27 ⁴³¹³⁶⁴ ⁴³⁴⁵⁶⁹ ⁴³⁷⁷⁵¹ ⁴⁴⁰⁹⁰⁹ ⁴⁴⁴⁰⁴⁵

28 ⁴⁴⁷¹⁵⁸ ⁴⁵⁰²⁴⁹ ⁴⁵³³¹⁸ ⁴⁵⁶³⁶⁶ ⁴⁵⁹³⁹²

29 ⁴⁶²³⁹⁸ ⁴⁶⁵³⁸³ ⁴⁶⁸³⁴⁷ ⁴⁷¹²⁹² ⁴⁷⁴²¹⁶

30 ⁴⁷⁷¹²¹ ⁴⁸⁰⁰⁰⁷ ⁴⁸²⁸⁷⁴ ⁴⁸⁵⁷²¹ ⁴⁸⁸⁵⁵¹

31 ⁴⁹¹³⁶² ⁴⁹⁴¹⁵⁵ ⁴⁹⁶⁹³⁰ ⁴⁹⁹⁶⁸⁷ ⁵⁰²⁴²⁷

32 ⁵⁰⁵¹⁵⁰ ⁵⁰⁷⁸⁵⁶ ⁵¹⁰⁵⁴⁵ ⁵¹³²¹⁸ ⁵¹⁵⁸⁷⁴

33 ⁵¹⁸⁵¹⁴ ⁵²¹¹³⁸ ⁵²³⁷⁴⁶ ⁵²⁶³³⁹ ⁵²⁸⁹¹⁷

34 ⁵³¹⁴⁷⁹ ⁵³⁴⁰²⁶ ⁵³⁶⁵⁵⁸ ⁵³⁹⁰⁷⁶ ⁵⁴¹⁵⁷⁹

35 ⁵⁴⁴⁰⁶⁸ ⁵⁴⁶⁵⁴³ ⁵⁴⁹⁰⁰³ ⁵⁵¹⁴⁵⁰ ⁵⁵³⁸⁸³

36 ⁵⁵⁶³⁰³ ⁵⁵⁸⁷⁰⁹ ⁵⁶¹¹⁰¹ ⁵⁶³⁴⁸¹ ⁵⁶⁵⁸⁴⁸

37 ⁵⁶⁸²⁰² ⁵⁷⁰⁵⁴³ ⁵⁷²⁸⁷² ⁵⁷⁵¹⁸⁸ ⁵⁷⁷⁴⁹²

38 ⁵⁷⁹⁷⁸⁴ ⁵⁸²⁰⁶³ ⁵⁸⁴³³¹ ⁵⁸⁶⁵⁸⁷ ⁵⁸⁸⁸³²

39 ⁵⁹¹⁰⁶⁵ ⁵⁹³²⁸⁶ ⁵⁹⁵⁴⁹⁶ ⁵⁹⁷⁶⁹⁵ ⁵⁹⁹⁸⁸³

log(5 0.025− ×

h

) 1 2 log 2= − +log(2 0.01− ×

h h

), =0,1, 2,, 40，其中 log 2 與 log(2 0.01− ×

h

) 為 101 對數表中的值。

對數表 log

N

(4≤

N

≤ 5)

