第壹部分:選擇題 (55%)
一、單選題(25%)說明:第 1 至 5 題,每題選出最適當的一個選項,標示在答案卡之「解答欄」,每題答對得 5 分,
答錯不倒扣。
1. t 為實數,拋物線 y=2x2+tx+3的圖形頂點為P ,所有t P 點所成圖形的方程式為何? t (1) 3y=−2x2−
(2) 3y=−2x2+ (3) 3y=−2x+ (4) 3y=−2x− (5) 3y= x2 +
2. 坐標平面上二點P(cos1,sin1),Q(2cos3,2sin3),則對PQ 的長度,下列敘述哪一個正確?
(1) 介於 0 到 1 之間 (2) 介於 1 到 2 之間 (3) 介於 2 到 3 之間 (4) 介於 3 到 4 之間 (5) 介於 4 到 5 之間
3. 如圖 1,G 為ΔABC之重心,I、J、K 分別為ΔGBC、ΔGCA、ΔGAB 之重心,則下列敘述何者不正確?
(1) 向量
(2) 線段KJ //BC (3) 線段KJ BC
3
=1
(4) 向量 (5) 向量
圖1
4. 一圓位於 x 軸上方,且與雙曲線 1 9 16
2
2 − y =
x 相切,又圓心與雙曲線兩焦點恰好成為一個正三角形,
求此圓之半徑為多少?
(1) 5 (2) 6
(3) 7 (4) 8
(5) 9
5. 園遊會場有一賓果遊戲攤位,遊戲規則如下:
I. 遊戲者依序寫下三個數字(由 0~9 中的數字可重複使用) II. 攤位的電腦將會隨機顯示三個數字
III. 若所寫的三個數字與電腦的三個數字完全相同,可得 300 元獎金 IV. 若所寫的三個數字與電腦的三個數字有兩個相同,可得 200 元獎金 V. 若所寫的三個數字與電腦的三個數字只有一個相同,可得100 元獎金 例如:電腦顯示的三個數字是 0 6 1
遊戲者寫的三個數字也是0 6 1,可得 300 元獎金;
遊戲者寫的三個數字是 0 7 1、1 6 1 或 0 6 5,可得 200 元獎金;
遊戲者寫的三個數字是 0 5 2、1 6 0 或 7 8 1,可得 100 元獎金。
試問:在此攤位玩賓果遊戲一次,可得獎金的期望值為多少元?
(1) 5
6 (2)
5 42
(3) 5
69 (4) 30
(5) 243 2800
二、多選題(30%)
說明:第6 至 11 題為多選題,每題各有 5 個選項,其中至少有一個是正確的答案。各題之選項獨立 判定,所有選項均答對者,該題得 5 分。若答錯 k 個選項,可得
5 2 5− k
題分。例如答錯一個 選項者,得該題
5
3題分;答錯兩個選項者,得該題 5
1題分,以此類推;所有選項均未作答或 答錯多於2 個選項者,該題以零分計算。
6. 一等差數列共有 6 項且各項皆為相異正整數,又其第 1、3、6 三項成等比,則關於此數列下列敘 述何者正確?
(1) 第 1 項為偶數
(2) 第 5 項是第 1 項的 2 倍 (3) 第 2 項為奇數
(4) 第 6 項是第 4 項的 2 倍 (5) 此數列總和之最小值為 39
7. 二次函數 f(x)=ax2−3ax+b,已知 f(1)> f(3)>0,則下列敘述正確的有哪些?
(1) a>0 (2) b>0 (3) )f(1)> f(2 (4) 0f(4)<
(5) 0f(x)= 恰有一正根一負根
8. 空間中有A(2,2,3)、B(2,2,−1),P 是 xy 平面上的點;若PA⊥PB,Γ 為所有 P 點所形成的圖形。下 列哪些選項正確?
(1) Γ 為一個球 (2) Γ 的半徑是 3 (3) (2,2, 3)位在Γ 上 (4) ΔABP的面積是2 3
(5) 12(x−2)2+(y−2)2+(z−3)2 = 與(x−2)2+(y−2)2+(z+1)2 =4之相交圖形落於Γ 上
9. 已知正四面體的四個頂點分別位於兩條歪斜線L 與1 L 上; 其中2 L :1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−
= +
=
0 3 4
z
t t y
t x
, 為實數,
L :2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
=
1 2 2
z
s s y
s x
, 為實數。則下列敘述何者正確?
