關於

關於 Taxicab Numbers 及 Cabtaxi Numbers 兩整數列上界的探索

蘇柏奇

摘要: 若給定 S = a³+b³, 在考慮搜尋正整數 (或整數) x ≥ y, 使得 S = a³+b³ = x³+y³時, 我們證明 a+b ≡ x+y(mod 6), 提供一個參數函數 rⁱ → (x(rⁱ), y(ri)) 以表示所有搜尋標的。 當 S 有多種雙立方和表法時, 預測 S 為 18 的倍數。 以此為 基礎, 可用來搜尋有 n 組雙正立方和 (或立方和) 表法的最小正整數 T a(n) (或 Ca(n)) 的上界及其對應表法。 根據這方法所得 Ca(n), 11 ≤ n ≤ 16, 的上界, 已 收錄於「整數列線上百科」 (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, 2013 年 6 月)。 我們同時給出 Ca(43), . . ., Ca(55), T a(23), T a(24) 的上界及其 完整雙立方和表法, 其中 Ca(43), Ca(44) 及 T a(23) 的上界分別於2014年8月及 10 月收錄於 OEIS, 在 T a(n), Ca(n) 搜尋的漫漫道路上, 提供一個嶄新的進展。

一、 前言

當你在街頭看到一部車牌號碼為 1729 的計程車時, 腦海裡是否浮現一些圖像? 是樂透的 明牌, 或是其它? 但在印度裔天才數學家 Ramanujan 的腦海裡浮現的卻是

1729 = 1³+ 12³ = 10³+ 9³

也就是說, 1729 有兩組雙正立方和表法, 他並且進一步指出小於 1729 的數都沒有這種性質。

因為這一段 Hardy 與 Ramanujan 間關於計程車車牌號碼的軼事, 1729 這個數也被稱為 Hardy-Ramanujan Number [4]。 事實上, 早在 1657 年 Bernard Frenicle de Bessy 已 提及 1729 = 1³+ 12³ = 10³+ 9³ 為有兩組正立方和表示法的最小正整數的事實。

有 n 組雙正立方和表法的最小正整數稱為 「the n^th taxicab number」, 記作 T a(n); 對 於自然數 n, T a(n) 的存在性已由 Fermat 予以證明了, 見 Hardy 與 Wright 的著作 [2, 定 理 412]。 有 n 組雙立方和 (不必然為正數) 的最小正整數稱為 「the n^th cabtaxi number」, 記

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作 Ca(n)。 顯而易見 Ca(n) ≤ T a(b)。 具體地來說, Dardis [4] 於 1994 年求得 T a(5)。 但卻 在十年之後方得完全決定 T a(6): 1997 年 Wilson [4] 得 T a(6) 的一個上界

T a(6) ≤ 8230545258248091551205888

= 2⁹· 3³· 7 · 13 · 19³· 31 · 67³· 79 · 109³ 2002 年 Rathbun [4] 下修為

T a(6) ≤ 24153319581254312065344

= 2⁶· 3³· 7⁴· 13 · 19 · 43 · 73 · 79³· 97 · 157

2003 年 Calude [4] 等人證明這個上界即為 T a(6) 的機率大於 99%。 最後由 Hollerbachu [4] 於 2008 年證明此數即為 T a(6)。

這個過程顯示, 決定 T a(n) 和 Ca(n) 並非輕而易舉之事。 它們的搜尋分別列為 「整數列 線上百科」(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) 的 A011541 及 A047696 兩個問題。 截至目前為止, 已知的 T a(n) 和 Ca(n) 如表 1 所示, T a(n) 之間和 Ca(n) 之間 的倍增關係如圖 1 所示。

表1: 已知的 T a(n), Ca(n)

T a(n) Ca(n)

T a(1) = 2 Ca(1) = 1

T a(2) = 7 · 13 · 19 Ca(2) = 7 · 13

T a(3) = 3³· 7 · 31 · 67 · 223 Ca(3) = 2³· 7 · 13 T a(4) = 2¹⁰· 3³· 7 · 13 · 19 · 31 · 37 · 127 Ca(4) = 2³· 3³· 7³· 37 T a(5) = 2⁶· 3³· 7⁴· 13 · 19 · 43 · 73 · 97 · 157 Ca(5) = 3³· 7 · 13 · 31 · 79 T a(6) = 2⁶· 3³· 7⁴· 13 · 19 · 43 · 73 · 79³· 97 · 157 Ca(6) = 3³· 7⁴· 19 · 31 · 37

Ca(7) = 2³· 3³· 7⁴· 19 · 31 · 37 Ca(8) = 2³· 3³· 7⁴· 19 · 23³· 31 · 37 Ca(9) = 2³· 3³· 5³· 7⁴· 19 · 31 · 37 · 67³ Ca(10) = 2³· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19 · 31 · 37 · 67³

若一數有 n 組雙正立方和 (或雙立方和) 表法, 即得此數為 T a(n) (或 Ca(n)) 的上界。

此上界有可能下修, 若要證實此數為具有 n 組表法之數的最小值 (即為 T a(n) 或 Ca(n)), 則 需確認小於此上界的所有數值至多具有 n − 1 組表法。 在 T a(n), Ca(n) 上界的搜尋進展上, Boyer 於 2008 年發表 T a(7), . . ., T a(19) 及 Ca(11), . . ., Ca(30) 的上界 [1]。 根據 Boyer 網頁 [5] 的資料, Moore 下修 Ca(11), Ca(12), Ca(14) 的上界, Boyer 及 Wroblewski 下 修 T a(11), . . ., T a(19) 及 Ca(13), Ca(15), . . ., Ca(30) 的上界, 並再給出 T a(20), . . ., T a(22) 及 Ca(31), . . ., Ca(42) 的上界。

