電路學

電路學

第二章

直流電路

基本電路的認識

z

電路是由電路元件組合而成，電路元件依其特性可以分為只消耗或 儲存能量的被動元件，以及可以產生能量的主動元件兩種。

z

一個完整的電路必須包括有主動元件(乾電池)和被動元件(燈泡)以 及將它們連接在一起的導線。通常導線視為沒有電阻的理想導體，

只負責能量的傳輸而不消耗能量，因此也不產生電位的變化。除了 上述的各成份以外，通常還加上一個用來控制電路工作的開關。

閉路

z 整個電路形成一完全閉合的迴路，如果電路的

元件均良好，在此一條件之下，電路產生正常

的工作，電流在電路裡暢流。

開路

z

電路中斷，不形成閉合迴路，電流不能流通，電路停止工作 。

z

開路有兩種情況，其一為開關沒有關上，電源裡的能量無法供應 給電路的其他部分。

z

另一種則開關是閉合，但電路裡的元件損壞；例如燈絲燒斷，而 使電路產生中斷的現象。

z

當電路產生中斷現象時，雖然沒有電流的流通，但整個電路的電 壓將存在於中斷點的兩端。

短路

z

連接電源之導線直接接通，電流不經負載直接回到電源之情況。

此時整個電路的電阻近似為零，而由歐姆定律：

z

在短路時電路裡的電流近似為無限大。也就是指在短路情況裡，

電路會產生過量之電流，導致設備損壞或引起火災，是為用電時 最危險的狀況，要特別注意。通常使用保險絲來作為短路情況的 保護裝置。

∞

=

=

= 0

V

R

I V

基本電路的認識

z

兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點。

z

兩個節點之間的路徑稱為分支。

z

串聯：是指多個元件或分支通過相同電流的情形。

z

並聯：是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形。

z

迴路或網目，迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電 路。但網目比迴路多一項要求，就是在網目所形成的閉合電路內，

不得包含其他的電路元件在其迴圈中

克希荷夫定律

z

克希荷夫電流定律(KCL)，亦稱為克希荷夫第一定律，

它指出在任何時刻裡，流入某一節點的電流其和必等於 自該點流出之電流和，即

∑I

_流入

＝∑I

_流出

(2-1) KCL是根據電荷守恆所得到。

z

克希荷夫電壓定律(KVL)，亦稱為克希荷夫第二定律，

它指出對於任何閉合迴路而言，環繞其一週之電壓代數 和必為零，即迴路內的總電壓升等於總電壓降，即

∑V

_壓升

＝ ∑V

_壓降

(2-2) KVL則是根據能量守恆所得到。

克希荷夫電流定律

z

在a點處總共有四個電流流入 或流出，因此對a點而言，電 流的關係為：

－I₁－I₂＋I₃＋I₄＝0 或 I₁＋I₂＝I₃＋I₄

對b點而言，電流的關係為：

－I₃－I₄＋I₂＋I₅＝0 或 I₂＋I₅＝I₃＋I₄

比較上述兩關係可發現 I₁＝I₅

z

電流為正或負是由各人自訂，

當電路裡有多個節點時，若對 其中一個節點訂定流入的電流

例2-1

z

試求電路中的電流I

_C

z

[解]：

對節點a採用KCL可得 I

_A

＝I

_B

＋I

_C

因此

I

_C

＝I

_A

－I

_B

＝20mA－5mA

＝15[mA]

例2-2

z

試求電路中的電阻R。

z

[解]：

對電路應用KVL可得 100V＝V_ab＋V_bc＋V_cd 其中

V_ab＝250Ω×5mA＝1.25[V]

V_bc＝1500Ω×5mA＝7.5[V]

因此

V_cd＝100V－1.25V－7.5V＝91.25[V]

例2-3

z 試求電路中的電壓V及V_cd。

z [解]：

由圖上可發現odao構成一閉合迴路，

因此由KVL可知：V_od＋V_da＋V_ao＝0 其中V_od＝－10V，V_da＝+6V

因此 V_ao＝－(V_da＋V_od)＝4[V]

今對caoc部分應用KVL可得 V_co＋V_oa＋V_ac＝0

因此

V＝V_co＝－(V_oa＋V_ac)＝－V_oa－V_ac

＝V_ao＋V_ca＝4V＋4V＝8[V]

另外對codac部分應用KVL可得

V_co＋V_od＋V_da＋V_ac＝V_co＋V_od＋V_dc＝0 因此

V_cd＝－V_dc＝V_co＋V_od

＝8V＋(－10V)＝－2[V]

電阻串聯及並聯電路

z

電路元件串聯在一起時，流過它們的電流是相同的。

z

串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和。

R

_eq

＝R

₁

＋R

₂

＋R

₃

＋……＋R

_n

＝ [Ω] (2-3)

