初級 Ring 的性質

李華介

國立台灣師範大學數學系

Part II

RING

Chapter 5

初級 Ring 的性質

在本章中我們將介紹 ring 的定義及其基本性質, 我們也會介紹一些重要常見的 ring 的例子.

5.1. Ring 的基本定義

Ring 的結構比 Group 豐富, 它必須有兩種運算. 一般我們分別用「+」和「·」表 示此二運算. 其中在 + 的運算下我們要求是一個 abelian group, 而 · 的運算僅要 求封閉性和結合率. 當然了如果這兩種運算沒有甚麼關聯, 那就沒甚麼意思了. 我 們需要分配率 (distributive laws) 來將它們連結在一起.

Definition 5.1.1. 一個集合 R 中如果有 + 和 · 兩種運算且符合以下性質, 則稱之 為一個 ring:

(R1): 對任意的 a, b ∈ R 皆有 a + b ∈ R.

(R2): 對任意的 a, b, c ∈ R 皆有 (a + b) + c = a + (b + c).

(R3): 在 R 中存在一元素定之為 0 滿足對任意的 a ∈ R 皆有 a+0 = 0+a = a.

(R4): 給定 R 中任一元素 a, 在 R 中皆存在一元素 b 滿足 a + b = b + a = 0.

(R5): 對任意的 a, b ∈ R 皆有 a + b = b + a.

(R6): 對任意的 a, b ∈ R 皆有 a · b ∈ R.

(R7): 對任意的 a, b, c ∈ R 皆有 (a · b) · c = a · (b · c).

(R8): 對任意的 a, b, c ∈ R 皆有 a·(b+c) = a·b+a·c 且 (b+c)·a = b·a+c·a.

(R1) 到 (R5) 告訴我們 R 在加法 (+) 運算下是一個 abelian group. 所以在 group 中的一些基本理論我們都可以直接套用. 比方說 0 是 R 中唯一符合 a + 0 = 0 + a = a 的元素 (Proposition 1.2.1), 以及給定 a ∈ R 只存在唯一的 b ∈ R 滿足 a+b = b+a = 0 (Proposition 1.2.2). 依習慣我們將此 b 記做 −a. 還是要強調一下這裡的 0 並不一 89

定是大家常看到整數或實數上的 0, 而 −a 也僅表示為 a 的加法之 inverse, 並沒有 一般正負號的意義.

我們列出一些 group 的性質方便以後直接引用.

Lemma 5.1.2. 假設 R 是一個 ring, 則:

(1) 對任意的 a ∈ R, −(−a) = a.

(2) 若 a, b ∈ R 則存在一個唯一的 c ∈ R 滿足 a + c = b.

Proof. 請參考 Theorem 1.2.3 及 Corollary 1.2.5. ¤ 再次強調 −(−a) = a 的性質僅表示 −a 在加法之下的 inverse 為 a, 並沒有 ‘負 負得正’ 的意思.

(R6) 和 (R7) 說明 R 中乘法 (·) 這個運算本身的要求. 注意這裡我們並未要求 乘法的 identity 必須存在. 不過若一個 ring 對於乘法其 identity 存在的話, 即使 在乘法之下 R 不一定會是一個 group 但利用和 Proposition 1.2.1 相同的証明我們 可知此 identity 必唯一. 習慣上我們會用 1 來表示這一個乘法上的 identity (注意:

這裡的 1 並不一定是大家常看到整數或實數上的 1). 如果一個 ring R 其乘法的 identity 存在, 那麼我們就會特別說明而稱 R 是一個 ring with 1.

另外 (R6) 和 (R7) 也沒要求 a · b = b · a. 如果一個 ring R 中對所有的 a, b ∈ R 皆滿足 a · b = b · a, 我們也會特別說明而稱 R 是一個 commutative ring (注意: 不 是 abelian ring 這個名稱). 在大學的基礎代數中我們會比較專注於 commutative ring with 1 這一種 ring.

最後 (R8) 就是結合 ring 的加法和乘法的橋樑. 也是因為它讓 ring 擁有很多漂 亮的性質, 我們在下一節會看到一些利用 (R8) 所得的 ring 的性質. 這裡要注意的 是 ring 不一定是 commutative ring, 所以對於兩邊的分配率我們都要要求.

5.2. 由 Ring 的定義所得的性質

在這節中我們介紹一些直接用 ring 的定義 (尤其是分配率) 就可推得的基本性質.

若 R 是一個 ring, 其加法的 identity 我們曾經提過習慣上是用 0 來表示. 雖然 這一個 0 並非大家熟悉的那個 0 不過就因為它和大家熟悉的 0 有許多共通的性質, 所以我們用 0 來表示它. 哪些共通的性質呢? 除了 a + 0 = 0 與 a + x = a ⇒ x = 0 外, 以下的 Lemma 大家應也很熟悉吧!

Lemma 5.2.1. 若 R 是一個 ring 且 0 是其加法的 identity, 則對任意的 a ∈ R 皆 有

a · 0 = 0 · a = 0.

Proof. 大家應可以觀察出 0 是和加法有關的, 而 a · 0 又和乘法有關, 所以不難想 像這個 Lemma 一定和分配率有關.

5.2. 由 Ring 的定義所得的性質 91

由於 0 是加法的 identity, 故由 (R3) 知 0 + 0 = 0. 因此由 (R8) 得:

a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0.

然而由 (R3) 知: a · 0 + 0 = a · 0, 也就是說 x = 0 和 x = a · 0 皆為 a · 0 + x = a · 0 的解. 故利用 Lemma 5.1.2 (2) 可知 a · 0 = 0.

同理利用 (0 + 0) · a = 0 · a 可得 0 · a = 0. ¤ Remark 5.2.2. 有的同學或許會利用

a · 0 = a · (a − a) = a · a − a · a = 0 (5.1) 這一個等式來證明 Lemma 5.2.1. 式子 (5.1) 其實是有問題的. 問題發生在 R 中並 沒有 「−」 這一個運算. 換句話說大家習慣寫的 0 = a − a 應該寫成 0 = a + (−a).

因此式子 (5.1) 應該改寫成

a · 0 = a · (a + (−a)) = a · a + a · (−a).

然而 a · a + a · (−a) 會等於 0 嗎? 若是 0 就表示 a · (−a) 應該是 a · a 的加法 inverse, 也就是 a · (−a) = −(a · a). 這一點到目前為止我們還不知道是對還是錯 (見 Lemma 5.2.3). 所以這並不能證明 Lemma 5.2.1.

到底我們熟悉的 a · (−a) = −(a · a) 對嗎? 下一個 Lemma 告訴我們其實是對的.

Lemma 5.2.3. 若 R 是一個 ring, 則對任意的 a, b ∈ R 皆有 a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).

Proof. 首先分清楚 a · (−b) 是 a 乘上 b 的加法 inverse, −a · b 是 a 的加法 inverse 乘上 b 而 −(a · b) 是 a · b 的加法 inverse. 所以要證明 a · (−b) = −(a · b) 我們只要 證明 (a · (−b)) + (a · b) = 0. 然而利用 (R8) 和 Lemma 5.2.1 知

(a · (−b)) + (a · b) = a · ((−b) + b) = a · 0 = 0,

故得證. 同理可得 (−a) · b = −(a · b). ¤

在一般的 ring, R 中 −a 不一定可以寫成 (−1) · a. 主要的原因是 1 不一定在 R 中, 所以 −1 不一定在 R 中. 因此有可能在 R 中 (−1) · a 是沒有意義的. 不過如果 R 是一個 ring with 1, 則利用 Lemma 5.2.3 我們確實可得

(−1) · a = 1 · (−a) = −a 且 a · (−1) = −(a · 1) = −a.

利用 Lemma 5.2.3 我們可以得到以下大家熟悉的等式.

Corollary 5.2.4. 若 R 是一個 ring 且 a, b ∈ R 則 (−a) · (−b) = a · b.

Proof. 先把 −b 看成是一元素, 故利用 Lemma 5.2.3 可得 (−a) · (−b) = −(a · (−b)).

然而在套用一次 Lemma 5.2.3 得 a · (−b) = −(a · b). 結合以上二等式得 (−a) · (−b) = −(−(a · b)).

最後利用 Lemma 5.1.2 (1) 知 −(−(a · b)) = a · b, 故得證 (−a) · (−b) = a · b. ¤ 由 Lemma 5.2.3 和 Corollary 5.2.4 我們知道「−」 的運算和我們一般熟悉的運 算相同, 以後我們將依習慣將 a + (−b) 寫成 a − b.

大家初次看到 ring 的定義時或許會疑惑加法的結構中為何要求是一個 abelian group? 事實上如果當初僅要求加法是一個 group 但乘法有 identity 1, 則這會‘強迫’

R 在加法之下是一個 abelian group. 這是因為對任意的 a, b ∈ R, 考慮 (a + b) · (1 + 1) 我們會有以下兩個等式:

(a + b) · (1 + 1) = a · (1 + 1) + b · (1 + 1) = (a + a) + (b + b), (a + b) · (1 + 1) = (a + b) · 1 + (a + b) · 1 = (a + b) + (a + b).

也就是說 a + a + b + b = a + b + a + b, 故可得 a + b = b + a.

最後我們要注意的是: 當 n 是一個正整數時, 為了方便一般我們會習慣用 na 來表示 n 個 a 相加所得之值. 例如 2a = a + a, 3a = a + a + a, . . . 等. 不過千 萬不要把 2a 寫成 2 · a, na 寫成 n · a. 這是因為 2 或是其他的 n 不一定會在 R 中, 所以 n 和 a 是不能相乘的. 那麼對任意的正整數 n 和 m, 我們一般熟悉的 (na) · (mb) = (nm)(a · b) 會對嗎? 這是沒有問題的, 你將 na 寫成 n 個 a 相加, mb 寫成 m 個 b 相加, 再利用分配率 (R8) 自然可的 nm 個 a · b 相加.