(1) L 與1 L 的距離為 1 2
(2) (0,1,0)與(1,0,1)為此正四面體的兩個頂點 (3) 此正四面體的邊長為
2 2
(4) 此正四面體的體積為 3 1
(5) 此正四面體的內切球半徑為 3 2
1
10. 如圖 2,有n(n≥5)個大小不同的空心圓盤,依大小由下而上排列在三根短木棒中的一根 A,假如 每次只能移動一個圓盤,而且大圓盤不能疊放在小圓盤上面。若要將這 n 個圓盤全部移到另外的 一根短木棒 B 上,且希望移動圓盤之最少次數為a 次。則以下敘述哪些是正確的? n
(1) 最大的圓盤在整個過程中共移動 1 次 (2) 第二大的圓盤在整個過程中共移動 2 次 (3) 第三大的圓盤在整個過程中共移動 3 次 (4) 127a7 =
(5) 1a10=2×a9+ 圖2
11. 教育部希望了解目前台灣高中生近視的情形,近日對全台分區做抽樣調查,依城鄉區分,所得結 果如下表:(四捨五入計算到小數第二位)
都會地區高中生 鄉村地區高中生
在95%信心水準所得的信賴區間 [0.70,0.74] [0.62,0.66]
抽樣學生人數 n 1 n 2
請問從此次抽樣調查結果可以得到下列哪些推論?
(1) 此次抽樣的都會地區高中生近視比例高於鄉村地區高中生近視比例
(2) 在城鄉兩地所得 95%信心水準的信賴區間有相同的抽樣誤差,表示在城鄉兩地抽樣的學生人 數n1=n2
(3) 若重新抽樣調查,將抽樣人數均增加為原來的兩倍,在城鄉兩地所得 95%信心水準的信賴區 間仍有相同的抽樣誤差
(4) 在台灣,都會地區高中生近視比例高於鄉村地區高中生近視比例
(5) 若不分城鄉兩地,此次抽樣調查在 95%信心水準所得的信賴區間包含於[0.66,0.70]
第貳部分:選填題 (45%)
說明:1. 第 A 至 I 題,將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12~34)。
2. 每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 有一長方形彈珠台ABCD,長AB=6,寬AD=3,點 P、Q 在邊 CD 上,
且DP= QC=2。今有一彈珠一開始在點 P,經三次反彈後最後停在點 Q(如圖 3,假設球皆直線前進,且反彈符合入射角等於反射角,圖僅供 參考),求整個過程彈珠的運動路徑總長為 ○12 。
B. 設Γ :1 y=log2 x,Γ :2 y=log4x,直線 L:y= 與k Γ 、1 Γ 依序交於 P、Q 兩點且2 PQ=20,則 Q 點的 x 坐標為 ○15○16 。
C. 如圖 4,ΔABC中,D 為 BC 上一點,若AB=4,BD=3,AC=7, ABC
ADC= ∠
∠ 2 ,則CD ○= 17 。
○13○14
圖3
圖4
D. 坐標平面上兩點 A(2,0)、B(0,3),P 點在第一象限中且滿足 ,則 P 點所形成區域的面積 為 ○18 + π 。
E. 如圖 5,四面體 ABCD 的各稜AB= AC=CD=BD=5, AD= BC=6,則四 面體ABCD 的體積為 ○22 。
F. 在坐標空間中,O(0,0,0),A(12,5,0),B(2,8,0),C 在球面x2+y2+z2 =9上,則四面體 OABC 體積 的最大值為 ○24○25 。
G. 小美手中有一條長 40 公分的緞帶(沒有彈性),要用來裝飾一長 24 公分,寬12 公分的長方形卡片 ABCD,其中緞帶的兩端點黏在點 A 和點 B(如圖 6 所示)。小美想在CD 邊上找一點 P,使得緞帶剛 好可以黏上去(其中CP 邊的長度小於 DP 邊的長度)。求 CP 邊的長 為 ○26○27− ○28 公分。
H. 有五道試題,若每題得分只有可能為 3 分、4 分或 5 分三種(得部分分數或全得,每題都不難,且 有容易得分的部分,沒有0 分),則五道試題總得分為 20 分的得分分配情形有 ○30○31 種。
I. 某一停車場內,有 12 個停車格連成一排,今有 8 部車在此停車場隨機停車(一車一停車格),請問 剩下4 個空的停車格恰好連在一起的機率為 。
○19○20
○21
○23
圖5
圖6
○29
○32
○33○34
可能用到的參考公式及數值
1. 一元二次方程式ax2+bx+c=0的公式解:
a ac b x b
2
2−4
±
= −
2. 平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離為P1P2 = (x2−x1)2+(y2−y1)2
3. 通過(x1,y1)與(x2,y2)的直線斜率
1 2
1 2
x x
y m y
−
= − ,x2 ≠ x1
4. 首項為a ,公差為 d 的等差數列前 n 項之和為1
2 ) ) 1 ( 2 ( 2
)
(a1 a n a1 n d
S n n + −
+ =
=
5. 三角函數的和角公式:sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA B A B A B
A ) cos cos sin sin cos( + = −
6. ΔABC 的正弦定理: R
C c B b A
a 2
sin sin
sin = = = ΔABC 的餘弦定理:c2 =a2+b2−2abcosC
7. 95%信心水準下之信賴區間: ˆ(1 ˆ)] ˆ 2
), 1 ˆ ˆ( ˆ 2
[ n
p p p
n p
p p −
− +
−
8. 1 徑度≈57.3度
9. 參考數值: 2 ≈1.414, 3≈1.732 10. 對數值:log102≈0.3010,log103≈0.4771