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(1)

關於 Taxicab Numbers 及 Cabtaxi Numbers 兩整數列上界的探索

蘇柏奇

摘要: 若給定 S = a3+b3, 在考慮搜尋正整數 (或整數) x ≥ y, 使得 S = a3+b3 = x3+y3時, 我們證明 a+b ≡ x+y(mod 6), 提供一個參數函數 ri → (x(ri), y(ri)) 以表示所有搜尋標的。 當 S 有多種雙立方和表法時, 預測 S 為 18 的倍數。 以此為 基礎, 可用來搜尋有 n 組雙正立方和 (或立方和) 表法的最小正整數 T a(n) (或 Ca(n)) 的上界及其對應表法。 根據這方法所得 Ca(n), 11 ≤ n ≤ 16, 的上界, 已 收錄於「整數列線上百科」 (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, 2013 年 6 月)。 我們同時給出 Ca(43), . . ., Ca(55), T a(23), T a(24) 的上界及其 完整雙立方和表法, 其中 Ca(43), Ca(44) 及 T a(23) 的上界分別於2014年8月及 10 月收錄於 OEIS, 在 T a(n), Ca(n) 搜尋的漫漫道路上, 提供一個嶄新的進展。

一、 前言

當你在街頭看到一部車牌號碼為 1729 的計程車時, 腦海裡是否浮現一些圖像? 是樂透的 明牌, 或是其它? 但在印度裔天才數學家 Ramanujan 的腦海裡浮現的卻是

1729 = 13+ 123 = 103+ 93

也就是說, 1729 有兩組雙正立方和表法, 他並且進一步指出小於 1729 的數都沒有這種性質。

因為這一段 Hardy 與 Ramanujan 間關於計程車車牌號碼的軼事, 1729 這個數也被稱為 Hardy-Ramanujan Number [4]。 事實上, 早在 1657 年 Bernard Frenicle de Bessy 已 提及 1729 = 13+ 123 = 103+ 93 為有兩組正立方和表示法的最小正整數的事實。

有 n 組雙正立方和表法的最小正整數稱為 「the nth taxicab number」, 記作 T a(n); 對 於自然數 n, T a(n) 的存在性已由 Fermat 予以證明了, 見 Hardy 與 Wright 的著作 [2, 定 理 412]。 有 n 組雙立方和 (不必然為正數) 的最小正整數稱為 「the nth cabtaxi number」, 記

39

(2)

作 Ca(n)。 顯而易見 Ca(n) ≤ T a(b)。 具體地來說, Dardis [4] 於 1994 年求得 T a(5)。 但卻 在十年之後方得完全決定 T a(6): 1997 年 Wilson [4] 得 T a(6) 的一個上界

T a(6) ≤ 8230545258248091551205888

= 29· 33· 7 · 13 · 193· 31 · 673· 79 · 1093 2002 年 Rathbun [4] 下修為

T a(6) ≤ 24153319581254312065344

= 26· 33· 74· 13 · 19 · 43 · 73 · 793· 97 · 157

2003 年 Calude [4] 等人證明這個上界即為 T a(6) 的機率大於 99%。 最後由 Hollerbachu [4] 於 2008 年證明此數即為 T a(6)。

這個過程顯示, 決定 T a(n) 和 Ca(n) 並非輕而易舉之事。 它們的搜尋分別列為 「整數列 線上百科」(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) 的 A011541 及 A047696 兩個問題。 截至目前為止, 已知的 T a(n) 和 Ca(n) 如表 1 所示, T a(n) 之間和 Ca(n) 之間 的倍增關係如圖 1 所示。

1: 已知的 T a(n), Ca(n)

T a(n) Ca(n)

T a(1) = 2 Ca(1) = 1

T a(2) = 7 · 13 · 19 Ca(2) = 7 · 13

T a(3) = 33· 7 · 31 · 67 · 223 Ca(3) = 23· 7 · 13 T a(4) = 210· 33· 7 · 13 · 19 · 31 · 37 · 127 Ca(4) = 23· 33· 73· 37 T a(5) = 26· 33· 74· 13 · 19 · 43 · 73 · 97 · 157 Ca(5) = 33· 7 · 13 · 31 · 79 T a(6) = 26· 33· 74· 13 · 19 · 43 · 73 · 793· 97 · 157 Ca(6) = 33· 74· 19 · 31 · 37

Ca(7) = 23· 33· 74· 19 · 31 · 37 Ca(8) = 23· 33· 74· 19 · 233· 31 · 37 Ca(9) = 23· 33· 53· 74· 19 · 31 · 37 · 673 Ca(10) = 23· 33· 53· 74· 133· 19 · 31 · 37 · 673

若一數有 n 組雙正立方和 (或雙立方和) 表法, 即得此數為 T a(n) (或 Ca(n)) 的上界。

此上界有可能下修, 若要證實此數為具有 n 組表法之數的最小值 (即為 T a(n) 或 Ca(n)), 則 需確認小於此上界的所有數值至多具有 n − 1 組表法。 在 T a(n), Ca(n) 上界的搜尋進展上, Boyer 於 2008 年發表 T a(7), . . ., T a(19) 及 Ca(11), . . ., Ca(30) 的上界 [1]。 根據 Boyer 網頁 [5] 的資料, Moore 下修 Ca(11), Ca(12), Ca(14) 的上界, Boyer 及 Wroblewski 下 修 T a(11), . . ., T a(19) 及 Ca(13), Ca(15), . . ., Ca(30) 的上界, 並再給出 T a(20), . . ., T a(22) 及 Ca(31), . . ., Ca(42) 的上界。

(3)