5.3. Zero Divisor 和 Unit

我們已經知道一個 ring 中的任意元素乘上 0 等於 0, 不過在一般的 ring 中有可能 存在兩個不等於 0 的元素相乘以後等於 0. 另外在一般的 ring 中有可能有些元素 沒有乘法的 inverse, 所以有乘法 inverse 的元素就顯得很特別了. 在這一節中我們 將討論這兩種特別的元素.

Definition 5.3.1. 令 R 是一個 ring. 如果 a 6= 0 是 R 中一個元素且在 R 中存在 b 6= 0 使得 a · b = 0 或 b · a = 0, 則稱 a 是 R 的一個 zero-divisor.

當然了在定義裡的 b 也是 R 的 zero-divisor.

Example 5.3.2. 相信大家都很了解

Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

這一個 abelian group. a + b 的取值是取 a + b 除以 6 的餘數. 例如 2 + 5 = 1. 相 同的我們也可以在 Z/6Z 中定一個乘法. a · b 的值就是 a · b 除以 6 的餘數. 例如 2 · 5 = 4. 大家很容易檢查在這樣的加法和乘法之下 Z/6Z 是一個 ring. 其中 0 是 Z/6Z 的 0 (加法的 identity). 因為 2 6= 0 且 3 6= 0, 但 2 · 3 = 0. 故由定義知 2 和 3

5.3. Zero Divisor 和 Unit 93

是 Z/6Z 的 zero-divisor. 又因 4 · 3 = 0, 所以 4 也是 zero-divisor. 另外我們可以檢 查 1 和 5 乘上不等於 0 的元素都不會等於 0, 所以我們知 1 和 5 都不是 Z/6Z 的 zero-divisor.

當 a 是一個 zero-divisor 時, 很不好的事會發生: 就是很可能 a · x = a · y 但是 x 6= y (或是 x · a = y · a 但是 x 6= y). 例如在 Z/6Z 中我們不難發現 2 · 1 = 2 · 4 = 2.

會導致這樣的是發生是因為若 a 是 zero-divisor, 假設 b 6= 0 滿足 a · b = 0 (或 b · a = 0). 則

a · (b + c) = a · b + a · c = 0 + a · c = a · c (或 (b + c) · a = b · a + c · a = 0 + c · a = c · a), 但是由於 b 6= 0, 故 b + c 6= c.

當 a 不是 zero-divisor 時, 上面所說的不好情況就不會發生.

Lemma 5.3.3. 當 a ∈ R 不是 ring R 中的 zero-divisor 時, 若 a · b = a · c 或 b · a = c · a, 則 b = c.

Proof. 假如 a · b = a · c, 即 a · b − a · c = 0. 由 Lemma 5.2.3 知 −(a · c) = a · (−c) 故 0 = a · b − a · c = a · b + a · (−c) = a · (b − c).

然而 a 不是 zero-divisor, 因此若 b − c 6= 0, 則 a · (b − c) 6= 0. 故由此知 b − c = 0, 也就是說 b = c. 同理可證若 b · a = c · a, 則 b = c. ¤ 總之, 當你在處理 ring 的問題時發現 a 6= 0 且 a · b = a · c 你不可以馬上下結論 說 b = c, 除非你知道這個 ring 中沒有 zero-divisor. 所以一個沒有 zero-divisor 的 ring 值得特別給它一個名子.

Definition 5.3.4. 如果 R 是一個 ring 且 R 中沒有 zero-divisor, 則稱 R 是一個 domain. 如果 R 是一個 commutative ring with 1 且是一個 domain, 則稱之為一個 integral domain.

整數 Z 所形成的 ring 就是最典型的 integral domain.

若 R 是一個 ring with 1, 則 R 中有可能存在元素它的乘法 inverse 也在 R 中.

這樣的元素也有很特別的性質.

Definition 5.3.5. 若 R 是一個 ring with 1, 如果 a ∈ R 且存在 b ∈ R 使得 a · b = b · a = 1, 則稱 a 是 R 的一個 unit.

當然了在定義裡的 b 也是 R 的 unit. 利用 Proposition 1.2.2 一樣的證明我們 可以得到這個 b 在 R 中是唯一的. 所以當 a 是一個 unit 時我們通常會用 a⁻¹ 表 示其乘法的 inverse.

Example 5.3.6. 在 Z/6Z 這個 ring 中 1 是 Z/6Z 的 1 (乘法的 identity). 因 5·5 = 1, 故 1 和 5 是 unit. 其他的元素 0, 2, 3, 4 都不是 unit.

Unit 有以下很好的性質:

Lemma 5.3.7. 若 R 是一個 ring with 1 且 a ∈ R 是一個 unit, 則 (1) a 絕對不會是 0, 也不會是 R 中的一個 zero-divisor.

(2) 對任意的 b ∈ R, 方程式 a · x = b 和 y · a = b 在 R 中都會有唯一的解.

Proof. (1) 若 a = 0, 則由 Lemma 5.2.1 知 a 乘上 R 中任何的元素都等於 0, 故不 可能找到一元素 b 使得 a · b = 1. 此和 a 是 unit 矛盾, 所以 a 6= 0.

如果 a 是一個 zero divisor, 表示存在 c 6= 0 使得 a · c = 0 或 c · a = 0. 假設是 a · c = 0, 由假設 a 是 unit 知 a⁻¹∈ R, 故得

0 = a⁻¹· (a · c) = c.

此和 c 6= 0 矛盾, 故知 a 不是 zero-divisor. 同理可證 c · a = 0 的情況.

(2) 對任意 b ∈ R, 由假設 a 是 unit 知 a⁻¹ ∈ R, 故令 x = a⁻¹· b ∈ R 可得 a · x = a · (a⁻¹· b) = b.

若 x⁰ ∈ R 也滿足 a · x⁰= b, 也就是說 a · x = a · x⁰, 則由 (1) 知 a 不是 zero-divisor 再加上 Lemma 5.3.3 知 x = x⁰. 因此可知 a · x = b 在 R 中存在唯一的解. 同理

y · a = b 在 R 中也有唯一的解. ¤

我們強調一下, 一個 ring 中的 unit 絕對不是 zero-divisor, 不過若一個元素不是 zero-divisor 並不表示它會是 unit. 例如在 Z 中 2 不是 zero-divisor, 但它也不是 Z 的 unit.

由 Lemma 5.3.7 知在 R 中 0 絕對不會是一個 unit. 如果除了 0 以外其他的元 素都是 unit 這麼特別的 ring 也值得給它一個特別的名子.

Definition 5.3.8. 若 R 是一個 ring with 1 且 R 中非 0 的元素都是 unit, 則稱 R 是一個 division ring. 若 R 是一個 commutative ring 且是一個 division ring, 則稱 R 是一個 field.

有理數 Q 所成的 ring 就是一個典型的 field.

最後我們要強調: 如果 R 是一個 division ring, 則由於 R 中的非 0 元素都是 unit 所以都不是 zero-divisor. 因此兩個非 0 元素相乘都不等於 0. 也就是 R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是封閉的. 再加上這些元素都有乘法的 inverse, 所 以 R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是一個 group. 尤其當 R 是一個 field 時, R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是一個 abelian group.

5.4. Subring

在研究 group 時我們曾經探討過 subgroup. 同樣的對於一個 ring 我們也探討它的 subring.

5.4. Subring 95

首先我們給 subring 一個正式的定義.

Definition 5.4.1. 若 R 是一個 ring, S ⊆ R 且利用 R 的加法與乘法為其運算 S 也 是一個 ring, 則稱 S 是 R 的一個 subring.

雖然 S 必須符合 (R1) 到 (R8) 的性質 S 才可成為 R 的一個 subring, 不過和 subgroup 的情況一樣結合率因在 R 中已經符合了所以 (R2) 和 (R7) 是不必檢查 的. 另外加法的交換性 (R5) 和分配率 (R8) 也在 R 中已符合了所以我們只要檢查 (R1), (R3), (R4) 和 (R5). 也就是說我們只要檢查 S 在加法之下是否為 R 加法之 下的 subgroup 以及 S 在乘法之下是否封閉就可以了. 因此我們有以下之結果.

Lemma 5.4.2. 若 R 是一個 ring, S ⊆ R. 如果對於任意的 a, b ∈ S 皆有 a − b ∈ S 且 a · b ∈ S, 則 S 是 R 的 subring.

Proof. 由 Lemma 1.3.4 知, 若對任意 a, b ∈ S 皆有 a − b ∈ S, 表示 S 在加法之 下是 R 的 subgroup. 再加上 a · b ∈ S 表示乘法是封閉的, 所以 S 是 R 的一個

subring. ¤

Example 5.4.3. 讓我們考慮 Z/6Z 有哪些 subring? 由於 subring 在加法之下一定 是 subgroup. 所以我們只要先把 Z/6Z 加法的 subgroup 都找出來, 再看看他們是否 乘法封閉就可以了. 因 Z/6Z 在加法之下是一個 order 6 = 2 × 3 的 abelian group, 由 Lagrange 和 Cauchy 定理 (Theorem 2.2.2 & Theorem 3.3.2) 知其有 order 3 和 order 2 的 subgroups (事實上這可以由 Z/6Z 在加法之下是一個 cyclic group 直接 看出). 也就是 {0, 2, 4} 和 {0, 3} 這兩個 subgroups. 很容易就可以知道這兩個子集 合都是乘法封閉的, 所以它們也都是 Z/6Z 的 subrings.

