直角坐標系

數學公式卡 >>第一冊

直角坐標系

1. 距離公式

設平面上兩點P x y 、

(

1, 1

)

Q x y ，則 P 、

(

2, 2

) Q

兩點的距離為PQ=

(

x x1− 2

) (

²+ y y1− 2

)

² 。 2. 分點公式

設

P x y

1

(

1, 1

)

^、P x y 、2

(

2, 2

)

P x y 為同一直線上相異三點，

( )

^,

m

^{、n 為正數，且}

PP PP m n

1 : 2⁼ : ^， 若 P 在線段PP 上，則稱 P 為_{1 2} PP 之內分點，且_{1 2}

x

⁼

nx mx m n

^{1++ 2 ，}

y

⁼

ny my m n

^{1++ 2 。}

3. 中點坐標公式

設坐標平面上相異兩點

P x y

1

(

1, 1

)

、P x y ，且2

(

2, 2

)

PP 的中點坐標為_{1 2} ^{P x y ，則}

( )

^{, x= x x1+}₂ ^{2 ，}

1 2

2

y

=

y y

⁺ 。 4. 重心坐標

已知 ABC△ 的三頂點坐標為A x y 、

(

1, 1

)

B x y 、

(

2, 2

)

C x y ，則 ABC

(

3, 3

)

△ 的重心坐標為

1 2 3, 1 2 3

3 3

x x+ +x y y+ +y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。

5. 斜率

設平面上有一直線 L ，且

P x y

1

(

1, 1

)

、P x y 為直線 L 上的兩個相異點。 2

(

2, 2

)

(1) 當

x x

₁≠ 時，直線 L 的斜率為₂ ^{1 2}

1 2

m x x

⁼

y y

^{−− 。}

(2) 當

x x

₁= 時，直線 L 的斜率₂

m

不存在，表示直線 L 垂直於 x 軸。

6. 平行與垂直

設兩相異直線

L

₁^與

L

2^{的斜率分別是}

m

1^與

m

2

(1) 若L L ，則₁// ₂

m m

1= 2；反之亦然。

(2) 若

L L

₁^{⊥ ，則}₂

m m

1^× 2 = − ；反之亦然。 1 7. 直線之方程式

(1) 點斜式

經過點P x y 且斜率為

(

0, 0

) m

的直線方程式為

y y m x x

− 0 =

(

− 0

)

。

 經過點P x y 且斜率不存在的直線方程式為

(

0, 0

) x x

= 。 ₀ (2) 兩點式

經過相異兩點P x y 與

(

1, 1

)

Q x y 的直線方程式為

(

2, 2

)

當

x x

₁≠ 時，直線方程式為₂ 1 ^{1 2}

(

1

)

1 2

y y

^{− =}

y y x x

⁻⁻

x x

^{− 。}

 當

x x

₁^{= 時，直線方程式為}₂ x x= 。 1

(3) 斜截式

斜率為

m

且 y 截距為 b 的直線方程式為

y mx b

= + 。

 斜率為

m

且 x 截距為 a 的直線方程式為

y m x a

⁼

(

^{− 。}

)

 斜率不存在且 x 截距為 a 的直線方程式為

x a

= 。 (4) 截距式

x 截距為 a 、 y 截距為 b （a ≠ ，0 b ≠ ）的直線方程式為0 x y 1 a b+ = 。 8. 直線方程式與斜率

設直線方程式ax by c+ + = ，則 0

(1) 若b = ，直線方程式的斜率不存在。 0 (2) 若b ≠ ，直線方程式的斜率為 a0

− 。 b

(3) 和 L 平行的直線必可化簡為ax by k+ + = （ k c0 ≠ ）。

(4) 和 L 垂直的直線必可化簡為

bx ay h

− + = 。 0 9. 點到直線的距離

點P x y 到直線

(

1, 1

)

L ax by c： + + =0的距離為 ax by c¹ ₂ ¹ ₂ d a b

+ +

= + 。

10. 兩平行線的距離

兩平行線L ax by c₁： + + =₁ 0與L ax by c₂： + + =₂ 0的距離為 c c¹₂ ²₂ d a b

= −

+ 。 11. 函數圖形與性質

(1) 函數 ^{f x}

( )

^{=ax b}+ 稱為線性函數，其圖形為一直線。

(2) 若a > ，則0 ^{f x}

( )

^{=ax bx c2+ + 在x= −}₂^b_a^{時 f x 有最小值}

( )

^{4ac b}_4a^{− 2 ，圖形頂點即最低點}

為 ,4 ² 2 4

b ac b a a

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。

(3) 若a < ，則0 ^{f x}

( )

^{=ax bx c2+ + 在x= −}₂^b_a^{時 f x 有最大值}

( )