1: 已知的 T a(n) 間和 Ca(n) 間的倍增關係

本文藉著觀察滿足 x31+ y31 = x32+ y32 關係式的四個整數 x1, y1, x2, y2 之間的關係, 進 而說明 T a(n), Ca(n) 表法的一些規律, 例如 : x + y ≡ a + b(mod 6) 的關係 (見引理一), 在搜尋 T a(n), Ca(n) 的上界時扮演重要的篩選條件。 我們推測 T a(n), n ≥ 7, 以及 Ca(n), n ≥ 11, 都是 18 的倍數 (見 3.3), 進而提供一組可用來篩選滿足 S = a3+ b3 = x3+ y3 關 係的正整數解 (或整數解) x, y 的條件 (見定理二)。 當 S = a3 + b3 為 18 的倍數時, 我們提 出了 「T a, Ca 篩選演算法」, 用來決定 T a(n) 及 Ca(n) 的上界。 根據這演算法所得 Ca(n), 11 ≤ n ≤ 16 的上界, 已於 2013 年 6 月收錄於 OEIS。 以定理二所提供的篩選條件, 及 Boyer 所提供的 T a(n), Ca(n) 上界的雙立方和表法為基礎, 我們修正 T a, Ca 篩選演算法, 提供 「局部篩選」 的機制 (見第四節), 以求有效降低計算量。 根據這項局部篩選演算法, 我們分 別得到 Ca(43), . . ., Ca(55), T a(23), T a(24) 的上界及其雙立方和表法 (見第五節), 其中 Ca(43), Ca(44) 及 T a(23) 的上界分別於 2014 年 8 月及 10 月收錄於 OEIS, 在 T a(n), Ca(n) 的搜尋道路上, 提供一個嶄新的進展。

二、 BT a(n) 之間和 BCa(n) 之間的倍增關係

Wilson [3] 和 Boyer [1] 提出採用 「倍增法(magnification technique)」 來搜尋 T a(n), Ca(n) 的上界 (見 2.1), 我們以倍增的方式臚列目前已知 T a(n), Ca(n) 的上界間的倍增關係 (見 2.2), 並做進一步的分析 (見 2.3)。

2.1. 倍增法

在搜尋 T a(n) 及 Ca(n) 的歷程中, 「倍增法」 是一個常用且有效的方法, 它利用已知有 n 組雙立方和表法的數, 來搜尋有 n + 1 組表法的數 (見 Wilson [3] 和 Boyer [1])。

若 S 有 n 組雙立方和表法 S = x3i+ y3i, i = 1, . . . , n, 將 S 乘上一個立方數 k3, 不難得 知 Sk3 至少有 n 組表法 Sk3 = (kxi)3+(kyi)3, i = 1, . . . , n。 若能找到一個 k, 使有第 n+1

(4)

組表法 Sk3 = x3n+1+ yn+13 , (xn+1, yn+1) 6= (xi, yi), 1 ≤ i ≤ n, 則 Sk3 有 n + 1 組雙立方 和表法, 因而提供 T a(n + 1) 或 Ca(n + 1) 的上界。 我們稱這樣的 k 為 S 的一個 「倍增數」。

若同時使用 h 個倍增數, 有可能多出 h 組表法, 亦即: 若 S 有 n 組表法, 且 ki, i = 1, . . . , h 為 S 的倍增數, 則 S · k13· k23· · · k3h 可能有 n + h 組或更多的表法。 例如: T a(6) 有 6 組表 法, 1013· T a(6) 及 1273· T a(6) 分別有 7 組表法, 得 1013· 1273· T a(6) 有 8 組表法。 再例 如: 當 k = 23, 29, 38, 43 時, k3· Ca(10) 分別有 11 組表法, 而 233· 293· 383· 433· Ca(10) 有 14 組表法。 根據定理二, 倍增法可以作進一步的推展 (見第三節)。

2.2. BT a(n), BCa(n) 間的倍增關係

目前已知 T a(n), n = 1, . . . , 6, Ca(n), n = 1, . . . , 10 (見表一) 及 T a(n), 7 ≤ n ≤ 22, Ca(n), 11 ≤ n ≤ 42 等的上界, 將目前已知 T a(n) 及 Ca(n) 的上界分別記為 BT a(n) 及 BCa(n), 並且將已知由小至大第 k 個上界分別記為 BT a(n, k) 及 BCa(n, k)。 我們以 T a(6) 及 Ca(10) 的值為基礎, 以 「連續倍增」 的方式表示比值 BT a(n)/BT a(n − 1) 及 BCa(n)/BCa(n − 1), 如表 2、 表 3。

表 2: 相鄰 BT a(n) 的比值 表 3: 相鄰 BCa(n) 的比值 n BT a(n)/BT a(n − 1)

7 1013

8 1273

9 1393

10 133· 293

11 (1)

12 33· 193 13 33· 613 14 3973 15 5033 16 23· 6073 17 42613 18 373· 1813 19 56· 4573· 5213/42613 20 42613

21 1273· 1973 22 113· 313 · 1033

n BCa(n)/BCa(n − 1) n BCa(n)/BCa(n − 1)

11 (2) 27 56

12 193 28 73· 133· 973/56· 173

13 (3) 29 173

14 (4) 30 56

15 (5) 31 293

16 193 32 433

17 26· 313/193 33 1813

18 193 34 1933

19 (6) 35 3973· 4573/1813· 1933

20 (7) 36 1813

21 (8) 37 1013· 2293/1813

22 373/33 38 1813

23 33 39 1633

24 173 40 1933

25 1393/173 41 2233

26 173 42 3073

(5)

上表中部分比值略顯複雜, 例如:

(1) BT a(11)/BT a(10) =23·53·132·173·31·37·972·1093/19·293·1013·1273 (2) BCa(11)/BCa(10) =24·33·372·43·613·/53·7·132·31·672

(3) BCa(13)/BCa(12) =22·33·7·133·109·193/19·43·612·67 (4) BCa(14)/BCa(13) =24·19·313·43·612·67/33·7·133·109·193 (5) BCa(15)/BCa(14) =33·7·133·733·109·193/24·19·313·43·612·67

(6) BCa(19)/BCa(18) =53·113·37·43·612·673·1092·157/26·13·196·312·732·193 (7) BCa(20)/BCa(19) =26·53·13·193·312·732·1033·193/113·37·43·612·673·1092·157 (8) BCa(21)/BCa(20) =113·43·612·673·793·1092·157/26·53·13·312·372·732·1033·193 然而, 在大多數的情形下, BCa(n) 和 BCa(n−1) 之間呈現簡單的倍增關係, 例如: BCa(29) /BCa(28) = 173, BCa(31)/BCa(30) = 293 等, 如圖 2 所示。 以倍增模式呈現 T a(5), T a(6), BT a(7), . . ., BT a(22) 之關係, 及 BCa(19), BCa(21), . . ., BCa(42) 之關係, 見 附錄圖 9、 圖 10。