在討論 subgroup 時我們提過: 若 G 是一個 group, H 為其 subgroup, 則 H 的 identity 就是 G 的 identity. 所以當 R 是一個 ring 時, 若 S 為其 subring, 則 S 的 0 就是 R 的 0. 不過因 R 和 S 的乘法不一定是 group, 即使 R 有乘法的 identity 1, S 未必會有 1. 縱使 S 有 1, S 的 1 和 R 的 1 也未必相同. 例如前面 Example 5.4.3 中 Z/6Z 的 1 是 1. 而在 {0, 2, 4} 這個 subring 中

0 · 4 = 0, 2 · 4 = 2, 4 · 4 = 4,

所以 4 是 {0, 2, 4} 這個 subring 的 1. 注意這並沒有和前面提過一個 ring 若有乘 法的 identity 則其 identity 唯一相違背. 1 是 Z/6Z 中唯一的 1, 而 4 是 {0, 2, 4} 中 唯一的 1. 只是 4 在 Z/6Z 中它不再是 1 罷了! (它碰到 3 和 5 就沒輒了.)

另外大家應也發現 4 在 Z/6Z 是一個 zero-divisor, 但在 {0, 2, 4} 中卻是一個 unit. 這當然也沒和 Lemma 5.3.7 (1) 相衝突, 因為這是在不同的 ring 之下. 總之, 一個 ring 中的元素很可能在 ring 中和在 subring 中會有截然不同的表現.

5.5. 一些 Noncommutative Ring

我們看到很多 commutative ring 的例子. 這一節中我們將介紹一些 noncommutative ring. 由於大學基礎代數中幾乎不談 noncommutative ring, 本節的結果後面的章節 並不會用到. 我們僅希望利用這一節的介紹將前面幾節的定義再做一次複習和探討.

同學若對前幾節的內容已深入的了解或是對 noncommutative ring 沒什麼興趣可直 接跳過這一節.

5.5.1. Matrix ring M₂(R). 令 R 是一個 commutative ring with 1. 考慮集合 M₂(R) 是所有係數在 R 的 2 × 2 矩陣所成的集合, 也就是說 M₂(R) 中的元素都是

µ a b c d

¶

這種形式其中 a, b, c, d ∈ R. 因為 R 是一個 ring 我們可以定 M₂(R) 中的加法和乘 法就是一般矩陣的加法和乘法, 即:

µ a b c d

¶ +

µ a⁰ b⁰ c⁰ d⁰

¶

=

µ a + a⁰ b + b⁰ c + c⁰ d + d⁰

¶ 和 µ a b

c d

¶

·

µ a⁰ b⁰ c⁰ d⁰

¶

=

µ a · a⁰+ b · c⁰ a · b⁰+ b · d⁰ c · a⁰+ d · c⁰ c · b⁰+ d · d⁰

¶ .

因為 R 是一個 ring with 1, 不難發現以上的加法和乘法使得 M₂(R) 成為一個 ring, 而且

µ 0 0 0 0

¶ 和

µ 1 0 0 1

¶

分別是 M₂(R) 的 0 和 1. 所以說 M₂(R) 是一個 ring with 1. 不過即使 R 是 commutative, M₂(R) 也不會是 commutative ring. 這可由 以下的例子看出:

µ 0 0 1 0

¶

·

µ 1 0 0 0

¶

=

µ 0 0 1 0

¶

但是

µ 1 0 0 0

¶

·

µ 0 0 1 0

¶

=

µ 0 0 0 0

¶ . (注意: 當我們要說明一個 ring R 是 commutative 時, 我們必須證明對任意的 a, b ∈ R 皆有 a · b = b · a. 不過若要說明 R 是 noncommutative 時, 只要找到一組 a, b ∈ R 使得 a · b 6= b · a 即可.)

從上面的式子我們知道

µ 0 0 1 0

¶ 和

µ 1 0 0 0

¶

是 M₂(R) 的 zero-divisor. 同時 在這個例子裡我們也發現在一個 noncommutative ring 中是有可能發生 a · b = 0 但 b · a 6= 0 的現象.

接下來我們想找到 M₂(R) 中所有的 zero-divisor 和 unit. 首先觀察以下的式子:

µ a b c d

¶

·

µ d −b

−c a

¶

=

µ a · d − b · c 0 0 a · d − b · c

¶

. (5.2) 要注意我們需要 R 是 commutative 式子 (5.2) 才會對. 大家應該對 a · d − b · c 這 個值不陌生, 它是

µ a b c d

¶

的 determinant. 通常給一矩陣 A ∈ M₂(R) 我們用 det(A) 表示其 determinant. 由於 R 是一個 ring, 所以對任意的 A ∈ M₂(R), 我們 都可得 det(A) ∈ R. Determinant 還有以下這個重要的性質:

det(A · B) = det(A) · det(B), ∀ A, B ∈ M₂(R). (5.3)

5.5. 一些 Noncommutative Ring 97

到底 M₂(R) 中有哪些 zero-divisor 呢? 同學可能想到 determinant 為 0 的元素. 沒 錯, 當 A =

µ a b c d

¶ 6=

µ 0 0 0 0

¶

但 det(A) = 0 時, 由於

µ d −b

−c a

¶ 6=

µ 0 0 0 0

¶ , 由式子 (5.2) 知 A 是一個 zero-divisor.

還有沒有其他的 zero-divisor 呢? 其實當 det(A) 是 R 的 zero-divisor 時, A 也會 是 M₂(R) 的 zero-divisor. 這是因為如果 A =

µ a b c d

¶ 6=

µ 0 0 0 0

¶

且 det(A) = α 是 R 的一個 zero-divisor. 設 β 6= 0 是 R 中一元素滿足 α · β = 0. 有以下兩種可能 發生:

(1) a · β, b · β, c · β 和 d · β 都等於 0: 此時令 B =

µ β 0 0 β

¶

, 如此一來因 β 6= 0, 所以 B 6=

µ 0 0 0 0

¶ , 但是

A · B =

µ a b c d

¶

·

µ β 0 0 β

¶

=

µ a · β b · β c · β d · β

¶

=

µ 0 0 0 0

¶ . 因此在這個情形時, A 是 M₂(R) 的一個 zero-divisor.

(2) a · β, b · β, c · β 和 d · β 不全為 0: 則我們考慮 B =

µ d −b

−c a

¶

·

µ β 0 0 β

¶

=

µ d · β −b · β

−c · β a · β

¶ 6=

µ 0 0 0 0

¶ . 然而

A · B =

µ a b c d

¶

·

µ d −b

−c a

¶

·

µ β 0 0 β

¶ , 由式子 (5.2) 知

A · B =

µ α 0 0 α

¶

·

µ β 0 0 β

¶

=

µ α · β 0 0 α · β

¶

=

µ 0 0 0 0

¶ . 所以在這個情況 A 還是 M₂(R) 的一個 zero-divisor.

那麼當 A =

µ a b c d

¶

且 det(A) = α 不是 R 的 zero-divisor 時又會怎樣呢?

假設存在 B =

µ a⁰ b⁰ c⁰ d⁰

¶ 6=

µ 0 0 0 0

¶

(也就是說 a⁰, b⁰, c⁰ 和 d⁰ 不全為 0) 滿足 A · B =

µ 0 0 0 0

¶

. 此時考慮 C =

µ d −b

−c a

¶

, 則由式子 (5.2) 知

(C · A) · B =

µ α 0 0 α

¶

·

µ a⁰ b⁰ c⁰ d⁰

¶

=

µ α · a⁰ α · b⁰ α · c⁰ α · d⁰

¶ .

因為 α 不是 zero-divisor 且 a⁰, b⁰, c⁰ 和 d⁰ 不全為 0, 所以知 α · a⁰, α · b⁰, α · c⁰ 和 α · d⁰ 不全為 0. 也就是說 (C · A) · B 6=

µ 0 0 0 0

¶ . 這和

(C · A) · B = C · (A · B) =

µ 0 0 0 0

¶

相矛盾, 所以不可能找到 B 6=

µ 0 0 0 0

¶

滿足 A · B =

µ 0 0 0 0

¶

. 同理可知不可能 找到 B 6=

µ 0 0 0 0

¶

滿足 B · A =

µ 0 0 0 0

¶

. 所以 A 絕對不會是 M₂(R) 的一個 zero-divisor. 因此我們得證:

Proposition 5.5.1. 若 R 是一個 commutative ring 且 A ∈ M₂(R), 則 A 是 M₂(R) 的一個 zero-divisor 若且唯若 det(A) = 0 或 det(A) 是 R 的一個 zero-divisor.

由 Proposition 5.5.1 我們知在 M₂(Z) 和 M₂(Q) 中 determinant 為 0 的矩陣會 是 zero-divisor, 而 determinant 不為 0 的矩陣就不會是 zero-divisor.

當 R 是 commutative ring with 1 時 M₂(R) 會有哪些 unit 呢? 我們有以下的 結果:

Proposition 5.5.2. 若 R 是一個 commutative ring with 1 且 A ∈ M₂(R), 則 A 是 M₂(R) 的一個 unit 若且唯若 det(A) 是 R 的一個 unit.

Proof. 假設 A 是 M₂(R) 的一個 unit, 則存在 B ∈ M₂(R) 滿足 A · B = B · A =

µ 1 0 0 1

¶ . 利用式子 (5.3) 得

det(A) · det(B) = det(B) · det(A) = 1.

然而 det(A), det(B) ∈ R, 故得 det(A) 是 R 的一個 unit.

反之, 若 A =

µ a b c d

¶

且 det(A) = α 是 R 的一個 unit, 則考慮 B =

µ α⁻¹· d α⁻¹· (−b) α⁻¹· (−c) α⁻¹· a

¶ . 因 α⁻¹ ∈ R, 我們知 B ∈ M₂(R). 利用式子 (5.2), 可得

A · B = B · A =

µ 1 0 0 1

¶ .