N

00 25 50 75

N

00 25 50 75 40 ⁶⁰²⁰⁶⁰ ⁶⁰⁴⁷⁶⁶ ⁶⁰⁷⁴⁵⁵ ⁶¹⁰¹²⁸ 46 ⁶⁶²⁷⁵⁸ ⁶⁶⁵¹¹² ⁶⁶⁷⁴⁵³ ⁶⁶⁹⁷⁸² 41 ⁶¹²⁷⁸⁴ ⁶¹⁵⁴²⁴ ⁶¹⁸⁰⁴⁸ ⁶²⁰⁶⁵⁶ 47 ⁶⁷²⁰⁹⁸ ⁶⁷⁴⁴⁰² ⁶⁷⁶⁶⁹⁴ ⁶⁷⁸⁹⁷³ 42 ⁶²³²⁴⁹ ⁶²⁵⁸²⁷ ⁶²⁸³⁸⁹ ⁶³⁰⁹³⁶ 48 ⁶⁸¹²⁴¹ ⁶⁸³⁴⁹⁷ ⁶⁸⁵⁷⁴² ⁶⁸⁷⁹⁷⁵ 43 ⁶³³⁴⁶⁸ ⁶³⁵⁹⁸⁶ ⁶³⁸⁴⁸⁹ ⁶⁴⁰⁹⁷⁸ 49 ⁶⁹⁰¹⁹⁶ ⁶⁹²⁴⁰⁶ ⁶⁹⁴⁶⁰⁵ ⁶⁹⁶⁷⁹³ 44 ⁶⁴³⁴⁵³ ⁶⁴⁵⁹¹³ ⁶⁴⁸³⁶⁰ ⁶⁵⁰⁷⁹³ 50 ⁶⁹⁸⁹⁷⁰

45 ⁶⁵³²¹³ ⁶⁵⁵⁶¹⁹ ⁶⁵⁸⁰¹¹ ⁶⁶⁰³⁹¹

log(5+0.05×

h

) 1 log 2= − +log(1 0.01+ ×

h h

), =0,1, 2,,99，其中 log 2 與 log(1 0.01+ × 為

h

) 101 對數表中的值。

(10)

對數表 log

N

(5.00≤

N

<10)

N

5 6 7 8 9

N

5 6 7 8 9

00 ⁶⁹⁸⁹⁷⁰ ⁷⁷⁸¹⁵¹ ⁸⁴⁵⁰⁹⁸ ⁹⁰³⁰⁹⁰ ⁹⁵⁴²⁴³ 50 ⁷⁴⁰³⁶³ ⁸¹²⁹¹³ ⁸⁷⁵⁰⁶¹ ⁹²⁹⁴¹⁹ ⁹⁷⁷⁷²⁴ 05 ⁷⁰³²⁹¹ ⁷⁸¹⁷⁵⁵ ⁸⁴⁸¹⁸⁹ ⁹⁰⁵⁷⁹⁶ ⁹⁵⁶⁶⁴⁹ 55 ⁷⁴⁴²⁹³ ⁸¹⁶²⁴¹ ⁸⁷⁷⁹⁴⁷ ⁹³¹⁹⁶⁶ ⁹⁸⁰⁰⁰³ 10 ⁷⁰⁷⁵⁷⁰ ⁷⁸⁵³³⁰ ⁸⁵¹²⁵⁸ ⁹⁰⁸⁴⁸⁵ ⁹⁵⁹⁰⁴¹ 60 ⁷⁴⁸¹⁸⁸ ⁸¹⁹⁵⁴⁴ ⁸⁸⁰⁸¹⁴ ⁹³⁴⁴⁹⁸ ⁹⁸²²⁷¹ 15 ⁷¹¹⁸⁰⁷ ⁷⁸⁸⁸⁷⁵ ⁸⁵⁴³⁰⁶ ⁹¹¹¹⁵⁸ ⁹⁶¹⁴²¹ 65 ⁷⁵²⁰⁴⁸ ⁸²²⁸²² ⁸⁸³⁶⁶¹ ⁹³⁷⁰¹⁶ ⁹⁸⁴⁵²⁷ 20 ⁷¹⁶⁰⁰³ ⁷⁹²³⁹² ⁸⁵⁷³³² ⁹¹³⁸¹⁴ ⁹⁶³⁷⁸⁸ 70 ⁷⁵⁵⁸⁷⁵ ⁸²⁶⁰⁷⁵ ⁸⁸⁶⁴⁹¹ ⁹³⁹⁵¹⁹ ⁹⁸⁶⁷⁷² 25 ⁷²⁰¹⁵⁹ ⁷⁹⁵⁸⁸⁰ ⁸⁶⁰³³⁸ ⁹¹⁶⁴⁵⁴ ⁹⁶⁶¹⁴² 75 ⁷⁵⁹⁶⁶⁸ ⁸²⁹³⁰⁴ ⁸⁸⁹³⁰² ⁹⁴²⁰⁰⁸ ⁹⁸⁹⁰⁰⁵ 30 ⁷²⁴²⁷⁶ ⁷⁹⁹³⁴¹ ⁸⁶³³²³ ⁹¹⁹⁰⁷⁸ ⁹⁶⁸⁴⁸³ 80 ⁷⁶³⁴²⁸ ⁸³²⁵⁰⁹ ⁸⁹²⁰⁹⁵ ⁹⁴⁴⁴⁸³ ⁹⁹¹²²⁶ 35 ⁷²⁸³⁵⁴ ⁸⁰²⁷⁷⁴ ⁸⁶⁶²⁸⁷ ⁹²¹⁶⁸⁶ ⁹⁷⁰⁸¹² 85 ⁷⁶⁷¹⁵⁶ ⁸³⁵⁶⁹¹ ⁸⁹⁴⁸⁷⁰ ⁹⁴⁶⁹⁴³ ⁹⁹³⁴³⁶ 40 ⁷³²³⁹⁴ ⁸⁰⁶¹⁸⁰ ⁸⁶⁹²³² ⁹²⁴²⁷⁹ ⁹⁷³¹²⁸ 90 ⁷⁷⁰⁸⁵² ⁸³⁸⁸⁴⁹ ⁸⁹⁷⁶²⁷ ⁹⁴⁹³⁹⁰ ⁹⁹⁵⁶³⁵ 45 ⁷³⁶³⁹⁷ ⁸⁰⁹⁵⁶⁰ ⁸⁷²¹⁵⁶ ⁹²⁶⁸⁵⁷ ⁹⁷⁵⁴³² 95 ⁷⁷⁴⁵¹⁷ ⁸⁴¹⁹⁸⁵ ⁹⁰⁰³⁶⁷ ⁹⁵¹⁸²³ ⁹⁹⁷⁸²³