2: BCa(23), . . ., BCa(31) 之間的倍增關係

2.3. 連續倍增法的進一步分析

利用倍增法, 通常可由具有 n 組表法的最小數, 得到具有 n + 1 組表法的數。 但有時由有 n 種表法的數之中稍大的數 BT a(n, k) 或 BCa(n, k), 利用連續倍增的模式, 因其倍增數較 小, 也可能下修 T a(n + h) 或 Ca(n + h) 的上界。

例一: 在已知有 9 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大

第 2 個為 26· 33· 77 · 19 · 31 · 73 · 97 · 139 , 記為 BCa(9, 2), 第 3 個為 27· 36· 73 · 13 · 19 · 373· 43 · 67, 記為 BCa(9, 3),

雖然 BCa(9, 3) 約為 BCa(9, 2) 的 1.4 倍, 略大於 BCa(9, 2), 但 613 < 133· 173, 因此以 BCa(9, 3) 及其倍增數, 反能下修 Ca(11) 的上界。

Ca(11) ≤ BCa(11) = 613· BCa(9, 3) < 133· 173· BCa(9, 2)。

(6)

目前已知的上界中, 與 BCa(9, 3) 有關的 BCa(n) 如圖 3 所示。

3: 與 BCa(9, 3) 有關的 BCa(n)

例二: 在已知有 10 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大, 第 5 個為 29· 33· 74· 134· 193 · 61 · 109 · 193, 記為 BCa(10, 5).

與 BCa(10, 5) 有關的上界如圖 4 所示。

4: 與 BCa(10, 5) 有關的 BCa(n)

三、 整數雙立方和參數表法的探索

在這一節裡, 我們將先進行一項實驗, 根據實驗的數據發現整數立方和表法間的一些關係, 接著予以證明。

3.1. 整數雙立方和表法之間的關係

首先觀察滿足 S = x31 + y13 = x32 + y32 關係式的四個整數 x1, y1, x2, y2 之間的關係, 並設 s = x2− x1 ≥ 0, t = y1− y2 ≥ 0, 所得數據節錄如表 4 所示。 我們首先注意到表中 (x1+ y1) − (x2+ y2) 之值皆為 6 的倍數。

我們將在引理一證明前述 (x1+ y1) − (x2+ y2) 之值皆為 6 的倍數性質, 在搜尋 T a(n), Ca(n) 時, 多提供了一個篩選條件。

引理一: 若 x1, y1, x2, y2 為整數且 x31+ y13 = x32 + y23, 則 x1+ y1 ≡ x2+ y2(mod 6)。

證明: 因為 a3 − a = (a − 1)a(a + 1) 為三個連續整數之積, 故必為 6 之倍數, 即得 a3 ≡ a(mod 6) 對所有整數 a 皆成立。 所以等式 x31 + y13 = x32 + y23 在模 6 之下立得 x1+ y1 ≡ x2+ y2(mod 6)。 證畢。

(7)

4: 滿足 S = x31+ y13= x32+ y23 的整數解

S x1 x2 y1 y2 (x1+ y1) − (x2+ y2)

1729 10 9 12 1 6

4104 15 9 16 2 6

20683 24 19 27 10 6

39312 33 15 34 2 12

40033 33 16 34 9 6

65728 33 31 40 12 12

64232 36 26 39 17 6

134379 43 38 51 12 18

149389 50 29 53 8 18

171288 54 24 55 17 6

根據引理一, T a(n), Ca(n) 的 n 組雙立方和表法 x3i + yi3, 1 ≤ i ≤ n, 滿足一些規律 性, 並且根據觀察 T a(n), 4 ≤ n ≤ 6, BT a(n), 7 ≤ n ≤ 22, Ca(n), 7 ≤ n ≤ 10, 以及 BCa(n), 11 ≤ n ≤ 42 各組表法之和, 分別為 xi + yi ≡ 0(mod 6), i = 1, 2, . . . , n。 另外, 當 6 | a + b 時, 由 a3+ b3 = (a + b)((a + b)2− 3ab), 得 18 | a3+ b3。 我們據以推測 T a(n), n ≥ 7 以及 Ca(n), n ≥ 11 等都是 18 之倍數。

另一個支持上述推測的理由來自於倍增法。 當我們從某一個為 6 的倍數的 BT a(n), BCa(n) 出發, 經過倍增法得到的較高階的 BT a(n), BCa(n) 也為 6 的倍數。 此外, 因為 T a(n), Ca(n) 為有相同表法數之中最小的數值, 故出現較小之質因數 2, 3 的機率很大。

3.2. 整數各組雙立方和的參數表法

我們在定理二提供各組雙立方和表法的單一參數表示法, 作為第四節提出篩選演算法的基 礎。 當 S 為 18 的倍數時, 我們據此寫成 「T a, Ca 篩選演算法」(見第四節)。

已知 S = a3 + b3, a ≥ b 為正整數, 我們試著從演算法的角度, 考慮如何篩選合於 S = a3+ b3 = x3+ y3 關係的正整數 x ≥ y。 首先, 我們引進一個參數 k = x + y, 亦即要針 對合適的 k 來求解方程式組:

x + y = k, x3+ y3 = S.