*當兩元件或電路互換，其I-V特性不變時，則此兩元件或 兩電路稱為是等效。

∑= n

1 i Ri

電阻串聯及並聯電路

z

在串聯電路裡，欲求跨於某一電阻器R

_x

兩端的電壓V

_x

時，可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻 R

_eq

，然後利用歐姆定律來求流過其間的電流，最後以

(2-4) 來求知跨於R

_x

兩端的電壓V

_x

。

z

若每個電阻均相等，則跨於每一電阻器的電壓為V/n。

] V [ V R R R

R IR V

V

_{n S}

1

i i

x x

eq S x

x

= = = ∑

=

電阻串聯及並聯電路

z

在串聯電路裡，跨於其中某一電阻器兩端的電 壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再 乘以總電壓，或某電阻器其電阻值與串聯電路 總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總 電壓之比，此一關係稱為分壓器法則。利用此 一法則可以構成所謂分壓器，經由分壓器可以 從一高的電壓裡取得較小的電壓。

z

在使用分壓器時有某些情況必須考慮，以右圖 的分壓器為例，總電壓亦即V_CO為+90V，若三 個電阻均相等，則理論上V_AO＝V_BA＝V_CB＝ +30V，但若要從此一電路裡取用30V的電壓 時，則必須要取用V_AO而不能取用V_BA或V_CB，

例2-4

z

有一串聯電路，試求(a)電路的等效電阻R_eq，(b)流過電路的總電流I

， (c)跨於各電阻器之電壓。

[解]：

(a)電路的等效電阻

R_eq＝R₁＋R₂＋R₃＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω]

(b)流過電路的總電流

] A [ 100 1

V 100 R

I V

^S

=

= Ω

=

例2-4(續)

z

(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種，其一是採用歐姆定律亦即直 接以流過的電流與電阻相乘，即

V₁＝I₁R₁＝1A×20Ω＝20[V]

V₂＝I₂R₂＝1A×30Ω＝30[V]

V₃＝I₃R₃＝1A×50Ω＝50[V]

另一種方法就是利用分壓器法則

] V [ 20 V

100 100 V 20

R

V R

_S

eq 1

1

× =

Ω

= Ω

=

] V [ 30 V

30 100 R V

V =

²

= Ω × =

例2-5

z 有一串聯電路如圖所示，(a)試以分壓器法則求

跨於各電阻的電壓，(b)電源所供應的功率及各

電阻所消耗的功率為多少？

例2-5(續)

[解]：(a)跨於各電阻器之電壓分別為：

] V [ 100 5

V 10 70 50

20 10

V 10 50

V

₁

= × =

Ω +

Ω +

Ω

× Ω

=

] V [ 100 10

V 20 70 50

20 10

V 20 50

V

₂

= × =

Ω +

Ω +

Ω

× Ω

=

] V [ 100 35

V 70 70 50

20 10

V 70 50

V

₃

= × =

Ω +

Ω +

Ω

× Ω

=

例2-5(續)

z

(b)流過此一電路的電流為：

電源所供應的功率為：

P

_i

＝50V×0.5A＝25[W]

各電阻消耗的功率為：

P

_R1

＝I

²

×R

₁

＝(0.5A)2×10Ω＝2.5[W]

P

_R2

＝I

²

×R

₂

＝(0.5A)2×20Ω＝5.0[W]

P

_R3

＝I

²

×R

₃

＝(0.5A)2×70Ω＝17.5[W]

] A [ 5 . 100 0

V 50 70

20 10

V 50 R

R R

I V

3 2

1

S

=

= Ω Ω +

Ω +

= Ω +

= +

電阻串聯及並聯電路

z

當元件並聯在一起時，跨於它們兩端的電壓是相等的。

z

在並聯電路裡，其等效電阻可以表示為：

(2-5) (2-6)

z

在並聯電路裡以電導來表示比較方便

(2-7)

∑

=

= +

+ +

+

=

ⁿ

1

i i

n 3

2 1

eq

] S R [

1 R

... 1 R

1 R

1 R

1 R

1

] [ R ... 1

R 1 R

1 R

1 R 1

n 3

2 1

eq

Ω

+ +

+ +

=

] S [ G G

...

G G

G

∑

n

⁼

= +

+ +

=

電阻串聯及並聯電路

z

若並聯電路中各電阻器的電阻均相等，則其等效電阻 為：

[S]

或

(2-8)

z

若以等效電導來表示，則

G

_eq

＝nG

_i

[S] (2-9)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

i

eq

R

n 1 R

1

] n [

R

_eq

= R

ⁱ

Ω

電阻串聯及並聯電路

z 若只有兩個電阻器R ₁ 與R ₂ 並聯時，則等效電阻 可以表示為：

(2-10)

z 若某一電阻R與另一個電阻(R/n)並聯時，其等效 電阻可以表示為：

(2-11)

] R [

R

R R R

2 1

2 1

eq

Ω

= +

] R [

R = Ω

電阻串聯及並聯電路

z 在並聯電路裡，流過某一分支電阻器R _x 的 電流等於該分支電導與等效電導之比乘以 總電流，或某分支之電導與總電導之比等 於流過該分支之電流與總電流之比，此一 關係稱為分流器法則。

] A [ G I

I G G

I G G

...