七、後記：

據悉高中數學 98 綱要已刪除「表尾差」教學，屆時教科書附錄的對數表不應該出現表尾差的欄位（此部分猶如畫蛇添足），各界何不趁此時機附上 6 位小數的常用對數表。

(11)

戲說數學

◎許志農／台灣師範大學數學系

螞蟻只能看到平面（二維空間）的事物，

只能在二維空間內做

360°

方向上的任意運動。雖然螞蟻只生活在平面上，但是科學家卻發現螞蟻天生具有某種幾何的洞悟力，能利用幾何原則尋找回窩的路。螞蟻的路線系統就像羅馬人的道路一樣…條條道路通羅馬；對螞蟻來說…條條路線通蟻窩。

要了解螞蟻尋找方向的訣竅，可以假想有一個「Y」字母的交叉點，而一隻離開蟻窩的螞蟻從「Y」字母底下往上爬，碰到這樣一個叉路，發現有兩條以狹窄角度交叉的路線。相反地，回窩的螞蟻會碰到兩條叉路：

一條的交叉角度較小，而另一條的角度大得多，角度較大的那一條路才是回家的路。也就是說，螞蟻的網路是由「Y」字來構成，而且較小的交叉角是

60°

左右，科學家稱它為

「六十度法則」。如下圖所示，一隻螞蟻從蟻窩出來，朝東邊方向以六十度法則向外覓食，而這蟻窩的螞蟻構造了向東及向西兩個方向的覓食網：

雖然螞蟻的世界只有二維，但是牠們卻會使用二維的幾何原則來辨識方向。同樣的，身處三維空間的人們，是否也會妥善利用立體空間的幾何所帶來的好處呢？

1.某人收集了三只瓶子，形狀如下圖所示：

它們的瓶口形狀分別如圖一、二及三。現在他想只做一個立體瓶塞，對三個瓶子都能適用。

圖一圖二圖三請你幫他設計一下。

拜我們生活的三維空間所賜，可以利用三個維度來設計一個一體適用的瓶塞。取一個正立方體木塞，因為立方體有上下，前後及左右等六個面，所以可以讓這三種面向各自成為三種瓶子的瓶塞。首先，讓上下面與方形瓶口一樣大小，接著讓前後面與凸形瓶口一致，最後讓左右面跟圓形瓶口相同，這個特製的瓶塞剛好可以用來當這三種瓶子的瓶塞，如下圖所示：