如此一來, 可將 x, y 表示為 k (和 S) 的函數。 因為 y = k − x, 代入得 x3+ (k − x)3 = S, 展開化簡得 3x2− 3kx + (k3− S)/k = 0。 因此,

x = (3k +p(3k)2− 4 · 3 · (k3− S)/k)/6, y = (3k −p(3k)2− 4 · 3 · (k3− S)/k)/6。

x, y 為正有理數的充要條件是根號裡的數為非負完全平方, 即 −3k2 + 12S/k ≥ 0 為完全平

(8)

方。 因為 −3k2 + 12S/k ≥ 0 及 k3 = (x + y)3 > x3 + y3 = S, 得 √3

S < k ≤ √3 4S。

若令 k = x + y = 6r 代入前一段中得到的 x = (3k +p(3k)2− 4 · 3 · (k3− S)/k)/6, y = (3k −p(3k)2− 4 · 3 · (k3− S)/k)/6 即可得出

x = 3r +p−3r2+ (S/18r), y = 3r −p−3r2+ (S/18r)。

x, y 為正整數的充要條件是 −3r2 + S/18r 為完全平方, 並且因 −3r2 + S/18r ≥ 0 及 (6r)3 = (x + y)3 > x3+ y3 = S, 得 pS/216 < r ≤3 pS/54。 總結以上的推演如下:3 定理二: 若 S = x3+ y3, x + y = k 且 x ≥ y, 則

x = 3k +p−3k2+ 12S/k

6 , y = 3k −p−3k2+ 12S/k

6 。

(1) x = 3k +p−3k2 + 12S/k

6 , y = 3k −p−3k2 + 12S/k

6 均為正有理數, 若且唯若

k | S, √3

S < k ≤√3

4S, 且 −3k2+ 12S/k 為完全平方數。

(2) 當 k = 6r 時, x = 3r +p−3r2+ (S/18r), y = 3r −p−3r2+ (S/18r) 為正整數, 若且唯若 18 | S, r | S/18, pS/216 < r ≤3 pS/54 且 −3r3 2+ (S/18r) 為完全平方數。

在定理二 (1), (2) 的三個篩選條件中, 以第三個 「完全平方數」 的條件最為關鍵, 見第四 節的討論。 若有 r = r1, r2, . . . , rn 等 n 個 r 值通過篩選, 則參數函數

r1 → (xi, yi) = (x(ri), y(ri))

提供 S 的 n 組雙立方和表法 S = x(ri)3+ y(ri)3, 1 ≤ i ≤ n。 因此, 根據定理二 (2), 我們 將 「倍增法」(見2.1) 修正為: 若 S 為 18 的倍數且 S 有 n 組雙立方和表法, 若能選到 k 及對 應的 rn+1, 滿足 −3r2n+1+ (Sk3/18rn+1) 為完全平方數的條件, 則 Sk3 有第 n + 1 組雙立 方和表法。

四、 T a, Ca 篩選演算法及局部篩選演算法

在這一節裡, 我們將以定理二 (2) 的參數函數表法作為篩選的基礎, 提供 T a, Ca 篩選 演算法 (見 4.1)。 由此演算法所得 Ca(n), n = 11, . . . , 16 的上界及其表法, 已收錄於 OEIS (見 4.2)。 為降低計算的負擔, 我們根據 BT a(n), BCa(n) 之參數 r 的特性, 修正提出 「局部 篩選演算法」(見 4.3)。 根據局部篩選演算法所得結果的分析見 4.4。

(9)

4.1. T a, Ca 篩選演算法

若令 S = T a(n) (或 Ca(n)), 定理二 (2) 中關於 r 值的三個條件, 可用以篩選出滿足 Sk3 = x3+ y3 關係的 (x, y) 所對應的參數 r 值, 進一步由參數函數 ri → (x(ri), y(ri)) 得 雙立方和表法, 以此為基礎, 我們提供了一個篩選演算法如下。 其中, 用 counter 來計次, 表示 已經搜尋到多少個參數 r 值。

T a 篩選演算法:

1. 輸入 S = a3+ b3, k, 令 counter = 0.

2. 對 Sk3/18 作質因數分解, 列出 Sk3/18 的所有正因數: r1 < r2 < · · · < rt. 3. 令 i 由 1 至 t,

若 pSk3 3/216 < ri <pSk3 3/54, 若 −3ri2+ Sk3/18ri 為完全平方數,

輸出 ri, 以及 x = 3ri+p−3ri2+ Sk3/18ri, y = 3ri−p−3ri2+ Sk3/18ri, counter ← counter+1, i ← i + 1, 回到 3

不然, i ← i + 1, 回到 3 不然, i ← i + 1, 回到 3 4. 輸出 counter 。

若將 T a 篩選演算法之 pSk3 3/216 < r ≤ pSk3 3/54 修正為 0 < r ≤ pSk3 3/54, 則 可求得滿足 Sk3 = k3(a3+ b3) = x3+ y3 的整數解 (x, y) 所對應的參數 r 值, 即得 「Ca 篩 選演算法」。 利用前述演算法, 雖然無法立即證明所得的數即為 Ca (counter), T a (counter), 但可以求得相關上界。 值得注意的是通常當 k 為質數時, 較容易得到 counter 增加的情況。 我 們以 T a(6) 以及 k = 101為例, 說明前述演算法。

例四: 以

S = T a(6) = 26· 33· 74· 13 · 19 · 43 · 73 · 793· 97 · 157, k = 101

為例, Sk3 有 143, 360 個正因數, Sk3/18 有 61,440 個正因數, 其中有 629 個正因數介於 pSk3 3/216, pSk3 3/54, 之間, 最後僅有 7 個 r 滿足 −3r2+ Sk3/18r 為平方數的條件。 根 據 T a 篩選演算法, 得 7 組雙立方和表示, 因此 T a(7) ≤ 1013· T a(6)。

(10)

4.2. Ca 篩選演算法所得結果的分析

根據 「Ca 篩選演算法」, 我們得到若干 Ca(n) 的上界。 令 S = Ca(10), 當 k = 23, 29, 38, 43, 46 時, 分別得 counter = 11, 經驗證得

233· Ca(10) 有 11 組雙立方和表示法, 為 Ca(11) 之上界, 233· 293· Ca(10) 有 12 組雙立方和表法,

233· 293· 383· Ca(10) 有 13 組雙立方和表法, 233· 293· 383· 433· Ca(10) 有 14 組雙立方和表法,

前述得到 Ca(12), Ca(13), Ca(14) 等的上界, 可由選擇不同的倍增數 k 予以下修。 令 S = Ca(10), 考慮 k = 127 為小於乘積 23 × 29 的質數時, 得 counter = 12, 即 1273· Ca(10) 也有 12 組表法, 下修 Ca(12) 的上界。 令 S = 1273· Ca(10), 利用相同的方法得