G G

G I G

eq x n

1 i

i x n

3 2

1

x

X

= =

+ +

+

= +

∑

=

電阻串聯及並聯電路

z

在只有兩個電阻器並聯 的情況下，則電流的分 配為：

z

可知電阻大者所流過的

]

A [ R I R

I R

2 1

2

1

= +

] A [ R I R

I R

2 1

1

2

= +

電阻串聯及並聯電路

z 若在並聯電路中各電阻均相等，

則

z 就是各電流均相等，分別等於總 電流的1/n。

] A n [

I R )

( 1 n

R I 1

I

_x

= =

例2-6

z

試求電路的：(a)總電阻，(b)總電流，(c)各分支電流。

z

[解]

：

(a)電路的總電阻亦即等效電阻為：

] S 2 [ 1 12

1 6

1 4

1 R

1 R

1 R

1 R

1 = + + = + + =

例2-6(續)

z

(b)流過電路的總電流為：

z

(c)由分流器法則，可得：

] A [ 2 6

12 R

I = V = =

] A [ 3 6 2

1 4 1 G I

I G

eq 1

1

= = × = ^{6 2 [ A ]}

2 1 6 1 G I

I G

eq 2

2

= = × =

] A [ 1 6 2

1 12

1 G I

I G

eq 3

3

= = × =

例2-6(續)

z

另一為利用歐姆定律：

z

由此可知兩種方法所得到的結果是相同的，同時可發現 如前所述，電阻愈大的分支流過的電流愈小。

] A [ 4 3

12 R

I V

1

1 = = =

2 [ A ]

6 12 R

I V

2

2

= = =

] A [ 12 1

12 R

I V

3

3 = = =

串並聯電路

z

在實際應用的電路裡，元件並不是單純的串聯或並聯，而是同時串 並聯，也就是將多個元件串聯在一起構成一分支，然後再與其他分 支並聯；或者將多個元件並聯在一起，然後再與其他分支串聯。無 論先串後並或先並後串，只要依照既定的處理程序來求解即可。

此一既定的處理程序為：

(1)由離電源最遠的地方著手，先將電阻依串聯或並聯來合併，一 直到電源端變成一個等效電阻R_eq為止。

(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理，以求得流過等效電阻的 電流，也就是流入電路的總電流，以及跨在等效電阻兩端的電 壓。

(3)最後利用KVL、KCL、分壓器法則或分流器法則算出流過每個電 阻器的電流、跨在每個電阻器的電壓，以及它們所消耗的功

率。

例2-7

z 試求下圖電路由AB端看入的等效電阻。

例2-7(續)

z

最遠端的電阻開始處理。由圖上可知R

₉

與R

₁₀

為串聯，

因此可得：

R

₁₁

＝R

₉

＋R

₁₀

＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]

此一R

₁₁

與R

₈

為並聯，因R

₁₁

(3kΩ)等於R

₈

(6kΩ)的一半，

由(2-11)式可知n＝2，因此：

通常在分析過程裡以||來表示並聯。R

₁₂

與R

₆

為串聯，因 此可得：

R

₁₃

＝R

₁₂

＋R

₆

＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]

] k [ 3 2

k 6 2

1 R R

R

R_{12 8 11} ⁸ = Ω = Ω

= +

=

例2-7(續)

R

₁₃

與R

₇

為並聯，因R

₇

(6kΩ)等於R

₁₃

(12kΩ)的一半，由 (2-11)式可知n＝2，因此

R

₁₄

與R

₃

為串聯，因此可得：

R

₁₅

＝R

₁₄

＋R

₃

＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]

R

₁₅

(6kΩ)與R

₄

(6kΩ)為並聯，因兩者相等，因此：

] k [ 3 4

k 12 2

1 R R

R

R

_{14 7 13} ¹³

= Ω = Ω

= +

=

k 6 R

R Ω = Ω

=

=

=

例2-7(續)

R

₁₆

與R

₅

為串聯，因此可得：

R

₁₇

＝R

₁₆

＋R

₅

＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]

R

₁₇

(12kΩ)與R

₂

(4kΩ)為並聯，因此可得：

因此最後的等效電阻為：

R

_eq

＝R

_AB

＝R

₁

＋R

₁₈

＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]

] k [ k 3

4 k

12

) k 4 )(

k 12 ( R

R

R R R

2 17

2 17

18 = Ω

Ω +

Ω

Ω

= Ω

= +

例2-8

z

試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓。

[解]：電路具有兩個並聯分支，每一分支上有兩個串聯的 電阻器，因此其等效電阻為：

) 4 8 ( ) 4 4 (

R = + +

例2-8(續)

流過電路的總電流為5A，因此跨於每一分支的電壓為：

V＝5A×4.8Ω＝24[V]

由分壓器法則可知，跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分 別為：

而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為：

] V [ 12 V

4 24 4

V 4

R1

× =

= + 24 V 12 [ V ]

4 4 V 4

R2

× =

= +

] V [ 16 V

8 24 4

V 8

R3

× =

= + 24 V 8 [ V ]

8 4 V 4

R4

× =

= +

例2-8(續)

此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的 電流，然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電 壓。 流過左邊分支的電流為：

因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為：

] A [ 3 20 5

12

) 5 4 8 ( ) 4 4 (

) 4 8 I

₁

(

=

×

=

+ × +

+

= +

例2-8(續)

流過右邊分支的電流為：

因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為：

可知兩種方法所得到的結果完全相同。

] A [ 2 20 5

8

) 5 4 8 ( ) 4 4 (

) 4 4 I

₂

(

=

×

=

+ × +

+

= +

] V [ 16 8

A 2

V

R3

= × Ω =

] V [ 8 4

A 2

V

R4

= × Ω =

例2-9

z 試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於

它們的電壓。

例2-9(續)

z

[解]：它是一個先由兩個電阻器R

₂

及R

₃

並聯在一起，然 後與R

₁

串聯並以2A電流源來驅動的電路，如圖2-20(a)所 示。電路的等效電阻：

圖2-20

] [ 4 . 6 4

4 6 2 4

R R

R R R

R

3 2

3 2 1

eq

= Ω

+ + ×

+ = +

=

例2-9(續)