圖1: 已知的 T a(n) 間和 Ca(n) 間的倍增關係

本文藉著觀察滿足 x³₁+ y³1 = x³2+ y³2 關係式的四個整數 x1, y1, x2, y2 之間的關係, 進 而說明 T a(n), Ca(n) 表法的一些規律, 例如 : x + y ≡ a + b(mod 6) 的關係 (見引理一), 在搜尋 T a(n), Ca(n) 的上界時扮演重要的篩選條件。 我們推測 T a(n), n ≥ 7, 以及 Ca(n), n ≥ 11, 都是 18 的倍數 (見 3.3), 進而提供一組可用來篩選滿足 S = a³+ b³ = x³+ y³ 關 係的正整數解 (或整數解) x, y 的條件 (見定理二)。 當 S = a³ + b³ 為 18 的倍數時, 我們提 出了 「T a, Ca 篩選演算法」, 用來決定 T a(n) 及 Ca(n) 的上界。 根據這演算法所得 Ca(n), 11 ≤ n ≤ 16 的上界, 已於 2013 年 6 月收錄於 OEIS。 以定理二所提供的篩選條件, 及 Boyer 所提供的 T a(n), Ca(n) 上界的雙立方和表法為基礎, 我們修正 T a, Ca 篩選演算法, 提供 「局部篩選」 的機制 (見第四節), 以求有效降低計算量。 根據這項局部篩選演算法, 我們分 別得到 Ca(43), . . ., Ca(55), T a(23), T a(24) 的上界及其雙立方和表法 (見第五節), 其中 Ca(43), Ca(44) 及 T a(23) 的上界分別於 2014 年 8 月及 10 月收錄於 OEIS, 在 T a(n), Ca(n) 的搜尋道路上, 提供一個嶄新的進展。

二、 BT a(n) 之間和 BCa(n) 之間的倍增關係

Wilson [3] 和 Boyer [1] 提出採用 「倍增法(magnification technique)」 來搜尋 T a(n), Ca(n) 的上界 (見 2.1), 我們以倍增的方式臚列目前已知 T a(n), Ca(n) 的上界間的倍增關係 (見 2.2), 並做進一步的分析 (見 2.3)。

2.1. ^倍增法

在搜尋 T a(n) 及 Ca(n) 的歷程中, 「倍增法」 是一個常用且有效的方法, 它利用已知有 n 組雙立方和表法的數, 來搜尋有 n + 1 組表法的數 (見 Wilson [3] 和 Boyer [1])。

若 S 有 n 組雙立方和表法 S = x³_i+ y³_i, i = 1, . . . , n, 將 S 乘上一個立方數 k³, 不難得 知 Sk³ 至少有 n 組表法 Sk³ = (kxi)³+(kyi)³, i = 1, . . . , n。 若能找到一個 k, 使有第 n+1

組表法 Sk³ = x³_n+1+ y_n+1³ , (xn+1, yn+1) 6= (xⁱ, yi), 1 ≤ i ≤ n, 則 Sk³ 有 n + 1 組雙立方 和表法, 因而提供 T a(n + 1) 或 Ca(n + 1) 的上界。 我們稱這樣的 k 為 S 的一個 「倍增數」。

若同時使用 h 個倍增數, 有可能多出 h 組表法, 亦即: 若 S 有 n 組表法, 且 ki, i = 1, . . . , h 為 S 的倍增數, 則 S · k1³· k2³· · · k³h 可能有 n + h 組或更多的表法。 例如: T a(6) 有 6 組表 法, 101³· T a(6) 及 127³· T a(6) 分別有 7 組表法, 得 101³· 127³· T a(6) 有 8 組表法。 再例 如: 當 k = 23, 29, 38, 43 時, k³· Ca(10) 分別有 11 組表法, 而 23³· 29³· 38³· 43³· Ca(10) 有 14 組表法。 根據定理二, 倍增法可以作進一步的推展 (見第三節)。

2.2. BT a(n), BCa(n) ^{間的倍增關係}

目前已知 T a(n), n = 1, . . . , 6, Ca(n), n = 1, . . . , 10 (見表一) 及 T a(n), 7 ≤ n ≤ 22, Ca(n), 11 ≤ n ≤ 42 等的上界, 將目前已知 T a(n) 及 Ca(n) 的上界分別記為 BT a(n) 及 BCa(n), 並且將已知由小至大第 k 個上界分別記為 BT a(n, k) 及 BCa(n, k)。 我們以 T a(6) 及 Ca(10) 的值為基礎, 以 「連續倍增」 的方式表示比值 BT a(n)/BT a(n − 1) 及 BCa(n)/BCa(n − 1), 如表 2、 表 3。

表 2: 相鄰 BT a(n) 的比值 表 3: 相鄰 BCa(n) 的比值 n BT a(n)/BT a(n − 1)

7 101³

8 127³

9 139³

10 13³· 29³

11 (1)

12 3³· 19³ 13 3³· 61³ 14 397³ 15 503³ 16 2³· 607³ 17 4261³ 18 37³· 181³ 19 5⁶· 457³· 521³/4261³ 20 4261³

21 127³· 197³ 22 11³· 31³ · 103³

n BCa(n)/BCa(n − 1) n BCa(n)/BCa(n − 1)

11 (2) 27 5⁶

12 19³ 28 7³· 13³· 97³/5⁶· 17³

13 (3) 29 17³

14 (4) 30 5⁶

15 (5) 31 29³

16 19³ 32 43³

17 2⁶· 31³/19³ 33 181³

18 19³ 34 193³

19 (6) 35 397³· 457³/181³· 193³

20 (7) 36 181³

21 (8) 37 101³· 229³/181³

22 37³/3³ 38 181³

23 3³ 39 163³

24 17³ 40 193³

25 139³/17³ 41 223³

26 17³ 42 307³

上表中部分比值略顯複雜, 例如:

(1) BT a(11)/BT a(10) =2³·5³·13²·17³·31·37·97²·109³/19·29³·101³·127³ (2) BCa(11)/BCa(10) =2⁴·3³·37²·43·61³·/5³·7·13²·31·67²

(3) BCa(13)/BCa(12) =2²·3³·7·13³·109·193/19·43·61²·67 (4) BCa(14)/BCa(13) =2⁴·19·31³·43·61²·67/3³·7·13³·109·193 (5) BCa(15)/BCa(14) =3³·7·13³·73³·109·193/2⁴·19·31³·43·61²·67