293· 1273· Ca(10) 有 13 組雙立方和表示法, 為 Ca(13) 之上界 293· 433· 1273· Ca(10) 有 14 組雙立方和表示法, 為 Ca(14) 之上界 233· 293· 383· 1273· Ca(10) 有 15 組雙立方和表示法, 為 Ca(15) 之上界 233· 293· 383· 433· 1273· Ca(10) 有 16 組雙立方和表示法, 為 Ca(16) 之上界。

以 Ca(10) 為基礎, 透過倍增的方式, 我們分別給出 Ca(11), . . ., Ca(16) 的上界, 這些上界 以有系統的方式求得, 雖不若 BCa(n), 11 ≤ n ≤ 16, 亦於 2013 年 6 月收錄於 OEIS 。 定理三:

Ca(11) ≤ 233· Ca(10)

= 23· 33· 53· 74· 133· 19 · 233· 31 · 37 · 673

= 11358236731992639122907000, Ca(12) ≤ 1273· Ca(10)

= 23· 33· 53· 74· 133· 19 · 31 · 37 · 673· 1273

= 1912223147184127402358643000, Ca(13) ≤ 293· 1273· Ca(10)

= 23· 33· 53· 74· 133· 19 · 293· 31 · 37 · 673· 1273

= 46637210336673683216124944127000, Ca(14) ≤ 293· 433· 1273· Ca(10)

(11)

= 23· 33· 53· 74· 133· 19 · 293· 31 · 37 · 433· 673· 1273

= 3707984682237914531464445932705389000, Ca(15) ≤ 23· 193· 233· 293· 1273· Ca(10)

= 26· 33· 53· 74· 133· 194· 233· 293· 31 · 37 · 673· 1273

= 31136289927061691188910174934641764248000, Ca(16) ≤ 23· 193· 233· 293· 433· 1273· Ca(10)

= 26· 33· 53· 74· 133· 194· 233· 293· 31 · 37 · 433· 673· 1273

= 2475553003230893881356681278528562750065736000.

前述以 Ca(10) 乘以適當倍增數而得到 Ca(11), . . ., Ca(16) 的上界的現象, 亦可見於 BCa(30) 乘以適當立方數而得到 BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . ., BCa(42), 見 5.1, 及自 BCa(42) 乘以適當立方數而得到 Ca(43), Ca(44), . . ., Ca(55) 的上界 (分別 表為 SCa(43), SCa(44), . . ., SCa(55), 見 5.2), 及自 BT a(22) 乘以適當立方數而得到 T a(23), T a(24) 的上界 (分別表為 ST a(23), ST a(24), 見 5.3)。

4.3. 局部篩選演算法

如上所述, 根據 「Ca 篩選演算法」, 對於較小的 n, 不難得到其 n 組雙立方和表法。 然而 隨著 n 的增加, T a, Ca 篩選演算法所需的運算時間呈指數成長, 對上界的探索極為不利。 我 們修正原有的 T a, Ca 篩選演算法, 得到 「局部篩選演算法」。

利用 「倍增法」 搜尋具有 n + 1 組表法的 S = k3· BCa(n) 時, 即搜尋 Ca(n + 1) 的上 界時, 關鍵在於找到與 BCa(n) 各參數的 k 倍不同, 稱為 「新增解」 的第 n + 1 個參數 rn+1。 因此, 局部篩選演算法中並無 counter 之參數。 以下分別說明 「局部篩選演算法」 兩個用以降 低計算時間的方法。

首先, 使用 Ca 篩選演算法時, 在計算出所有 S/18 的因數 r 後, 針對小於 pS/54 的3 r 值進行後續篩檢, 這種方法需要大量大數值的計算。 在使用局部篩選演算法搜尋新增解時, 我 們以參數之指數和的範圍來取代參數 r 本身的範圍, 僅算出指數和落在指定區間的參數 r, 進 行後續篩選。 說明如下 : 已知 ri =

m

Q

j=1

pβji,j, 1 ≤ i ≤ n 為 BCa(n) =

m

Q

i=1

pαii 之 n 組雙立 方和表法所對應的參數, 計算各參數之指數的和 ai =

m

P

j=1

βi,j, 1 ≤ i ≤ n, 並設定 L, U 為 滿足 L ≤ ai ≤ U, 1 ≤ i ≤ n, 的兩正整數。 不難得知 S = k3 · BCa(n) 已有 n 個參數 kri = k ·

m

Q

j=1

pβji,j, 1 ≤ i ≤ n, 其指數和的範圍介於 L + 1, U + 1 之間, 我們據以推測新增 解 rn+1 之指數和的範圍亦介於 L + 1, U + 1 之間。

(12)

此外, 在原來的篩選演算法中, 針對所有合於 0 ≤ β1 ≤ α1 − 1, 0 ≤ β2 ≤ α2 − 2 (因 為 r 為 S/18 的因數), 0 ≤ βi ≤ αi, i = 3, . . . , m, 0 ≤ βm+1 ≤ 3 關係的每一個序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 就 r = kβm+1·

m

Q

i=1

pβii 檢查相關運算後是否為完全平方。 「局部篩選演算」

則進一步縮小各個 βi 的選取範圍。 我們歸納出諸 BCa(n), BT a(n) 新增解 rn+1 = kβm+1·

m

Q

i=1

pβii 的標準分解式的若干規律, 如: 0 ≤ βi ≤ αi/2, i = 3, . . . , m, 以及 βm+1 = 0, 3。 對 於每個 βi, i = 3, . . . , m, 僅搜尋 0 ≤ βi ≤ αi/2, 排除了大約一半的可能性。 因此, 搜尋的次 數遽降為全部 (海選) 搜尋的 1/2m−1 (m 為 BCa(n) 的質因數個數)。

局部篩選演算法:

1. 輸入質數 pi, 非負整數 αi, i = 1, . . . , m, 其中 p1 = 2, p2 = 3 

BCa(n) =

m

Q

i=1

pαii , k

倍增數, S = k3·

m

Q

i=1

pαii

及 L, U (指數和的篩選區間)。

2. 輸入 βi, i = 1, . . . , m + 1, 其中 0 ≤ β1 ≤ α1− 1, 0 ≤ β2 ≤ α2− 2, 0 ≤ βi ≤ αi/2, i = 3, . . . , m, βm+1 = 0, 3. (篩選對象)

3. 對每一個序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 令 r = kβm+1·

m

Q

i=1

pβii, a =

m+1

P

i=1

βi, 若 L ≤ a ≤ U,

若 −3r2+ S/18r 為完全平方數,

輸出 r, 以及 x = 3r +p−3r2+ S/18r, y = 3r −p−3r2+ S/18r, 回到 3,

不然, 回到 3, 不然, 回到 3.