由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於 V_s＝2A×4.4Ω＝8.8V

由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R₁以及並聯分支的電壓分別 為:

因R₂及R₃為並聯，所以跨於它們的電壓均相等，也就是 V₂＝V₃＝4.8[V]

由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯，所以電路的總 電流為2A，也就是指流過R₁的電流為2A，而流過並聯分支的總電 流也是2A，因此可由分流器法則來求知流過

] V [ 4 4

. 4 8 2 . 8

V

₁

= × = 4 . 8 [ V ]

4 . 4

4 . 8 2 . 8

V

₄

= × =

例2-10

z

試求下圖電路中各電阻之電壓，電流及功率？

z

[解]：由電源看入之等效電阻為：

流入電路的總電流為：

] [ 10 5

5 5 ) 10 10 ( 5 )]

10 ( ) 4 6 [(

R

_eq

= + + = + = + = Ω

] A [ 10 10

V I

_S

100 =

= Ω

例2-10(續)

z

流過5Ω電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率 分別為：

I

_5Ω

＝I

_S

＝10[A] ，V

_5Ω

＝I

_5Ω

×5Ω＝10A×5Ω＝50[V]

P

_5Ω

＝(I

_5Ω

)

²

×5Ω＝(10A)

²

×5Ω＝500[W]

因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯，且兩分支的電阻相 等，因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等，且 等於流入電流的一半，亦即(10A/2)＝5[A]。

z

因此流過10Ω電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗 的功率分別為：

例2-10(續)

z

流過6Ω電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功率 分別為：

I

_6Ω

＝(I

_S

/2)＝(10A/2)＝5[A]

V

_6Ω

＝I

_6Ω

×6Ω＝5A×5Ω＝30[V]

P

_6Ω

＝(I

_6Ω

)

²

×6Ω＝(5A)

²

×6Ω＝150[W]

z

流過4Ω電阻的電流，跨於其上的電壓及它所消耗的功 率分別為：

I

_4Ω

＝I

_6Ω

＝(I

_S

/2)＝(10A/2)＝5[A]

V

_4Ω

＝I

_4Ω

×4Ω＝5A×4Ω＝20[V]

P

_4Ω

＝(I

_4Ω

)

²

×4Ω＝(5A)

²

×4Ω＝100[W]

立體式電阻器連接

z 立體式電阻器連接法，當電路上每一個電 阻均相等時其為一對稱結構。

z 由A點流入的電流分流向三個完全相同的 分支，亦則流向R₁、R₂及R₃的電流均等於 (1/3)I；

z 流過R₁的電流在到達a點時，將分流向兩個 完全相同的分支，也就是指流向R₄與R₅電 流為(1/6)I。

z 同理可知在此一電路裡流過R₁、R₂、R₃、 R₁₀、R₁₁及R₁₂的電流為(1/3) I，而流過 R₄、R₅、R₆、R₇、R₈及R₉的電流為(1/6) I。因為是對稱，所以由A點以任何一分支 流向B點所得到的結果均相等。

z AB兩點之間的電壓V_AB為：

電橋電路

R

₁

R

₄

＝R

₂

R

₃

電橋電路的平衡條件

z

達到平衡狀態時，跨於電阻R

₁

兩端的電壓V

_ac

與跨於電 阻R

₂

兩端的電壓V

_ad

相等，因此c點與d點之間的電位差 為零，電流不會流過R

₅

，R

₅

視同開路。電路如同是具有 兩分支的並聯電路，每一分支有兩個電阻串聯在一起。

例2-11

z

試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻。

＝2Ω，R ＝4Ω，R ＝3Ω及R ＝6Ω，因此

例2-11(續)

z

當符合平衡條件的要求時，電流不流過R₅，因此R₅可視同為開路，

如圖2-26所示。但因c點的電壓與d點的電壓相等，因此它也可以視 同為短路，如圖2-27所示。無論視同開路或短路，對流過電路各部 分的電流及等效電阻均不會產生影響。

圖2-26 R₅視同為開路的情形 圖2-27 R₅視同為短路的情形

例2-11(續)

z

對開路狀況而言(圖2-26)，其等效電阻為：

流過各部分的電流為：

] [ 33 . ) 3

6 4

( ) 3 2

(

) 6 4

)(

3 2

R

_eq

( = Ω

Ω +

Ω +

Ω + Ω

Ω +

Ω Ω

+

= Ω

] A [ ) 2

3 2

(

V

I

₁

10 = Ω +

= Ω

] A [ V 1

I = 10 =

例2-11(續)

z

對短路狀況而言(圖2-27)，其等效電阻為：

流過電路的總電流為：

流過各電阻的電流分別為：

] [ 33 . 3 3

10 9

18 6

8 6

3

6 3

4 2

4

R

_eq

2 = Ω + Ω = Ω = Ω

Ω +

Ω

Ω

× + Ω

Ω +

Ω

Ω

×

= Ω

] A [ ) 3

3 / 10 (

V

I 10 =

= Ω

] A [ 2 A 2 3

4

I

₁

4 × =

Ω + Ω

= Ω

] A [ 1 A 2 3

I = Ω × =

] A [ 2 A

3 3 6

I

₃

6 × =

Ω + Ω

= Ω

] A [ 1 A 3 3

I = Ω × =

Y- Δ變換法

] R [ R R

R R R

3 2 1

3 2

A Ω

+

= + [ ]