(12)

利用雙十字交乘法來剖析：

為何 ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + = f 0 且 b

²

− 4 ac > 0 的圖形

為雙曲線或相交的兩直線？

◎李維昌／國立宜蘭高中

教師在學生無平移及旋轉觀念的前提下，利用雙十字交乘法來解釋

2 2

0 ax + bxy + cy + dx ey + + = f

且

b

²

− ac 4 > 0

，其圖形為雙曲線或相交的兩直線。

分成兩種情況來討論。

一、

b

²

− ac 4 > 0

且

c ≠ 0

：

利用雙十字交乘法，可將

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f = 0

表為

2 2

4 4

2 2

b b ac b b ac

c y x y x c f

c a c b ab

 + −  − − 

+ + + + = −

  

  

,

2 2

4 4

2 2

b b ac b b ac

cy bxy ax c y x y x

c c

 + −  − − 

+ + =    +    +   

,

且 ₂ ₂

4 4

2 2

e c

b b ac b b ac d

c c c

a b

 + =

 

 − −   + − 

     +     =

   



,解得

 





 







−

− −

=

− + −

=

c ac b

cd e be

c ac b

cd e be

2 4 2 2

4 2

2 2

b a

.

又

2 2

2

2 1 2

2 2

4 4

2 2 4

a b d

b c e

be cd be cd

e e

d e f

b ac b ac

c f c f

c c b ac

ab

− −

 +  − 

 −  − 

  

− = − =

   −

  

  

.

因此

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f = 0

等價為

(13)

2 2 2 2

2

2 2

4 4 4 4

2 2 2 2

2 1 2

2 2

4 .

be cd be cd

e e

b b ac b ac b b ac b ac

c y x y x

c c c c

a b d

b c e

d e f

b ac

− −

 +  − 

 + − −  − − − 

 + +  + + 

  

  

= −

(1)

0 2 2 2

= f e d

e c b

d b a

，

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f = 0

的圖形為相交兩直線，

其方程式分別為

0 2

4 2

2

4

²

2

− = + −

− + + +

c ac b

cd e be

c x ac b

y b

及

0 2

4 2

2

4

²

2

− =

− −

− + + −

c ac b

cd e be

c x ac b

y b

,

交點坐標為

2 2

4 , 4

cd be ae bd b ac b ac

− −

 

 − − 

 

^.

(2)

0 2 2 2

≠ f e d

e c b

d b a

，

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f = 0

的圖形為雙曲線，

兩漸近線的方程式分別為

0 2

4 2

2

4

²

2

− = + −

− + + +

c ac b

cd e be

c x ac b

y b

及

0 2

4 2

2

4

²

2

− =

− −

− + + −

c ac b

cd e be

c x ac b

y b

,

交點坐標為

2 2

4 , 4

cd be ae bd b ac b ac

− −

 

 − − 

 

^.

此交點坐標亦為雙曲線的中心點坐標。

(14)

二、

b

²

− ac 4 > 0

且

c = ⇒ ≠ 0 b 0

：

利用雙十字交乘法，可將

ax

²

+ bxy + dx + ey + f = 0

表為

f

by ax

x + a )( + + b ) = ab −

(

,

ax

²

+ bxy = x ( ax + by )

且

a d b e

a b a

 + =

 =



^，解得

e b bd ae

b a

b

 = 

 −

 = 

.

又

2 2

2 1 2

2 2

4 a b d

b c e

d e f

e bd ae bde ae b f

f f

b b b b ac

ab − =       −    − = − − = −

^. 因此

ax

²

+ bxy + dx + ey + f = 0

等價為

2

2 1 2

2 2

4 a b d

b c e

d e f

e bd ae

x ax by

b b b ac

 +  + + −  =

   −

  

^.