利用 「局部篩選演算」 進行上界搜尋時, L, U 及 βi 的設定具有關鍵影響, 固可避免大量的大 數值計算, 但亦需承擔漏失 「搜尋標的」 的風險。 然而考慮排除這些可能性後所得到計算上的效 益, 卻極為值得。

4.4. 局部篩選演算法所得結果的分析

文獻顯示 Boyer 在 2008 年求得 T a(22) 及 Ca(42) 的具體上界, 但未見其對應的雙立 方和表法。 本節以 BCa(23) 的 23 個 r 值為基礎, 分別給出 BCa(24), BCa(25), BCa(26) 的 ri 值, 提供具體說明並進而討論 r 值的結構。 至於 Ca(30), . . . , Ca(42) 上界的搜尋及其 參數 r 值的結構, 見第五節。 BCa(42) 的 42 個參數見 5.1, BT a(22) 的 22 個參數, 見附錄 表七。

(13)

令 BCa(23) 的 23 組表法為 ri, i = 1, . . . , 23, 因為 BCa(24) = 173·BCa(23)

= 29·39·53·74·113·133·173·193·311·374·431·613·673·731·793·1093·1571 對應的參數 r 值為 17 · ri, i = 1, . . . , 23, 另有新增解 r24:

r24= 22·32·51·72·111·131·173·191·310·371·430·611·671·730·791·1091·1570 為 173 的倍數, 其它 r 值雖為 17 的倍數, 但不為 173 的倍數。

BCa(25) = 1393· BCa(23)

= 29·39·53·74·113·133·193·311·374·431·613·673·731·793·1093·1393·1571 對應的參數 r值為 139 · ri, i = 1, . . . , 23, 另有新增解 r24 及 r25 :

r24= 22·32·53·72·111·131·191·311·371·431·611·671·730·791·1091·1390·1570 r25= 24·32·53·71·111·131·191·310·371·431·611·671·731·791·1091·1390·1570 前 23 個 r 值為 139 的倍數, 但 r24 及 r25 皆不為 139 的倍數。

BCa(26) = 173· 1393· BCa(23) = 1393· BCa(24) = 173· BCa(25) 對應的 r 值為 17 · 139 · ri, i = 1, . . . , 23, 另有新增解:

a. BCa(26) = 1393· BCa(24), 由 BCa(24) 的新增解 r24, 得出 BCa(26) 的一個表法:

139·r24= 22·32·51·72·111·131·173·191·310·371·430·611·671·730·791·1091·1391·1570 b. BCa(26) = 173· BCa(25), 由 BCa(25)的新增解 r24 及r25, 得 BCa(26) 的二個表法:

17·r24 = 22·32·53·72·111·131·171·191·311·371·431·611·671·730·791·1091·1390·1570 17·r25 = 24·32·53·71·111·131·171·191·310·371·431·611·671·731·791·1091·1390·1570 BCa(23), BCa(24), BCa(25), BCa(26) 之間的倍增關係, 可歸納如圖 5 所示。

(14)

5: BCa(23), BCa(24), BCa(25), BCa(26) 之間的倍增關係

值得注意的是, BCa(15), BCa(16), BCa(17), BCa(18) 之間以及 BCa(35), BCa(36), BCa(37), BCa(38) 之間有相類似的倍增關係。

五、 Ca(43), . . . , Ca(55) 上界的搜尋

BCa(42) 有 29 個質因數, 利用倍增法, 以 BCa(42) 來求 Ca(43) 之上界時, 所涉及的 計算量太大 (≥ 229), 所需要的時間太長, 於是我們嘗試改用只有 19 個質因數的 BCa(30) 來 搜尋 Ca(n), n ≥ 43, 的上界。

5.1. BCa(42) 的完整 42 組雙立方和表法

利用 「局部篩選演算法」, 找到

BCa(30) = 29·39·59·77·113·136·173·193·311·374·431·613·673·731·793·973·1093·1393·1571, 的 30 個 r 值如下, 進而提供 BCa(30) 的完整 30 組雙立方和表法。

r1=22·32·53·71·113·132·171·191·311·371·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a1= 23, r2=22·32·53·72·111·132·171·191·310·372·430·611·670·731·791·971·1091·1391·1570, a2= 22, r3=22·32·53·72·111·132·171·191·311·372·430·611·671·730·790·971·1091·1391·1571, a3= 23, r4=22·32·53·72·111·132·171·193·310·371·430·611·671·731·790·971·1091·1391·1570, a4= 23, r5=22·32·53·72·111·134·171·191·310·372·431·611·671·730·791·971·1090·1391·1570, a5= 24, r6=22·32·53·73·111·132·171·191·310·370·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a6= 21, r7=22·32·53·73·111·132·171·191·310·371·431·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a7= 23, r8=22·32·53·73·111·132·171·191·311·371·430·611·670·730·791·971·1091·1391·1571, a8= 23, r9=22·32·53·73·111·132·173·191·310·371·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a9= 24, r10=22·32·53·75·111·134·171·191·310·370·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a10= 22, r11=22·32·55·72·111·132·171·191·310·371·431·611·671·730·791·971·1090·1391·1571, a11= 24, r12=22·32·55·73·111·132·171·191·311·371·431·611·671·730·791·971·1091·1390,·1570, a12= 25, r13=22·33·53·71·111·132·171·191·310·372·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1571, a13= 23, r14=22·33·53·73·111·132·171·191·310·371·430·611·671·731·791·970·1091·1391·1571, a14= 24,

