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勾股弦幻方組的三種構造方法

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(1)

勾股弦幻方組的三種構造方法

梁培基 · 李學數

一、 前言

勾股弦數組是一個歷史悠久的古老數學問題, 近代將勾股弦數組代入幻方之中, 使得幻方 的結果也滿足勾股弦數組的定義, 頗為有趣。 在此之前, 國外僅有 2 篇勾股弦幻方的文章, 介 紹了 2 種方法。 第一種是 「R 法」 (Royal Vale Heath) [1], 第二種是 「EE 法」 (Emanuel Emanouilidis) [2]。 第三種是我們本次提供的 「LL 法」, 三種方法各不相同, 都可以得到勾股 弦幻方組, 殊途而同歸。

「R 法」 與 「EE 法」 研究的是 K = 2 次方勾股弦數組的勾股弦幻方組, 本文我們給出了 K = 3、 4、 5 次方數組的勾股弦幻方組, 拓廣了勾股弦幻方組的研究範圍。

二、 畢氏定理的來由及用途

畢氏定理描述了直角三角形三條邊之間的關係, 我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫 做 「勾」, 較長的直角邊叫做 「股」, 斜邊叫做 「弦」。

「平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度 a, b (古稱勾長、 股長) 的平方和等於斜邊長 c (古稱弦長) 的平方。」 則畢氏定理的公式為 a2+ b2 = c2。 (a, b, c) 叫做勾股數組。

最早發現畢氏定理的國家是古巴比倫, 在英國博物館保存的一塊相同時期的泥板上有這樣 的記載: 「長是 4, 對角線是 5。 那麼寬是多少?

沒人知道。

4 乘 4 是 16。

5 乘 5 是 25。

你從 25 裏面拿掉 16, 剩下的是 9。

幾乘幾是 9 呀?

3 乘 3 是 9。

3 就是寬。」

(2)

這段文字說明古巴比倫人知道當直角三角形的斜邊是 5, 一條直角邊是 4 的時候, 另外一 條直角邊一定是 3。

在美國哥倫比亞大學收藏的一塊編號為 PLIMPTON 322 的泥板上記錄了很多例子。 這 塊泥板西元前 2000 年至西元前 1600 年的古巴比倫泥板, 總共有 15 行符號, 分成 5 列。 其中 第四列相當於我們的 「編號」 兩個字, 第五列從第一行到最後一行依次是從 1 到 15 這 15 個 數字。 所以說真正有意義的其實只有前 3 列。 第三列是斜邊長, 第二列是短的直角邊長。 最令人 費解的是第一列, 這一列的數字從第一行的 0.9834. . . 逐漸減少到最後一行的 0.38716. . . 。 關 於這第一列的含義, 長期以來爭論不休。 美國威斯康星大學巴克教授於1980 年寫了一篇膾炙人 口的文章 《夏洛克. 福爾摩斯在巴比倫》。 這篇文章發表在 《美國數學月刊》 上。 巴克教授在這 篇文章裏從大偵探福爾摩斯的角度出發來研究這些數字。 其結論令人吃驚不已 [4]。

圖2.1: 《夏洛克.福爾摩斯在巴比倫》

原來這一列的數字代表的是短的直角邊和長的直角邊比值的平方, 也就是 (a/b)2。 如果以 θ 代表斜邊和長的直角邊的夾角, 那麼這第一列數字就是 (tan θ)2。 更有趣的是這個 θ, 從第一 行開始, 幾乎是穩定的以 1 度的速度下降, 從大約 45 度, 下降到大約 30 度。 所以這個表還有 可能是古巴比倫人的三角函數表呢。

巴克教授認為古巴比倫人不但知道很多勾股數組的例子, 而且還知道如何製造勾股數組。

也就是說他們知道勾股數組的那個一般公式:

a = 2mn, b = m2− n2, c = m2+ n2

巴克的結論是可信, 因為泥板涉及的最大的一個勾股數組是 (18541, 12709, 13500)。 這樣的 例子是絕對不可能通過測量發現的, 也幾乎不可能通過湊巧得到。 而且 18541 還是個素數, 也

(3)

就是說這組數字也不可能是通過較小的勾股數組放大得來。 所以我們確實有充分的理由相信古 巴比倫人知道一般形式的畢氏定理。

正因為如此, 2002 年 1 月份的 《美國數學會通告》 封面登載了 YBC 7289 泥板的照片。

配的文字說明是比 「畢達哥拉斯早一千年的畢達哥拉斯定理」。

約西元前一世紀的 《周髀算經》 相傳畢氏定理是商代由商高發現的, 全書第一節就記載著 一個名叫商高的人, 對周公講了這樣一段話: 「折矩以為勾廣三, 股修四, 徑隅五。 既方其外, 半 之一矩, 得成三四五。 兩矩共長二十有五, 是謂積矩。」 這段話毫無疑問是在談論畢氏定理, 而周 公大約生活在西元前 11 世紀, 商高既和周公談話, 當然是周公的同時代人, 這就比畢達哥拉斯 早了數百年, 所以商高理應獲得畢氏定理的榮譽。 故又有稱為商高定理, 明確記載了周公後人陳 子敘述的畢氏定理公式: 「若求邪至日者, 以日下為勾, 日高為股, 勾股各自乘, 並而開方除之, 得邪至日」(圖 2.2)。