R R R

R R R

3 2 1

1 3

B Ω

+

= + [ ]

R R R

R R R

3 2 1

2 1

C Ω

+

= +

Y- Δ變換法

z

Δ→Y：Y形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂 的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和。

z

Y→Δ：任一Δ形電路臂的電阻值，等於Y形電路中兩電 阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y 形電路臂之電阻值。

z

若Y形或Δ形電路之三電阻均相等，亦即

R

₁

＝R

₂

＝R

₃

＝R

_Δ

及R

_A

＝R

_B

＝R

_C

＝R

_Y

，則 R

_Δ

＝3R

_Y

[Ω]

及

] [ 3R

R_Y = 1 _Δ Ω

例2-12

z

試求下圖電路的等效電阻

z

[解]：

在此一電橋裡，兩相對邊的電阻之乘積分別為(3×2＝6)

例2-12(續)

z

首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連 接，如圖2-30所示。

圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接

例2-12(續)

z

Y形連接的各個電阻可以求得為：

] [ 07 . 6 1

5 3

) 5 )(

3 ( R

R R

R R R

3 2

1

3 2

A

= Ω

Ω +

Ω + Ω

Ω

= Ω +

= +

] [ 29 . 6 1

5 3

) 6 )(

3 ( R

R R

R R R

3 2

1

1 3

B = Ω

Ω +

Ω + Ω

Ω

= Ω +

= +

] [ 14 . 6 2

5 3

) 6 )(

5 ( R

R R

R R R

3 2

1

2 1

C

= Ω

Ω +

Ω + Ω

Ω

= Ω +

= +

例2-12(續)

圖2-31 最後的等效電路

例2-12(續)

z 在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電 阻分別為：

R _ebd ＝R _eb ＋R _bd ＝1.29Ω＋4Ω＝5.29[Ω]

R _ecd ＝R _ec ＋R _cd ＝2.14Ω＋2Ω＝4.14[Ω]

這兩分支是為並聯，它們合成的電阻R _ed 為：

電路的總等效電阻為：

] [ 32 . 2 14

. 4 29

. 5 R

R

R _ed = _{ebd ecd} = Ω Ω = Ω

重疊原理

z

考慮下圖的電路，並求跨於R

₂

電阻器的電壓V

₂

，此一電 路雖然十分簡單，但因它同時存在有電壓源及電流源兩 種不同形式的電源，因此無法直接利用分流器法則及分 壓器法則來求解。

重疊原理

z

直接對電路應用KCL、KVL及歐姆定律，可得 V

₁

＝I

₁

R

₁

(2-31)

V

₂

＝I

₂

R

₂

(2-32)

－V

₁

＋V

₂

＋V

_S

＝0 (2-33)

－I

_S

＋I

₁

＋I

₂

＝0 (2-34) 將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得

(2-35)

] A R [

V R

I V

2 2 1

1

S

= +

重疊原理

z

由上式發現V

₂

包含有兩部分，其中一部分是由電流源I

_S

所產生，另一部分是由電壓源V

_S

所產生，兩者互不干 擾。由此可知若將電壓源關閉，亦即V

_S

＝0時可得到純 由電流源I

_S

所形成的結果；同樣的若將電流源關閉，亦 即I

_S

＝0時可得到純由電壓源V

_S

所形成的結果。

z

上式所說明的就是重疊原理。

] V R [

R V R )

R R

( ) I

R / 1 ( ) R / 1 (

) R / V ( V I

2 1

2 S

2 1

S 2

1

1 S

S

2

= − +

+

= −

重疊原理

z 重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路 裡，任一元件或部份電路之電壓或電流，為各 電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電 壓或電流之代數和。當單獨考慮某一電源的作 用時，其他電源必須關閉，也就是指不產生作 用之電壓源視為短路，而不產生作用之電流源 視為開路。

z 重疊原理只能用在線性電路裡的線性項，對於

非線性電路或線性電路裡的非線性項，例如功

例2-13

試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓 。

圖2-33

[解]：電路共有三個電源，分別為4A及5A的電流源以及一 個6V的電壓源。

例2-13(續)

z

首先考慮4A電流源的作用，此時將5A電流源及6V電壓 源關閉，也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為 短路，此時電路的結構如圖2-34所示。

例2-13(續)

z

在圖2-34的電路裡，2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一 起，然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯，應用分流器 法則可得：

z

因此跨於3Ω電阻器的電壓為：

] A 3 [ 2 1

1 3 2

1 3 2

1 4

I =

+ +

× +

=

] V [ 2 3

3 A

V

₄

= 2 × Ω =

例2-13(續)

z

只考慮5A電流源工作，而4A電流源及6V電壓源為關閉 的情形，此時電路如圖2-35所示。

例2-13(續)

z

在圖2-35的電路裡，2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一 起，然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯，可先利用分流 器法則來求知流過各分支的電流，然後再利用分壓器法 則來求知跨於3Ω電阻器的電壓。