因此 A 是 M₂(R) 的一個 unit. ¤

由 Proposition 5.5.2 知在 M₂(Z) 中惟有 determinant 是 ±1 的矩陣才會是 unit, 而在 M₂(Q) 中所有 determinant 不是 0 的矩陣都會是 unit.

5.5.2. The Hamilton quaternions. 大家都知道複數 C 的元素可寫成 a + bi, 其 中 a, b ∈ R 而 i 6∈ R 滿足 i² = −1. 我們都知道如何定 C 中的加法和乘法, 也就是:

若 a + bi, a⁰+ b⁰i ∈ C, 則

(a + bi) + (a⁰+ b⁰i) = (a + a⁰) + (b + b⁰)i 和

(a + bi) · (a⁰+ b⁰i) = aa⁰+ ab⁰i + ba⁰i + bb⁰i²= (aa⁰− bb⁰) + (ab⁰+ ba⁰)i.

5.5. 一些 Noncommutative Ring 99

不難驗證在此加法和乘法之下 C 是一個 commutative ring with 1, 其中 0 + 0i 和 1 + 0i 分別是 C 的 0 和 1. 利用大家熟悉的式子

(a + bi) · (a − bi) = (a²+ b²) + 0i, (5.4) 我們很容易得到若 a + bi 6= 0 + 0i (即 a 6= 0 或 b 6= 0), 則

(a + bi) · ( a

a²+ b² + b

a²+ b²i) = 1 + 0i.

也就是說在 C 中不等於 0 的數都是 unit, 所以 C 是一個 field.

利用和由 R 創造出 C 類似的方法, Hamilton 引進了下列的數:

H = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R},

其中 i, j, k 6= R, 我們稱 H 為 the Hamilton quaternions. 我們可以定 H 的加法如 下: 若 a + bi + cj + dk, a⁰+ b⁰i + c⁰j + d⁰k ∈ H, 則

(a + bi + cj + dk) + (a⁰+ b⁰i + c⁰j + d⁰k) = (a + a⁰) + (b + b⁰)i + (c + c⁰)j + (d + d⁰)k.

要定義 H 的乘法我們首先定義 i, j 和 k 間的乘法如下:

(1) i² = j²= k² = −1, (2) i · j = k = −j · i, (3) j · k = i = −k · j, (4) k · i = j = −i · k.

對任意的 a + bi + cj + dk, a⁰+ b⁰i + c⁰j + d⁰k ∈ H, 我們定其相乘為一項一項用分配 率展開再將 ‘實數項’ 及 i, j, k 項的係數合併. 也就是說

(a + bi + cj + dk) · (a⁰+ b⁰i + c⁰j + d⁰k) = α + βi + γj + δk, 其中

α = aa⁰− bb⁰− cc⁰− dd⁰ β = ab⁰+ ba⁰+ cd⁰+ dc⁰ γ = ac⁰− bd⁰+ ca⁰+ db⁰ δ = ad⁰+ bc⁰− cb⁰+ da⁰

不難驗證在此加法和乘法之下 H 是一個 ring with 1, 其中 0 + 0i + 0j + 0k 和 1 + 0i + 0j + 0k 分別是 H 的 0 和 1. 不過 H 不再是 commutative ring, 這可以由

(0 + 1i + 0j + 0k) · (0 + 0i + 1j + 0k) = 0 + 0i + 0j + 1k 但

(0 + 0i + 1j + 0k) · (0 + 1i + 0j + 0k) = 0 + 0i + 0j − 1k 看出. 大家很容易就可證出, H 也有類似式子 (5.4) 的重要等式:

(a + bi + cj + dk) · (a − bi − cj − dk) = (a²+ b²+ c²+ d²) + 0i + 0j + 0k. (5.5)

利用式子 (5.5) 我們可以看出, 若 a + bi + cj + dk 6= 0 + 0i + 0j + 0k (即 a, b, c, d 不 全為 0), 令 λ = a²+ b²+ c²+ d², 則

(a + bi + cj + dk) · (a λ− b

λi − c λj − d

λk) = 1 + 0i + 0j + 0k.

也就是說在 H 中不等於 0 的數都是 unit, 所以 H 是一個 noncommutative division ring.

如果大家不健忘的話, 應該記得 {±1 ± i, ±j, ±k} 就是我們在 4.7 節介紹的 quaternion group Q₈. 事實上對任意的 group 你都可以用類似的方法建構出一個 ring, 這樣的 ring 我們稱為 group ring.

Chapter 6

中級 Ring 的性質

這一章中我們將介紹一些更進一步的 ring 的理論, 包括 ideals, quotient ring 以及 三個 isomorphism theorems.

6.1. Ideals 和 Quotient Rings

我們在學習 group 時知道一個 group 的 subgroup 中有一種特別的 subgroup 在處理 group 的問題時特別好用, 就是 normal subgroup. 同樣的在一個 ring 中的 subring 裡, 也有一種很特別的 subring, 我們稱之為 ideal.

我們回憶一下, normal subgroup 之所以比一般的 subgroup 好用在於可以利用 它得到一個新的 group 稱之為 quotient group. 也就是說對所有 G 的 subgroup H, 我們可以將 G 用 H 來分類, 然後將同類的元素看成一個新的元素. 不過這些新的元 素間一般我們無法定義一個運算讓它成為一個 group, 除非 H 是 G 的一個 normal subgroup. 現在, 若 R 是一個 ring 且 S 是 R 的 subring, 由於 R 在加法之下是 一個 abelian group, 而 S 在加法之下是 R 的一個 subgroup, 利用 abelian group 的 subgroup 都是 normal subgroup, 我們當然有 R/S 這一個加法之下的 quotient group. 我們當然還希望 R/S 中也有乘法, 這樣就可能得到一個新的 ring 了. 要怎 樣在 R/S 中定一個和 R 的乘法相關的乘法呢? 我們可以學 2.4 節的方法來處理.

首先必須了解 R/S 中的元素長什麼樣子. 任取 R/S 中的一個元素都可以用 a 來表示, 其中 a ∈ R 而 a 是將 R 中所有和 a 同類的元素看成是一個元素. 怎樣的 元素會和 a 同類呢? 別忘了這裡我們是用加法所以依定義 a 和 a⁰ 同類若且唯若 a − a⁰ ∈ S. 現在若 a, b ∈ R/S, 因 S 在加法之下是 R 的 normal subgroup, 由前面 知我們自然可定

a + b = a + b.

我們當然希望定的乘法是

a · b = a · b.

101

不過這樣定的乘法可能會有問題. 問題發生於 a 在 R/S 中表示法並不唯一, 也就 是說存在 a⁰ ∈ R 且 a⁰ 6= a 滿足 a = a⁰ (只要 a − a⁰ ∈ S 就可). 因此我們要問的是:

如果 a = a⁰ 且 b = b⁰ 會不會發生 a · b 6= a⁰· b⁰ 的現象? 萬一發生了我們定的乘法 就有問題.

S 要有怎樣的性質 R/S 上定的乘法才不會有問題呢? 也就是任取 r, r⁰∈ R 以

及 s, s⁰ ∈ S 我們有 r = r + s 且 r⁰ = r⁰+ s⁰ 因此 r · r⁰= (r + s) · (r⁰+ s⁰) 表示 r · r⁰ 和 (r + s) · (r⁰+ s⁰) 在 S 的分類之下是相同的. 換句話說: 我們要求

(r + s) · (r⁰+ s⁰) − r · r⁰ = r · s⁰+ s · r⁰+ s · s⁰ ∈ S. (6.1) 由於 S 是一個 subring, 當然得 s · s⁰ ∈ S, 因此式子 (6.1) 等同於要求對任意的 r, r⁰ ∈ R 及 s, s⁰ ∈ S 皆需符合

r · s⁰+ s · r ∈ S (6.2)

分別代 s = 0 及 s⁰ = 0 的情況於式子 (6.2), 我們知這等同於要求對任意的 r ∈ R 及 s ∈ S 皆需符合

r · s ∈ S 且 s · r ∈ S.

因此我們自然有以下之定義:

Definition 6.1.1. 若 I 是 R 的一個 subring 且符合對任意的 r ∈ R 及 a ∈ I 皆有 r · a ∈ I 且 a · r ∈ I,

則稱 I 為 R 的一個 ideal.

雖然一個 ring 的 ideal 必須是一個 ring, 就如同 subring 的情況我們不必檢查 ring 的所有條件, 利用 Lemma 5.4.2 我們有以下判斷 ideal 的方法.

Lemma 6.1.2. 令 R 是一個 ring, I ⊆ R. 若 I 符合以下兩點, 則 I 是 R 的 ideal:

(1) 對於所有的 a, b ∈ I 皆有 a − b ∈ I.

(2) 對任意的 a ∈ I, r ∈ R 皆有 r · a ∈ I 且 a · r ∈ I.

Proof. 若 a, b ∈ I, 則當然 b ∈ R, 故條件 (2) 告訴我們對所有的 a, b ∈ I 皆有 a · b ∈ I. 結合條件 (1), 利用 Lemma 5.4.2 知 I 是 R 的一個 subring. 因此再由條

件 (2) 得 I 是 R 的 ideal. ¤

現在回到我們考慮 ideal 的真正目的. 若 I 是 R 這個 ring 的 ideal, 我們想利用 R 的 ring 的性質來創造另一個 ring. 首先我們利用 R 在加法之下是 abelian group 且 I 是其 normal subgroup, 用 I 將 R 分類, 然後將同類的元素所成的集合看成一 個新的元素. 如此一來這一個分類後的集合 R/I 可定出一個加法, 而且是 abelian group. 然後再用 I 是 ideal 的性質, 給 R/I 乘法的結構. 也就是說若 a 是與 a 同 類的元素所成的集合, b 是與 b 同類的元素所成的集合, 則我們定

a + b = a + b 且 a · b = a · b.