(15)

r15=22·33·53·73·111·132·171·191·310·371·431·611·671·731·791·971·1090·1391·1570, a15= 24, r16=22·33·59·71·111·131·171·191·310·372·431·611·670·730·791·971·1091·1390,·1570, a16= 26, r17=22·35·53·72·111·132·171·190·311·372·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a17= 25, r18=22·32·53·72·111·130·171·191·310·372·430·611·671·730·791·973·1091·1391·1570, a18= 22, r19=24·32·53·73·111·131·171·191·311·372·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a19= 25, r20=24·32·55·72·111·132·171·191·310·371·431·611·671·731·791·971·1091·1390,·1570, a20= 26, r21=24·33·53·72·111·131·171·191·310·371·431·611·671·730·793·971·1090·1391·1570, a21= 25, r22=24·33·53·72·111·132·171·191·310·371·431·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a22= 25, r23=24·33·53·73·111·131·171·191·310·372·430·610·671·731·791·971·1091·1391·1570, a23= 25, r24=24·32·53·72·113·132·171·191·310·371·430·610·671·730·791·971·1091·1391·1571, a24= 25, r25=26·32·53·72·111·132·171·191·311·371·431·610·671·730·791·971·1091·1391·1570, a25= 26, r26=26·37·53·72·111·132·171·191·311·371·430·610·671·730·791·971·1091·1391·1570, a26= 30, r27=26·32·53·72·111·132·171·191·310·371·430·611·671·731·791·971·1091·1391·1570, a27= 26, r28=28·32·53·73·111·132·171·191·310·372·430·611·670·730·791·971·1091·1391·1570, a28= 28, r29=28·32·55·72·111·132·171·191·310·371·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570, a29= 29, r30=28·32·53·70·111·134·171·191·310·371·430·611·671·731·791·970·1091·1391·1570, a30= 27,

上述結果顯示所有的 ai皆滿足 21 ≤ ai ≤ 30。 接下來將給出 BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . . , BCa(42) 的對應參數 r 值, 它們之間的倍增關係如圖 6 所示。

6: BCa(30), BCa(31), BCa(32), BCa(35), BCa(37), . . . , BCa(42) 的關係

(16)

BCa(31) = 293· BCa(30), 得 BCa(31) 的新增解為

r31 = 22·32·53·72·11·132·17·19·293·37·61·67··97·109·139 BCa(32) = 433· BCa(31), 得 BCa(32) 的新增解為

r32 = 22·33·55·72·11·132·17·19·293·37·430·61·67·79·97·109·139 BCa(35) = 3973· 4573· BCa(32), 得 BCa(35) 的新增解為

r33= 22·32·59·72·11·132·17·19·29·37·43·61·67·73·79·97·109·139·3971·4570, r34= 22·35·53·7·11·132·17·19·29·31·37·432·61·67·79·97·109·139·157·3970·4571, r35= 24·32·57·73·11·132·17·19·29·31·372·43·61·67·79·97·109·139·3970·4570. BCa(37) = 1013· 2293· BCa(35), 得 BCa(37) 的新增解為

r36= 24·32·53·11·132·17·19·29·37·43·61·67·79·97·1013·109·139·157·2290·397·457, r37= 26·33·53·75·11·132·17·19·29·372·43·61·67·73·79·97·1011·109·139·2290·457.

BCa(38) = 1813· BCa(37), 得 BCa(38) 的新增解為

r38 = 22·35·55·73·11·132·17·19·29·31·43·61·67·73·79·97·101·109·139·1810·229·397·457.

BCa(39) = 1633· BCa(38), 得 BCa(39) 的新增解為

r39 = 22·32·53·75·11·132·17·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·157·1633·229·457.

BCa(40) = 1933· BCa(39), 得 BCa(40) 的新增解為

r40 = 22·32·53·72·11·132·17·19·29·37·432·61·67·79·97·101·109·139·157·163·181·1930·229·397·457.

BCa(41) = 2233·BCa(40), 得 BCa(41) 的新增解為

r41 = 26·33·53·72·11·132·17·19·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·157·163·181·193·2230·229·397·457.

BCa(42) = 3073· BCa(41), 得 BCa(42) 的新增解為

r42 = 22·33·53·72·11·132·17·19·29·37·43·61·67·79·97·101·109·139·163·181·193·223·3073·397·457.

5.2. Ca(43), . . . , Ca(55) 上界

本節以 BCa(30) 的 30 個參數 r 值以及 BCa(42) 的 42 個參數 r 值 (見 5.1) 為 基礎, 來搜尋 Ca(n), n ≥ 43, 的上界, 並將因此得到的 Ca(n) 的上界分別記為 SCa(n), 43 ≤ n ≤ 55。 我們分別說明

(17)

(1) 用 「局部篩選演算法」, 求得 BCa(30) 的倍增數,

(2) 利用 BCa(30) 的倍增數及 BCa(42) = Q3, BCa(30)的倍增關係, 得到 Ca(43) 的上界。

先說明如何用 「局部篩選演算法」 求得整數 k, 使得 k3 · BCa(30) 有新增解 R。 令 BCa(30) =

19

Q

i=1

pαii, 將其 30 個 r 值分別以

19

Q

i=1

pβii 表示, 諸 βi, i = 1, . . . , 19, 之值整 理如表 5。

5: BCa(30) 的參數 r 之可能 βi

pi 2 3 5 7 11 13 17 19 31 37 43 61 67 73 79 97 109 139 157

2 2 3 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 5 1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

βi 6 5 9 2 4 2 3 3

8 7 3

5

分別計算 BCa(30) 的 30 個 r 值之 rj =

19

Q

i=1

pβii,j 表法中的指數和

19

P

i=1

βi,j 均介於 21 與 30 之間。 因此, 我們設定 L = 22, U = 31。 利用局部篩選演算法, 僅針對上表可能 β1, . . . , β19 值及 β20 = 0 或 3 的序對 (β1, β2, . . . , βm+1), 當 22 ≤

