香港中學文憑 – 數學科 必修部份 基礎課題 v1.2
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11.3. 以代數方程描述點的軌跡（Describe the Locus of Points with Algebraic Equations）
² 前面學嘅都只係一D 概念。當中並冇涉及到用“數學符號”嚟代表個軌跡。
n 而依一課學嘅就係要學依樣嘢
l 喺數學上，一個軌跡其實通常係一條代數方程。
l 而求依條方程嘅方法多數係：
n 想像喺軌跡上面有一點(x,y)（依點就係我哋之前提到喺軌跡上隨意走動嘅點）。
n 然後將軌跡要乎合嘅“條件”用數學嘅方法表達出嚟（即係列條數式出嚟）。
n 最後將列出嚟嘅數式化簡。
² 軌跡嘅問題可以話千變萬化。不過幸好依個課題只係必俢部份、仲要喺基礎課題。所以應 該唔會考得太深同變得大離譜。
n 根據課程，大家要識嘅係“求簡單軌跡的方程”，包括：
u 直線 u 圓
u 形式如 y = ax2 + bx + c 的拋物線
11.3.1. 求直線軌跡的方程 l 直線離有以下三種：
n 水平線
u 方程個樣係 y = k (k 為常數)。例子： y = 3。
n 鉛垂線
u 方程個樣係 x = k (k 為常數)。例子： x = 5。
n 斜線。
u 方程個樣係 ax + by + c = 0 (a, b, c 為常數)。例子： 2x + y + 3 = 0。
l 如果要求嘅軌跡係一條水平線或鉛垂線，其實只要理解題目，咁就條數係唔多駛計嘅。
n 例子： P 點與水平線 y = 3 及 y = 7 是等距的。求 P 點的軌跡。
u 解說：先想一想個軌跡會係咩樣。
Ø 照計大家應該可以諗到答案會係一條喺y = 3 同 y = 7 日間嘅水平線。
（睇唔到就畫 y = 3 同 y = 7 出嚟）
Ø 所以P 點的軌跡是 y = 5。
n 例子： Q 點與點 (4, 5) 及 (8,5) 的距離相等。求 Q 點的軌跡。
u 解說：先想一想個軌跡會係咩樣。
Ø 照計大家應該可以諗到答案會係一條兩點之間嘅鉛垂線。
Ø 所以Q 點的軌跡是 x = 6。
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l 如果要求嘅軌跡係一條斜線，咁就多數要“計一計”。
n 例子： 點 R 與線 3x + y + 3 = 0 及 3x + y + 9 = 0 的距離相等。求 R 點的軌跡。
n 解說：先想一想個軌跡會係咩樣。
u 留意兩條線嘅方程只係最後嘅數字唔同。咁係代表兩條線係平行線。
u 照計大家應該諗到個答案會係喺佢哋中間嘅平行線。而條線嘅方程同佢哋都係差 唔多樣，只係最後嘅數字會等於“3 同 9”嘅平均數。
u 所以R 點的軌跡是 3x + y + 6 = 0。
n 例子：S 點與點 A(4, 5) 及 B(8,1) 的距離相等。求 S 點的軌跡。
n 解說：先想一想個軌跡會係咩樣。
u 如果你以為答案係一條水平或鉛垂線，就唔該畫一畫兩點同個“你想到嘅答案”
出嚟。（留意今次嘅題目入面嗰兩點嘅x、y-坐標都係唔同嘅。）
u 要搵個答案，我哋要用最初有提咗嘅“將軌跡要乎合嘅條件用數學嘅方法表達出 嚟”嘅方法：
Ø 設S 點為 (x, y)。
Ø SA 長度 = SB 長度
(x – 4)2 + (y – 5)2 = (x – 8)2 + (y – 1)2
x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = x2 – 16x + 64 + y2 – 2y + 1 – 8x + 16 – 10y + 25 = – 16x + 64 – 2y + 1
8x – 8y – 24 = 0 x – y – 3 = 0
² 以上我哋用咗初中坐標幾何入面學過嘅兩點距離公式。唔記得嘅可以睇睇“唔好以 為唔駛考課題”入面嘅教程。
² 至於角平分線嘅軌跡（即11.2.6 入面話嘅軌跡）我就覺得應該唔會出。咁喺因為好似課程 入面冇提到要大家識得計“一點與一條直線嘅距離”（喺會考入面依個係附加數嘅課 題）。
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11.3.2. 求圓軌跡的方程
l 如果題目要求嘅軌跡係“有一點同另一固定點保持固定距離”嘅話，咁個軌跡就係一個圓 形。依個時候我哋又係要用“將軌跡要乎合嘅條件用數學嘅方法表達出嚟”嘅方法。
l 例子：S 點與點 A(4, 5) 的距離為 3。求 S 點的軌跡。
l 解說：個軌跡好明顯係一個圓。
n 設S 點為 (x, y)。
n SA 長度 = 3
(x − 4) + (y − 5) = 3 (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9
x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 9 x2 + y2 – 8x – 10y + 32 = 0
² 到底點解上面嘅方程係一個圓形大家可能唔明。
n 先接受吧！我哋會喺“第12 課 – 直線與圓的方程”度學圓嘅方程。
11.3.3. 求拋物線軌跡的方程
² 正如個名所講，“拋物線軌跡”喺當我哋拋一個物體出去之後，佢所走嘅路線嘅樣。
n 數學上佢其實就係我哋學過嘅一元二之方程圖像（即y = ax2 + bx + c）。
u 現實生活中嘅拋物線當然要係“個圖像嘅開口向下”。
n 而“拋物線軌跡”所乎合的條件是“有一點與一固定點及直線的距離係相等的”。
l 例子：P 點與點 A(2,3)及直線 y=1 的距離相等。求 P 點的軌跡。
l 其實當大家睇唔到個軌跡係咩而用“軌跡要乎合嘅條件用數學嘅方法表達出嚟” 嘅時候，
我哋可以唔駛理個軌跡係咩。只要跟住個方法照做：
n 設P 點為 (x, y)。
n P 點與點 A(2,1)的距離 = P 點與直線 y=1 的距離 (x − 2) + (y − 3) = y − 1
(x − 2) + (y − 3) = (y − 1)
x − 4x + 4 + y − 6y + 9 = y − 2y + 1 x − 4x + 13 = 4y + 1
x − 4x + 12 = 4y y = (1/4)x − x + 3
² 留意P 點與直線 y=1 的距離係條鉛垂線，長度 = y – 1。