(1)

0 2 2 2

= f e d

e c b

d b a

，

ax

²

+ bxy + dx + ey + f = 0

的圖形為相交兩直線，

其方程式分別為

+ = 0 b

x e

及

+ + − = 0

b ae by bd

ax

,

交點坐標為

2

₂

2

₂

2

₂

, ,

4 4

e ae bd cd be ae bd

b b b ac b ac

− − −

 −   = 

   − − 

   

^.

(2)

0 2 2 2

≠ f e d

e c b

d b a

，

ax

²

+ bxy + dx + ey + f = 0

的圖形為雙曲線，

兩漸近線其方程式分別為

= 0 + b

x e

及

+ + − = 0

b ae by bd

ax

,

交點坐標為

2 2 2

, ,

4 4

e ae bd cd be ae bd

b b b ac b ac

− − −

 −   = 

   − − 

   

^.

(15)

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f = 0

且

b

²

− ac 4 > 0

，

(1)

0 2 2 2

= f e d

e c b

d b a

，其圖形為相交的兩直線。

(2)

0 2 2 2

≠ f e d

e c b

d b a

，其圖形為雙曲線。

(16)

《版本一》

試證： ₃

3

1 1

k

k 12

∞

=

∑ <

^.（15％）

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

a a a a a a

為六個相異的整數，若

k

為

a a a a a a

₁

,

₂

,

₃

,

₄

,

₅

,

₆六數的算術平均，

r

為

( x − a

₁

)( x − a

₂

)( x − a

₃

)( x − a

₄

)( x − a

₅

)( x a −

₆

) = 1989

的整數根，試證：

k − = r 5

.（15％）

若

p q r , ,

為三個相異質數且

p

²

+ 35 = q r

² ，試求：

( , , ) p q r =

？（20％）

如下圖，△

ABC

中

∠ > ∠ B C

，若

T

在

BC

上且

AT

為

∠ CAB

的內角平分線，若

S

在

AT

上使得

SB = TC

，試證：

( ^AC ⁻ ^AB ) ( ) ( )

²

⁼ ^AS

²

⁻ ^AT

²^.（20％）

(a)

a b c , , > 0

且

a b c + + = 1

，試證：

3 1 1 1 5

a b c

b c a c a b

 + +  ≥

 + + + + + + 

 

^.（15％）

(b) 若

a a a

₁

,

₂

,

₃

, 3 , a

_n均大於零且

a

₁

+ a

₂

+ + + a

₃

3 a

_n

= k

，請你推廣(a)的結果，試估計

¹ ²

2 3 1 3 1 2 1

n

n n n

a

a a

k a a a a k a a a a a

₋

k

 

+ + +

 + + + + + + + + + + + + 

 3 

3 3 3

^的下界。^（15％）

(17)

19 《版本二》

試證： ₃

3

1 1

k

k 12

∞

=

∑ <

^.（15％）

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

a a a a a a

為六個相異的整數，若

k

為

a a a a a a

₁

,

₂

,

₃

,

₄

,

₅

,

₆六數的算術平均，

r

為

( x − a

₁

)( x − a

₂

)( x − a

₃

)( x − a

₄

)( x − a

₅

)( x a −

₆

) = 1989

的整數根，試證：

k − = r 5

.（15％）

若

p q r , ,

p

²

+ 35 = q r

² ，試求：

( , , ) p q r =

？（15％）

如下圖，△

ABC

中

∠ > ∠ B C

，若

T

在

BC

上且

AT

為

∠ CAB

的內角平分線，若

S

在

AT

上使得

SB = TC

，試證：

( ^AC ⁻ ^AB ) ( ) ( )

²

⁼ ^AS

²

⁻ ^AT

²^.（20％）

題組：以下三小題中(a)、(b)是獨立的，但卻是(c)小題證明的重要關鍵。

(a)

x y z , ,

為正實數，試證：

( ^x ^y ^z ) ¹ ¹ ¹ ⁹

x y z

 