(6) BCa(19)/BCa(18) =5³·11³·37·43·61²·67³·109²·157/2⁶·13·19⁶·31²·73²·193 (7) BCa(20)/BCa(19) =2⁶·5³·13·19³·31²·73²·103³·193/11³·37·43·61²·67³·109²·157 (8) BCa(21)/BCa(20) =11³·43·61²·67³·79³·109²·157/2⁶·5³·13·31²·37²·73²·103³·193 然而, 在大多數的情形下, BCa(n) 和 BCa(n−1) 之間呈現簡單的倍增關係, 例如: BCa(29) /BCa(28) = 17³, BCa(31)/BCa(30) = 29³ 等, 如圖 2 所示。 以倍增模式呈現 T a(5), T a(6), BT a(7), . . ., BT a(22) 之關係, 及 BCa(19), BCa(21), . . ., BCa(42) 之關係, 見 附錄圖 9、 圖 10。

圖2: BCa(23), . . ., BCa(31) 之間的倍增關係

2.3. 連續倍增法的進一步分析

利用倍增法, 通常可由具有 n 組表法的最小數, 得到具有 n + 1 組表法的數。 但有時由有 n 種表法的數之中稍大的數 BT a(n, k) 或 BCa(n, k), 利用連續倍增的模式, 因其倍增數較 小, 也可能下修 T a(n + h) 或 Ca(n + h) 的上界。

例一: 在已知有 9 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大

第 2 個為 2⁶· 3³· 7⁷ · 19 · 31 · 73 · 97 · 139 , 記為 BCa(9, 2), 第 3 個為 2⁷· 3⁶· 7³ · 13 · 19 · 37³· 43 · 67, 記為 BCa(9, 3),

雖然 BCa(9, 3) 約為 BCa(9, 2) 的 1.4 倍, 略大於 BCa(9, 2), 但 61³ < 13³· 17³, 因此以 BCa(9, 3) 及其倍增數, 反能下修 Ca(11) 的上界。

Ca(11) ≤ BCa(11) = 61³· BCa(9, 3) < 13³· 17³· BCa(9, 2)。

目前已知的上界中, 與 BCa(9, 3) 有關的 BCa(n) 如圖 3 所示。

圖3: 與 BCa(9, 3) 有關的 BCa(n)

例二: 在已知有 10 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大, 第 5 個為 2⁹· 3³· 7⁴· 13⁴· 19³ · 61 · 109 · 193, 記為 BCa(10, 5).

與 BCa(10, 5) 有關的上界如圖 4 所示。

圖4: 與 BCa(10, 5) 有關的 BCa(n)

三、 整數雙立方和參數表法的探索

在這一節裡, 我們將先進行一項實驗, 根據實驗的數據發現整數立方和表法間的一些關係, 接著予以證明。

3.1. 整數雙立方和表法之間的關係

首先觀察滿足 S = x³₁ + y1³ = x³2 + y³2 關係式的四個整數 x1, y1, x2, y2 之間的關係, 並設 s = x2− x¹ ≥ 0, t = y¹− y² ≥ 0, 所得數據節錄如表 4 所示。 我們首先注意到表中 (x1+ y1) − (x²+ y2) 之值皆為 6 的倍數。

我們將在引理一證明前述 (x1+ y1) − (x²+ y2) 之值皆為 6 的倍數性質, 在搜尋 T a(n), Ca(n) 時, 多提供了一個篩選條件。

引理一: 若 x1, y1, x2, y2 為整數且 x³₁+ y₁³ = x³₂ + y₂³, 則 x1+ y1 ≡ x²+ y2(mod 6)。

證明: 因為 a³ − a = (a − 1)a(a + 1) 為三個連續整數之積, 故必為 6 之倍數, 即得 a³ ≡ a(mod 6) 對所有整數 a 皆成立。 所以等式 x³₁ + y₁³ = x³₂ + y₂³ 在模 6 之下立得 x1+ y1 ≡ x2+ y2(mod 6)。 證畢。

表4: 滿足 S = x³1+ y1³= x³2+ y2³ 的整數解

S x1 x2 y1 y2 (x1+ y1) − (x²+ y2)

1729 10 9 12 1 6

4104 15 9 16 2 6

20683 24 19 27 10 6

39312 33 15 34 2 12

40033 33 16 34 9 6

65728 33 31 40 12 12

64232 36 26 39 17 6

134379 43 38 51 12 18

149389 50 29 53 8 18

171288 54 24 55 17 6

根據引理一, T a(n), Ca(n) 的 n 組雙立方和表法 x³_i + y_i³, 1 ≤ i ≤ n, 滿足一些規律 性, 並且根據觀察 T a(n), 4 ≤ n ≤ 6, BT a(n), 7 ≤ n ≤ 22, Ca(n), 7 ≤ n ≤ 10, 以及 BCa(n), 11 ≤ n ≤ 42 各組表法之和, 分別為 xⁱ + yi ≡ 0(mod 6), i = 1, 2, . . . , n。 另外, 當 6 | a + b 時, 由 a³+ b³ = (a + b)((a + b)²− 3ab), 得 18 | a³+ b³。 我們據以推測 T a(n), n ≥ 7 以及 Ca(n), n ≥ 11 等都是 18 之倍數。

另一個支持上述推測的理由來自於倍增法。 當我們從某一個為 6 的倍數的 BT a(n), BCa(n) 出發, 經過倍增法得到的較高階的 BT a(n), BCa(n) 也為 6 的倍數。 此外, 因為 T a(n), Ca(n) 為有相同表法數之中最小的數值, 故出現較小之質因數 2, 3 的機率很大。

3.2. 整數各組雙立方和的參數表法

我們在定理二提供各組雙立方和表法的單一參數表示法, 作為第四節提出篩選演算法的基 礎。 當 S 為 18 的倍數時, 我們據此寫成 「T a, Ca 篩選演算法」(見第四節)。

已知 S = a³ + b³, a ≥ b 為正整數, 我們試著從演算法的角度, 考慮如何篩選合於 S = a³+ b³ = x³+ y³ 關係的正整數 x ≥ y。 首先, 我們引進一個參數 k = x + y, 亦即要針 對合適的 k 來求解方程式組:







x + y = k, x³+ y³ = S.

