Segment/Interval Tree

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Segment/Interval Tree

for Sprout 2014 by Chin Huang Lin

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本節概要本節概要

• 回顧分治法──分治為什麼有用？

• Segment/Interval Tree 概要與特性

• Segment/Interval Tree 定義與操作

• 複雜度分析

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分治的力量分治的力量

• 大事化小，小事化無

• ex. 分地問題，複雜變簡單

• ex. 排序問題，大量變小量

• 分工合作，權責分明

• ex. 合併排序，兩邊已排更容易

• ex. 快速取冪，切半不用重複算

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分工合作，權責分明分工合作，權責分明

• 一個有效率的組織應該長這樣

鐵木枝軍團

裝甲部隊特種部隊常規陸軍

防空車自走砲

坦克特戰隊情報隊 514

團 633

團 712

團

α β γ δ ε ζ η θ ¹⁴_旅 ³⁷_旅 ⁶⁸_旅 ⁹²_旅 ⁹⁷_旅

(5)

分工合作，權責分明分工合作，權責分明

• 下令調度防空車、特種部隊和 712 團

鐵木枝軍團

防空車自走砲

團 633

團 712

團

α β γ δ ε ζ η θ ¹⁴_旅 ³⁷_旅 ⁶⁸_旅 ⁹²_旅 ⁹⁷_旅

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越俎代庖，大權在握越俎代庖，大權在握

• 下令調度防空車、特種部隊和 712 團

鐵木枝軍團

防空車自走砲

團 633

團 712

團

α β γ δ ε ζ η θ ¹⁴_旅 ³⁷_旅 ⁶⁸_旅 ⁹²_旅 ⁹⁷_旅

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分工合作 vs 越俎代庖分工合作 vs 越俎代庖

• 組織複雜 vs 組織簡單

• 依法行政 vs 隨心所欲

• 資料量大 vs 資料量小

• 管理方便 vs 管理困難

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Segment/Interval/Range Tree?

• 概念型的資料結構！

• 沒有特定的形式與功能

• 支援連續區間型的可分治操作

• 可隨需求有多種變形

• 完全類似的核心概念

• 底下以 segment tree 作為統一代稱

• 最早出現於計算幾何

• 給你很多平面上的線段，每次動態詢問某條垂直線與多少條線段相交

• 平面上有許多矩形，問所有矩形的聯集面積

• 平面上有許多矩形，問某條垂直線上有多少個矩形

• ……

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基本框架基本框架

• 一棵「平衡」的二元樹

• 不一定是滿二元樹！

• 每個節點都對應到一個連續區間

• 根節點為總區間

• 左兒子為左半區間，右兒子為右半區間

• 葉節點區間長度為 1

[0,1)

[0,3)

[0,7)

[1,3)

[1,2)

[2,3)

[3,5)

[3,7)

[3,4)

[4,5)

[5,7)

[5,6)

[6,7)

(10)

基本框架基本框架

• l, r 記錄節點對應到的區間

• lson, rson 為左兒子與右兒子的 index

• data 為該節點對應到的區間的資料

• 底下先以 RMQ 問題為例：求區間最大值

[0,1)

[0,3)

[0,7)

[1,3)

[1,2)

[2,3)

[3,5)

[3,7)

[3,4)

[4,5)

[5,7)

[5,6)

[6,7)

(11)

初始建構初始建構

[0,1) 13

[0,3) 17

[0,7) 17

[1,3) 17

[1,2) 17

[2,3) 11

[3,5) 7

[3,7) 7

[3,4) 7

[4,5) 3

[5,7) 5

[5,6) 5

[6,7) 2

13 17 11 7 3 5 2

build(0, 7, 0)

(12)

單點修改單點修改

[0,1) 13

[0,3) 17

[0,7) 17

[1,3) 17

[1,2) 17

[2,3) 11

[3,5) 8

[3,7) 8

[3,4) 7

[4,5) 8

[5,7) 5

[5,6) 5

[6,7) 2

13 17 11 7 8 5 2

modify(4, 8, 0)

(13)

區間查詢區間查詢

[0,1) 13

[0,3) 17

[0,7) 17

[1,3) 17

[1,2) 17

[2,3) 11

[3,5) 8

[3,7) 8

[3,4) 7

[4,5) 8

[5,7) 5

[5,6) 5

[6,7) 2

13 17 11 7 8 5 2

query(2, 5, 0)

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簡單嗎？簡單嗎？

• 好簡單！只要把握每個節點 data 的定義，就能輕鬆掌握

• 複雜度分析：

• 空間複雜度：可以證明節點數為，

• 時間複雜度：

• 初始建構：所有節點恰會建構一次，每個節點，配合節點樹可得為

• 單點修改：該點的所有祖先節點都會被修改到，其他都不會被修改到，

• 區間查詢：每筆詢問最多詢問到深度為的節點；在一次詢問中，每一層不會有超過 2 個節點被詢問 ( 想一想，為什麼？ ) ，總複雜度為

• 有沒有辦法區間修改、單點查詢之類的呢……？

•

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區間覆蓋數問題區間覆蓋數問題

• 你有一個一維的數線，座標是內的整數

• 每次操作可能會：

• 新增一條線段，覆蓋區間

• 詢問某個單位區間上覆蓋的線段數

• 移除某條先前覆蓋的區間

• 操作次數，

• 想一想：如果座標不是，而可能是怎麼辦呢？

•

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• data 的定義改成「完整覆蓋當前區間的線段數量」

• 和 RMQ 問題的建構沒本質的不同，

只是 data 全部初始化為 0

初始建構初始建構

[0,1) 0

[0,3) 0

[0,7) 0

[1,3) 0

[1,2) 0

[2,3) 0

[3,5) 0

[3,7) 0

[3,4) 0

[4,5) 0

[5,7) 0

[5,6) 0

[6,7) 0

0 0 0 0 0 0 0

build(0, 7, 0)

(17)

區間修改區間修改

[0,1) 0

[0,3) 0

[0,7) 0

[1,3) 1

[1,2) 0

[2,3) 0

[3,5) 1

[3,7) 0

[3,4) 0

[4,5) 0

[5,7) 0

[5,6) 0

[6,7) 0

0 1 1 1 1 0 0

modify(1, 5, 1, 0)

(18)

單點查詢單點查詢

[0,1) 0

[0,3) 0

[0,7) 0

[1,3) 1

[1,2) 0

[2,3) 1

[3,5) 1

[3,7) 1

[3,4) 0

[4,5) 0

[5,7) 0

[5,6) 0

[6,7) 0

0 1 2 2 2 1 1

query(3, 0)

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簡單嗎？簡單嗎？

• 還是很簡單！乍看之下只是把 modify 和 query 交換而已

• 不過，有些點的 data 似乎不完全滿足定義？

• 假設某個節點對應到，且有條線段覆蓋它，那麼它的兒子們一定也被這條線段覆蓋

• 在上面的作法中，兒子的 data 可能不是「新鮮的」──它會在查詢的時候才順便看看哪些被長輩們「暗蓋」起來了！

• 想一想：這意味著線段樹在什麼情況下可能會有潛在的問題呢……？

• 複雜度分析：

• 空間複雜度：毫無改變

• 時間複雜度：

• 初始建構：毫無改變

• 區間修改：跟區間查詢一樣，

• 單點查詢：跟單點修改一樣，

•

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線段樹怎麼可能這麼給力？

• 關鍵前提：面對的問題須具有可分治性

• 區間的最大值

• 區間的總和

• 區間的標準差

• 區間同加某個值 ( 單點查詢 )

• 區間開根號 ( 單點查詢 )

• 區間同加某個值 ( 區間查詢 )

• 區間開根號 ( 區間查詢 )

• 區間的逆序數對數

• 區間的最大公因數

• 區間的最小公倍數

• ……

Segment/Interval Tree