^{4ac b}_4a^{− 2 ，圖形頂點即最高點}

為 ,4 ² 2 4

b ac b a a

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。

三角函數及其應用

1. 扇形的弧長與面積

已知一扇形之半徑為 r，弧長為 S ，圓心角為θ 弧度，面積為 A，則 S rθ= ， 1 ² 1

2 2

A= rθ = rS。 2. 同界角

當兩個角有共同的始邊和終邊的時候，這兩個角稱為同界角。

3. 銳角三角函數 sinA A a

c

=∠ 的對邊=

斜邊 ，稱作 A∠ 的正弦函數。

cosA A b c

= ∠ 的鄰邊 =

斜邊 ，稱作 A∠ 的餘弦函數。

tanA A a

A b

= ∠ =

∠

的對邊

的鄰邊 ，稱作 A∠ 的正切函數。

cotA A b

A a

= ∠ =

∠

的鄰邊

的對邊 ，稱作 A∠ 的餘切函數。

secA c

A b

= =

∠ 斜邊

的鄰邊 ，稱作 A∠ 的正割函數。

cscA c

A a

= =

∠ 斜邊

的對邊 ，稱作 A∠ 的餘割函數。

4. 特別角三角函數值 函數 函數值 角度

sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ

30 6

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2 3

2

1

3 3 2

3 2 45 4

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2

2

2 1 1 2 2

60 3

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 2

1

2 3 1

3 2 2

3 5. 任意角三角函數

在標準位置角θ 的終邊上任取一點^{P x y ，假設}

( )

^{, OP r= = x2+y2 > 0}

sin y

θ = ， cosr x

θ = ， tanr y θ = ， x csc r

θ = ， secy r

θ = ， cotx x θ = 。 y 6. 三角函數值的正負

象限 正負 函數

第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角

sinθ 、 cscθ + + − −

cosθ 、 secθ + − − +

tanθ 、 cotθ + − + −

7. 象限角三角函數值 函數 函數值 角度

sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ

0° 0 1 0 無意義 1 無意義

90 2

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 無意義 0 無意義 1

180° （π ） 0 − 1 0 無意義 − 1 無意義 270 3

2

⎛ π ⎞

°⎜ ⎟⎝ ⎠ − 1 0 無意義 0 無意義 − 1 8. 三角函數常用關係

(1) 倒數關係

sin cscθ θ = ， cos sec1 θ θ = ， tan cot1 θ θ = 。 1 (2) 商數關係

tan sin

cos θ θ

= θ ，cot cos sin θ θ

= θ 。 (3) 平方關係

2 2

sin θ+cos θ = ，1 1 tan+ ²θ =sec²θ，1 cot+ ²θ =csc²θ。 9. 三角函數的週期與範圍

(1) y=sinx的圖形可知 sin

y= x的圖形的週期為 2π 。

 1 sin− ≤ x≤1。 (2) y=cosx的圖形可知

cos

y= x的圖形的週期為 2π 。

 − ≤1 cosx≤ 。 1 (3) y=tanx的圖形可知

tan

y= x的圖形的週期為π 。

 tan x 的值可為任意實數。

(4) y=cotx的圖形可知 cot

y= x的圖形的週期為π 。

 cot x 的值可為任意實數。

(5) y=secx的圖形可知 sec

y= x的圖形的週期為2π 。

 secx ≤ − 或 sec1 x ≥ 。 1 (6) y=cscx的圖形可知

csc

y= x的圖形的週期為2π 。

 cscx ≤ − 或 csc1 x ≥ 。 1

10. 三角形面積的計算

在 ABC△ 中，若 a 、 b 、 c 分別表 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長，以 Δ 表三角形面積，

1 sin 1 sin 1 sin 2bc A 2ca B 2ab C

Δ = = = 。

11. 正、餘弦定理 (1) 正弦定理

sin sin sin 2

a b c R

A= B = C = 。 (2) 餘弦定理

2 2 2 2 cos a = + −b c bc A。

2 2 2 2 cos b = + −c a ca B。

2 2 2 2 cos c =a b+ − ab C。

 cos ^{2 2 2} 2 b c a A bc

= + − 。

2 2 2

cos 2 a c b B ac

= + − 。

2 2 2

cos 2 a b c C ab

= + − 。

數學公式卡 >>第二冊

向量

1. 向量的坐標表示法

設^{A x y 、}

(

^{1, 1}

)

B x y 為坐標平面上兩點，則

(

^{2, 2}

)

^AB=

(

^{x2−x y1, 2−y1}

)

^，且

(

^{2 1}

) (

^{2 2 1}

)

²

AB = x −x + y −y 。 2. 相等向量

設 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{，b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{，當a b1= 且1 a2}= 時，兩向量相等，記作 a^b2 = 。反之，當 ab = b 時，a b₁= 且₁ a2 = 。 b2