比較圖2-34及圖2-35，可發現雖然這兩電路相似，但電 流源流動的方向相反，所以在同一電阻器(3Ω)上所形成 的電壓極性相反。

] V [ 5 . 3 2

2 3 1

) 3 2 (

1 ) 3 2 5 (

V

₅

=

× + + +

×

× +

=

例2-13(續)

z

圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形，此時三個電阻器 是與6V電壓源串聯，因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻 器的電壓為：

圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形

] V [ 3 3

2 1 6 3

V

₆

=

+

× +

=

例2-14

z

在圖2-37的電路裡，欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時，

則電流源I

_S

的大小為多少？

圖2-37

z

[解]：10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為

此一電壓的正極在上方，負極在下方

。

] V [ 33 . 6 3

4 2 10 4

V

₁₀

=

+

× +

=

例2-14(續)

z

因電流源所產生的電壓為：

此一電壓的極性與V

₁₀

相反，也就是指正極在下方，負 極在上方，欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零，則

V

₁₀

＝V

_Is

3.33＝2.67×I

_S

I

_S

＝1.25[A]

] V [ I 67 . 2 2

6 4

) 2 6 ( I 4

V

_{I S S}

S

=

+ +

× +

=

例2-15

z

試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率。

圖2-38

z

[解]：首先考慮36V電壓源的工作，此時電路如圖2-39所示

圖2-39 只考慮36V電壓源的情形

例2-15(續)

z 由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作，因此流過6Ω電阻器的電流為：

I₁=36/(12+6)=2[A]

今考慮9A電流源的工作，此時電路如圖2-40所示。圖2-40 只考慮9A電流源 的情形，由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為：

I₂=9×[12/(12+6)]=6[A]

因此流經6Ω電阻器之總電流為：

I＝I₁+I₂＝2+6＝8[A]

例2-15(續)

z

所消耗的功率為：

P＝I²R＝(8)2×6＝384[W]

z

若以重疊原理來計算功率，則 P₁＝I²R＝(2)2×6＝24[W]

P₂＝I²R＝(6)2×6＝216[W]

而 P’＝P₁＋P₂＝24＋216＝240[W] ≠ 384[W]

z

因為實際上總功率為：

P＝I²R＝(I₁＋I₂)²R＝I₁²R＋2I₁I₂R＋I₂²R[W]

與P’＝(I₁²R＋I₂²R)相差2I₁I₂R的大小。

z

以本例題為例

2I₁I₂R＝2×2×6×6＝144[W]

恰巧等於P與P’之差 384－140＝144[W]

戴維寧與諾頓等效電路

z

所謂戴維寧等效電路，是將圖2-41電路，除了R_L以外電路其餘部分 以圖2-42的電路來替代，其中V_T稱為戴維寧電壓，它等於將R_L移走 後存在於電路ab兩端的開路電壓；而R_eq等於當R_L移走後，將所有 電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻，亦稱為戴維 寧等效電阻R_Th。

戴維寧與諾頓等效電路

z

以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法。此一電路的負載為 R_L＝5Ω，因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分。

圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分

首先將R_L移走使ab兩點之間成為開路，求此兩點之間的開路電壓。

因有三個電源存在，所以必須採用重疊原理，首先使電流源為零，

亦即使它開路，此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻 器(10Ω、10Ω及20Ω)串聯的情形，由此可知通過20Ω電阻器的電流 為：I_V=(50－10)/(10＋10＋20)=1[A]

戴維寧與諾頓等效電路

z

然後將電壓源關閉，亦即是使它們短路，單獨由電流源 (1.5A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為：

因此流過20Ω電阻器的總電流為：

I＝I

_V

＋I

_I

＝1＋0.375＝1.375[A]

] A [ 375 .

0 10

1 20

10 1

20 10

1 5

. 1

I

_I

=

+ +

× +

=

戴維寧與諾頓等效電路

z

在求等效電阻時，首先使所有的電源為零，使電路如圖2-44所示。

z

由ab兩點看入的等效電阻為：

z

因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示，它是由一個27.5V的 電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成。

圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路

] [ 10 20

20 )

10 10

( 20 R

R

_Th

=

_eq

= + = = Ω

戴維寧與諾頓等效電路

z

諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係，戴維寧等效電路是等 效電壓源與等效電阻器串聯，而諾頓等效電路是以等效電流源與等 效電阻器並聯所形成。

z

諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之 短路電流，而並聯等效電阻R_N與戴維寧等效電阻R_Th相同。

z

若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換，就可 得到諾頓等效電路。

戴維寧與諾頓等效電路

z

比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現：

V_Th＝I_NR_N[V]

z

對任何線性電路，其輸出特性曲線與電壓軸的交點，即I_out＝0的 點，即為戴維寧或開路電壓V_Th；而與電流軸的交點，即V_out＝0的 點，即為諾頓或短路電流I_N，特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的 負值。

例2-16

z

試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓 等效電路。

z

[解]：

(a)首先將ab兩端點右側之電阻器R₄移走，並將電壓源關閉，亦即使 它成為短路，使電路呈現如圖2-49所示的結果。

例2-16(續)

z

由ab兩端點看入左側的等效電阻為：

R_Th=R_eq=R₃+(R₁||R₂)[Ω]

