《数值分析》8
主要内容： 向量序列收敛性
迭代法收敛性条件
迭代误差估计定理
平面点列
:
*
* )
2( ) 1(
lim y
x x
x
k k
k lim ( 1( ) 1*)2( 2( ) 2*)2 0
x k x xk x
k
X (k)
∈
Rn : X(1), X (2), ···, X (k) , ···* )
lim X (k X
k
lim || ( ) * ||2 0
X k X
k
* )
lim X (k X lim || ( ) * || 0
X k X
k
利用向量范数等价性
, 对任意范数 || · ||
) 1 2(
) 1 1(
x x
) 2 2(
) 2 1(
x x
) 2(
) 1(
k k
x
··· x ···
向量序列收敛性
A X = b (M–N )X = b M X = N X + b
记
(k) = X(k) – X* ( k = 0, 1, 2, 3, ··· )则有
(k+1) = B (k)(k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ··· )
计算格式
: X(k+1) = B X(k) + f ( B = M-1N )X(k+1) – X*= B(X(k) – X*)
设方程组的精确解为
X*,则有X* = B X* + f
向量序列收敛性
证 : 由
(k) = B (k-1),得|| (k)|| ≤ || B|| || (k-1)|| ( k = 1, 2, 3, ··· )
0 lim ( )
k
k
所以
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
0
||
||
||
||
lim
||
||
lim
( )
(0)
k
k k
k
B
|| B|| < 1
定理1: 若
||B||<1, 则迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛向量序列收敛性
定理2: 迭代格式
X(k+1) =B X(k) +f 序列收敛的充分必要条件是：0 lim
k
k
B
证明： (必要性) 设
X* 为方程组(I - B)X = f 的精确解，即：
X* =B X* +f两式相减
:X(k+1) - X* =B (X(k) - X*); 设 e(k+1) =X(k+1) – X*则有：
e(k+1) = B(k+1) e(0)
lim 0
k
k B
(充分性) 因为
( I - B)( I + B + B2 + ··· + Bk ) =I – Bk+1 则有：( I - B)-1 (I – Bk+1 )=( I + B + B2 + ··· + Bk )
X(k+1) =B X(k) + f = B(B X(k-1) + f) + f =····= Bk+1 X(0) + ( I + B + ····+
Bk)f 因为
lim X
(k) = ( I - B)-1 f ,即序列收敛至(I - B)X = f 的解0 lim
k
k
B
迭代法收敛性条件
定义
4.1： A=(aij)n×n, 如果则称
A为严格对角占优阵
.
n
i jj ij
ii a
a
1| |
|
|
证 : 由于矩阵
A 严格对角占优1
|
| |
| 1
1
n
i
jj ij
ii
a a
n
i
jj ij
ii a
a
1| |
|
|
0 /
/
/ 0
/
/ /
0 )
(
2 1
22 2
22 21
11 1
11 12 1
nn n
nn n
n n
J
a a
a a
a a
a a
a a
a a A
D D
而
B定理 3： 若
Ax=b的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代收敛.迭代法收敛性条件
1
|
| |
| 1
1
n
i
jj ij
ii
a a
所以
| }| 1|
| 1 { max
||
||
1 1
n
i
jj ij n ii
J i a
B a
故
Jacobi迭代矩阵BJ = D-1(D – A) 第 i 行绝对值求和 ) ,2 , 1
(i
n故
Jacobi迭代 X(k+1) =BJ X(k) + f 收敛.迭代法收敛性条件
矩阵 B 的谱
设
n阶方阵B 的n个特征值为:
1 ,
2 ,,
n则称集合
{1 , 2 ,,n}为
B 的谱. 记为 ch B矩阵 B的谱半径 ( ) max | |
1 k n k
B
注
1:当
B是对称矩阵时, ||B||2 = (B)注
2:对
Rn×n 中的范数|| · ||,有 (B) ≤ || B ||特征值取模最大
迭代误差估计定理
定理 4： 迭代法
X(k+1) = B X(k) + f 收敛 谱半径ρ(B) < 1迭代矩阵谱半径的计算是十分困难的，因而用谱半径判别迭
代的收敛性很不方便，可用一些其他实用的判别条件。但迭代矩阵谱半径常用于理论证明。
迭代误差估计定理
定理 5: 设
X*为方程组 AX=b 的解若
||B||<1,则对迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 有||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) ( ) ( 1)
k k
k X X
B X B
(1) X
||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) X (1) X (0)
B X B
X k k
(2)
证 由
||B||<1,有 limk X (k) X *|| X(k+1) – X* || ≤ ||B|| || X(k) – X* ||
X(k+1)–X* =B(X(k) – X* )
迭代误差估计定理
||X(k+1) – X(k) ||= ||(X*– X(k)) – (X* – X(k+1))||
||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) ( ) ( 1)
k k
k X X
B X B
X
||
|| ||
||
1
|| 1
*
|| (k) X (k 1) X(k)
X B
X
≥||(X*– X(k)) || – ||(X* – X(k+1))||
≥ ||(X*– X(k))|| –||B|| ||(X* – X(k))||
= ( 1 - || B ||) ||(X* – X(k))||
||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) X (1) X (0)
B X B
X k k
迭代误差估计定理
收敛性小结(5个定理)
定理
1:若
||B||<1, 则迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛定理
2:迭代格式
X(k+1) =B X(k) +f 序列收敛的充分必要条件是：定理
3：若
Ax=b的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代收敛
.定理
4：迭代法
X(k+1) = B X(k) + f 收敛 谱半径ρ(B) < 10
lim
k
k B
迭代误差估计定理
定理
5:设
X*为方程组 AX=b 的解若
||B||<1,则对迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 有||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) ( ) ( 1)
k k
k X X
B X B
(1) X
||
|| ||
||
1
||
|| ||
*
|| ( ) X (1) X (0)
B X B
X k k
(2)
迭代误差估计定理
[1]张凯院,Toeplitz矩阵快速算法
[2]Numerical Analysis of Differential Eq.
[3]余德浩, 微分方程数值解法