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質 103

以下我們將說明 R/I 在此 + 和 · 之下是一個 ring.

首先利用我們知道的 group 理論, R/I 在 + 之下是一個 abelian group, 也就是 說 R/I 符合 (R1) 到 (R5) 這 5 項 ring 的條件. 我們只要檢查 (R6), (R7) 和 (R8) 即可.

(R6): 若 a, b ∈ R/I, 則由於 a · b ∈ R 故 a · b ∈ R/I. 也就是說 a · b ∈ R/I.

(R7): 我們要證明 (a · b) · c = a · (b · c). 然而 (a · b) · c = a · b · c = (a · b) · c, 且

a · (b · c) = a · b · c = a · (b · c) 再加上 (a · b) · c = a · (b · c) 所以等式成立.

(R8): 同前面的證明, 由於 a · (b + c) = a · b + a · c 當然可得 a · (b + c) = a · b + a · c.

同理知

(b + c) · a = b · a + c · a.

我們稱 R/I 是 R 的一個 quotient ring.

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質

前一節中我們可以看出 normal subgroup 和 group 間的關係相當於 ideal 和 ring 的 關係. 所以一些在 group 中有關 normal subgroup 的性質, 在 ring 中也有相對應有 關 ideal 的性質. 不過要注意的是從前在 group 我們都是用 · 當運算, 但在 ring 中 的 group 運算是用 + 來表示, 所已相對應的性質要將 · 改成 +.

我們在 Lemma 2.6.3 中提過: 當 H, H⁰ 是 G 的 subgroup, H · H⁰ 這一個集合 未必是 G 的 subgroup, 除非 H 和 H⁰ 中有一個是 G 的 normal subgroup. 在 ring 中也有類似的結果: 一般來說若 S, T 是 R 的 subring, 那麼

S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T }

未必是 R 的 subring. 原因是 S +T 中任選兩元素 s+t 和 s⁰+t⁰, 其乘積 (s+t)·(s⁰+t⁰) 並不一定可以寫成一個 S 的元素加上一個 T 的元素這種形式, 也就是說當 S 和 T 只是 R 的 subring 時, S + T 不一定是乘法封閉的. 不過當 S, T 其中之一是 R 的 ideal 時, S + T 就乘法封閉了!

Lemma 6.2.1. 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

(1) 若 S 是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 ideal.

Proof. (1) 利用加法的 group 性質, 我們知若 a = s + t, b = s⁰ + t⁰ ∈ S + T 其中 s, s⁰ ∈ S 且 t.t⁰ ∈ T , 則

a − b = (s + t) − (s⁰+ t⁰) = (s − s⁰) + (t − t⁰) ∈ S + T.

另外

a · b = (s + t) · (s⁰+ t⁰) = s · s⁰+ s · t⁰+ t · s⁰+ t · t⁰.

由於 S 和 T 是 R 的 subring, 故 s · s⁰ ∈ S 且 t · t⁰ ∈ T . 又因 S 是 R 的 ideal 且 t, t⁰ ∈ R, 故 s · t⁰ ∈ S 且 t · s⁰ ∈ S. 因此知 s · s⁰ + s · t⁰ + t · s⁰ ∈ S 所以 (s + t) · (s⁰+ t⁰) ∈ S + T . 故由 Lemma 5.4.2 知 S + T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 是 R 的 ideal, 則對任意的 r ∈ R, s ∈ S 及 t ∈ T 我們皆有 r · s, s · r ∈ S 且 r · t, t · r ∈ T . 因此

r · (s + t) = r · s + r · t ∈ S + T 且

(s + t) · r = s · r + t · r ∈ S + T.

故由 Lemma 6.1.2 知 S + T 是 R 的 ideal. ¤

我們在討論 group 時曾談過兩個 subgroup 的交集依然是 subgroup, 而兩個 normal subgroup 的交集也是 normal subgroup. 在 ring 的情況我們也有類似情形.

Lemma 6.2.2. 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

(1) S ∩ T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S ∩ T 是 R 的 ideal.

Proof. (1) 利用加法的 group 性質我們知若 a, b ∈ S ∩ T 則 a − b ∈ S ∩ T . 另又 因 a ∈ S 且 b ∈ S 故利用 S 的乘法封閉性知 a · b ∈ S, 同理得 a · b ∈ T . 故知 a · b ∈ S ∩ T . 因此由 Lemma 5.4.2 知 S ∩ T 是 R 的 subring.

(2) 當 S 和 T 皆為 R 的 ideal 時, 對任意的 r ∈ R, a ∈ S ∩ T , 由於 a ∈ S, 我們 有 r · a ∈ S. 又因 a ∈ T , 所以 r · a ∈ T . 因此得 r · a ∈ S ∩ T . 同理得 a · r ∈ S ∩ T .

故由 Lemma 6.1.2 知 S ∩ T 是 R 的 ideal. ¤

注意若 S 和 T 若僅有一個為 R 的 ideal, 則 S ∩ T 當然還是 R 的 subring. 不 過就不見得是 R 的 ideal 了! 另外在 group 時我們知道兩個 subgroup 的聯集不一 定是 subgroup, 同理如果 S 和 T 是 R 的 subring, S ∪ T 也不一定是 R 的 subring.

既然 ring 中有乘法, 如果 S, T 是 R 的 subring 那麼考慮 {s · t | s ∈ S, t ∈ T } 這 樣的集合會不會也是 R 的 subring 呢? 事實上若 s, s⁰ ∈ S, t, t⁰ ∈ T , 則 (s · t) · (s⁰· t⁰) 不見得可以寫成 s⁰⁰· t⁰⁰, 其中 s⁰⁰ ∈ S, t⁰⁰∈ T 這樣的形式 (除非 R 是 commutative).

不過即使 R 是 commutative, s · t + s⁰· t⁰ 也不見得可以寫成 s⁰⁰· t⁰⁰, 其中 s⁰⁰ ∈ S,

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質 105

t⁰⁰∈ T . 所以如果考慮 {s · t | s ∈ S, t ∈ T } 這樣的集合是無法達到加法封閉的要求.

我們應考慮以下之集合 {

Xn i=1

s_i· t_i| s_i ∈ S, t_i∈ T, for some n ∈ N}.

一般我們會將以上的集合記作 S · T . 簡單來說, 每一個 S · T 的元素都可寫成有限 多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和.

Lemma 6.2.3. 令 R 是一個 ring, S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S · T 是 R 的 ideal.

Proof. 若 a = s₁· t₁+ · · · + s_n· t_n和 b = s⁰₁· t⁰₁+ · · · + s⁰_m· t⁰_m 是 S · T 中任意的兩 元素, 則

a − b = s₁· t₁+ · · · + s_n· t_n+ (−s⁰₁) · t⁰₁+ · · · + (−s⁰_m) · t⁰_m 仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 a − b ∈ S · T .

另外對任意的 r ∈ R,

r · a = r ·¡Xⁿ

i=1

s_i· t_i¢

= Xn

i=1

(r · s_i) · t_i.

由於 s_i ∈ S 且 S 是 R 的 ideal, 所以 r · s_i∈ S. 因此 r · a 仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 r · a ∈ S · T . 同理知 a · r ∈ S · T . 故由 Lemma 6.1.2

知 S · T 是 R 的 ideal. ¤

我們已看到許多有關 ideal 和 subring 的差異, 一般來說 subring 因其條件較少 所以較難控制. 例如一個 subring 可能含有原本 ring 中的 unit (Z 是 Q 的 subring, 且 1 ∈ Z), 但對 ideal 來說這就絕不可能發生了!

Lemma 6.2.4. 設 R 是一個 ring with 1, 且 I 為 R 的一個 ideal. 若在 I 中存在 u ∈ I 是 R 的一個 unit, 則 I = R. 尤其當 R 是一個 division ring 時, R 的 ideal 就只有 {0} 和 R 本身.

Proof. 因 I 是 R 的 ideal, 我們自然有 I ⊆ R. 現任取 r ∈ R, 因 u 是 R 的一個 unit, 由 Lemma 5.3.7 知存在 r⁰ ∈ R 滿足 r⁰· u = r. 然而 u ∈ I, 由 ideal 的性質知 r⁰· u = r ∈ I. 因此知 R ⊆ I, 故得 R = I.

現在若 R 是一個 division ring, 依定義, 任意 R 中的非 0 元素都是 unit. 故 若 I 是 R 中一個不為 {0} 的 ideal, 即 I 中存在非 0 的元素, 故由前面的結果知

R = I. ¤

通常依慣例, 我們會稱 R 和 {0} 是 R 的 trivial ideals, 除此以外的 ideal 就稱為 nontrivial proper ideal. Lemma 6.2.4 告訴我們一個 division ring 中沒有 nontrivial proper ideal (不過當然有可能有 proper subring).

最後我們回顧一下在 Remark 2.4.2 中我們曾提到 subgroup 和 normal subgroup 相互之間要注意的事項, 同樣的對於 subring 和 ideal 我們也要注意以下事項:

假設 R 是一個 ring 且 T ⊆ S ⊆ R.

(1) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 S 的 subring, 那麼 T 是 R 的 subring.

(2) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 R 的 ideal , 那麼 T 也會是 S 的 ideal.

(3) 如果已知 S 是 R 的 subring 而 T 是 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

(4) 如果已知 S 在 R 的 ideal 且 T 在 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

6.3. Ring Homomorphism 和 Correspondence 定理

我們曾經利用 group homomorphism 來描繪兩個 group 之間的關係. 同樣的 ring 之 間也有所謂的 ring homomorphism, 而 correspondence 定理就告訴我們如何由 ring homomorphism 來描繪兩個 ring 間 ideal 的關係.

