105年公務人員特種考試司法人員、法務部 調查局調查人員、國家安全局國家安全情報 人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：60960 全一張
（正面）
考 試 別： 國家安全情報人員 等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組 科 目： 線性代數
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
一、設齊次線性方程組（homogeneous linear system）
0 4
3 3
0 8
5 2
0 5
2 2
5 4
3 2
5 4
3 2
1
5 4
2 1
=
=
=
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
＋
＋
＋
－
－
－
＋
－
－
＋
＋
＋
利用此線性方程組的增廣矩陣（augmented matrix），以高斯喬登消去法（Gauss Jordan elimination method）簡化至簡列梯形形式（reduced row-echelon form），求 此線性方程組的一般解集合空間（solution space）。（15 分）
求此解集合空間的一組基底及維度（dimension）。（5 分）
二、設
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0 0
0 1 0
8 2 1
－
－
－ A
求矩陣 P 使得 P-1AP 為對角矩陣，並寫出此對角矩陣。（10 分）
利用，以相似變換方法（similarity transformation method）求矩陣 A11。（10 分）
三、令 T：P2 → R3為一函數，其定義為 T (p(x)) ＝ (p(0), p(2), p(1))
證明 T 是線性變換函數（linear transformation）。（5 分）
證明 T 是一對一函數（one-to-one）。（5 分）
試求 T -1 (1 ,2, 3)？（5 分）
試求 T (1－2x)？（5 分）
105年公務人員特種考試司法人員、法務部 調查局調查人員、國家安全局國家安全情報 人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：60960 全一張
（背面）
考 試 別： 國家安全情報人員 等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組 科 目： 線性代數
四、設線性方程組如下：
Ax= b 其中
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 1 4 ,
, 1 2
2 3
1 1
2
1 ＝
－
－
x b x x A
試求最小平方解（least squares solution）。（10 分）
試求 在 A 行空間（column space）的正交投影向量（orthogonal projection）。（5 分）
試求最小平方誤差值（least squares error）∥b － Ax∥。（5 分）
五、令向量空間ℝ 具有如下內積（inner product）
< vu, > =u1v1 + 2u2v2 +u3v3
其中 u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)為空間ℝ 之任意兩向量。
證明 x = (1,1,0), y = (1,0,1), and z = (0,1,1)為ℝ 一組基底。（10 分）
使用格拉姆