如此一來, 可將 x, y 表示為 k (和 S) 的函數。 因為 y = k − x, 代入得 x³+ (k − x)³ = S, 展開化簡得 3x²− 3kx + (k³− S)/k = 0。 因此,

x = (3k +p(3k)²− 4 · 3 · (k³− S)/k)/6, y = (3k −p(3k)²− 4 · 3 · (k³− S)/k)/6。

x, y 為正有理數的充要條件是根號裡的數為非負完全平方, 即 −3k² + 12S/k ≥ 0 為完全平

方。 因為 −3k² + 12S/k ≥ 0 及 k³ = (x + y)³ > x³ + y³ = S, 得 √³

S < k ≤ √³ 4S。

若令 k = x + y = 6r 代入前一段中得到的 x = (3k +p(3k)²− 4 · 3 · (k³− S)/k)/6, y = (3k −p(3k)²− 4 · 3 · (k³− S)/k)/6 即可得出

x = 3r +p−3r²+ (S/18r), y = 3r −p−3r²+ (S/18r)。

x, y 為正整數的充要條件是 −3r² + S/18r 為完全平方, 並且因 −3r² + S/18r ≥ 0 及 (6r)³ = (x + y)³ > x³+ y³ = S, 得 pS/216 < r ≤³ pS/54。 總結以上的推演如下:³ 定理二: 若 S = x³+ y³, x + y = k 且 x ≥ y, 則

x = 3k +p−3k²+ 12S/k

6 , y = 3k −p−3k²+ 12S/k

6 。

(1) x = 3k +p−3k² + 12S/k

6 , y = 3k −p−3k² + 12S/k

6 均為正有理數, 若且唯若

k | S, √³

S < k ≤√³

4S, 且 −3k²+ 12S/k 為完全平方數。

(2) 當 k = 6r 時, x = 3r +p−3r²+ (S/18r), y = 3r −p−3r²+ (S/18r) 為正整數, 若且唯若 18 | S, r | S/18, pS/216 < r ≤³ pS/54 且 −3r^{3 2}+ (S/18r) 為完全平方數。

在定理二 (1), (2) 的三個篩選條件中, 以第三個 「完全平方數」 的條件最為關鍵, 見第四 節的討論。 若有 r = r1, r2, . . . , rn 等 n 個 r 值通過篩選, 則參數函數

r1 → (xⁱ, yi) = (x(ri), y(ri))

提供 S 的 n 組雙立方和表法 S = x(r_i)³+ y(ri)³, 1 ≤ i ≤ n。 因此, 根據定理二 (2), 我們 將 「倍增法」(見2.1) 修正為: 若 S 為 18 的倍數且 S 有 n 組雙立方和表法, 若能選到 k 及對 應的 rn+1, 滿足 −3r²n+1+ (Sk³/18rn+1) 為完全平方數的條件, 則 Sk³ 有第 n + 1 組雙立 方和表法。

四、 T a, Ca 篩選演算法及局部篩選演算法

在這一節裡, 我們將以定理二 (2) 的參數函數表法作為篩選的基礎, 提供 T a, Ca 篩選 演算法 (見 4.1)。 由此演算法所得 Ca(n), n = 11, . . . , 16 的上界及其表法, 已收錄於 OEIS (見 4.2)。 為降低計算的負擔, 我們根據 BT a(n), BCa(n) 之參數 r 的特性, 修正提出 「局部 篩選演算法」(見 4.3)。 根據局部篩選演算法所得結果的分析見 4.4。

4.1. T a, Ca ^{篩選演算法}

若令 S = T a(n) (或 Ca(n)), 定理二 (2) 中關於 r 值的三個條件, 可用以篩選出滿足 Sk³ = x³+ y³ 關係的 (x, y) 所對應的參數 r 值, 進一步由參數函數 ri → (x(rⁱ), y(ri)) 得 雙立方和表法, 以此為基礎, 我們提供了一個篩選演算法如下。 其中, 用 counter 來計次, 表示 已經搜尋到多少個參數 r 值。

T a 篩選演算法:

1. 輸入 S = a³+ b³, k, 令 counter = 0.

2. 對 Sk³/18 作質因數分解, 列出 Sk³/18 的所有正因數: r1 < r2 < · · · < r^t. 3. 令 i 由 1 至 t,

若 pSk^{3 3}/216 < ri <pSk^{3 3}/54, 若 −3ri²+ Sk³/18ri 為完全平方數,

輸出 r_i, 以及 x = 3ri+p−3ri²+ Sk³/18ri, y = 3ri−p−3ri²+ Sk³/18ri, counter ← counter+1, i ← i + 1, 回到 3

不然, i ← i + 1, 回到 3 不然, i ← i + 1, 回到 3 4. 輸出 counter 。

若將 T a 篩選演算法之 pSk^{3 3}/216 < r ≤ pSk^{3 3}/54 修正為 0 < r ≤ pSk^{3 3}/54, 則 可求得滿足 Sk³ = k³(a³+ b³) = x³+ y³ 的整數解 (x, y) 所對應的參數 r 值, 即得 「Ca 篩 選演算法」。 利用前述演算法, 雖然無法立即證明所得的數即為 Ca (counter), T a (counter), 但可以求得相關上界。 值得注意的是通常當 k 為質數時, 較容易得到 counter 增加的情況。 我 們以 T a(6) 以及 k = 101為例, 說明前述演算法。

例四: 以

S = T a(6) = 2⁶· 3³· 7⁴· 13 · 19 · 43 · 73 · 79³· 97 · 157, k = 101

為例, Sk³ 有 143, 360 個正因數, Sk³/18 有 61,440 個正因數, 其中有 629 個正因數介於 pSk3 ³/216, pSk^{3 3}/54, 之間, 最後僅有 7 個 r 滿足 −3r²+ Sk³/18r 為平方數的條件。 根 據 T a 篩選演算法, 得 7 組雙立方和表示, 因此 T a(7) ≤ 101³· T a(6)。

4.2. Ca 篩選演算法所得結果的分析

根據 「Ca 篩選演算法」, 我們得到若干 Ca(n) 的上界。 令 S = Ca(10), 當 k = 23, 29, 38, 43, 46 時, 分別得 counter = 11, 經驗證得