Definition 6.3.1. 當 R, R⁰ 是 rings 而 φ : R → R⁰ 是從 R 映射到 R⁰ 的函數. 如 果 φ 滿足對於所有 a, b ∈ R 皆有

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b), 則稱此函數 φ 是一個 ring homomorphism.

要注意的是: 因為 a, b ∈ R, 所以這裡 a + b, a · b 是在 R 中的加法和乘法; 而 φ(a), φ(b) ∈ R⁰, 所以 φ(a) + φ(b), φ(a) · φ(b) 是在 R⁰ 中的加法和乘法. 簡單地說: 一 個從 R 到 R⁰ 的 ring homomorphism, 是加法的 group homomorphism 再加上保持 乘法的運算. 所以一般來說有關於 group homomorphism 的性質都可以直接套用在 ring homomorphism 上. 比方說由 Lemma 2.5.2 知 φ(0) = 0 (其中 φ 裡面的 0 是 R 的 0, 另一個 0 是 R⁰ 的 0) 且 φ(−a) = −φ(a). 因此以後要計算 φ(a − b) 時由於

φ(a − b) = φ(a + (−b)) = φ(a) + φ(−b) = φ(a) + (−φ(b)), 我們會直接寫成

φ(a − b) = φ(a) − φ(b).

在 group homomorphism 中我們介紹了兩個重要的集合 image 和 kernel, 在 ring homomorphism 這兩個集合仍然很重要. 我們再回顧一下它們的定義.

Definition 6.3.2. 若 φ : R → R⁰ 是一個 group homomorphism, 則 im(φ) = {φ(a) ∈ R⁰| a ∈ R}

稱為 φ 的 image.

ker(φ) = {a ∈ R | φ(a) = 0}, 稱為 φ 的 kernel.

注意這裡 kernel 中的 0 是 R⁰ 加法的 identity. 在 group homomorphism 中 image 和 kernel 分別是對應域的 subgroup 和定義域的 normal subgroup. 大家應不 難猜出在 ring homomorphism 它們的性質吧!

6.3. Ring Homomorphism 107

Lemma 6.3.3. 若 φ : R → R⁰ 是一個 ring homomorphism, 則 im(φ) 是 R⁰ 的 subring, 而 ker(φ) 是 R 的 ideal.

Proof. 我們利用 Lemma 2.5.4 直接知 im(φ) 和 ker(φ) 分別是 R⁰ 和 R 加法之下 的 subgroup. 所以我們只要驗證乘法.

若 φ(a), φ(b) ∈ im(φ), 其中 a, b ∈ R, 則 φ(a) · φ(b) = φ(a · b). 又因 a · b ∈ R, 故 φ(a) · φ(b) ∈ im(φ). 因此由 Lemma 5.4.2 知 im(φ) 是 R⁰ 的 subring.

至於 ker(φ) 是 R 的 ideal, 我們只要證: 對任意的 r ∈ R 和 a ∈ ker(φ) 皆有 r · a ∈ ker(φ) 及 a · r ∈ ker(φ). 然而 φ(r · a) = φ(r) · φ(a) = φ(r) · 0, 利用 Lemma 5.2.1 知 φ(r · a) = 0 故 r · a ∈ ker(φ). 同理得 a · r ∈ ker(φ). 因此由 Lemma 6.1.2

知 ker(φ) 是 R 的 ideal. ¤

在 Lemma 2.5.6 中我們知道可以用 kernel 來判斷一個 group homomorphism 是 否為一對一, 既然 ring homomorphism 在加法之下是 group homomorphism 所下面 的 Lemma 當然成立.

Lemma 6.3.4. 已知 φ : R → R⁰ 是一個 ring homomorphism, 則 φ 是一個 monomor- phism (即一對一) 若且唯若 ker(φ) = {0}.

瞭解了 ring homomorphism, 接下來我們來談 ring homomorphism 的 correspon- dence 定理. 回顧一下 group homomorphism 中的 correspondence 定理描述了兩個 group 的 subgroup 和 normal subgroup 利用 group homomorphism 所得到的對應 關係. 對 ring homomorphism 我們也有類似狀況.

Theorem 6.3.5 (Correspondence Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism. 若 S⁰ 是 R⁰ 的 subring 且令

S = {a ∈ R | φ(a) ∈ R⁰}, 則 S 是 R 的一個 subring 且 S ⊇ ker(φ). 另外若令

φ(S) = {φ(a) | a ∈ S}, 則 φ(S) = S⁰.

如果又假設 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal. 則前面所定的 S 也會是 R 的 ideal.

Proof. 首先先證 S 是 R 的 subring. 若 a, b ∈ S, 我們要證明 a − b ∈ S 且 a · b ∈ S.

由定義知 a, b ∈ S 表示 φ(a) ∈ S⁰ 且 φ(b) ∈ S⁰, 故 φ(a)−φ(b) ∈ S⁰且 φ(a)·φ(b) ∈ S⁰. 又因 φ 是 ring homomorphism, 故 φ(a − b) = φ(a) − φ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b).

因此 φ(a − b) ∈ S⁰ 且 φ(a · b) ∈ S⁰, 也就是說 a − b ∈ S 且 a · b ∈ S. 故知 S 是 R 的 subring. (注意這個部分的證明只用到 φ 是 ring homomorphism, 並不需要 onto.)

若 a ∈ ker(φ), 則 φ(a) = 0. 因 0 ∈ S⁰ 故 a ∈ S. 所以 ker(φ) ⊆ S. (這部分的證 明也不需 onto.)

現在證 φ(S) = S⁰. 首先證明 φ(S) ⊆ S⁰ 這部份是容易的. 主要是因 φ(S) 的元 素都是 φ(a) 這種形式, 其中 a ∈ S. 由定義 a ∈ S, 表示 φ(a) ∈ S⁰. 故 φ(S) 的元 素都落在 S⁰ 中. 很多同學都會認為 S⁰ 的元素也會在 φ(S) 中; 一般這是不一定對 的. 因為在一般的情況 b ∈ S⁰ 不代表有元素 a ∈ R 使得 φ(a) = b. 這裡我們就要 用到 onto 的性質了. 因為 φ 是 onto 故對任意 b ∈ S⁰ ⊆ R⁰ 都可找到 a ∈ R 使得 φ(a) = b. 既然 φ(a) = b ∈ S⁰, 這一個 a 也就在 S 中了. 所以 b = φ(a) ∈ φ(S), 也 就是說 S⁰ ⊆ φ(S). 由此得證 S⁰= φ(S).

最後我們要證明若 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal, 則 S 也是 R 的 ideal. 對任意的 r ∈ R, a ∈ S 皆有 φ(r · a) = φ(r) · φ(a). 由於 φ(r) ∈ R⁰ 且 φ(a) ∈ S⁰ 及 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal, 我們有 φ(r) · φ(a) ∈ S⁰. 故 r · a ∈ S, 同理得 a · r ∈ S. 所以 S 是 R 的 ideal. ¤ 再次強調這個定理中除了 φ(S) = S⁰ 需用到 φ 是 onto 外, 其他性質並不需 onto 的假設.

Remark 6.3.6. Correspondence Theorem 告訴我們說若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 則在 R⁰ 中任選一個 subring S⁰ 都可在 R 中找到一個 subring S 使得 φ(S) = S⁰, 而且 ker(φ) ⊆ S. 其實在 R 中符合 φ(S) = S⁰ 及 ker(φ) ⊆ S 的 subring 是唯一的. 假設 R 中有另一個 subring T 符合 φ(T ) = S⁰ 且 ker(φ) ⊆ T . 則對於所有 a ∈ T , 因 φ(a) ∈ φ(T ) = S⁰, 故由假設 φ(S) = S⁰ 知在 S 中必存在一 元素 b 使得 φ(b) = φ(a). 換句話說 φ(a) − φ(b) = 0. 由此得 φ(a − b) = 0. 也就是 說 a − b ∈ ker(φ). 別忘了 ker(φ) ⊆ S 且 b ∈ S 故 a ∈ S, 也就是說 T ⊆ S. 用同樣 的方法可得 S ⊆ T . 所以 T = S. 換句話說: 對於 R⁰ 中任一 subring S⁰, 在 R 中皆

‘存在’ “唯一” 的 subring S 滿足 φ(S) = S⁰ 且 ker(φ) ⊆ S.

Correspondence Theorem 最常用的情況是當 I 是 R 的一個 ideal, 而 φ 是 R 到 R/I 的 ring homomorphism 其中對任意的 a ∈ R, 定義 φ(a) = a.

Corollary 6.3.7. 假設 R 是一個 ring 且 I 是 R 的一個 ideal. 則對任意 R/I 中 的 subring S⁰ 都可在 R 中找到 subring S 符合 I ⊆ S 且 S/I = S⁰.

當 S⁰ 是 R/I 的 ideal 時, 則 S 也會是 R 的 ideal.

Proof. φ 是 ring homomorphism 是因為

φ(a − b) = a − b = a − b = φ(a) − φ(b) 且

φ(a · b) = a · b = a · b = φ(a) · φ(b).

再證明 φ 是 onto 的, 事實上對所有 y ∈ R/I 都是 y = a, 其中 a ∈ R 這種形式.

故選 a ∈ R 帶入 φ 得 φ(a) = a = y. 得證 φ 是 onto.

ker(φ) 是甚麼呢? 若 a ∈ ker(φ) 則 φ(a) = 0, 但由 φ 的定義 φ(a) = a. 故由 a = 0, 得 a ∈ I. 反之若 a ∈ I, 則 φ(a) = a = 0, 故 a ∈ ker(φ). 由此得 ker(φ) = I.