+ +  + +  ≥

 

^.（10％）

(b) △

ABC

內部一點

P

，若

AP BP CP , ,

的延長線分別交

BC AC AB , ,

於

D E F , ,

三點，

試證：

AP BP CP 2

AD + BE + CF =

.（15％）

(c) 銳角三角形的外心為

O

，其外接圓半徑為

R

，若

AO BO CO , ,

的延長線分別交對邊於

D E F , ,

三點，試證：

3 OD OE + + OF ≥ 2 R

.（10％）

(18)

《版本三》

不論

a b ,

是任何相異整數，

ab

⁵

− a b

⁵ 必為正整數

m

的倍數，則

m

最大可能為何？（15％）

若

n

為

10

⁹之正因數個數，

a a a a

₁

,

₂

,

₃

,

₄

, 3 , a

_n表示

10

⁹之所有正因數，試求：

1

log 1 3

n

k₌

k

∑

^之

值。（15％）

試證： ₃

3

1 1

k

k 12

∞

=

∑ <

^.（15％）

三角形之外接圓半徑

R

和內切圓半徑

r

之間，有不等式：

R ≥ 2 r

之關係。若

a b c , ,

代表任一三角形之三邊長，請你根據這個事實證明：

( a b c a b c b c − − )( − + )( + − a ) ≤ abc

.（20％）

若

p q r , ,

p

²

− 35 = q r

² ，試求：

( , , ) p q r =

？（20％）

在象棋的規則中：「馬」的走法是要走「日」的字形；如下圖，在

5 5 ×

的棋盤上，每個位置中都放一隻馬，若所有的「馬」同時起跳，跳往下一個位置，請問是否所有的「馬」都有落腳處？而不會有兩隻「馬」跳到同一格中？（15％）

(19)

21 國立成功大學數學系 96 學年度 ^申請入學

數學科試題 B 卷

一、已知

a ≠ b

，求以下方程式之解

( )

2

0 .

a b x a b x b a x b x a b x a

+ +

+ + =

+ +

二、下圖為一直角三角形。請問

8 θ

是銳角、直角或鈍角？

三、假設你在進行一個遊戲節目：有三扇門供你選擇，一扇門後面是一輛轎車，另兩扇門後面分別都是一頭山羊。你的目的當然是想得到比較值錢的轎車，但你並不能看到門後面的真實情況。主持人先讓你作第一次選擇；在你選擇了一扇門後，知道其餘兩扇門後面是什麼的主持人，打開了另一扇門給你看，裡面是一頭山羊。現在主持人告訴你，你還有一次選擇的機會。那麼，請你考慮一下，你是堅持第一次的選擇不變，還是改變第一次的選擇，而選擇另一扇門，會更有可能得到轎車？為什麼？

四、已知

f

是從實數映至實數的函數，滿足

f (1) = 2

且對所有的有理數

a b ,

，等式

( ) ( )

( ) f a b f a

− = f b

恆成立，求下列各值

(a)

f (0) =

？ (b)

4 f   =     3

^？

(20)

五、 △

ABC

中，若外心為

O

，垂心為

H

，試證

OA OB OC + + = OH

   

. 【提示】可使用外心、垂心的向量公式：

( )

2 2

2 2 2

1 1

, ,

2 2

1 .

2 AO AB AB AO AC AC

AH AB AB AC AH AC AB AC BC

⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ = + −

   

     

六、定義

σ ( ) n

為

n

的所有正因數之和，例如：

(3) 1 3 4, (4) 1 2 4 7

σ = + = σ = + + =

.