3. 方向角

對於非零向量 a OA= ，以 x 軸正向為始邊， OA所在射線為終邊所夾的角度θ

（ 0° ≤ <θ 360°），稱為 a 的方向角即 a ⎛ a cos ,θ a sinθ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠。 4. 向量加減與實數積的坐標表示法

設 a =

(

a a1, 2

)

， b =

(

b b1, 2

)

， r 為實數，則 (1) ^{a + b =}

(

^{a b a b1+ 1, 2+ 2}

)

^。

(2) a − b =

(

a b a b1− 1, 2− 2

)

。 (3) ^{r a =}

(

^{ra ra1, 2}

)

^。

5. 向量的平行

設 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{，b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{，則 //a b ⇔ a b1 2=a b2 1；當}b b ≠ 時， //^{1 2 0} a b ⇔ ^{1 2}

1 2

a a b = b 。 6. 向量內積的定義

設 a 與 b 為兩非零向量，θ 為兩向量的夾角，則 a 與 b 的內積 a b⋅ = a b cosθ。當 a 、 b 有一向量為零向量時，規定 a b⋅ = 。 0

7. 向量內積的坐標表示法

設 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{與 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{，則 a b⋅ =a b a b1 1+ 2 2}。當 a 、 b 有一向量為零向量時，

1 1 2 2

a b⋅ =a b a b+ 亦能成立。

8. 向量的垂直

a 、 b 為非零向量，若 a ⊥ b ⇔ a b⋅ = 。 0

9. 向量內積的性質

設 a 、 b 與 c 為坐標平面上三向量， r 為實數，則 (1) a b⋅ = b a⋅ 。

(2)

2

a a⋅ = a 。

(3) r a⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⋅ b =r a b⎛⎜⎝ ⋅ ⎞⎟⎠。

(4) a⋅⎛⎜⎝ b + c ⎞⎟⎠= a b⋅ + ⋅a c 。 10. 正射影長

設 a 與 b 為兩非零向量，θ 為兩向量的夾角，則 a 在 b 的正射影長為 a cosθ 。 11. 點到直線距離

在坐標平面上，已知點^{P x y 與直線}

(

^{1, 1}

)

^{L ax by c： + + =0}，則 P 點到直線 L 的距離為

1 1

2 2

ax by c a b

+ + + 。

式的運算

1. 多項式相等

( )

n 1 n¹ 1 0

n n

f x =a x +a x₋ ⁻ + +a x a+ （a ≠ ）與_n 0

( )

m 1 m ¹ 1 0

m m

g x =b x +b x₋ ⁻ + +b x b+ （b ≠ ），當_m 0

n m

= 且a_n = ，b_n an−1=bn−1，…，a b₁= ，₁ a0= 時，稱b0 ^{f x 與}

( )

^{g x 相等。}

( )

2. 多項式的定義

設 n 為正整數或零且a 、_n a_n−1、a_n−2、…、a 、₁ a 都是實數，₀ ^{f x}

( )

^{=a xn n+a xn−1 n−1+ +a x a1 + ，0}

則稱 f x 為 x 的多項式。

( )

(1) 若a ≠ 時， n 稱為n 0 f x 的次數，我們以

( )

^{deg f x}

( )

^{= 表示，或稱n} f x 為 n 次多項式。

( )

(2) a 稱為_k ^{f x 的}

( )

^{x 項係數。 k}

(3) 若a ≠ 時，_n 0 a 稱為_n f x 的領導係數。

( )

(4) a 為₀ ^{f x 的常數項。}

( )

3. 常數多項式

若 f x

( )

= 時，a0 f x 稱為常數多項式，又

( )

(1) 當a ≠ 時，₀ 0 f x 稱為零次多項式，例如

( )

^{f x = 。}

( )

³

(2) 當a = 時，也就是₀ 0 ^{f x = ，}

( )

⁰ f x 稱為零多項式。

( )

4. 除法定理

設 ^{f x 與}

( )

g x 為二多項式，且

( )

g x ≠ ，則恰存在二多項式

( )

^{0 q x 與}

( )

^{r x 滿足}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x =g x q x r x+ ，其中^{r x = 或}

( )

^{0 degr x}

( )

^{<degg x}

( )

^{，即被除式 = 除式× 商式 + 餘式，}

其中餘式為 0或餘式次數 < 除式次數。

5. 餘式定理

設a ≠ ，多項式0 f x 除以 ax b

( )

− 的餘式為f b a

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠。 6. 因式定理

設a ≠ ，若 ax b0 − 為多項式 ^{f x 的因式，則}

( )

^{f ⎛ ⎞ =}⎜ ⎟⎝ ⎠^b_a ⁰，反之亦然。

7. 乘法公式

(1) 和平方公式

(

^{a b+}

)