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理 109

現在 Correspondence Theorem 中的條件都找到了, 所以利用 Theorem 6.3.5 知 任取 R/I 中的一個 subring (或 idealS⁰), 在 R 中都可以找到一個 subring (或 ideal)

S 符合 I = ker(φ) ⊆ S 且 φ(S) = S/I = S⁰. ¤

有許多書也稱 Corollary 6.3.7 為 Correspondence Theorem. 它告訴我們 R/I 中的 subring (或 ideal) 都是長 S/I 這種形式, 其中 S 是 R 的 subring (或 ideal) 且 I ⊆ S.

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理

和 group 一樣, ring 也有三個 isomorphism 定理. 由於我們有現成的 group isomor- phism 定理可用, 這三個 isomorphism 定理幾乎可以直接推得, 我們只要驗證乘法 部分即可.

Definition 6.4.1. 如果兩個 rings R 和 R⁰ 間你可以找到一個 ring homomorphism 是 isomorphism (即 1-1 且 onto), 則我們稱 R 和 R⁰ 這兩個 ring 是 isomorphic, 記 為: R ' R⁰.

Theorem 6.4.2 (First Isomorphism Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 ring homo- morphism, 則

R/ ker(φ) ' im(φ).

Proof. 首先注意由 Lemma 6.3.3 知 im(φ) 是一個 ring 且 ker(φ) 是 R 的 ideal, 所 以 R/ ker(φ) 也是一個 ring. 利用和第一個 group isomorphism 定理相同的方法, 我 們在 R/ ker(φ) 這一個 quotient ring 和 im(φ) 這個 ring 之間找到一個函數. 再說 明這個函數是 ring homomorphism, 最後再驗證它是 1-1 且 onto.

我們可以利用 φ 製造以下的函數:

ψ : R/ ker(φ) → im(φ); a 7→ φ(a), ∀ a ∈ R/ ker(φ).

我們首先說明 ψ 是一個‘好函數’ (well defined function): 如果 a, b ∈ R 使得 a 和 b 在 R/ ker(φ) 中是相同的. 我們必須說明 φ(a) = φ(b). 雖然 a 6= b, 不過由 a = b 知 a 和 b 在以 ker(φ) 這個 ideal 的分類下是同類的. 別忘了 a 和 b 同類表示 a − b ∈ ker(φ). 也就是說 φ(a − b) = 0. 再利用 φ 是 ring homomorphism 的假設, 我們得 φ(a) − φ(b) = φ(a − b) = 0. 即 φ(a) = φ(b). 所以我們製造的 ψ 是一個 well defined function.

接下來證 ψ 是一個 ring homomorphism: 對任意的 a, b ∈ R/ ker(φ), 我們有 ψ(a + b) = ψ(a + b) = φ(a + b) 且 ψ(a · b) = ψ(a · b) = φ(a · b).

另一方面因為 φ 是 ring homomorphism, 所以

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) = ψ(a) + ψ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = ψ(a) · ψ(b).

結合以上二式, 我們可得

ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) 且 ψ(a · b) = ψ(a) · ψ(b).

我們最後要證明 ψ 是 1-1 且 onto. 這其實不必證了(當然你要多此一舉也沒關係), 因為我們在 Theorem 2.6.1 已證過 ψ 這個函數在加法看成是 group homomorphism 已經是 1-1 且 onto.

總結: 我們證得了 ψ 是一個從 G/ ker(φ) 到 im(φ) 的 isomorphism. 所以

G/ ker(φ) ' im(φ). ¤

當然了如果定理中的 φ 是 onto. 那麼我們知 im(φ) = R⁰. 因此我們有以下的引 理:

Corollary 6.4.3. 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 則 R/ ker(φ) ' R⁰.

現在我們來看看 ring 的第二個 isomorphism 定理. 它應該是怎樣的形式呢? 我們 先回顧一下 group 的情況: 給定一 group G, 若 H 是 G 的 subgroup 且 N 是 G 的 normal subgroup. 則 H ∩ N 是 H 的 normal subgroup, 且 H/(H ∩ N ) ' (H · N )/N.

好現在我們把 group 換成 ring, subgroup 換成 subring, normal subgroup 換成 ideal, 最後別忘了將乘改為加.

Theorem 6.4.4 (Second Isomorphism Theorem). 若 R 是一個 ring, S 是 R 的 subring 且 I 是 R 的 ideal, 則 S ∩ I 是 S 的 ideal, 且

S/(S ∩ I) ' (S + I)/I.

Proof. 首先注意的是由 Lemma 6.2.1 知 S + I 是 R 的 subring, 且 I ⊆ S + I 因此 知 I 是 S + I 的 ideal (請參考 6.2 節的最後). 所以 (S + I)/I 確實是一個 ring.

如同在 group 的情況, 我們想用 first isomorphism 定理來證明此定理. 我們先 找一個從 S 到 (S + I)/I 的函數. 考慮 φ : S → (S + I)/I, 其中對所有的 s ∈ S 我 們有 φ(s) = s.

現在要證 φ 是一個 ring homomorphism. 事實上對任意的 s, s⁰ ∈ S, 我們有 φ(s + s⁰) = s + s⁰ = s + s⁰= φ(s) + φ(s⁰) 且 φ(s · s⁰) = s · s⁰ = s · s⁰ = φ(s) · φ(s⁰).

利用 Theorem 2.6.4 的證明, 我們得 φ : S → (S + I)/I 是 onto. 因此可以用 First Isomorphism Theorem (Corollary 6.4.3) 得到

S/ ker(φ) ' (S + I)/I.

甚麼是 ker(φ) 呢? 依定義 ker(φ) 是 S 中的元素 s 使得 φ(s) 是 (S + I)/I 的 identity, 0. 也就是說 φ(s) = s = 0. 別忘了 s = 0 表示 s − 0 = s ∈ I. 由此知 ker(φ) 的元素 既要在 S 中也要在 I 中; 換句話說 ker(φ) ⊆ S ∩ I. 反之若 a ∈ S ∩ I, 則因 a ∈ I

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理 111

得 φ(a) = a = 0. 故 S ∩ I ⊆ ker(φ). 由此知 ker(φ) = S ∩ I. 因此我們由 Lemma 6.3.3 知 S ∩ I 是 S 的 ideal 也由 First Isomorphism Theorem 知

S/(S ∩ I) ' (S + I)/I.

¤ 最後我們來看第三個 isomorphism 定理. 同樣的, 將 Theorem 2.6.5 中的 group 換成 ring 及 normal subgroup 換成 ideal, 我們有以下之第三 isomorphism 定理:

Theorem 6.4.5 (Third Isomorphism Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism. 假設 J⁰ 是 R⁰ 的一個 ideal. 令

J = {a ∈ R | φ(a) ∈ J⁰}.

則 J 是 R 的 ideal 且

R/J ' R⁰/J⁰.

Proof. 我們定 ψ : R → R⁰/J⁰, 滿足 ψ(a) = φ(a), ∀ a ∈ R.

由 φ 是 ring homomorphism 知

ψ(a + b) = φ(a + b) = φ(a) + φ(b) = φ(a) + φ(b) = ψ(a) + ψ(b) 且

ψ(a · b) = φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = φ(a) · φ(b) = ψ(a) · ψ(b).

故 ψ 是一個從 R 到 R⁰/J⁰ 的 ring homomorphism.

如前, 我們可用 Theorem 2.6.5 的證明知 ψ : R → R⁰/J⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 我們再次用 First Isomorphism Theorem 知

R/ ker(ψ) ' R⁰/J⁰.

甚麼是 ker(ψ) 呢? 若 a ∈ ker(ψ) 即 ψ(a) = φ(a) = 0, 也就是說 φ(a) 和 0 在用 J⁰ 的分類下是同類的. 所以 φ(a) − 0 = φ(a) ∈ J⁰. 由 J 的定義知, 這表示 a ∈ J.

故 ker(ψ) ⊆ J. 另外若 a ∈ J, 則 φ(a) ∈ J⁰ 故在 R⁰/J⁰ 中 ψ(a) = φ(a) = 0. 因此 a ∈ ker(ψ), 得 J ⊆ ker(ψ). 也就是說 ker(ψ) = J 且由 Lemma 6.3.3 知 J 是 R 的 ideal (其實我們在 Theorem 6.3.5 已知 J 是 R 的 ideal). ¤ 最後我們利用 Correspondence Theorem 來看 Third Isomorphism Theorem 的 一個特殊狀況. 令 I 是 R 的 ideal, φ : R → R/I 是定義成 φ(a) = a 這個 onto 的 ring homomorphism. 任意 R/I 中的 ideal J⁰ 由前 Corollary 6.3.7 知是由 R 中的 某一 ideal J 利用 φ 得到: 也就是說 J⁰ = φ(J) = J/I. 故由 Theorem 6.4.5 我們有 以下的定理(有的書是稱這個為 Third Isomorphism Theorem.)

Theorem 6.4.6 (Third Isomorphism Theorem). 若 R 是一個 ring, I 是 R 的一個 ideal. 則 R/I 中的任一 ideal 都是 J/I 這種形式, 其中 I ⊆ J 且 J 是 R 的 ideal.

而且我們有

(R/I)/(J/I) ' R/J.

Proof. 任一 R/I 的 ideal 都是 J/I 這種形式已在 Corollary 6.3.7 證得. 而 (R/I)/(J/I) ' R/J

可由 Theorem 6.4.5 直接得到. 也就是代: R⁰ = R/I, J⁰= J/I 且考慮 φ : R → R/I, 符合 φ(a) = a. 此時可得 J = {a ∈ R | φ(a) ∈ J⁰}. 故由 R/J ' R⁰/J⁰ 得證. ¤ 6.5. 在 Commutative Ring with 1 中特殊的 Ideals

我們前面討論的情況都是在一般的 ring 中, 因此所得的結果在一般的 ring 都適用.