20

P

i=1

βi ≤ 31 時, 計算得 r = kβ20·

19

Q

i=1

pβii, 若再得 −3r2+k3·BCa(30)/18r 為完全平方數, 則此 r 即為 k3·BCa(30) 的新增解 R。 我們求得 BCa(30) 的若干 「倍增數 (質數或兩質數積)」 及其對應新增解如表 6:

6: BCa(30) 之倍增數及對應新增解

i 倍增數 ki 新增解 R

1 487 24·35·53·72·111·132·171·190·311·371·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570 2 503 22·32·53·71·111·132·171·190·310·371·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1570·5033 3 2×607 211·32·53·72·111·132·171·191·311·371·430·610·671·731·791·971·1091·1391·1571 4 1307 22·32·53·72·111·132·171·191·310·371·430·611·670·730·791·970·1091·1391·1570·13073 5 31×103 22·33·53·73·113·132·171·191·310·371·431·611·671·731·791·971·1091·1391·1570 6 3559 22·37·53·73·111·132·171·191·311·371·430·611·671·731·791·971·1091·1391·1570 7 4057 22·32·55·72·111·132·171·190·310·372·430·611·671·731·791·971·1091·1391·1571 8 4261 24·32·53·73·111·132·171·191·310·372·431·611·671·730·791·971·1091·1391·1571 9 4339 24·32·53·72·111·132·171·191·311·371·430·611·671·731·791·971·1091·1391·1571 10 4957 22·35·53·72·111·132·171·191·311·371·431·611·671·730·791·971·1091·1391·1571 11 6661 22·32·53·72·111·132·171·191·311·372·431·611·671·731·791·971·1091·1391·1570 12 8353 24·33·53·73·111·132·171·191·310·372·430·611·671·731·791·971·1091·1391·1570 13 9043 22·32·53·72·111·132·171·191·311·372·430·611·671·730·791·971·1091·1391·1571

(18)

接下來我們說明為何能由 BCa(30) 的倍增數得到 Ca(43) 的上界。 將 BCa(42) 的 42 組雙立方和表法所對應的 r 值記為 ri, i = 1, . . . , 42。 令

Q = 29 · 43 · 101 · 163 · 181 · 193 · 223 · 229 · 307 · 397 · 457, 則倍增關係

BCa(42) = Q3· BCa(30)

成立。 若得與 Q 互質的 BCa(30) 的倍增數 k, 使得 k3· BCa(30) 有新增解 R, 則 S = k3 · BCa(42) = Q3· k3· BCa(30)

的雙立方和表法所對應的 r 有 43 組如下:

a. 由 S = k3 · BCa(42), 得 42 個 r 值 k · ri, i = 1, . . . , 42 等, b. 由 S = Q3· (k3· BCa(30)), 得 Q · R 為一個新增 r 值。

因此, S 有 43 組雙立方和表法, 故得 Ca(43) 的上界。 以 k1 = 487 為例, 具體說明 4873 · BCa(42) 有 43 組雙立方和表法如下: 已知 BCa(42) 對應的參數 ri, i = 1, . . . , 42 沒有質 因數 487。 且

R = 24· 35· 53· 72· 11 · 132· 17 · 31 · 37 · 61 · 67 · 79 · 97 · 109 · 139, 為 4873· BCa(30) 的新增解。 顯然,

a. 由 S = 4873· BCa(42), 可得 487 · ri, i = 1, . . . , 42, 提供 S 的 42 個 r 值, b. 由 S = Q3· (4873· BCa(30)), 得 r43 = Q · R 為 S 的第 43 個 r 值。

因 r43 不為 487 的倍數, 而 487ri, i = 1, . . . , 42 為 487 的倍數, 即得 r43 與諸 487ri, i = 1, . . . , 42 相異。 因此, 4873· BCa(42) 有 43 組雙立方和表法, 亦即 4873· BCa(42) 為 Ca(43) 的一個上界, 記為 SCa(43):

SCa(43) = 4873· BCa(42)。

同理可再得以下結果:

5033· SCa(43) 為 Ca(44) 的一個上界, 記為 SCa(44), (2 × 607)3· SCa(44) 為 Ca(45) 的一個上界, 記為 SCa(45), 13073· SCa(45) 為 Ca(46) 的一個上界, 記為 SCa(46), (31 × 103)3· SCa(46) 為 Ca(47) 的一個上界, 記為 SCa(47), 35593· SCa(47) 為 Ca(48) 的一個上界, 記為 SCa(48),

(19)

40573· SCa(48) 為 Ca(49) 的一個上界, 記為 SCa(49), 42613· SCa(49) 為 Ca(50) 的一個上界, 記為 SCa(50), 43393· SCa(50) 為 Ca(51) 的一個上界, 記為 SCa(51), 49573· SCa(51) 為 Ca(52) 的一個上界, 記為 SCa(52), 66613· SCa(52) 為 Ca(53) 的一個上界, 記為 SCa(53)。

83533· SCa(53) 為 Ca(54) 的一個上界, 記為 SCa(54)。

90433· SCa(54) 為 Ca(55) 的一個上界, 記為 SCa(55)。

7: 由 BCa(30) 的倍增數得到 Ca(n), 43 ≤ n ≤ 55, 的上界

8: BCa(42), SCa(43), . . . , SCa(55) 間的倍增關係

上述所得的上界歸納在定理四。 其中 Ca(43), Ca(44) 的上界已於 2014 年 8 月收錄於 OEIS, 並且本文下修收錄於 OEIS 之 Ca(43), Ca(44) 的上界。

定理四:

Ca(43) ≤ SCa(43) = 4873· BCa(42) Ca(44) ≤ SCa(44) = 5033· SCa(43) Ca(45) ≤ SCa(45) = (2 × 607)3· SCa(44) Ca(46) ≤ SCa(46) = 13073· SCa(45) Ca(47) ≤ SCa(47) = (31 × 103)3· SCa(46) Ca(48) ≤ SCa(48) = 35593· SCa(47)

參考文獻

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