23³· Ca(10) 有 11 組雙立方和表示法, 為 Ca(11) 之上界, 23³· 29³· Ca(10) 有 12 組雙立方和表法,

23³· 29³· 38³· Ca(10) 有 13 組雙立方和表法, 23³· 29³· 38³· 43³· Ca(10) 有 14 組雙立方和表法,

前述得到 Ca(12), Ca(13), Ca(14) 等的上界, 可由選擇不同的倍增數 k 予以下修。 令 S = Ca(10), 考慮 k = 127 為小於乘積 23 × 29 的質數時, 得 counter = 12, 即 127³· Ca(10) 也有 12 組表法, 下修 Ca(12) 的上界。 令 S = 127³· Ca(10), 利用相同的方法得

29³· 127³· Ca(10) 有 13 組雙立方和表示法, 為 Ca(13) 之上界 29³· 43³· 127³· Ca(10) 有 14 組雙立方和表示法, 為 Ca(14) 之上界 23³· 29³· 38³· 127³· Ca(10) 有 15 組雙立方和表示法, 為 Ca(15) 之上界 23³· 29³· 38³· 43³· 127³· Ca(10) 有 16 組雙立方和表示法, 為 Ca(16) 之上界。

以 Ca(10) 為基礎, 透過倍增的方式, 我們分別給出 Ca(11), . . ., Ca(16) 的上界, 這些上界 以有系統的方式求得, 雖不若 BCa(n), 11 ≤ n ≤ 16, 亦於 2013 年 6 月收錄於 OEIS 。 定理三:

Ca(11) ≤ 23³· Ca(10)

= 2³· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19 · 23³· 31 · 37 · 67³

= 11358236731992639122907000, Ca(12) ≤ 127³· Ca(10)

= 2³· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19 · 31 · 37 · 67³· 127³

= 1912223147184127402358643000, Ca(13) ≤ 29³· 127³· Ca(10)

= 2³· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19 · 29³· 31 · 37 · 67³· 127³

= 46637210336673683216124944127000, Ca(14) ≤ 29³· 43³· 127³· Ca(10)

= 2³· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19 · 29³· 31 · 37 · 43³· 67³· 127³

= 3707984682237914531464445932705389000, Ca(15) ≤ 2³· 19³· 23³· 29³· 127³· Ca(10)

= 2⁶· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19⁴· 23³· 29³· 31 · 37 · 67³· 127³

= 31136289927061691188910174934641764248000, Ca(16) ≤ 2³· 19³· 23³· 29³· 43³· 127³· Ca(10)

= 2⁶· 3³· 5³· 7⁴· 13³· 19⁴· 23³· 29³· 31 · 37 · 43³· 67³· 127³

= 2475553003230893881356681278528562750065736000.

前述以 Ca(10) 乘以適當倍增數而得到 Ca(11), . . ., Ca(16) 的上界的現象, 亦可見於 BCa(30) 乘以適當立方數而得到 BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . ., BCa(42), 見 5.1, 及自 BCa(42) 乘以適當立方數而得到 Ca(43), Ca(44), . . ., Ca(55) 的上界 (分別 表為 SCa(43), SCa(44), . . ., SCa(55), 見 5.2), 及自 BT a(22) 乘以適當立方數而得到 T a(23), T a(24) 的上界 (分別表為 ST a(23), ST a(24), 見 5.3)。

4.3. ^{局部篩選演算法}

如上所述, 根據 「Ca 篩選演算法」, 對於較小的 n, 不難得到其 n 組雙立方和表法。 然而 隨著 n 的增加, T a, Ca 篩選演算法所需的運算時間呈指數成長, 對上界的探索極為不利。 我 們修正原有的 T a, Ca 篩選演算法, 得到 「局部篩選演算法」。

利用 「倍增法」 搜尋具有 n + 1 組表法的 S = k³· BCa(n) 時, 即搜尋 Ca(n + 1) 的上 界時, 關鍵在於找到與 BCa(n) 各參數的 k 倍不同, 稱為 「新增解」 的第 n + 1 個參數 rn+1。 因此, 局部篩選演算法中並無 counter 之參數。 以下分別說明 「局部篩選演算法」 兩個用以降 低計算時間的方法。

首先, 使用 Ca 篩選演算法時, 在計算出所有 S/18 的因數 r 後, 針對小於 pS/54 的³ r 值進行後續篩檢, 這種方法需要大量大數值的計算。 在使用局部篩選演算法搜尋新增解時, 我 們以參數之指數和的範圍來取代參數 r 本身的範圍, 僅算出指數和落在指定區間的參數 r, 進 行後續篩選。 說明如下 : 已知 ri =

m

Q

j=1

p^β_j^i,j, 1 ≤ i ≤ n 為 BCa(n) =

m

Q

i=1

p^α_iⁱ 之 n 組雙立 方和表法所對應的參數, 計算各參數之指數的和 ai =

m

P

j=1

βi,j, 1 ≤ i ≤ n, 並設定 L, U 為 滿足 L ≤ aⁱ ≤ U, 1 ≤ i ≤ n, 的兩正整數。 不難得知 S = k³ · BCa(n) 已有 n 個參數 kri = k ·

m

Q

j=1

p^β_j^i,j, 1 ≤ i ≤ n, 其指數和的範圍介於 L + 1, U + 1 之間, 我們據以推測新增 解 rn+1 之指數和的範圍亦介於 L + 1, U + 1 之間。

此外, 在原來的篩選演算法中, 針對所有合於 0 ≤ β¹ ≤ α¹ − 1, 0 ≤ β² ≤ α² − 2 (因 為 r 為 S/18 的因數), 0 ≤ βⁱ ≤ αⁱ, i = 3, . . . , m, 0 ≤ β^m+1 ≤ 3 關係的每一個序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 就 r = k^βm+1·

m

Q

i=1

p^β_iⁱ 檢查相關運算後是否為完全平方。 「局部篩選演算」

則進一步縮小各個 β_i 的選取範圍。 我們歸納出諸 BCa(n), BT a(n) 新增解 r_n+1 = k^βm+1·

m

Q

i=1

p^β_iⁱ 的標準分解式的若干規律, 如: 0 ≤ βi ≤ αⁱ/2, i = 3, . . . , m, 以及 βm+1 = 0, 3。 對 於每個 βi, i = 3, . . . , m, 僅搜尋 0 ≤ βⁱ ≤ αⁱ/2, 排除了大約一半的可能性。 因此, 搜尋的次 數遽降為全部 (海選) 搜尋的 1/2^m−1 (m 為 BCa(n) 的質因數個數)。