2.2:

表述為 「勾股各自乘, 並之, 為弦實。 開方除之, 即弦」。

法國稱為 「驢橋定理」, 埃及稱為 「埃及三角形」。 畢氏定理在幾何學中的實際應用非常廣 泛。 相傳大禹在治水過程中, 「左準繩, 右規矩」。 (「規」 就是圓規, 「矩」 就是曲尺, 由長短兩尺在 端部相交成直角合成, 短尺叫勾, 長尺叫股), 運用勾股測量術進行測量。 表明大禹已經知道用長 為 3:4:5 的邊構成直角三角形。 陳子利用畢氏定理, 測量太陽高度等。

(4)

勾股弦定理廣泛應用在人民生活方面, 例如: 測量土地的面積、 測量距離、 測量山的高度、

太陽高度等。 畢氏定理把數學由計算與測量技術轉變為證明與推理科學。 畢氏定理中的公式是 第一個不定方程, 也是最早得出完整解答的不定方程, 它一方面引導到各式各樣的不定方程, 包 括著名的費爾馬大定理, 也為不定方程的解題程式樹立了一個規範的模式。 從畢氏定理出發開 平方、 開立方、 求圓周率等。

古希臘的畢達哥拉斯證明了畢氏定理。 相傳畢達哥拉斯證明這個定理後, 殺了一百頭牛作 慶祝, 故又稱 「百牛定理」。 據有關資料報導, 僅畢氏定理的證明方法就有 500 多種, 是數學定 理中證明方法最多的定理之一。 但他們發現的時間都比我國晚, 我國是世界上最早發現畢氏定 理的證明。

三、 最早提出構造勾股弦幻方組的學者

Royal Vale Heath (1883 年∼1960 年) 是紐約城經紀人、 美國魔術師和數學謎題愛好者, 1930 年發表了一組幻方圖 3.1 在他的書 《數學魔術 — 數字的魔術, 謎題, 遊戲》(Mathemagic

— magic, puzzles, games with numbers, Dover 1953)

圖3.1: Royal Vale Heath 的書

(5)

這組幻方分別由 3 階、 4 階與 5 階所組成, 奇怪的是, 這 3 個幻方的幻和都相同, 都等於 174。 而 3 階幻方幻和的總和是 174 × 3 = 522, 4 階幻方幻和的總和是 174 × 4 = 696, 5 階 幻方幻和的總和是 174 × 5 = 870。 再求 3 個幻方總和的平方和, 得: 5222+ 6962 = 8702 = 272484 + 484416 = 756900。

這種方法稱為 「R 法」。 其特點是, 每個階數不同的幻方, 他們幻和相等, 再求 n 個幻和的 平方和, 使得 A2+ B2 = C2. 又稱為 「同幻和, 不同階數法」。

我們利用 「R 法」 可以得到其幻和較小的 3, 4, 5 階勾股弦幻方組 (圖 3.2):

5 階 120

幻和 = 120 的勾股弦幻方組 4 階 120 9 15 21 27 48 120

3 階 120 1 8 56 55 120 26 47 13 14 20 120

39 51 30 120 57 54 2 7 120 18 19 25 46 12 120

31 40 49 120 4 5 59 52 120 45 11 17 23 24 120

50 29 41 120 58 53 3 6 120 22 28 44 10 16 120

120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

3 階總和=360 4 階總和=480 5 階總和=600

3.2

由 3、 4、 5 階幻方, 得到:32+ 42 = 52。 即 3602+ 4802 = 6002 = 360000。 方陣外邊的 數字分別是各個幻方的行、 列及對角線之和 (下同)。

還可以拓廣到廣義勾股弦數組及 3 次冪和數組。 在洛書中我們發現兩個廣義 4 元素 3 次 勾股弦數組。 第 1 組是 A = 3, B = 4, C = 5, D = 6, 第 2 組是 A = 1, B = 6, C = 8, D = 9, 用這兩個數組可以構造出廣義勾股弦幻方組, 圖 3.3 是 A = 3, B = 4, C = 5, D = 6 的廣義勾股弦數組, 他們滿足:

A3+ B3+ C3 = D3.

這 4 個幻方的幻和都等於 240。 A, B, C, D 各個子幻方的總和分別是 720,960,1200,1440。

計算得 7203 + 9603 + 12003 = 14403, 即: 373248000 + 884736000 + 1728000000 = 2985984000。

圖 3.4 是利用第 2 組元素, 當 A = 1, B = 6, C = 8, D = 9 時構造的廣義勾股弦幻方 組, 仍然滿足 3 次方的性質: 對於拓廣勾股數組 1, 6, 8, 9, 我們可以造出 4 個幻方, 來滿足廣 義勾股弦幻方組。

設 S = 1080, 則 (1080 × 1)3+ (1080 × 6)3+ (1080 × 8)3 = (1080 × 9)3.