證明：如果

m n ,

互質，那麼

σ ( mn ) = σ ( ) ( ) m σ n

。

七、有一

10 10 ×

公分的正方形。

(a) 設有 101 點在正方形內部，證明：必存在兩點，其距離

≤ 2

公分。

(b) 設有 90 點在正方形內部，證明：必存在兩點，其距離

≤ 2

公分。

【提示】

π > 3

，而

2 < 1.5

。

八、令

S

為球面

S x :

²

+ y

²

+ z

²

= 1

，

L

為直線

{ ^x ⁼ ^3, ^y ⁼ ⁰ }

^，

^R

^為點

^{(1, 3, 2)}

^。考慮一

動點

P

在球

S

上移動，另一動點

Q

在線

L

上移動，請問

PQ QR +

的最小值為何？

(21)

23 國立成功大學數學系 96 學年度申請入學數學科試題 B 卷詳解

一、利用三階行列式的公式得知，展開式至多為

x

的四次式，但

x

⁴項的係數互相消掉（為 0），因此展開式至多為

x

的三次式。將

x = a b ,

及

x = − − a b

分別代入，各有兩列相等，即三階行列式為 0。又將

x = 0

代入，得行列式為

² ^{ab b} (

²

⁻ ^a

²

) ^≠ ⁰

^{。所以展開}

式為

x

的三次式，而且該三次式的兩根為

a b ,

與

− − a b

。故方程式的解為

a b ,

與

− − a b

。

【註】本題亦可直接利用三階行列式的展開公式求方程式的解。

二、利用正切的倍角公式，得

1 tan θ = 5

；

2

2 1 5 5 tan 2

1 12 1 5

θ ⋅

= =

−

；

2 2

2 5 12 120 tan 4

5 119 1 12

θ ⋅

= =

−

.

因為

120 tan 4 1

θ = 119 >

，所以

4 θ > 45 °

, 即

8 θ > ° 90

。故

8 θ

是鈍角。

三、顯然第一次選擇得轎車的機率為

1

3

^{，沒得的機率為}

2

3

。因此，選擇後不改變，獲得轎車的機率為

1

3

.但選擇後改變的話，分兩種情形討論：

(1) 當第一次選到轎車時，這種情形在改變後無法得到轎車。所以這種情形獲得轎車的機率為 0。

(22)

(2) 當第一次沒選到轎車時，這種情形在改變後一定得到轎車。而因為第一次沒選到轎車的機率有

2

3

，所以這種情形獲得轎車的機率為

2 3

^。改變得到轎車機率為

2 2 0 + = 3 3

. 因此，改變第一次的選擇更有可能得到轎車。

四、 (a) 利用

f (1) = 2

，得

(1) 2

(0) (1 1) 1

(1) 2 f f f

= − = f = =

.

(b) 由

2 1 2 1 3

3 3 3 1

3 f

f f

f

   

  =  −  =  

     

   

   

,得

2 1

2

3 3

f     = f    

   

^.

由

2 1 ( ) ¹ 2

1 1 1

3 3

f f f

f f

  =  −  = =

       

   

   

   

，得

2 1 1

3

2 = f         3 f 3 = f     3

     

^.

因為

1 f   3

   

^{是實數，所以}

1

6

3 2

f   =    

^.

再由

6

4 4

4 1 3 3

2 (1)

3 3 1 2

3 f f

f f

f

   

   

     

= =   −   =   =

   

，得

  =

(23)

25

五、令

G

是重心，尤拉線性質說：

H G O , ,

三點共線，且

HG GO : = 2 :1

。利用

0 GA GB GC    + + = 

及尤拉線性質，得

( ) ( ) ( )

3 .

OA OB OC OG GA OG GB OG GC OG

OH

+ + = + + + + +

=

        





【另解】設

 AH = xOB  + yOC 

。因為

^{ } ^{AH AB} ^⋅ ⁼ ^{xOB AB} ^{ } ^⋅ ⁺ ^{y OA} (    ⁺ ^AC ) ^⋅ ^AB

，所以

(

² ² ²

) ( )

1 2 c + b − a = xBO BA   ⋅ + y AB AC     ⋅ − AO AB ⋅

, 即

(

² ² ²

)

²

(

² ² ²

)

²

1 1 1 1

2 c + b − a = ⋅ x 2 c + y    2 c + b − a − 2 c   

^. 整理，得

( )

2 2 2 2 2 2

c x + b − a y = b + − c a

.