^{2 =a2+2ab b+ ，差平方公式2}

(

^{a b−}

)

^{2=a2−2ab b+ 。 2}

(2) 平方差公式^{a b2− =2}

(

^{a b a b+}

)(

^{− 。}

)

(3) 立方和公式

(

^{a b a+}

) (

^{2−ab b+ 2}

)

^{=a b3+ ，立方差公式3}

⁽

^{a b a−}

⁾ (

^{2+ab b+ 2}

)

^{=a b3− 。 3}

8. 一次因式檢驗法

設 ^{f x}

( )

^{=a xn n+a xn−1 n−1+ +a x a1 + 且0 a 、n an−1、an−2、…、a 、1} a 都是整數，若一次式 ax b⁰ − 為 f x 的因式，其中 a 、 b 互質，則 a 為

( )

a 的因數且 b 為_n a 的因數。 ₀

9. 一次方程式

設 a 、 b 都是實數，則ax b+ =0稱為一次方程式：

(1) 若a ≠ ，則0 x b

= − （恰有一解）。 a (2) 若a = ，0 b ≠ ，則0 ax b+ = 無解。 0

(3) 若a = ，0 b = ，則0 ax b+ = 的解為任意實數，也就是此方程式有無限多解。 0 10. 二次方程式解的判別

設二次方程式ax bx c²+ + = ： 0

(1) 當b²−4ac> 時：0 ax bx c²+ + = 有二相異實數解，且0 ² 4 2 b b ac

x a

− ± −

= 。

(2) 當b²−4ac= 時：0 ax bx c²+ + = 有二相等實數解，且0

2 x b

= − a。 (3) 當b²−4ac< 時：0 ax bx c²+ + = 無實數解。 0

11. 根與係數關係

(1) 設α 、 β 為二次方程式ax bx c²+ + = 的兩根，則0 b

α β+ = − ，a c α β× = 。 a (2) 設α 、 β 為二次方程式的兩根且此方程式的x 項係數為1，則此方程式為 ²

( ) ( )

2 0

x − α β+ x+ α β× = 。 12. 高次方程式

1 1 1 0 0

n n

n n

a x +a x₋ ⁻ + +a x a+ = 沒有固定的解法，可先嘗試利用公式或一次因式檢驗法將方程 式因式分解，再求方程式的解。

指數與對數及其運算

1. 指數定義

若 a 為實數且 n 為正整數，則 ⁿ

n a

a a a× × ×× =a a

個 連乘

，其中 a 稱為底數， n 為指數。

2. 零指數與負整數指數

若 a 為實數（但a ≠ ）且0

m

、 n 為正整數，規定：

(1) a = 。 ⁰ 1 (2) n 1

a n

a

− = 。

(3) a^{m n} a^m_n a

− = 。

3. 分數指數

若a > 且0

m

為整數、 n 為正整數，規定：

(1) a¹ⁿ = ⁿa。 (2) a^mn = ^{n m}a 。 4. 實數指數律

若 r 、

s

^{為實數且a > 、0 b >0，則}

(1) a a^r× =^s a^{r s+} 。 (2) a^r_s a^{r s}

a

= − 。 (3)

( )

^{ar s =ars。}

(4)

( )

^{ab r = × 。 a br r}

(5)

r r

r

a a b b

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 5. 指數函數定義

設a > 且0 a ≠ ，對於任意實數 x ，1 y a= 稱為以 a 為底數的指數函數。 ^x 6. 指數函數 =y a 的圖形 ^x

(1) 圖形必在 x 軸上方，即指數函數值一定為正數。

(2) 圖形一定過點

( )

^{0,1 。}

(3) 當a > 時，1 y 隨 x 增加而增加。

當 0< < 時，a 1 y 隨 x 增加而減少。

7. 指數相等

設a > 且0 a ≠ ，1 α > ，0 β > 則 a0 ^α =a^β ⇔ α β= 。 8. 對數定義

若a > 且0 a ≠ ，則1 a^x = ⇔ b x=log_ab。

9. 對數性質

若 a 、 M 、 N 均為正實數且a ≠ ，則 1 (1) log 1 0_a = ， logaa = 。 1

(2) a^logaM =M 。

(3) ^loga

(

^{M N×}

)

^{=logaM +logaN。}

(4) log_a M log_aM log_aN

N = − 。

(5) log_aM^s =slog_aM 。 (6) log_a^rM 1log_aM

= r （r ≠ ）。 0 (7) log log

log^b

a

b

M M

= a （換底公式，b > 且0 b ≠ ）。 1 10. 對數函數定義

設a > 且0 a ≠ ，1 x > ，0 y=logax稱為以 a 為底數的對數函數。

11. 對數函數 = logy _ax 的圖形 (1) 圖形一定在 y 軸右方。

(2) 圖形一定過點

( )