在幻方的階數 1, 6, 8, 9 中, 第一個 「1」, 代表 1 階幻方, 其幻和為 1080; 其餘的 6, 8, 9, 分別代表 6 階, 8 階, 9 階幻方。

(6)

3.3

3.4

我們造出的 1, 6, 8, 9 廣義勾股弦幻方組如圖 3.4, 1 階省略。

有意思的是, 8 階幻方與 9 階幻方都具有平方幻方的性質, 並且這兩個幻方的 1 次幻和相等, 即 S8 = 1080; S9 = 1080。 但是他們的 2 次幻和就分道揚鑣了 S82 = 227284; S92 = 134520。

(7)

經計算得:

10803+ 64803+ 86403 = 97203

即:1259712000 + 272097792000 + 644972544000 = 918330048000。

四、 Emanuel Emanouilidis 的勾股弦幻方組

4.1.

「EE 法」 是 Emanuel Emanouilidis 新澤西州 Kean 大學電腦科學系教授在 2005 年 介紹的概念 [3]。

定義: 如果 n 階幻方 A, B, C 滿足:

(Aij)2+ (Bij)2 = (Cij)2 則稱 A、 B、 C 為 EE 法勾股弦幻方組。

由於勾股弦幻方組的階數都相同, 又稱為 「同階勾股弦幻方組」。 這一點與 「R 法」 不同。

圖 4.1.1 上部的 A, B, C; 是滿足勾股弦幻方組的 3 個 3 階幻方;

再計算出他們各個元素的平方和, 如圖 4.1.1 下部的 (Aij)2, (Bij)2, (Cij)2

A = 3L B = 4L C = 5L

12 27 6 45 16 36 8 60 20 45 10 75 9 15 21 45 12 20 28 60 15 25 35 75 24 3 18 45 32 4 24 60 40 5 30 75

(Aij)2 (Bij)2 (Cij)2 144 729 36 256 1296 64 400 2025 100

81 225 441 144 400 784 225 625 1225 576 9 324 1024 16 576 1600 25 900

圖 4.1.1

我們再把 (Aij)2+ (Bij)2 與 (Cij)2 計算出來, 如下圖4.1.2 (Aij)2+ (Bij)2 (Cij)2 400 2025 100 400 2025 100 225 625 1225 225 625 1225 1600 25 900 1600 25 900

圖 4.1.2: 兩個方陣的結果相同

(8)

他給出以下定理:

定理: 用 EE 法可以得到下面的勾股弦幻方組:

步驟 1. 選擇 n 階幻方或乘法幻方 M。

步驟 2. 選擇一組勾股弦數組 (x, y, z), x < y < z。

步驟 3. 設 A = xM, B = yM、 C = zM。

則 A、 B、 C 為 EE 型勾股弦幻方組.

例如: A、 B、 C, EE 型勾股弦幻方組可由下面

M =

2 9 4 7 5 3 6 1 8 x = 3, y = 4, z = 5, 得到。

4.2. EE 型勾股弦幻方組的拓廣

利用 EE 型勾股弦幻方的構造方法, 可以造出 4 元 2 次勾股幻方組, 例如 A2+B2+C2 = D2

我們從古老的洛書 (3 階幻方, 簡記為 L) 中找到兩組 4 元 2 次 (3:1 型) 拓廣勾股數組:

12+ 42+ 82 = 92 = 81; 22+ 32+ 62 = 72 = 49。 用這兩個數組, 分別乘以洛書 L 的各個元 素, 可以構造 4 個 3 階幻方。 當 A = 1, B = 4, C = 8 及 D = 9 時, 用 L 分別乘以 1, 4, 8, 9 得到的 4 個 3 階幻方, 如圖 4.2.1 上部的 A, B, C, D; 再計算出他們各個元素的平方和, 如圖 4.2.1 下部的 (Aij)2, (Bij)2, (Cij)2, (Aij)2

A = L B = 4L C = 8L D = 9L

4 9‘ 2 15 16 36 8 60 32 72 16 120 36 81 18 135 3 5 7 15 12 20 28 60 24 40 56 120 27 45 63 135 8 1 6 15 32 4 24 60 64 8 48 120 72 9 54 135

(Aij)2 (Bij)2 (Cij)2 (Dij)2 16 81 4 256 1296 64 1024 5184 256 1296 6561 324

9 25 49 144 400 784 576 1600 3136 729 2025 3969 64 1 36 1024 16 576 4096 64 2304 5184 81 2916

圖 4.2.1

(9)

我們再把 (Aij)2+ (Bij)2+ (Cij)2 與 (Dij)2 計算出來, 如下圖 4.2.2。

(Aij)2 + (Bij)2+ (Cij)2 (Dij)2

1296 6561 324 1296 6561 324 729 2025 3969 729 2025 3969 5184 81 2916 5184 81 2916

圖 4.2.2: 兩個方陣的結果相同

4.3. 拓廣勾股數組 , 6 2 次勾股數幻方組 (4:2)

存在 (Aij)2+ (Bij)2 + (Cij)2 + (Dij)2 = (Eij)2 + (Fij)2 拓廣勾股數組, 當 A = 4, B = 10, C = 13, D = 14 及 E = 15, F = 16 時, 用洛書方陣 L分別乘以 4, 10, 13, 14, 15, 16 得到 6 個 3 階幻方, 如圖 4.3.1 上部的 A, B, C, D, E, F ; 再計算出他們各個元素的 平方和如圖 4.3.1 下部的 (Aij)2, (Bij)2, (Cij)2, (Dij)2, (Eij)2, (Fij)2