同理，利用

  ^{AH AC} ⋅ = x CA CO CA CB (     ⋅ − ⋅ ) + yCA CO   ⋅

，可以推得

(

² ² ²

)

²

(

² ² ²

)

²

1 1 1 1

2 c + b − a = x    2 b − 2 b + a − c    + 2 b y

^, 整理，得

( ^c

²

⁻ ^a

²

) ^{x b y} ⁺

²

⁼ ^b

²

^{+ −} ^c

²

^a

²^.

將上述兩個式子相減，得

x = y

，再代入第一個式子，得

x = = y 1

，即

AH = OB OC +

  

. 故

OA OB OC    + + = OA   + AH = OH 

.

六、將

m n ,

因式分解，得

1 2 1 2

1^d 2^d _r^d^r

,

1ê 2ê ê_s^s

m = p p  p n = q q  q

.

(24)

因為

m n ,

互質，所以

p p

₁

,

₂

,  , p q q

_r

,

₁

,

₂

,  , q

_s是不同的質數，而且

(

¹¹ ¹² ¹¹

) (

¹ ²

)

( ) m 1 p p p

^d

1 p

_r

p

_r

p

_r^d^r

σ = + + + +   + + + + 

,

^σ ^{( )} ⁿ ^{= + +} ( ¹ ^q

¹¹

^q

¹²

^{+ +} ^ ^q

¹^e¹

) ^ ( ¹ ^{+ +} ^q

¹^s

^q

^s²

^{+ +} ^ ^q

^s^e^s

)

^.

又因為

mn

的因式分解為

p p

₁^d¹ ₂^d²

 p

_r^d^r

⋅ q q

₁^e¹ ₂^e²

 q

_s^e^s，所以

σ ( mn )

為

( ) ( )

1

1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2

1 1 1

1 1

1 1 ,

r

s

d d

r r r

e e

s s s

p p p p p p

q q q q q q

+ + + + + + + +

× + + + + + + + +

  

即

( mn ) ( ) ( ) m n

σ = σ σ

.

七、分析如下：

(a) 將正方形的長與寬各平分 10 等分，此時正方形被分成 100 個邊長 1 公分的小正方形。因為有 101 點在正方形內部，所以必定有一個小正方形內有 2 點或超過 2 點。這兩點的距離

≤

小正方形的對角線長

2

公分，得證。

(b) 把 90 個點放進正方形後，以每個點為圓心，

2

為半徑作圓。假設任兩圓都不重疊，也就是說，這 90 個圓所覆蓋的總面積為

2

2 1

90 90 3 135

2 2

π  

⋅       ≥ ⋅ ⋅ =

^.

又把原先的正方形往上下左右四方向再延伸

2

^{後，成為邊長}

10 + 2

的正方形，而且這 90 個圓都落在這新的正方形內，所以這 90 個圓所覆蓋的總面積小於或等於新的正方形面積，即

( ¹⁰ ² )

²

⁽ ^{10 1.5} ⁾

²

^132.5

≤ + ≤ + =

.

上述兩個不等式顯然互相矛盾，故假設錯誤，這 90 個圓中，會有兩個互相重疊，

即這兩個圓的圓心距離不超過

2

，得證。

(25)

27 八、將 R (1, 3, 2) 繞直線 L 一圈，這一圈的半徑為

( ^{3 1} ⁻ ) (

²

^{+ −} ^{0 3} )

²

⁼ ¹³ ^.

因為這圈上的任一點至直線 L 的動點 Q 之距離都一樣，所以 R 可以用這圈上的其他點取代。因為直線 L 在 y = 0 的平面上，又這一圈與平面 y = 0 的交點為 ( ³ ^± ^{13, 0, 2} ) ^，令 ^R′ ( ³ ⁺ ^{13, 0, 2} ) ^。此時

1 PQ QR + = PQ QR + ′ ≤ OR ′ − ,

這裡的 O 是原點，而且等號在 O P Q R′ , , , 共同在一直線時成立。故最小值為

◎許志農／台灣師範大學數學系

許教授 講故事