局部篩選演算法:

1. 輸入質數 pi, 非負整數 αi, i = 1, . . . , m, 其中 p1 = 2, p2 = 3 

BCa(n) =

m

Q

i=1

p^α_iⁱ , k

倍增數, S = k³·

m

Q

i=1

p^α_iⁱ

及 L, U (指數和的篩選區間)。

2. 輸入 βi, i = 1, . . . , m + 1, 其中 0 ≤ β¹ ≤ α¹− 1, 0 ≤ β² ≤ α²− 2, 0 ≤ βⁱ ≤ αⁱ/2, i = 3, . . . , m, βm+1 = 0, 3. (篩選對象)

3. 對每一個序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 令 r = k^βm+1·

m

Q

i=1

p^β_iⁱ, a =

m+1

P

i=1

βi, 若 L ≤ a ≤ U,

若 −3r²+ S/18r 為完全平方數,

輸出 r, 以及 x = 3r +p−3r²+ S/18r, y = 3r −p−3r²+ S/18r, 回到 3,

不然, 回到 3, 不然, 回到 3.

利用 「局部篩選演算」 進行上界搜尋時, L, U 及 βi 的設定具有關鍵影響, 固可避免大量的大 數值計算, 但亦需承擔漏失 「搜尋標的」 的風險。 然而考慮排除這些可能性後所得到計算上的效 益, 卻極為值得。

4.4. 局部篩選演算法所得結果的分析

文獻顯示 Boyer 在 2008 年求得 T a(22) 及 Ca(42) 的具體上界, 但未見其對應的雙立 方和表法。 本節以 BCa(23) 的 23 個 r 值為基礎, 分別給出 BCa(24), BCa(25), BCa(26) 的 ri 值, 提供具體說明並進而討論 r 值的結構。 至於 Ca(30), . . . , Ca(42) 上界的搜尋及其 參數 r 值的結構, 見第五節。 BCa(42) 的 42 個參數見 5.1, BT a(22) 的 22 個參數, 見附錄 表七。

令 BCa(23) 的 23 組表法為 ri, i = 1, . . . , 23, 因為 BCa(24) = 17³·BCa(23)

= 2⁹·3⁹·5³·7⁴·11³·13³·17³·19³·31¹·37⁴·43¹·61³·67³·73¹·79³·109³·157¹ 對應的參數 r 值為 17 · rⁱ, i = 1, . . . , 23, 另有新增解 r24:

r24= 2²·3²·5¹·7²·11¹·13¹·17³·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·109¹·157⁰ 為 17³ 的倍數, 其它 r 值雖為 17 的倍數, 但不為 17³ 的倍數。

BCa(25) = 139³· BCa(23)

= 2⁹·3⁹·5³·7⁴·11³·13³·19³·31¹·37⁴·43¹·61³·67³·73¹·79³·109³·139³·157¹ 對應的參數 r值為 139 · rⁱ, i = 1, . . . , 23, 另有新增解 r^′₂₄ 及 r₂₅^′ :

r^′₂₄= 2²·3²·5³·7²·11¹·13¹·19¹·31¹·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·109¹·139⁰·157⁰ r^′25= 2⁴·3²·5³·7¹·11¹·13¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·109¹·139⁰·157⁰ 前 23 個 r 值為 139 的倍數, 但 r^′₂₄ 及 r₂₅^′ 皆不為 139 的倍數。

BCa(26) = 17³· 139³· BCa(23) = 139³· BCa(24) = 17³· BCa(25) 對應的 r 值為 17 · 139 · rⁱ, i = 1, . . . , 23, 另有新增解:

a. BCa(26) = 139³· BCa(24), 由 BCa(24) 的新增解 r²⁴, 得出 BCa(26) 的一個表法:

139·r²⁴= 2²·3²·5¹·7²·11¹·13¹·17³·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·109¹·139¹·157⁰ b. BCa(26) = 17³· BCa(25), 由 BCa(25)的新增解 r24^′ 及r^′₂₅, 得 BCa(26) 的二個表法:

17·r^24′ = 2²·3²·5³·7²·11¹·13¹·17¹·19¹·31¹·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·109¹·139⁰·157⁰ 17·r25^′ = 2⁴·3²·5³·7¹·11¹·13¹·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·109¹·139⁰·157⁰ BCa(23), BCa(24), BCa(25), BCa(26) 之間的倍增關係, 可歸納如圖 5 所示。

圖5: BCa(23), BCa(24), BCa(25), BCa(26) 之間的倍增關係

值得注意的是, BCa(15), BCa(16), BCa(17), BCa(18) 之間以及 BCa(35), BCa(36), BCa(37), BCa(38) 之間有相類似的倍增關係。

五、 Ca(43), . . . , Ca(55) 上界的搜尋

BCa(42) 有 29 個質因數, 利用倍增法, 以 BCa(42) 來求 Ca(43) 之上界時, 所涉及的 計算量太大 (≥ 2²⁹), 所需要的時間太長, 於是我們嘗試改用只有 19 個質因數的 BCa(30) 來 搜尋 Ca(n), n ≥ 43, 的上界。

5.1. BCa(42) ^的完整 42 ^{組雙立方和表法}

利用 「局部篩選演算法」, 找到

BCa(30) = 2⁹·3⁹·5⁹·7⁷·11³·13⁶·17³·19³·31¹·37⁴·43¹·61³·67³·73¹·79³·97³·109³·139³·157¹, 的 30 個 r 值如下, 進而提供 BCa(30) 的完整 30 組雙立方和表法。

r1=2²·3²·5³·7¹·11³·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a1= 23, r2=2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61¹·67⁰·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a2= 22, r3=2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79⁰·97¹·109¹·139¹·157¹, a3= 23, r4=2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19³·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79⁰·97¹·109¹·139¹·157⁰, a4= 23, r5=2²·3²·5³·7²·11¹·13⁴·17¹·19¹·31⁰·37²·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109⁰·139¹·157⁰, a5= 24, r6=2²·3²·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37⁰·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a6= 21, r⁷=2²·3²·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a⁷= 23, r⁸=2²·3²·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61¹·67⁰·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹, a⁸= 23, r⁹=2²·3²·5³·7³·11¹·13²·17³·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a⁹= 24, r¹⁰=2²·3²·5³·7⁵·11¹·13⁴·17¹·19¹·31⁰·37⁰·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a¹⁰= 22, r¹¹=2²·3²·5⁵·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109⁰·139¹·157¹, a¹¹= 24, r¹²=2²·3²·5⁵·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139⁰,·157⁰, a¹²= 25, r¹³=2²·3³·5³·7¹·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹, a¹³= 23, r¹⁴=2²·3³·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97⁰·109¹·139¹·157¹, a¹⁴= 24,