A= L×4 B= L×10 C= L×13 D= L×14 E= L×15 F= L×16 16 36 8 60 40 90 20 150 52 117 26 195 56 126 28 210 60 135 30 225 64 144 32 240 12 20 28 60 30 50 70 150 39 65 91 195 42 70 98 210 45 75 105 225 48 80 112 240 32 4 24 60 80 10 60 150 104 13 78 195 112 14 84 210 120 15 90 225 128 16 96 240

(Aij)2 (Bij)2 (Cij)2 (Dij)2 (Eij)2 (Fij)2

256 1296 64 1600 8100 400 2704 13689 676 3136 15876 784 3600 18225 900 4096 20736 1024 144 400 784 900 2500 4900 1521 4225 8281 1764 4900 9604 2025 5625 11025 2304 6400 12544 1024 16 576 6400 100 3600 10816 169 6084 12544 196 7056 14400 225 8100 16384 256 9216

圖 4.3.1

我們再把 (Aij)2+ (Bij)2+ (Cij)2+ (Dij)2 與 (Eij)2+ (Fij)2 計算出來, 如下圖 4.3.2:

(Aij)2+(Bij)2+(Cij)3+(Dij)2)2 (Eij)2+ (Fij)2 7696 38961 1924 7696 38961 1924 4329 12025 23569 4329 12025 23569 30784 481 17316 30784 481 17316

圖 4.3.2: 兩個方陣的結果相同

4.4. 拓廣勾股數組 , 4 3 次勾股數幻方組 (3:1 )

我們可以構造出 4 元 3 次勾股數幻方組 (3:1 型) , 首先找到滿足3次方勾股數組 (Aij)3+ (Bij)3+ (Cij)3 = (Dij)3 也就是說, 這3 個子幻方任意相同位置上 A3+ B3 + C3 之和都等 於 D3

(10)

下面給出用洛書 L 分別乘以 3、 4、 5、 6 與分別乘以 1、 6、 8、 9 的兩個例子。 這兩個數組 33 + 43 + 53 = 63 與 13+ 63+ 83 = 93, 來源於中國的洛書, 洛書中蘊藏的 「珍寶」 還多著 呢, 等待著有興趣的人擷取和開發!

把 3, 4, 5, 6 分別乘以 L, 得到 4 個 3 階幻方如圖 4.4.1 上部的 A, B, C, D; 再計算出 他們各個元素的立方和如圖 4.4.1 下部的 (Aij)3, (Bij)3, (Cij)3, (Dij)3

3L 4L 5L 6L

12 27 6 45 16 36 8 60 20 45 10 75 24 54 12 90

9 15 21 45 12 20 28 60 15 25 35 75 18 30 42 90

24 3 18 45 32 4 24 60 40 5 30 75 48 6 36 90

(Aij)3 (Bij)3 (Cij)3 (Dij)3 1728 19683 216 4096 46656 512 8000 91125 1000 13824 157464 1728

729 3375 9261 1728 8000 21952 3375 15625 42875 5832 27000 74088 13824 27 5832 32768 64 13824 64000 125 27000 110592 216 46656

圖4.4.1

我們再把 (Aij)3+ (Bij)3+ (Cij)3 與 (Dij)3 計算出來, 如下圖 4.4.2:

(Aij)3+(Bij)3+(Cij)3 (Dij)3

13824 157464 1728 13824 157464 1728 5832 27000 74088 5832 27000 74088 110592 216 46656 110592 216 46656

圖 4.4.2: 兩個方陣的結果相同

把 1, 6, 8, 9 分別乘以 L, 得到 4 個 3 階幻方如圖 4.4.3 上部的 A, B, C, D; 再計算出 他們各個元素的立方和如圖 4.4.3 下部的 (Aij)3, (Bij)3, (Cij)3, (Dij)3

A = L B = 6L C = 8L D = 9L

4 9 2 24 54 12 32 72 16 36 81 18

3 5 7 18 30 42 24 40 56 27 45 63

8 1 6 48 6 36 64 8 48 72 9 54

(A

ij

)

3

(B

ij

)

3

(C

ij

)

3

(D

ij

)

3

64 729 8 13824 157464 1728 32768 373248 4096 46656 531441 5832 27 125 343 5832 27000 74088 13824 64000 175616 19683 91125 250047 512 1 216 110592 216 46656 262144 512 110592 373248 729 157464

4.4.3

(11)

我們再把 (Aij)3+ (Bij)3+ (Cij)3 與 (Dij)3 計算出來, 如下圖 4.4.4 (Aij)3+(Bij)3+(Cij)3 (Dij)3

46656 531441 5832 46656 531441 5832 19683 91125 250047 19683 91125 250047 373248 729 157464 373248 729 157464

圖 4.4.4: 兩個方陣的結果相同

4.5. 拓廣勾股數組 , 5 3 次勾股數幻方組 (4:1 )

存在數組滿足 (Aij)3 + (Bij)3+ (Cij)3+ (Dij)3 = (Eij)3, 兩個滿足條件的數組如下:

13+ 53+ 73+ 123 = 133; 53+ 73+ 93+ 103 = 133.