接上電壓源，如圖2-50所示，可得跨於ab兩端點的開路電壓為：

V_Th=V[R₂/(R₁+R₂)][V]

因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路

圖2-50 R_L移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路 存在時的電路情形

例2-16(續)

z

(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似，即 R

_Th

=R

_eq

=R

₃

+(R

₁

||R

₂

)[Ω]

欲求等效電流源時，只需將R

₄

移走，並使ab兩端點短 路，亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形。此時可用分 流器法則求出流過R

₃

的電流，此一電流即短路電流為：

因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路。

] A [ R V

R R

R R

R I R

I

3 2 3

1 2

1

2 N

SC

= = + +

例2-16(續)

圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路 的電路結構

例2-17

z

利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流I

_L

。

z

[解]：首先將R

_L

移走，由ab端看入電路具有如圖2-55的 架構。

例2-17(續)

z

因I

_A

=V/(R

_A

+R

_D

)[A]及I

_B

=V/(R

_B

+R

_C

)[A] ，因此戴維寧電 壓可以表示為：

z

將V視為短路可得如圖2-56的結構，由此可求得等效電 阻為：

z

整個等效電路如圖2-57所示，因此電流I

_L

可以表示為：

] V )] [ R R

)(

R R

[(

) R R R

R ( R V

I R

I V

C B

D A

C A D

B B

B A

A

Th

+ +

= − +

−

=

] ) [

R R

(

R R )

R R

(

R R R

C B

C B

D A

D A

Th

Ω

+ +

= +

] A ) [ R R

(

I

_L

V

^Th

= +

例2-17(續)

最大功率轉移

z

在理想狀況之下，電源所產生功率會全部轉移至負載；

但在實際情形裡，因電源有內電阻會消耗部分功率，所 以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大 小而定，通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變。

z

若將電源以戴維寧等效電路來替代，則等效電阻可視為 電源的內電阻，也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗。當 負載電阻增加時，電源所提供的電流會減少，但它所轉 移至負載電阻的功率卻會增加，在R

_L

＝R

_eq

時所轉移的 功率為最大，若負載電阻繼續增加，則電流與所轉移的 功率兩者都會減少。由此可知，某一負載電阻若其電阻 值與電源內電阻相等時，可得到最大的功率轉移。

z

當最大功率轉移發生時，兩電路(其中之一為電源電路 另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象。

z

最大功率亦稱為有效功率，P

_av

。

最大功率轉移

z

設R_eq及R_L分別表示電源的內電阻及負載電阻，當 R_eq =R_L[Ω]時，

電源所提供的電流及功率分別為：

] A R [

2 V R

R I V

eq L

eq

+ =

=

[W]

R 4 R V

R 4 R V

I P

eq 2

eq eq 2

L 2

max = = =

例2-18

z

在圖2-59的電路裡R_L需為多少才能得到最大功率轉移，此一最大功 率為多少？若R_L＝2kΩ時，其功率為多少？

圖2-59 例2-18的電路

z

[解]：欲得到最大功率轉移則R_L＝4[kΩ] ，此一最大功率為：

當R_L＝2kΩ時，所得到的功率為：

] mW [

k 156 4 4

) V 50 ( R

4 P V

2

L 2

max

=

Ω

= ×

=

] mW [

139 ) 2

2 4

(

V R 50

I P

2 2

L

⎥ ⎦ × Ω =

⎢ ⎤

⎣

⎡

Ω +

= Ω

=

例2-19

z

標準汽車電池的開路電壓為12.6V，其短路電流約為 300A。試求此一電池的有效功率為多少？

z

[解]：電池的輸出電阻為：

其有效功率為：

] [ 042 .

300 0 6 . 12 I

R V

N Th

eq

= = = Ω

] W [ 042 945

. 0 4

) 6 . 12 ( R

4 P V

2

eq 2 Th

av

=

= ×

=

節點電壓分析法

z 節點電壓分析法是根據KCL所得到，此時 針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程

式，然後聯解這些方程式。在此一方法裡

所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點

來求知的節點，通常在此一方法裡，接地

點並不視為是獨立節點。

節點電壓分析法

z

在求解電路以前，首先要決定何者為基準節點。在電路 裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點，並以r 來表示。

z

在此一電路裡存在有三個節點，其中一個為基準接點，

另兩個為獨立節點，因為要求存在於這兩個獨立節點的 電壓，所以必須要有兩個方程式。

節點電壓分析法

z

存在於a點及b點的電壓分別為V

_a

及V

_b

，a點共有三個電 流分支，其中之一是由5A電流源所產生。另一個是流過 2Ω電阻器的電流，此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的 電壓差V

_a

－V

_r

所產生。而最後一個是因在3Ω電阻器兩端 存在有V

_a

－V

_b

電壓差所產生。設a的電壓較b點為高，亦 即V

_a

＞V

_b

，同時假設V

_r

＝0，對a點應用KCL可得：

z

表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點，而 5A電流源的電流是流入a點，相似的對b點而言，應用 KCL可得：

0 2 5

0 V

3 V

V _{a b a}

=

− − + +

0 0 V

V

6 − V

^a

−

^b

+

^b

− =

節點電壓分析法

z

節點電流方程式可表示為：

z

聯解此一方程式可得知：

V

_a

=2.44[V] 及 V

_b

=－8.89[V]

z

因此跨於3Ω電阻器的電壓為：

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

6 4 V

1 3 V 1

3 1

5 3 V

V 1 2 1 3 1

b a

b a

節點電壓分析法

z

通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考 量，但若電路中存在有電壓源時，則必須要慎重考慮。

最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源，然後就可以 用節點電壓法來分析之。

節點電壓分析法

z

也可以採用所謂的抑制節點觀念，而不經電源轉變手續 來求解。在電路裡共有三個節點，分別為基準節點r，

以及a和b兩個獨立節點。10V電壓源是存在於a點與基 準節點r之間，若基準點的電壓為0V，則a點的電壓必定 為10V。因此對此一電路而言，只有V

_b

為未知，所以只 需要建立一個方程式即可，此一方程式可以寫為：

z

若電壓源的一端並不是接地，則其中一端的電壓必須等 於另一端的電壓與電壓源之和或差，視電壓源的極性來

0 5 1

0 V

6 10

V _{b b}

=

− −

− +

例2-20

z

試求在圖2-62的電路裡，4Ω電阻器所產生的功率。

圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路

例2-20(續)

z [

解

]

：在此一電路裡除了基準節點以外，還有三個節點

a

、

b

及

c

，但

a

與

b

並非獨立，因為它們之間存在有一個

6V

的電壓源，所以只要 求知其中一點的電壓，再加上

(

或減去

)6V

即可得知另一點的電壓。

因此在求解此一電路之前，首先要求知

a

點與

b

點的關係，對

r

經由

a

點到

b

點再回到

r

點的迴路應用

KVL

可得：

V

_ra＋

6

＋

V

_br＝

0

或 －

V

_a＋

6

＋

V

_b＝

0

因此

V

_b＝

V

_a－

6

設

V

_a為未知，並對

c

點應用

KCL

得：

0 ) 7

6 V

( V 0

V

_{c c a}

=

− + + −

−

例2-20(續)

z

另對

a

點應用

KCL

，此時將

a

點及

b

點兩點視為一超級節點，則它所 得到的方程式為：

聯解上述兩式可得

V

_a

=

－

2.75[V]

，

V

_b

=

－

8.75[V]

及

V

_c

=

－

20.4[V]

因此流過

4Ω

電阻器的電流為：

它所產生的功率為

P

＝

I

²

R

＝

(2.92)2

×

4

＝

34[W]

0 4 2

V V

3 0

V

_a

− +

_b

−

_c

− =

0 4 2

V ) 6 V ( 3

0

V

_a

− +

_a

− −

_c

− =

] A [ 92 . 4 2

) 4 . 20 (

) 75 . 8 ( 4

V

I = V

^b

−

^c

= − − − =

迴路電流分析法

z 迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式，其變 數是在迴路裡環繞的電流。

z 在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的 獨立迴路，所謂獨立迴路是指任何一個其電流 沒有流過電流源的迴路。

z 對任何一電路，其獨立迴路數m可以由電路的 分支數b與節點數b來求知為：

m＝b－(j－1)

迴路電流分析法

z 對這兩個迴路應用KVL，可知在左邊的迴路裡，其關係為：

I₁(1)＋(I₁－I₂)(2)＝7－6

z 在上式裡，等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降，而等號右邊即 為電壓源所形成的總電壓升，其中左邊第一項是因電流I₁流過1Ω電阻器所 引起的電壓降。而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降，對此一電阻器而 言，同時有兩個電流流過於其間，兩電流的方向相反，因為在此一迴路裡 是以I₁作為基準，故I₁所產生的為電壓降，而I₂所產生的為電壓升，或可以 說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I₁－I₂)(2)。在等號的右邊相對 於I₁而言，7V電壓源所產生的為電壓升，而6V電壓源所形成的為電壓降。

迴路電流分析法

z

利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為：

I₂(3)＋I₂(4)＋(I₂－I₁)(2)＝6－9

z

對右邊的迴路而言，其基準電流為I₂，所有的電壓升或降均是相對 於此一電流來加以考量。因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯 立方程式：

(1＋2)I₁－(2)I₂＝1

－2I₁＋(3＋4＋2)I₂＝－3 聯解上述兩式可得：

I₁＝0.13[A]及I₂＝0.304[A]

而流過2

Ω

電阻器的電流為：

I₁－I₂＝0.13A－(－0.304A)＝0.434[A]

因此跨於2

Ω

電阻器的電壓為：

迴路電流分析法

z

在前面的討論裡並沒有考慮電流源，若電路中存在有電流源，則在 使用迴路電流法時，必須作某些修正。今考慮下的電路，並求此一 電路裡的兩迴路電流I₁及I₂。

z

因電流源存在於兩迴路之間，因此：I₂－I₁＝2[A]

z

但因有兩個未知數，所以必須再建立一方程式，此時可考慮外環的 迴路，此一外環迴路的KVL關係為：5I₁－8I₂＝10[A]

z

聯解上述兩式可得：I₁＝0.462[A]及I₂＝1.538[A]

例2-21

z

試求圖

2-64

電路裡流過

R

₄的電流。

圖

2-64

z [

解

]

：在求解電路之前，首先要決定其獨立迴路數。在此一電路