r¹⁵=2²·3³·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109⁰·139¹·157⁰, a¹⁵= 24, r16=2²·3³·5⁹·7¹·11¹·13¹·17¹·19¹·31⁰·37²·43¹·61¹·67⁰·73⁰·79¹·97¹·109¹·139⁰,·157⁰, a16= 26, r17=2²·3⁵·5³·7²·11¹·13²·17¹·19⁰·31¹·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a17= 25, r¹⁸=2²·3²·5³·7²·11¹·13⁰·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97³·109¹·139¹·157⁰, a¹⁸= 22, r¹⁹=2⁴·3²·5³·7³·11¹·13¹·17¹·19¹·31¹·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a¹⁹= 25, r²⁰=2⁴·3²·5⁵·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139⁰,·157⁰, a²⁰= 26, r21=2⁴·3³·5³·7²·11¹·13¹·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79³·97¹·109⁰·139¹·157⁰, a21= 25, r22=2⁴·3³·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a22= 25, r²³=2⁴·3³·5³·7³·11¹·13¹·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61⁰·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a²³= 25, r²⁴=2⁴·3²·5³·7²·11³·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61⁰·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹, a²⁴= 25, r25=2⁶·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43¹·61⁰·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a25= 26, r26=2⁶·3⁷·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61⁰·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a26= 30, r27=2⁶·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a27= 26, r28=2⁸·3²·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61¹·67⁰·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a28= 28, r²⁹=2⁸·3²·5⁵·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰, a²⁹= 29, r30=2⁸·3²·5³·7⁰·11¹·13⁴·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97⁰·109¹·139¹·157⁰, a30= 27,

上述結果顯示所有的 ai皆滿足 21 ≤ aⁱ ≤ 30。 接下來將給出 BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . . , BCa(42) 的對應參數 r 值, 它們之間的倍增關係如圖 6 所示。

圖6: BCa(30), BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . . , BCa(42) 的關係

BCa(31) = 29³· BCa(30), 得 BCa(31) 的新增解為

r31 = 2²·3²·5³·7²·11·13²·17·19·29³·37·61·67··97·109·139 BCa(32) = 43³· BCa(31), 得 BCa(32) 的新增解為

r32 = 2²·3³·5⁵·7²·11·13²·17·19·29³·37·43⁰·61·67·79·97·109·139 BCa(35) = 397³· 457³· BCa(32), 得 BCa(35) 的新增解為

r33= 2²·3²·5⁹·7²·11·13²·17·19·29·37·43·61·67·73·79·97·109·139·397¹·457⁰, r34= 2²·3⁵·5³·7·11·13²·17·19·29·31·37·43²·61·67·79·97·109·139·157·397⁰·457¹, r35= 2⁴·3²·5⁷·7³·11·13²·17·19·29·31·37²·43·61·67·79·97·109·139·397⁰·457⁰. BCa(37) = 101³· 229³· BCa(35), 得 BCa(37) 的新增解為

r36= 2⁴·3²·5³·11·13²·17·19·29·37·43·61·67·79·97·101³·109·139·157·229⁰·397·457, r37= 2⁶·3³·5³·7⁵·11·13²·17·19·29·37²·43·61·67·73·79·97·101¹·109·139·229⁰·457.

BCa(38) = 181³· BCa(37), 得 BCa(38) 的新增解為

r38 = 2²·3⁵·5⁵·7³·11·13²·17·19·29·31·43·61·67·73·79·97·101·109·139·181⁰·229·397·457.

BCa(39) = 163³· BCa(38), 得 BCa(39) 的新增解為

r39 = 2²·3²·5³·7⁵·11·13²·17·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·157·163³·229·457.

BCa(40) = 193³· BCa(39), 得 BCa(40) 的新增解為

r40 = 2²·3²·5³·7²·11·13²·17·19·29·37·43²·61·67·79·97·101·109·139·157·163·181·193⁰·229·397·457.

BCa(41) = 223³·BCa(40), 得 BCa(41) 的新增解為

r41 = 2⁶·3³·5³·7²·11·13²·17·19·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·157·163·181·193·223⁰·229·397·457.

BCa(42) = 307³· BCa(41), 得 BCa(42) 的新增解為

r42 = 2²·3³·5³·7²·11·13²·17·19·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·163·181·193·223·307³·397·457.

5.2. Ca(43), . . . , Ca(55) ^上界

本節以 BCa(30) 的 30 個參數 r 值以及 BCa(42) 的 42 個參數 r 值 (見 5.1) 為 基礎, 來搜尋 Ca(n), n ≥ 43, 的上界, 並將因此得到的 Ca(n) 的上界分別記為 SCa(n), 43 ≤ n ≤ 55。 我們分別說明

(1) 用 「局部篩選演算法」, 求得 BCa(30) 的倍增數,

(2) 利用 BCa(30) 的倍增數及 BCa(42) = Q³, BCa(30)的倍增關係, 得到 Ca(43) 的上界。

先說明如何用 「局部篩選演算法」 求得整數 k, 使得 k³ · BCa(30) 有新增解 R。 令 BCa(30) =

19

Q

i=1

p^α_iⁱ, 將其 30 個 r 值分別以

19

Q

i=1

p^β_iⁱ 表示, 諸 β_i, i = 1, . . . , 19, 之值整 理如表 5。

表5: BCa(30) 的參數 r 之可能 βⁱ 值

pi 2 3 5 7 11 13 17 19 31 37 43 61 67 73 79 97 109 139 157

可 2 2 3 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

能 4 3 5 1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

βⁱ 6 5 9 2 4 2 3 3

值 8 7 3

5

分別計算 BCa(30) 的 30 個 r 值之 rj =

19

Q

i=1

p^β_i^i,j 表法中的指數和

19

P

i=1

βi,j 均介於 21 與 30 之間。 因此, 我們設定 L = 22, U = 31。 利用局部篩選演算法, 僅針對上表可能 β1, . . . , β19 值及 β20 = 0 或 3 的序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 當 22 ≤

20

P

i=1

βi ≤ 31 時, 計算得 r = k^β20·

19

Q

i=1

p^β_iⁱ, 若再得 −3r²+k³·BCa(30)/18r 為完全平方數, 則此 r 即為 k³·BCa(30) 的新增解 R。 我們求得 BCa(30) 的若干 「倍增數 (質數或兩質數積)」 及其對應新增解如表 6:

表6: BCa(30) 之倍增數及對應新增解

i 倍增數 ki 新增解 R

1 487 2⁴·3⁵·5³·7²·11¹·13²·17¹·19⁰·31¹·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰ 2 503 2²·3²·5³·7¹·11¹·13²·17¹·19⁰·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰·503³ 3 2×607 2¹¹·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61⁰·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹ 4 1307 2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43⁰·61¹·67⁰·73⁰·79¹·97⁰·109¹·139¹·157⁰·1307³ 5 31×103 2²·3³·5³·7³·11³·13²·17¹·19¹·31⁰·37¹·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰ 6 3559 2²·3⁷·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰ 7 4057 2²·3²·5⁵·7²·11¹·13²·17¹·19⁰·31⁰·37²·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹ 8 4261 2⁴·3²·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37²·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹ 9 4339 2⁴·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹ 10 4957 2²·3⁵·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37¹·43¹·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹ 11 6661 2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37²·43¹·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰ 12 8353 2⁴·3³·5³·7³·11¹·13²·17¹·19¹·31⁰·37²·43⁰·61¹·67¹·73¹·79¹·97¹·109¹·139¹·157⁰ 13 9043 2²·3²·5³·7²·11¹·13²·17¹·19¹·31¹·37²·43⁰·61¹·67¹·73⁰·79¹·97¹·109¹·139¹·157¹

接下來我們說明為何能由 BCa(30) 的倍增數得到 Ca(43) 的上界。 將 BCa(42) 的 42 組雙立方和表法所對應的 r 值記為 ri, i = 1, . . . , 42。 令

Q = 29 · 43 · 101 · 163 · 181 · 193 · 223 · 229 · 307 · 397 · 457, 則倍增關係

BCa(42) = Q³· BCa(30)

成立。 若得與 Q 互質的 BCa(30) 的倍增數 k, 使得 k³· BCa(30) 有新增解 R, 則 S = k³ · BCa(42) = Q³· k³· BCa(30)

的雙立方和表法所對應的 r 有 43 組如下:

a. 由 S = k³ · BCa(42), 得 42 個 r 值 k · rⁱ, i = 1, . . . , 42 等, b. 由 S = Q³· (k³· BCa(30)), 得 Q · R 為一個新增 r 值。

因此, S 有 43 組雙立方和表法, 故得 Ca(43) 的上界。 以 k1 = 487 為例, 具體說明 487³ · BCa(42) 有 43 組雙立方和表法如下: 已知 BCa(42) 對應的參數 ri, i = 1, . . . , 42 沒有質 因數 487。 且

R = 2⁴· 3⁵· 5³· 7²· 11 · 13²· 17 · 31 · 37 · 61 · 67 · 79 · 97 · 109 · 139, 為 487³· BCa(30) 的新增解。 顯然,

a. 由 S = 487³· BCa(42), 可得 487 · rⁱ, i = 1, . . . , 42, 提供 S 的 42 個 r 值, b. 由 S = Q³· (487³· BCa(30)), 得 r⁴³ = Q · R 為 S 的第 43 個 r 值。

因 r43 不為 487 的倍數, 而 487ri, i = 1, . . . , 42 為 487 的倍數, 即得 r43 與諸 487ri, i = 1, . . . , 42 相異。 因此, 487³· BCa(42) 有 43 組雙立方和表法, 亦即 487³· BCa(42) 為 Ca(43) 的一個上界, 記為 SCa(43):

SCa(43) = 487³· BCa(42)。

同理可再得以下結果:

503³· SCa(43) 為 Ca(44) 的一個上界, 記為 SCa(44), (2 × 607)³· SCa(44) 為 Ca(45) 的一個上界, 記為 SCa(45), 1307³· SCa(45) 為 Ca(46) 的一個上界, 記為 SCa(46), (31 × 103)³· SCa(46) 為 Ca(47) 的一個上界, 記為 SCa(47), 3559³· SCa(47) 為 Ca(48) 的一個上界, 記為 SCa(48),

4057³· SCa(48) 為 Ca(49) 的一個上界, 記為 SCa(49), 4261³· SCa(49) 為 Ca(50) 的一個上界, 記為 SCa(50), 4339³· SCa(50) 為 Ca(51) 的一個上界, 記為 SCa(51), 4957³· SCa(51) 為 Ca(52) 的一個上界, 記為 SCa(52), 6661³· SCa(52) 為 Ca(53) 的一個上界, 記為 SCa(53)。

8353³· SCa(53) 為 Ca(54) 的一個上界, 記為 SCa(54)。

9043³· SCa(54) 為 Ca(55) 的一個上界, 記為 SCa(55)。

圖7: 由 BCa(30) 的倍增數得到 Ca(n), 43 ≤ n ≤ 55, 的上界

圖8: BCa(42), SCa(43), . . . , SCa(55) 間的倍增關係

上述所得的上界歸納在定理四。 其中 Ca(43), Ca(44) 的上界已於 2014 年 8 月收錄於 OEIS, 並且本文下修收錄於 OEIS 之 Ca(43), Ca(44) 的上界。

定理四:

Ca(43) ≤ SCa(43) = 487³· BCa(42) Ca(44) ≤ SCa(44) = 503³· SCa(43) Ca(45) ≤ SCa(45) = (2 × 607)³· SCa(44) Ca(46) ≤ SCa(46) = 1307³· SCa(45) Ca(47) ≤ SCa(47) = (31 × 103)³· SCa(46) Ca(48) ≤ SCa(48) = 3559³· SCa(47)