利用上述數組可以構造出 5 元 3 次勾股弦數幻方組 (4:1 型) , 下面給出洛書 L 分別乘以 1、 5、 7、 12、 13 及 L 分別乘以 5、 7、 9、 10、 13 的兩個例子。 這兩個數組 13+ 53+ 73+ 123 = 133 = 53+ 73+ 93+ 103, 結果相同。 如圖 4.5.1 與圖 4.5.3。 計算結果分別在圖 4.5.2 與圖 4.5.4。

A = L B = 5L C = 7L D = 12L E = 13L

4 9 2 15 20 45 10 75 28 63 14 105 48 108 24 180 52 117 26 195 3 5 7 15 15 25 35 75 21 35 49 105 36 60 84 180 39 65 91 195 8 1 6 15 40 5 30 75 56 7 42 105 96 12 72 180 104 13 78 195

圖 4.5.1

我們把 (Aij)3 + (Bij)3+ (Cij)3+ (Dij)3 計算出來, 圖 5.4.2 (左) , 再把 (Eij)3 計算出來, 圖 5.4.2 (右) 。

(Aij)3+(Bij)3+(Cij)3+(Dij)3 (Eij)3

140608 1601613 17576 140608 1601613 17576 59319 274625 753571 59319 274625 753571 1124864 2197 474552 1124864 2197 474552

圖 4.5.2: 兩個方陣結果相同 下面是 53+ 73+ 93+ 103 = 133 的例子圖 4.5.3 :

(12)

A = 5L B = 7L C = 9L D = 10L E = 13L 20 45 10 75 28 63 14 105 36 81 18 135 40 90 20 150 52 117 26 195 15 25 35 75 21 35 49 105 27 45 63 135 30 50 70 150 39 65 91 195 40 5 30 75 56 7 42 105 72 9 54 135 80 10 60 150 104 13 78 195

圖 4.5.3

我們把 (Aij)3 + (Bij)3 + (Cij)3 + (Dij)3 計算出來, 圖 4.5.4 (左), 再把 (Eij)3 計算出來, 圖 4.5.4 (右),

(Aij)3+(Bij)3+(Cij)3+(Dij)3 (Eij)3

140608 1601613 17576 140608 1601613 17576 59319 274625 753571 59319 274625 753571 1124864 2197 474552 1124864 2197 474552

圖 4.5.4: 兩個方陣的結果相同

4.6. 拓廣勾股數組 , 7 5 次勾股數幻方組 (6:1 )

存在 (Aij)5 + (Bij)5+ (Cij)5+ (Dij)5+ (Eij)5+ (Fij)5 = (Gij)5 拓廣勾股數組 45+ 55+ 65+ 75+ 95+ 115 = 125 = 248832.

下面給出洛書 L 分別乘以 4、 5、 6、 7、 9、 11、 12 的例子, 得到 7 個 3 階幻方如圖 4.6.1。

A= 4L B= 5L C= 6L D= 7L E= 9L F = 11L G= 12L

16 36 8 60 20 45 10 75 24 54 12 90 28 63 14 105 36 81 18 135 44 99 22 165 48 108 24 180 12 20 28 60 15 25 35 75 18 30 42 90 21 35 49 105 27 45 63 135 33 55 77 165 36 60 84 180 32 4 24 60 40 5 30 75 48 6 36 90 56 7 42 105 72 9 54 135 88 11 66 165 96 12 72 180 60 60 60 75 75 75 90 90 90 105 105 105 135 135 135 165 165 165 180 180 180

圖 4.6.1

各個子陣幻和的 5 次方: 605+ 755+ 905+ 1055+ 1355+ 1655 = 188956800000 = 1805 = 188956800000 相等。

把 6 個子幻方幻和的 5 次方和計算出來, 圖 4.6.2 (左) , 再把 (Gij)5 計算出來。

(Aij)5+(Bij)5+(Cij)5+(Dij)5+(Eij)5+(Fij)5 (Gij)5

254803968 14693280768 7962624 254803968 14693280768 7962624 60466176 777600000 4182119424 60466176 777600000 4182119424 8153726976 248832 1934917632 8153726976 248832 1934917632

圖 4.6.2: 兩個方陣的結果相同

(13)

4.7. 4 階幻方為基圖擴大倍數得到勾股弦幻方組的嘗試

前面所講述的是用 3 階幻方為 「基圖」, 乘以勾股數組使得滿足勾股幻方的方法, 下面我們 用 4 階幻方來探討這個問題:

我們把圖 4.7.1 的 4 階幻方稱為 L 陣, 用 4 階幻方代替原來的 3 階幻方。 其他步驟同前。

L

1 12 7 14 34

15 6 9 4 34

10 3 16 5 34 8 13 2 11 34 34 34 34 34

圖 4.7.1:

用 A = 3, B = 4, C = 5 的勾股數組分別乘以圖 4.7.1 的 4 階幻方 L, 得到另外 3 個 4 階 幻方, 圖 4.7.2

A = 3L B = 4L C = 5L

3 36 21 42 102 4 48 28 56 136 5 60 35 70 170 45 18 27 12 102 60 24 36 16 136 75 30 45 20 170 30 9 48 15 102 40 12 64 20 136 50 15 80 25 170 24 39 6 33 102 32 52 8 44 136 40 65 10 55 170 102 102 102 102 136 136 136 136 170 170 170 170

圖 4.7.2:

經計算知: (Aij)2+ (Bij)2 = (Cij)2, 即: 1022+ 1362 = 1702 = 28900。

我們把 (Aij)2+ (Bij)2 計算出來, 圖 4.7.3 (左); 再把 (Cij)2 計算出來, 圖 4.7.3 (右)。

(Aij)2+(Bij)2 (Cij)2

25 3600 1225 4900 25 3600 1225 4900 5625 900 2025 400 5625 900 2025 400 2500 225 6400 625 2500 225 6400 625 1600 4225 100 3025 1600 4225 100 3025

圖 4.7.3: 兩個方陣的結果相同

由此, 可以猜想用任意相同奇數的幻方作基圖, 都可以得到勾股弦幻方組。

(14)

4.8. 用 4 階幻方構造 7 5 次方勾股弦幻方組 (6:1 )

A5 + B5 + C5+ D5+ E5 + F5 = G5 用 A = 4, B = 5, C = 6, D = 7, E = 9, F = 11, G = 12 的勾股數組分別乘以圖 4.8.1 的 4 階幻方 L, 得到另外 7 個 4 階幻方, 圖 4.8.1

A= 4L B= 5L C= 6L D= 7L E= 9L F = 11L G= 12L

4 48 28 56136 5 60 35 70170 6 72 42 84 204 7 84 49 98 238 9 108 63126 306 11132 77 154 374 12 144 84 168 408 60 24 36 16136 75 30 45 20170 90 36 54 24 204 105 42 63 28 238135 54 81 36 306165 66 99 44 374 180 72108 48 408 40 12 64 20136 50 15 80 25170 60 18 96 30 204 70 21 11235 238 90 27 144 45 306110 33 17655 374 120 36192 60 408 32 52 8 44136 40 65 10 55170 48 78 12 66 204 56 91 14 77 238 72 117 18 99 306 88143 22 121 374 96 156 24 132 408 136 136 136 136 170 170 170 170 204 204 204 204 238 238 238 238 306 306 306 306 374 374 374 374 408 408 408 408

圖 4.8.1

經過計算知: A、 B、 C、 D、 E、 F , 這 6 個幻方幻和的 5 次方和等於幻方 G 的 5 次方和。

即: 1365+ 1705+ 2045+ 2385+ 3065+ 3745 = 4085 = 11305787424768。

我們把 (Aij)5+ (Bij)5+ (Cij)5+ (Dij)5+ (Eij)5+ (Fij)5 計算出來, 圖 4.8.2 (左) ; 再把 (Gij)5 計算出來, 圖 4.8.2 (右) ,

(Aij)5+(Bij)5+(Cij)5+(Dij)5+(Eij)5+(Fij)5 (Gij)5

248832 61917364224 4182119424 133827821568 248832 61917364224 4182119424 133827821568 188956803072 1934917632 14693280768 254803968 188956803072 1934917632 14693280768 254803968

24883200000 60466176 260919263232 777600000 24883200000 60466176 260919263232 777600000 8153726976 92389580800 7962624 40074641408 8153726976 92389580800 7962624 40074641408

圖 4.8.2: 兩個方陣的結果相同

五、 用 LL 法構造的勾股弦幻方組

用上述兩種方法得到的勾股弦幻方組, 各自的特點是: 「R 法」 是幻和相同, 幻方階數不相 同;「EE 法」 是幻方的階數相同, 而幻和不相同。

我們另闢蹊徑, 用 「幻方的幻和不相同, 幻方的階數也不相同」 的方法得到勾股弦幻方組, 稱為 「LL 法」。

定義1: 由自然數 A, B, C 構成的數組, 並且滿足方程:

A2 + B2 = C2 則稱 A、 B、 C為勾股弦數組。

定義2: 如果勾股弦數組的三個元素兩兩互素 (即他們沒有公約數), 稱為 「本原勾股弦數組」。

如果將一個本原勾股弦數組的各個元素同時乘以一個相同的數, 得到的有公約數的新勾股 弦數組, 則稱為 「倍數勾股弦數組」。

(15)

勾股弦數組是一個古老的數學問題, 勾股弦數組在測量和計算等方面有廣泛的應用, 勾股 弦數組的實際應用, 導致了無理數的重大發現[2]。 為紀念勾股弦數組之功績, 我們用 20 個字來 頌其功績:

奇妙勾股弦, 天下廣流傳, 成就冠寰宇, 萬古流芳遠!

5.1. 3 、 股 4 、 弦 5 幻方組

本文介紹以勾、 股、 弦數組為階次的三個幻方。 這三個幻方的階次是勾股弦數組, 並且他 們的幻和也是勾股弦數組。

定義: 如果由 A2+ B2+ C2 個自然數構成的 A 階、 B 階與 C 階幻方, 它們的幻和分別記作 SA, SB, SC。 如果 A、 B、 C 是勾股弦數組, 即 A2+ B2 = C2。 並且滿足:

SA2 + SB2 = SC2 則稱這 3 個幻方為 「勾股弦幻方組」。

圖 5.1.1 是一個勾股弦幻方組。

22 52 10 16 28 40 46 4 34

A

2 50 48 12 42 18 20 32 24 36 38 14 44 8 6 54

B

7 23 64 15 31 60 11 37 3 29 33 9 25 56 17 21 62 13 39 5 19 35 1 27 58

C 圖 5.1.1

上圖 A、 B、 C 三個幻方是一組 「勾股弦幻方組」, 其 「幻和」 分別為 S3 = 84, S4 = 112, S5 = 140。 它們的階次 3、 4、 5 是一個勾股弦數組; 它們幻和的平方和是:

842+ 1122 = 1402,

即: 7056 + 12544 = 19600, 也是一個勾股弦數組。 所以 A、 B、 C 是勾股弦幻方組。

其中:

(1) 3 階幻方與 4 階幻方具有雪花幻方的性質。

(2) 5 階幻方都具有全對稱幻方的性質。 即每行、 每列及各條對角線 (包括折斷對角線) 上的 n 個元素之和都等於定值。

(3) 3 階幻方與 4 階幻方全部由偶數所組成。

(16)

(4) 在 5 階幻方中僅僅使用了 56、 58、 60、 62、 64, 五個偶數, 其餘全部是奇數。

對於勾股弦幻方組, 我們得到下面的結果:

1. 不存在由連續自然數構成的 「本原勾股弦幻方組」;

2. 存在由連續自然數構成的 「倍數勾股弦數組 (A、 B、 C 為本原數組的偶數倍)」 階次的幻 方。

5.2. 倍數勾股弦數組 勾 6 、 股 8 、 弦 10 幻方組

下面我們給出由連續自然數 1, 2, . . ., 200 構作的 A = 6, B = 8, C = 10 的勾股弦幻 方組 (圖 5.2.1, 圖 5.2.2, 圖 5.2.3)。 其中 A 是一個分層幻方, 內心 (粗實線所圍的) 是一個 4 階全對稱幻方, 整體是一個 6 階幻方。 C 也是一個分層幻方, 內心 (粗實線所圍的虛線部分) 的 8 × 8 方陣與 B 陣是一對 「8 階同值平方幻方」。

圖 5.2.1: A, S6 = 603, S4 = 402 圖 5.2.2: B, S8 = 804, S82 = 91724

圖 5.2.3: S10= 1005; S8 = 804, S82 = 91724

(17)

62+ 82 = 102, 6032+ 8042 = 10052.

對於勾股弦幻方組 Z 陣元素的選擇, 有很多種方法, 請讀者自己發掘。 如果找到新的 Z 陣元素, 構造出新的勾股弦幻方組, 將使您忘記疲勞和煩惱, 而帶來無窮的樂趣 !

5.3. 勾股弦數組的拓廣 A

3

、 B

4

、 C

5

、 D

6

幻方組

在洛書中, 有一組勾股弦數組, 即 32+ 42 = 52。 我們把他稱為 3 元數組, 因為該數組共 有 3 個元素。

另有 3 次冪和相等的 4 元數組, 即: 33+ 43+ 53 = 63。 我們稱為 「拓廣勾股弦數組」。

下面我們討論 4 元幻方組。

圖 5.3.1: 是 A = 3、 B = 4、 C = 5、 D = 6 的拓廣勾股弦幻方組。

圖 5.3.1

各個幻方幻和的3 次方之和, 即 1503+ 2003+ 2503 = 3003 = 27000000。

我們可以造出由連續自然數 1∼344 組成的 6、 8、 10、 12 階幻方組 (圖 5.3.2, A, B, C, D) 。

圖 5.3.2: A, S6 = 1035, 中心部分 S4 = 690

(18)

123 113 171 165 194 244 172 105 190 187 236 170 242 168 206 205 131 133 102 224 195 184 145 135 178 234 233 153 220 183 136 185 115 107 138 188 119 146 202 118 117 179 213 208 156 229 152 231 186 191 149 106 120 141 221 142 235 216 215 148 176 217 108 134 163 122 164 201 127 198 219 241 169 128 237 211 182 223 181 144 218 147 126 104 159 154 196 239 225 204 124 203 110 129 130 197 226 199 143 227 228 166 132 137 189 116 193 114 167 111 112 192 125 162 209 160 230 238 207 157 103 177 139 140 214 212 243 121 150 161 200 210 222 232 174 180 151 101 173 240 155 158 109 175

圖 5.3.2: D, S12= 2070, S122 = 77810, S123 = 72325800

圖 5.3.2, C 的中心部分 (粗實線所圍的) 是一個 8 階幻方平方幻方, 其 1 次、 2 次幻 和與圖 5.3.2 B 相同, 並且這兩個幻方的每行上 16 個元素的 S16 = 2760, S162 = 654616;

S163 = 174509280。 對於這類幻方, 我們稱為 「同值平方幻方」。

真是: 同值幻方妙趣無窮, 幻和相等模樣相同, 數理蘊藏左右對稱, 誰大誰小難分伯仲。

(19)

圖 5.3.2. D 的幻方由連續自然數 101∼244 構成。 其兩條對角線上的 S124 = 14389435574。

各個幻方幻和的 3 次方之和, 即 10353+ 13803+ 17253 = 20703 = 8, 869, 743, 000。

六、 構造勾股弦幻方組的三種方法大薈萃

截止目前, 有 3 種方法可以造出勾股弦幻方組。 李學數提議構造一組勾股弦幻方組 — 使 他們的幻和等於 2016, 或者與 2016 有關聯以示紀念。 這三個方法都可以造出其幻和等於 2016 的年份, 倘若錯過 2016 這個年份, 必須再等 12 年才能符合這個條件。 12 年, 對於年輕朋友來 說, 只是瞬間而已, 但對於我們來說, 是非常漫長和艱辛的, 甚至是不可能的。 但我們渴望在有 生之年再造幾次與年份有關的勾股弦幻方組 . . . .。