^{1,0 。}

(3) 當a > 時， y 隨 x 增加而增加。 1 當0< < 時， y 隨 x 增加而減少。 a 1 12. 指數函數圖形與對數函數圖形的比較

(1) y a= 與^x y 1 ^x a

= ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ 的圖形對稱於 y 軸。

(2) y=log_ax與 log₁

a

y= x的圖形對稱於 x 軸。

(3) y a= 與^x y=logax的圖形對稱於直線y x= 。 13. 對數相等

設a > 且0 a ≠ ，1 α > ，0 β > ，則0 logaα=logaβ ⇔ α β= 。 14. 常用對數

(1) logx n= +logb， n 稱為首數， n 必為整數；logb 稱為尾數， 0 log≤ b< 。 1 (2) 首數與尾數：

對數 = 首數 + 尾數（0 ≤ 尾數 < 1）。

 真數x > ，且整數的部分是 n 位數時，對數1 log x 的首數是n − 。 1

 真數0< < ，而其小數部分在小數點後第 n 位以前均為 0 ，且第 n 位不是 0 ，則對x 1 數log x 的首數為 n− 。

數學公式卡 >>第三冊

不等式及其應用

1. 一元一次不等式的解

(1) 當a > 時，一次不等式0 ax b+ >0的解為x b

> − ，如圖所示。 a

(2) 當a < 時，一次不等式0 ax b+ >0的解為x b

< − ，如圖所示。 a

2. 絕對值的一元一次不等式的解

對於任一正數 a ，(1) x a≤ 的解為 a x a− ≤ ≤ ，如圖所示。

(2) x a≥ 的解為 x≤ − 或 x aa ≥ ，如圖所示。

3. 一元二次不等式的解法 二次函數y ax bx c= ²+ + ，

(1) 設a > ，則當0 b²−4ac> 時，0 y ax bx c= ²+ + 的圖形為開口向上的拋物線，且與 x 軸有 兩個交點

( )

^{α,0 與}

( )

^{β,0 ，其中α − −= b} ₂^b_a^{2−4ac 、β − += b} ₂^b_a^{2−4ac ，α β< ，如圖所}

示。

不等式ax bx c²+ + < 的解為0 α< < 。 x β

 不等式ax bx c²+ + ≤ 的解為0 α≤ ≤ 。 x β

 不等式ax bx c²+ + > 的解為 x α0 < 或 x β> 。

 不等式ax bx c²+ + ≥ 的解為 x α0 ≤ 或 x β≥ 。

(2) 設a > ，則當0 b²−4ac= 時，0 y ax bx c= ²+ + 的圖形為開口向上的拋物線，且與 x 軸有 一個交點 ,0

2 b

a

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，如圖所示。

不等式ax bx c²+ + < 無解。 0

 不等式ax bx c²+ + ≤ 的解為0

2 x b

= − a。

 不等式ax bx c²+ + > 的解為 x 不等於0 2

b

− a的任意實數。

 不等式ax bx c²+ + ≥ 的解為任意實數。 0

(3) 設a > ，則當0 b²−4ac< 時，0 y ax bx c= ²+ + 的圖形為開口向上的拋物線，且與 x 軸沒 有交點，如圖所示。

不等式ax bx c²+ + < 無解。 0

 不等式ax bx c²+ + ≤ 無解。 0

 不等式ax bx c²+ + > 的解為任意實數。 0

 不等式ax bx c²+ + ≥ 的解為任意實數。 0 4. 二元一次不等式的圖形

設直線L ax by c： + + =0，其中a > ，則 0

(1) ax by c+ + > 的圖形為直線 L 的右側半平面。 0

(2) ax by c+ + ≥ 的圖形為直線 L 及直線 L 的右側半平面。 0 (3) ax by c+ + < 的圖形為直線 L 的左側半平面。 0

(4) ax by c+ + ≤ 的圖形為直線 L 及直線 L 的左側半平面。 0 5. 二元一次聯立不等式的圖解

二個或二個以上的二元一次不等式聯立時，是指同時滿足二個或二個以上的二元一次不等 式，其圖形為各不等式圖形的共同部分。

6. 線性規劃的解題步驟

(1) 依題意列出聯立不等式（限制條件）、目標函數。

(2) 畫出可行解區域並求出頂點坐標。

(3) 將頂點坐標代入目標函數，依題意找出所求。

圓與直線

1. 圓的標準式

以O h k 為圓心，且半徑為 r （

( )

^, r > ）的圓方程式是0

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2 = 。 r2}

2. 圓的一般式

(1) 圓方程式必為形式如x²+y²+dx ey f+ + = 的二元二次方程式，其中 0 x 項與2 y 項的係數相等。 ²

 方程式中不含xy 項。

(2) 圖形探討

2 2 4

d + −e f 為x²+y²+dx ey f+ + = 圖形的判別式。 0

若d²+ −e² 4f > ，則方程式0 x²+y²+dx ey f+ + = 表示一個圓，其圓心坐標為0 2, 2

d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，半徑為 ^{2 2} 4 2 d + −e f

。

 若 d²+ −e² 4f = ， 則 方 程 式0 x²+y²+dx ey f+ + = 表 示 一 個 點 ， 此 點 坐 標 為0 2, 2

d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。

 若d²+ −e² 4f < ，則方程式0 x²+y²+dx ey f+ + = 在坐標平面上沒有圖形。 0 3. 圓與點的關係

若點 P 之坐標為

(

x y ，圓1, 1

)

C 之方程式為

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2 = 或r2 x2+y2+dx ey f+ + = 。 0}

(1) 若點 P 在圓 C 的內部，則

(

x h1−

) (

²+ y k1−

)

² < 或r² x₁²+y₁²+dx ey₁+ ₁+ < ，反之亦然。 f 0 (2) 若點 P 在圓 C 上，則

(

x h1−

) (

²+ y k1−

)

² = 或r² x₁²+y₁²+dx ey₁+ ₁+ = ，反之亦然。 f 0 (3) 若點 P 在圓 C 的外部，則

(

x h1−

) (

²+ y k1−

)

² > 或r² x₁²+y₁²+dx ey₁+ ₁+ > ，反之亦然。 f 0 4. 圓與直線的關係

已知直線L ax by c： + + =0與圓^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^2=r2，設圓心 O 與直線 L 的距離為 d ，則

2 2

ah bk c d a b

+ +

= + 。

(1) 若 d r< ，則直線 L 與圓 C 相割，反之亦然。

(2) 若 d r= ，則直線 L 與圓C 相切，反之亦然。

(3) 若 d r> ，則直線 L 與圓 C 相離，反之亦然。

5. 切線方程式的求法

(1) 過圓上一點，求切線方程式：

過圓^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2=r2上一點}P x y 的切線方程式為

(

1, 1

) (

x h x h1−

)(

− +

) (

y k y k1−

)(

− = 。

)

r²

 過圓C x： ²+y²+dx ey f+ + =0上一點P x y 的切線方程式為

(

1, 1

)

1 1

1 1 0

2 2

x x y y

x x y y d+ + × + + ×e + + = 。 f (2) 過圓外一點，求切線方程式：

予圓^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2=r2與圓外一點}P x y 。

(

1, 1

)

則可依下列步驟求出過點 P 且與圓 C 相切的直線方程式：

找出圓心

( )

h k 與半徑 r 。 ^,

 假設切線斜率為

m

，利用點斜式可得切線方程式為 y y− =1

m x x (

− 1

)

，整理 得

1 1 0

mx y mx y

^{− − + = 。}

 利用圓心

( )

^{h k 到切線,}

mx y mx y

− − 1+ = 的距離等於圓1 0 C 的半徑，得

1 1

2 1

mh k mx y

d r

m

− − +

= =

+ ，即可求出

m

值。

 將

m

^值代入

mx y mx y

− − 1+ = ，即得過 P 點且與圓 C 相切的直線方程式。 1 0 6. 圓的切線段長

(1) 自點P x y 到圓

(

1, 1

)

^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2=r2的切線段長為}

(

x h1−

) (

²+ y k1−

)

²− 。 r² (2) 自點P x y 到圓

(

1, 1

)

C x： ²+y²+dx ey f+ + =0的切線段長為 x₁²+y₁²+dx ey₁+ ₁+ 。 f

數列與級數

1. 數列

(1) 數列項數有限，稱為有限數列。

(2) 數列項數無限，稱為無窮數列。

2. 級數的運算性質

已知 _{1 2 3}

1 n

k n

k

a a a a a

=

= + + + +

∑

^，

^c

^{為常數，則}

(1)

1 n k

c nc

=

∑

= ^。 (2)

1 1

n n

k k

k k

ca c a

= =

∑

=

∑

^。

(3)

( )

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

= = =

+ = +

∑ ∑ ∑

^。

(4)

1 1 1

n m n

k k k

k a k a k m a

= = = +

= +

∑ ∑ ∑

^{，其中1≤ < 且}

^{m n m}

^為整數。

3. 等差數列 (1) 定義：

若一數列中，除首項外，其任意一項與前一項的差都相等，稱此數列為等差數列（或算 術數列）；其固定的差稱為公差。

(2) 一般項：

設一等差數列的首項為a ，公差為 d ，項數為 n ，一般項為₁ a ，則_n a_n= + −a1

(

n 1

)

d。 4. 等差級數的和

設一等差數列的首項為a ，公差為 d ，項數為 n ，一般項為₁ a ，前 n 項和為_n S ，則 _n

( ) ( )

1 1

2 1

2 2

n n

n a n d n a a S = ⎡⎣ + − ⎤⎦= + 。 5. 等差中項

設 a 、 b 、 c 三個數成等差數列，則等差中項

2 b=a c+ 。 6. 等比數列

(1) 定義：

若一數列中，每一項皆不為 0。除首項外，其任意一項與前一項的比值都相等，稱此數 列為等比數列（或幾何數列）；其固定的比值稱為公比。

(2) 一般項：

設一等比數列的首項為a ，公比為 r ，項數為 n ，一般項為₁ a ，則_n a_n= ×a r₁ ⁿ⁻¹。 7. 等比級數的和

設一等比數列的首項為a ，公比為 r ，項數為 n ，前 n 項和為₁ S ，則 n

(1) 當r = 時，前 n 項的和1 S_n =na₁。

(2) 當r ≠ 時，前 n 項的和1 ¹

(

¹

) (

^{1 1}

)

1 1

n n

n

a r a r

S r r

− −

= =

− − 。

8. 等比中項

設 a 、 b 、 c 三個數成等比數列，則等比中項 b= ± ac 。

數學公式卡 >>第四冊

排列組合

1. 加法原理

如果完成某件事，有 k 個不同的方式，採用方式一有

m

₁種方法，採用方式二有

m

₂種方 法，……，採用方式 k 有

m

_k種方法，則完成這件事的方法共有

m m

₁+ ₂+ +

m

_k種。

2. 乘法原理

如果完成某件事須經過 k 個步驟，而完成第一個步驟有

m

₁種方法，完成第二個步驟有

m

₂^種

方法，……，完成第 k 個步驟有

m

_k種方法，每個步驟間所選用的方法互不影響，則完成這 件事的方法共有

m m

₁^× ₂^{× ×}

m

_k^種。

3. 相異物的直線排列

(1) 由 n 個不同的事物中，全取排成一列的排列方法數為

(

¹

)

^{2 1}

nn

P = × − × × × 。 n n (2) 從 n 個不同的事物中，任選

m

個排成一列的排列方法數為

(

¹

) (

¹

) ( )

^{! !}

nm n

P n n

= × − × × − + =

n m n m

− 。 4. 不盡相異物的直線排列

(1) 設 n 個事物中有

m

個相同，其餘都不同。則 n 件全取的排列方法數為 !

!

m

n ^。

(2) 設 n 個事物中，可分成 k 組。其中第一組有

m

₁^{個相同物，第二組有}

m

2^{個相同物，……，}

第 k 組有

m

_k^{個相同物（此時}

m m

1⁺ 2^{+ +}

m n

k = ），則此 n 個事物全取排成一列，其排列 方法數為

1 2

!

! ! _k!

m m

× n× ×

m

。

5. 環狀排列

(1) 將 n 個不同的事物作環狀排列，其排列方法數為 ^P_n^{nn =n}_n^{!= − 。}

(

^{n 1 !}

)

(2) 從 n 個不同的事物中，任選

m

個作環狀排列，其排列方法數為

( )

1 !

!

nm

P n

m m n m

^{= × − 。}

6. 組合

從 n 件不同的事物中，每次不重複的取

m

個為一組，其組合數為

( ) ( ) ( )

( )

1 2 1

! 1 2 1

n nm

m

P

n n n n

m

C m

× − × − × × − +

m m

= =

× − × × × 。 (1) Cⁿ_m=Cⁿ_{n m−} （0≤ ≤ ）。

m n

(2) Cⁿ_n=C₀ⁿ= 。 1

機率與統計

1. 聯集

集合 A所有的元素與集合 B 所有的元素所組成的集合，稱為 A與 B 的聯集，記為 A B∪ ，即

{ }

A B∪ = x x A∈ 或x B∈ 。 2. 交集

集合 A與集合 B 的共同元素所組成的集合，稱為 A與 B 的交集，記為 A B∩ ，即

{ }

A B∩ = x x A∈ 且x B∈ 。 3. 差集

由屬於集合 A，但不屬於集合 B 的元素所組成的集合，稱為 A與 B 的差集，記為 A B− ，即

{ }

A B− = x x A∈ 但x B∉ 。 4. 宇集與補集

當所探討的集合都是某個集合U 的子集時，稱U 為宇集。當 A是宇集U 的子集時，稱U 中 不屬於 A的元素組成的集合為 A在U 中的補集。

5. 事件

設 A、 B 為樣本空間 S 中的兩個事件，

(1) 和事件： A B∪ 表示事件 A與事件 B 所有的樣本所構成的事件，稱為和事件。

(2) 積事件： A B∩ 表示事件 A與事件 B 共有的樣本所構成的事件，稱為積事件。

(3) 餘事件：A′ 表示不在 A中的樣本所構成的事件，稱為餘事件。

(4) 互斥事件：如果 A B∩ = ∅，則稱 A、 B 兩個事件互斥，也就是事件 A與事件 B 不可能同 時發生。

6. 機率的性質 (1) ^{P ∅ = 。}

( )

⁰

(2) ^{P S = 。}

( )

¹

(3) 若 A S⊂ 為一事件，則^{0≤P A}

( )

^{≤ 。 1}

(4) 餘事件的機率：若 A S⊂ 為一事件，則^{P A}

( )

^{′ = −1 P A}

( )

^。

(5) 若 A和 B 為 S 中的兩事件且 A B⊂ ，則^{P A}

( )

^{≤P B}

( )

^。

(6) 機率的排容原理：若 A和 B 為 S 中的兩事件，則^{P A B}

(

^∪

)

^{=P A P B}

( ) ( ) (

^{+ −P A B∩}

)

^。

7. 期望值

設一試驗的樣本空間S 可分割成 k 個互斥事件，而每個事件發生機率分別為P 、1 P 、……、₂ P ，且事件發生時分別可得數值k M 、1 M 、……、2 M 的報酬，則k M P M P1× +1 2× + +2 Mk×Pk

稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望值。

8. 製作次數分配表的步驟

排序、求全距、定組數或組距、定組限、歸類並計算次數。

9. 算術平均數

設一群數值為x 、₁ x 、……、2 x ，則其算術平均數 X 定義為n ^{1 2 1} n n i i

x x x x

X n ⁼n

+ + +

= =

∑

。

10. 中位數

設 n 個數值由小至大排列為x_{( )1} ≤ x_{( )2} ≤ ≤x_{( )n} ， (1) 若 n 為奇數時，中位數 ₁

2

Me x_⎛n_+⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 。

(2) 若 n 為偶數時，中位數 ^{2 2 1} 2

n n

x x Me

⎛ ⎞ ⎛ +⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

= ，即正中間兩個數的平均。

11. 眾數

一群數值中出現次數最多的數稱為眾數，記作 Mo 。又眾數可能不只一個。

12. 百分等級

當某個資料數值，在整體資料中有 %k 的資料數值小於它，而且有

(

^100−k

)

^{%的資料數值大}

於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為 k ，記作 PR k= 。 13. 全距

全距是指一群數值資料中，最大值和最小值的差距，通常以 R 表示。

14. 四分位距

設 n 個數值由小至大排列為x_{( )1} ≤ x_{( )2} ≤ ≤x_{( )n} ，將已排列的數值等分成四段，可得三個分界 點，最小的分界點稱為第 1 四分位數，以Q 表示；其次即為中位數；最後的分界點稱為第 3₁ 四分位數，以Q 表示。第 3 四分位數₃ Q 與第 1 四分位數₃ Q 的差稱為四分位距，以 IQR 表示，₁ 即IQR Q Q= ₃− 。 ₁

15. 標準差

設 n 個數值x 、₁ x 、……、2 x ；以 μ 表示其算術平均數，我們稱n x μi− 為x 的離均差。離均i

差平方的算術平均數，稱為變異數，而變異數的正平方根稱為標準差。設 n 個資料為x 、₁ x 、……、2 x ，其算術平均數為 μ ，則標準差為 _n

(

1

) (

² 2

)

²

( )

²

1

x x xn

σ = n⎡⎣ −μ + −μ + + −μ ⎤⎦

( )

²

1

1 ⁿ

i i

n x μ

=

=

∑

− ^。 16. 簡單隨機抽樣

從母群體中，每一個體被選中的機會都相等的條件下，隨機抽取樣本，稱為簡單隨機抽樣。

17. 系統抽樣

系統抽樣為做一次簡單隨機抽樣後，依據固定間隔數抽出下一個樣本。

18. 分層隨機抽樣

將母群體依某種標準區分成不重複的若干組，每組稱為「層」，且層與層之間有很大的變異 性，同一層內的變異性較小。再從每一層中利用簡單隨機抽樣抽出所需比例的樣本數，將所 得各層樣本合起來即為樣本。

19. 部落抽樣

其方法為將母群體分成若干部落，而部落間的變異小，部落內的變異大。再從這些部落中抽 出數個部落進行抽樣調查或普查。

20. 信賴區間

媒體報導中的滿意度是抽樣受訪民眾的滿意度，將它加上正負抽樣誤差，就得一個信賴區 間，而我們有 95% 的信心說，真正滿意的比例會落在信賴區間內。