在這節中我們僅考慮 commutative ring with 1 的情況. 我們將探討在這種 ring 中的 principle ideal, prime ideal 和 maximal ideal.

6.5.1. Principle ideals. 在 group 中我們介紹過 cyclic subgroup, 它可以是說包 含某一個元素的最小的 subgroup. 在 ring 中我們也有所謂的 principle ideal, 它是 包含某一元素的最小的 ideal.

假設 R 是一個 commutative ring with 1. 要了解 R 中的 ideal 長甚麼樣子, 我 們首先會考慮包含某一元素之最小的 ideal 為何, 因為這是最簡單的 ideal. 若給定 a ∈ R, 則包含 a 的最小 ideal I 應該長甚麼樣子呢? 首先 I 至少要包含 a 所產生 的加法的 cyclic group, 即 {0, a, −a, 2a, −2a, . . . , na, −na, . . . }. 注意前面提過這裡 2a 不是 2 · a 而是 (1 + 1) · a (別忘了 1 ∈ R 這個假設). 由於 1 + 1 ∈ R, 我們可以 說存在某一元素 α ∈ R 使得 2a = α · a. 同理對其他的正整數 n, 由於

na = (1 + · · · + 1)

| {z }

n

·a

所以 (謝謝 1 ∈ R 這個假設) 存在 β ∈ R 滿足 na = β · a. 另一方面由 Lemma 6.1.2, 知 I 中也必須包含對任意的 r ∈ R, r · a 和 a · r 這種元素. 然而 r · a = a · r (謝謝 R 是 commutative ring 這個假設), 因此 I 中至少要包含所有的 r · a 這種形式的元 素. 如果由所有的 r · a 這樣的元素所成的集合是 R 的一個 ideal, 那麼它自然就是 包含 a 的最小 ideal 了.

Lemma 6.5.1. 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a ∈ R. 令 A = {r · a | r ∈ R}, 則 A 是 R 的一個 ideal. 事實上, A 是 R 中包含 a 之最小的 ideal.

Proof. 從前面的討論我們已知: 若 I 是 R 中包含 a 之最小的 ideal, 則 A ⊆ I. 因 此若能證得 A 是 R 的 ideal, 則知 I = A.

我們利用 Lemma 6.1.2 來證明 A 是 R 的 ideal. 任取 A 中兩元素 r · a 和 r⁰· a, 其 中 r, r⁰ ∈ R. 由於 r · a − r⁰· a = (r − r⁰) · a 且 r − r⁰∈ R, 知 r · a − r⁰· a ∈ A. 另外任取

6.5. 特殊的 Ideals 113

R 中一元素 r 及 A 中一元素 r⁰· a, 其中 r⁰∈ R. 由於 (r⁰· a) · r = r · (r⁰· a) = (r · r⁰) · a 且 r · r⁰ ∈ R, 知 (r⁰· a) · r = r · (r⁰· a) ∈ A. 因此 A 是 R 的 ideal. ¤

通常我們會將 Lemma 6.5.1 中的 A 用 ¡ a¢

來表示. 注意我們是用大一點的括 號 ¡ ¢

以免和一般運算間的小括號 ( ) 混淆.

Definition 6.5.2. 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a ∈ R. 則

¡a¢

= {r · a | r ∈ R}

稱為 the principle ideal generated by a in R. 若 I 為 R 的一個 ideal 且在 R 中存 在一元素 a 滿足 I =¡

a¢

則稱 I 是 R 的一個 principle ideal.

Example 6.5.3. 在 Z 中, 任取 n ∈ Z, 則所有 n 的倍數所成的集合是一個 principle ideal, 即 ¡

n¢

= {z · n | z ∈ Z}.

將來我們會看到在 Z 中所有的 ideal 都是 principle ideal, 不過這對一般的 ring 並不一定對. 另外若 I 是一個 principle ideal, 並不表示產生 I 的元素是唯一的 (例

如前面的例子我們有 ¡

n¢

=¡

−n¢

), 事實上我們有以下的結果.

Lemma 6.5.4. 假設 R 是一個 commutative ring with 1. 如果 a, b ∈ R 且存在一 unit u ∈ R 滿足 a = u · b, 則 ¡

a¢

=¡ b¢

. Proof. 由於 a = u · b, 由定義知 a ∈ ¡

b¢

. 又由於 ¡ b¢

是一個 ideal 且 ¡ a¢

是包 含 a 最小的 ideal, 故得 ¡

a¢

⊆ ¡ b¢

. 反之, 因 u 是 R 的 unit, 故存在 v ∈ R 滿足 v · u = 1. 所以由 b = (v · u) · b = v · a 知 b ∈¡

a¢

. 再利用 ¡ b¢

是包含 b 最小的 ideal 得 ¡

b¢

⊆¡ a¢

. 故證得 ¡ a¢

=¡ b¢

. ¤

以下介紹一個 principle ideal 的簡單應用. 我們在 lemma 6.2.4 中知道: 當 R 是一個 division ring 時, R 中只有 {0} 和 R 這兩個 ideals. 當 R 是一個 field 時 (R 也就是一個 division ring), R 當然也就沒有 nontrivial proper ideal. 當 R 是 commutative ring with 1 時, 這是一個幫助我們判斷 R 是否為一個 field 的好方法.

Proposition 6.5.5. 若 R 是一個 commutative ring with 1, 則 R 是一個 field 若且 唯若 R 沒有 nontrivial proper ideal.

Proof. 我們已知當 R 是一個 field 時, R 沒有 nontrivial proper ideal. 反之, 如 果 R 沒有 nontrivial proper ideal, 我們想證明 R 是一個 field. 由於 R 已假設是 commutative ring with 1, 依定義我們只要證明 R 中非 0 的元素都是 unit. 任取 a ∈ R 且 a 6= 0. 我們考慮 ¡

a¢

這一個 principle ideal. 因為 a 6= 0 且 a ∈¡ a¢

¡ , 故知 a¢

6= {0}. 不過依假設 R 中除了 {0} 和 R 已外沒有其他的 ideal, 因此得 ¡ a¢

= R.

然而 1 ∈ R, 即 1 ∈ ¡ a¢

故由 ¡ a¢

的定義知存在 r ∈ R 使得 1 = r · a. 也就是說 a

是一個 unit. ¤

最後我們要強調, 在 Proposition 3.1.3 中我們知道一個 cyclic group 中的 subgroup 都是 cyclic group. 不過對 principle ideal, 這就不一定對了. 也就是說若 I, I⁰ 都是 R 的 ideal 且 I⁰ ⊆ I. 如果已知 I 是 principle ideal, 這並不保證 I⁰ 會是 principle ideal.

6.5.2. Prime ideals. 在 Z 中一個質數 p 有一個重要的性質, 即若 p | a · b 則 p | a 或 p | b. 注意, p | a 表示 a 是 p 的倍數, 因此用 principle ideal 的看法這表示 a ∈¡

p¢ . 所以我們可以把質數的這個性質表示成: 若 a · b ∈¡

p¢

, 則 a ∈¡ p¢

或 b ∈¡ p¢

. 因此 我們將質數的這一性質推廣成以下這一種很重要的 ideal 的定義.

Definition 6.5.6. 令 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個不等於 R 的 ideal. 如果 P 符合: 「對任意 R 中兩個元素 a 和 b 若 a · b ∈ P , 則 a ∈ P 或 b ∈ P 」, 那麼我們稱 P 是 R 的一個 prime ideal.

有時在證明問題不好直接證明屬於, 我們通常會例用若 a 6∈ P 且 b 6∈ P , 則 a · b 6∈ P 這種論述來證明 P 是一個 prime ideal. 例如我們知道兩個奇數相乘不可 能成為偶數, 因此馬上可以知道所有偶數所成的 ideal, 即 ¡

2¢

是 Z 的一個 prime ideal. 當然了從前面提過質數的性質我們知道任何質數產生的 principle ideal 皆是 整數的 prime ideal.

接下來我們來看一個判斷 R 中的 ideal P 是否為一個 prime ideal 的好方法.

Theorem 6.5.7. 若 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個 ideal, 則 P 是 R 的一個 prime ideal 若且唯若 R/P 這個 quotient ring 是一個 integral domain.

Proof. 首先回顧一下: 既然 R 是 commutative ring with 1, 對任意 R 的 ideal I, R/I 這個 quotient ring 也會是一個 commutative ring with 1 (其乘法的 identity 是 1). 因此要說 R/P 是一個 integral domain, 我們只要說明 R/P 中沒有 zero divisor 即可.

現假設 P 是一個 prime ideal. 對任意 R/P 的非 0 的元素都可以寫成 a, 其中 a ∈ R 但 a 6∈ P . 要說 a 不是 R/P 中的 zero divisor, 等於是說對任意 R/P 中非 0 的元素 b 皆不可使得 a · b = 0. 然而 b 6= 0, 表示 b 6∈ P . 既然 a, b 都不屬於 P , 由 P 是 prime ideal 的假設, 我們得 a · b 6∈ P . 也就是說

a · b = a · b 6= 0.

因此 R/P 是一個 integral domain.

反之, 若 R/P 是一個 integral domain, 即任取 a, b ∈ R/P 符合 a 6= 0 且 b 6= 0, 都會有 a · b 6= 0. 換句話說: 如果 a 6∈ P 且 b 6∈ P , 則 a · b 6∈ P . 故知 P 是一個

prime ideal. ¤

因為 R/¡ 0¢

' R 故利用 Lemma 6.5.7 我們有以下這個有趣的結果: