本節提要

B1-2-1 等差級數與等比級數

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本節介紹數列與級數,等差數列與等差級數,等比數列與等比級數,以及連加式在級數求和上 的應用及其性質。

數列與級數

a_k=S_kKS

• kK1

amCa

mC1C...Ca

n= S

nKS

• mK1

等差數列與等差級數

d =a

kKa

kK1= a_mKa_n m K n

•

a_m= a_nC mKn d

• mKn=

amKa

n

d (m = amKa

n

d Cn)

•

等差中項b = a C c

2 = a C b C c

• 3

已知首項a

1及末項a

n：S

n=

n a1Ca

n

• 2

已知首項a

1及公差d：S

n= n 2a

1C nK1 d

• 2

等比數列與等比級數

r = ak

a_kK1 =

am

a_n

mKn r^mKn= am

a_n

•

a_m= a_n$r^mKn= an

r^nKm

•

等比中項b = ac =³ abc

•

S_n=

a rⁿK1

rK1 = a 1Krⁿ

1Kr (r s 1)

•

連加式在級數求和上的應用及其性質

複利本利和：A = P 1 Cr ⁿ

•

k = 1

>

n

k= n n C 1

• 2

k = 1

>

n

k²= n n C 1 2n C 1

• 6

k = 1

>

n

k³= n n C 1 2

2

= _{k = 1}

>

•

1 數列與級數

•

2 等差數列與等差級數

•

3 等比數列與等比級數

•

4 連加式在級數求和上的應用及其性質

•

1 數列與級數

1-1 數列

重點

數列 將一系列有關聯的數依序列出,形如a₁, a₂, a₃,...,稱之為「數 列(Sequence)」。

例如：73, 84, 67, 76, 76, 55, 91,...(1號73分,2號84分,…)

•

數列中的每一個數,皆稱為數列的「項(Term)」,第一個數叫第一項, 又叫「首項(First Term)」, 第二個數叫第二項, …, 第k個數叫第 k項, 又叫「一般項(General Term)」,有限數列的最後一項叫做「末 項(Last Term)」。

a

第1項 首項, a₂

第2項

, a₃

第3項

,...,

a

第k項

一般項,..., a_n

第n項 末項

= a

•

數列的表示法 習慣上,我們以一般項a_k來表示一個數列,並以記號 a_k 表示該數列。

a

•

"所有的正偶數所成的數列"可表為 a_k =

2k

•

"所有的正奇數所成的數列"可表為 a_k =

2kK1

•

數列的種類 數列依其項數的多寡分為兩種:有限數列和無窮數列 (1)只含有限個項的數列,稱為「有限數列」。

[例如]：a₁, a₂, a₃,..., a_n= a_k

(2)含有無窮多項的數列,稱為「無窮數列」。

[例如]：a₁, a₂, a₃,..., a_n,...= a_N

•

例題

例題1A 數列的表示法

老師講解 學生練習

寫出數列

k

k C1

k C1 k

的前五項：

[簡答] :

2, 3 4 , 4

9 , 5 16 , 6

25

例題1B 數列的表示法

老師講解 學生練習

將數列 1, 1 2 , 1

3 , 1 4, 1

5 ,... 以其一般 項表示.

將數列 1 2 , 1

4 , 1 6 , 1

8 ,... 以其一般項表 示.

[簡答] :

1

2k

1-2 級數

重點

級數(數列和) 將一數列用加號(+)串接起來,形如a₁Ca₂Ca₃C...的式子,稱為「級 數(Series)」(數列和)。

例如：73 C84 C67 C76 C76 C55 C91 C...(總分是…)

•

級數的表示法

(連加式) 習慣上, 我們以「連加式」_{k =}

>

^a

例如： 2

2 #1C 4

2 #2C 6

2 #3C...C 100

2 #50=_{k =}

>

^2k

•

級數的種類 級數依其項數的多寡分為兩種:有限級數和無窮級數 (1)只含有限個項的級數,稱為「有限級數」。

[例如]：a₁Ca₂Ca₃C...Ca_n=_{k = 1}

>

^a

(2)含有無窮多項的級數,稱為「無窮級數」。

[例如]：a₁Ca₂Ca₃C...Ca_kC

...=

>

^a

•

級數的部分和 •

a

S

a

S

KS

•

a

•

例題

例題2A 級數的表示法

老師講解 學生練習

寫出級數_{k = 1}

>

k C1 ^k

>

^{k C1} _k

[簡答] :

2 C 3 4 C 4

9 C 5

16 C 6 25 C...

例題2B 級數的表示法

老師講解 學生練習

將n項級數1 C 1 2 C 1

3 C 1

4 C...以 其一般項表示為連加式.

將n項級數 1 2 C 1

4 C 1 6 C 1

8 C...以其一 般項表示為連加式.

[簡答] :_{k = 1}

>

2k ¹

例題3 級數的部分和

老師講解 學生練習

已知對於每一個自然數n,級數

a

已知對於每一個自然數n,級數

a

[簡答] :

a

= 1, a

= 29

•

•

•

•

•

•

•

•

•

2 等差數列與等差級數

2-1 等差數列

重點

等差數列 一個數列 a_k ,若任何連續兩項的後項與前項之差都一樣,就稱為「等 差數列(又稱算術數列)」。

例如： 1 1, 3, 5, 7, 9,... =

2kK1 是首項為1,公差為2的等差數列。

2 2, 2, 2, 2, 2,... = 2 是首項為2,公差為0 沒差 的等差數 列。

公差 等差數列中,任何連續兩項的後項與前項之差稱為「公差」。

公差計算公式：

1 d =

a

K a

a

K a

nK1

a

K a

mKn

用公式

若等差數列之首項a₁= a,公差為d,則...

一般項a_k可表為：

(1)

a

= a

C kK1 d

a

= a

C mKn d

[例如]：

a

a

C3d

a

a

K4d 3 = 7K4

(1)

nK1 =

a

K a

d

a

d

mKn =

a

K a

d (m = a

d

示法

若等差數列之首項a₁= a,公差為d,則所有等差數列皆可表為

a

C kK1 d

等差中項 a, b, c三數成等差

0b稱為a, c的等差中項 0 bKa = cKb = d 0 2b = a Cc

0 b

等差中項

= a Cc 2

0 b

等差中項

= a Cb Cc 3

a, a Cd

若直角三角形三邊成等差,則三邊可設為3r, 4r, 5r

例題

例題4A 等差數列的表示法

老師講解 學生練習

寫出等差數列

2kK1 的前五項.

3kK2 的前五項.

[簡答] :

1, 4, 7, 10, 13

例題4B 等差數列的表示法

老師講解 學生練習

將等差數列 2, 5, 8, 11,... 以其一般 項表示.

將等差數列 1, 5, 9, 13,... 以其一般項表示 .

[簡答] :

4kK3

例題5A 等差數列的任意項(已知首項)

老師講解 學生練習

求等差數列3, 7, 11, 15, … 的第100項 求等差數列18, 24, 30,36, … 的第10項

[簡答] :

72

例題5B 等差數列的任意項(已知任意項)

老師講解 學生練習

已知等差數列 a_k 中,a₂= 4, a₅= 22,求

a

已知等差數列 a_k 中,a₅= 40, a₉= 24,求

a

[簡答] :

K32

例題6 等差數列應用

老師講解 學生練習

在5 與23之間插入5個數,使其成為等差 數列,求此五數

在8與122之間插入5個數,使其成為等差數 列,求此五數

[簡答] :

27, 46, 65, 84, 103

例題7 等差數列應用

老師講解 學生練習

用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照 如下的規律拼成若干圖形,

試問:

(1)第4個圖案有白色地磚多少塊?

(2)第n個圖案有白色地磚多少塊?

例題8 等差中項

老師講解 學生練習

54, x, 88三數成等差,求x之值

2-2 等差級數

重點

等差級數 將一等差數列用加號(+)串接起來,形如a C a Cd C a C2d C...的 式子,稱為「等差級數」。

•

等差級數亦可表為S_n= a C a Cd C a C2d C...C a C

n K 1 d

• 等差級數常用

公式 已知首項a₁及末項a_n：S_n=

n a

Ca

•

2

已知首項a₁及公差d：S_n=

n 2a

C nK1 d

•

2

例題

例題9A 等差級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

寫出等差級數_{k = 1}

>

^{2kK1 的前五項.}

>

^{3kK2 的前五項.}

[簡答] :

1 C4 C7 C10 C13+...

例題9B 等差級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

將n項等差級數2 C5 C8 C11 C...依 其一般項表為連加式.

將n項等差級數1 C5 C9 C13 C...依其一 般項表為連加式.

[簡答] :_{k = 1}

>

^4kK3

例題9C 等差級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

寫出等差級數5 C9 C13 C...C

93的連

寫出等差級數9 C7 C5 C...C K101 的連 加式表示法.

[簡答] :_{k = 1}

>

^{K2k C11}

例題10 等差級數

老師講解 學生練習

求_{k = 2}

>

>

[簡答] :

261

例題11 等差級數應用

老師講解 學生練習

100到與200的自然數中,所有7的倍數的 總和是多少?

1到與100的自然數中,所有3的倍數的總和 是多少?

[簡答] :

1683

例題12 等差級數

老師講解 學生練習

若等差數列的首項是12,公差是5,則前 10項的總和是多少?

若等差數列的首項是5,公差是3,則前8項 的總和是多少?

[簡答] :

124

例題13A 等差級數

老師講解 學生練習

已知等差數列 a_k 中,首項K15,公差5,和 735,求此等差數列的項數n及末項a_n

已知等差數列 a_k 中,首項12,公差K3,和 27,求此等差數列的項數n及末項a_n

[簡答] : n = 3時,a_n= 6; n = 6時,a_n

=K3

例題13B 等差級數應用

老師講解 學生練習

設一凸邊形,其各內角之度數成等差數 列,若公差為4°, 最大 角為172°,求此多 邊形的邊數

設一凸邊形,其各內角之度數成等差數列, 若公差為4°, 最小 角為128°,求此多邊形 的邊數

[簡答] : 12 a₁₂

= 172°, a

= 184°O 180°

例題14 等差級數進階

老師講解 學生練習

設 a_n 是等差數列,若a₃Ca₁₅= 40,求

k = 1

>

17

a

試一下 歷屆考題1

有一個101項的等差數列a₁, a₂, a₃,..., a₁₀₁,其和為0,且a₇₁= 71. 問下列選項那些正 確

(A)a₁Ca₁₀₁O 0 (B)a₂Ca₁₀₀! 0 (C)a₃Ca₉₉= 0 (D)a₅₁= 51 (E)a₁! 0 [85學測]

[簡答] :

C E

例題15 等差級數進階

老師講解 學生練習

a

a

(1)公差d =?

(2)從第幾項開始變為正數?

(3)此級數加至第幾項的和會變為正數?

a

(1)從第幾項開始變為正數?

(2)此級數加至第幾項的和會變為正數?

[簡答] :

1 55 2 68

例題16 等差級數應用

老師講解 學生練習

觀察下圖,你可以找出一個等差級數的 關係式嗎?

觀察下圖,你可以找出一個等差級數的關 係式嗎?

[簡答] : 2 1 C2 C3 C...Cn = n n C1

例題17 等差級數的部分和

老師講解 學生練習

已知一等差級數前3項的和30,前6項的 和40, 求前9項的和.

•

•

•

•

•

•

•

•

3 等比數列與等比級數

3-1 等比數列

重點

等比數列 一個數列 a_k ,若任何相鄰兩項的後項與前項之比都一樣,就稱為「等 比數列(又稱幾何數列)」。

例如： 1 1, 2, 4, 8, 16,... =

2

2 2, 2, 2, 2, 2,... = 2 是首項為2,公比為1 沒變 的等比數 列。

公比 等比數列中,任何連續兩項的後項與前項之比稱為「公比」。

公比計算公式：

1 r = ak

a_kK1 2 r^nK1 =

an

a₁ 3 r^mKn=

am

a_n

等比數列的表 示法

若等比數列之首項a₁= a,公比為r,則所有等比數列皆可表為

a

$r

等比數列的常 用公式

若等比數列之首項a₁= a,公比為r,則:

一般項a_k可表為：

(1)a_k

= a

$r

= a

$r

=

a

r

a

a

$r

a

a

r

3 = 7K4

(1)r^kK1= a_k a1

(r =

a_k a1

kK1 )

(2)r^mKn= a_m an

(r = a_m an

mKn )

等比中項 a, b, c三數成等比

0b稱為a, c的等比中項(幾何中項) 0

b a

c

b

= ac 0 b

等比中項

= ac

= abc 0 b

等比中項

=

abc

a

r , a, ar 或 a, ar, ar

筆記(Note)

比較

a

a

a

a

a

r

像不像?

•

•

任兩項的關係 圖解

等差數列

a

Ka

等比數列

a

a

r

例題

例題18A 等比數列的表示法

老師講解 學生練習

寫出等比數列

2

1 2

kK1

的前五項.

[簡答] :

1, 1 2 , 1

4 , 1 8 , 1

16

例題18B 等比數列的表示法

老師講解 學生練習

將等比數列 1, 3, 9, 27,... 以其一般 項表示.

將等比數列 1,K2, 4,K8,... 以其一般項表 示.

[簡答] :

K2

例題19A 等比數列的任意項(已知首項)

老師講解 學生練習

求等比數列5, 10, 20, 40, … 的第10項 求等比數列4, 8,16,32, … 的第10項

[簡答] :

2048

例題19B 等比數列的任意項(已知任意項)

老師講解 學生練習

已知等比數列 a_k 中,a₃= 6, a₅= 24,求

a

已知等比數列 a_k 中,a₃= 2, a₇= 6,求a₁₅=?

[簡答] :

54

例題20 等比數列應用

老師講解 學生練習

在3 與48之間插入3個數,使其成為等比 數列,求此三數

例題21 等比中項

老師講解 學生練習

3, x, 48三數成等比,求x之值 3, x, 48三數成等比,求x之值

[簡答] :

G15

3-2 等比級數

重點

等比級數 將一等比數列用加號(+)串接起來,形如a Car Car²Car³C...的式子, 稱為「等比級數」。

•

等比級數亦可表為S_n= a Car Car²Car³C...Car^nK1

• 等比級數常用 公式

已知首項a及公比r (1)r s 1時, S_n=

a r

K1

rK1

a 1Kr

1Kr

na

•

例題

例題21A 等比級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

寫出等比級數_{k = 1}

>

²

>

¹ 2

kK1

的前五項.

[簡答] :

1 C 1 2 C 1

4 C 1 8 C 1

16 C...

例題21B 等比級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

將n項等比級數1 C3 C9 C27 C...以 其一般項表示為連加式.

將n項等比級數1K2 C4K8 C...以其一般 項表示為連加式.

[簡答] :_{k = 1}

>

^K2

例題21C 等比級數的連加式表示法

老師講解 學生練習

寫出等比級數2 C4 C8 C...C

1024的連

寫出等比級數16 C8 C4 C2 C...C

1 64

[簡答] :_{k = 1}

>

²

例題22A 等比級數

老師講解 學生練習

若一等比數列的首項為5, 公比為2, 求 其前6項的和

若一等比數列的首項為6, 公比為-2, 求其 前5項的和

[簡答] :

66

例題22B 等比級數

老師講解 學生練習

求_{k = 1}

>

kK1

之值 求_{k = 1}

>

[簡答] :

240

例題23 等比級數

老師講解 學生練習

求9 C99 C999 C...C999999 =? 求4 C44 C444 C...C444444 =?

[簡答] :

493824

例題24 等比級數應用

老師講解 學生練習

如圖,一正方形的周長為16公分,以各 邊中點為頂點連成的四邊形也是正方 形,試求:

(1)五個正方形的周長總和 (2)五個正方形的面積總和

如圖,一正三角形的周長為30公分,以各邊 中點為頂點連成的三角形也是正三角形, 試求:

(1)五個正三角形的周長總和 (2)五個正三角形的面積總和

[簡答] :

(1) 465

8 (2) 8525 3 256

詳解 (1)

設各正方形的周長為a_k,則...

a

16 r = 2

2

1

2 S

a

r

1K

r

=

16

1K

1 2

5

1K

2 2

= 16 #

1K 2 8 2K 2

2

= 16 #

8K 2 8 2K 2

2 =

16

4

=

4

$ 2 C 2

$ 2 C 2

4

2

=

2

28 C12 2 公分

(2)

設各正方形的面積為a_k,則...

a

16 4

2

=

4

16 r = 1

2

S

a

r

r

=

16

1K

1 2

5

1K

1 2

= 16 # 1K1

32 1 2 = 16 #

31 32 1 2 =

16

16

31 平方公分

4 級數於求和之應用

4-1 本息問題

重點

與利息相關的 計算公式

r = I

P

• 本金

I = P # r 利息 = 本金 # 利率

•

A = P CI 本利和 = 本金 C利息

• 單利與複利的 本利和公式

已知本金P,利率r及期數n

•

期數 以[單利]計算本利和 以[複利]計算本利和

1

A = P

A = P

2

A = P

A = P 1 Cr

:

n A = P

A = P 1 Cr

= P 1 Cr ⁿ 本利

和

A = P CP$r$n

A = P 1 Cr

例題

例題25 級數於求和之應用(複利本利和)

老師講解 學生練習

某人將1萬元存入銀行,每年依複利計 息一次. 如果年利率為2%,試問：

(1)第一年後,本利和為多少元？

(2)第四年後,本利和為多少元？（已 知 1.02 ⁴z 1.0824)

18年前,小明出生時,媽媽為她在銀行存 入1萬元當作教育基金.如果年利率為6%, 每年依複利計息一次,那麼現在珊珊的教 育基金有多少元？（已知

1.06 ¹⁸z 2.8543）

[簡答] :

28543元

4-2 連加式

4-2-1 連加式的性質

重點

連加式的性

質 ^• _{k = 1}

>

^c

^{n # c}

k = 1

>

n

a

>

^a

^C

>

^b

•

k = 1

>

n

a

>

^a

^K

>

^b

•

k = 1

>

n

c

c #

>

^a

•

4-2-2 連加式應用

重點

連加式應用

k = 1

>

n

k = n n C1

•

2

k = 1

>

n

k

= n n C1 2 n C1

•

6

k = 1

>

n

k

= n n C1 2

2

= _{k = 1}

>

^k

2

•

k = 1

>

n

k k C1 = n n C1 n C2

•

3

k = 1

>

n

k k C1 k C2 = n n C1 n C2 n C3

•

4

k = 1

>

n

1

k k C1

n

•

n C1

例題

例題26 連加式應用

老師講解 學生練習

求級數_{k = 1}

>

>

[簡答] :

200

例題27 連加式應用

老師講解 學生練習

求級數4 C7 C10 C...C31的和 求級數1 C3 C5 C...C 2nK1 的和

[簡答] :

n

例題28 連加式應用

老師講解 學生練習

求級數

1 C2 C3 C...C nK1 Cn C nK1 C...C2 C1

的和

求級數2 1 C2 C3 C...Cn 的和

[簡答] :

n n C1

例題29 連加式應用

老師講解 學生練習

計算級數

1 # 2 C2 # 3 C3 # 4 C...C99 # 100的 和

計算級數

1 # 3 C2 # 5 C3 # 7 C...C49 # 99的和

[簡答] :

82075

例題30 連加式應用

老師講解 學生練習

求級數

1²# 2 C2²# 3 C3²# 4 C...Cn²# n C1

的和

例題31A 連加式應用

老師講解 學生練習

計算級數 1

1 # 2 C 1

2 # 3 C 1

3 # 4 C...

C 1 99 # 100 的和

例題31B 連加式應用

老師講解 學生練習

計算級數 1

1

3

5

C 1

99

計算級數 1

2

4

6

C 1

98

[簡答] :

49

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