第一種方法, R 法: 下面是用第一種 R 法, 造出幻和等於 2016 的 3 個幻方, 圖 6.1

A= 3

671 676 669 2016 670 672 674 2016 675 668 673 2016 2016 2016 2016

B= 4

496 511 510 499 2016 508 501 502 505 2016 503 506 507 500 2016 509 498 497 512 2016 2016 2016 2016 2016

C= 5

114 132 1506 123 141 2016 1504 121 144 112 135 2016 142 115 133 1502 124 2016 131 1505 122 145 113 2016 125 143 111 134 1503 2016 2016 2016 2016 2016 2016

圖 6.1

驗算: 60482+ 80642= 100802 = 36578304 + 65028096 = 101606400。

第二種方法: 下面是用 EE 法, 構造 3 個 5 階幻方, 圖 6.2, 使他們的幻和之和等於 2016 的 (把原來 3 階或 4 階拓廣到 5 階)。 用 3 個 5 階幻方分別滿足勾股弦幻方組。

SA= 168 × 3 SB= 168 × 4 SC= 168 × 5

4 32 404 18 46 504 9 37 552 23 51 672 14 42 700 28 56 840 402 16 49 2 35 504 550 21 54 7 40 672 698 26 59 12 45 840 47 5 33 400 19 504 52 10 38 548 24 672 57 15 43 696 29 840 31 403 17 50 3 504 36 551 22 55 8 672 41 699 27 60 13 840 20 48 1 34 401 504 25 53 6 39 549 672 30 58 11 44 697 840 504 504 504 504 504 672 672 672 672 672 840 840 840 840 840

圖 6.2

(20)

上面 3 個幻方的幻和分別用 SA, SB, SC 來表示, 他的幻和之和 = SA+ SB+ SC

即: 504 + 672 + 840 = 2016。

這 3 個 5 階幻方的平方和滿足勾股弦幻方組的關係:

SA2 + SB2 = SC2, 即 5042+ 6722= 8402= 254016 + 451584 = 705600,

3 個子幻方的 25 個元素之和分別等於 504 × 5 = 2520, 672 × 5 = 3360, 840 × 5 = 4200, 他們也滿足勾股弦數組的性質, 即:

25202+ 33602= 42002 = 6350400 + 11289600 = 17640000.

第三種方法: LL 法

在富蘭克林誕辰 310 周年 (1706∼2016) 之際, 李學數教授提議設計一個 「紀念富蘭克林 誕辰 310 周年幻方」, 來紀念這位身兼多職的著名科學家, 待刊。

富蘭克林幻方是迄今為止奇妙性質最多的幻方, 《有趣的數論》 一書 (潘承彪譯, 北大出版 社出版) 稱為 「最神奇的幻方」 而享譽國際, 開 「曲線幻方」 研究之先河, 深受幻方愛好者所崇 敬。

在這裏, 我們用 LL 法設計一組 (3 個) 幻方其幻和之和等於 2112 的勾股弦幻方組來等 待 「勾股弦幻方組」 三種構造方法 96 周年的到來, 2112 是一個回文數, 頗有意義。 3 個幻方如 下圖 6.3 之 A、 B、 C:

528 175 351 2 528 A= 3 176 349 528 350 1 177 528 528 528 528 528

704 4 347 346 7 704 344 9 10 341 704 B= 11 342 343 8 704 345 6 5 348 704 704 704 704 704 704

880 15 23 796 19 27 880 794 17 30 13 26 880 C= 28 16 24 792 20 880 22 795 18 31 14 880 21 29 12 25 793 880 880 880 880 880 880 880

圖 6.3

在上面 3 個幻方中, 528 + 704 + 880 = 2112.

幻方的階數: 32+ 42 = 52 = 25;

幻和的平方和: SA2 + SB2 = SC2 即:

5282+ 7042 = 8802 = 278784 + 495616 = 774400.

(21)

七、 結語

勾股弦幻方組的問世給幻方家族增添了新成員, 增加了活力, 豐富了幻方的研究內容。 在 構造勾股弦幻方組中, 我們應用了多種方法 [7, 8, 9, 10], 例如: 洛書法、 方陣定位法、 直接書寫 法、 分層法、 平方幻方法、 同值平方幻方法等。 有興趣的讀者不妨解剖一下各個幻方, 希望得到 更好的結果。 此文僅僅是引玉之磚, 但願經過幻友的努力增加更多的新品種, 例如勾股弦幻圓、

勾股弦幻立方體、 勾股弦幻球, 等等。

幻方遠景展望

俗話說: 人生不滿百, 常懷千歲憂。

到了 2112 年, 要想造出新幻方, 就更加輕鬆。 由現在的 「舉手」 之勞, 就變成了 「開口」 之 勞, 只要對電腦 「說」 出要求, 一切由 「高智能電腦」 來完成, 哪裡還用得著 「撥打算盤珠子呢!」

不過, 即便是到了 3000 年, 也有電腦難以解決的幻方問題。 就現在的電腦而言, 僅僅是解 決了 「k = 1、 2 次冪和幻方」 的構造問題。 也有人用電腦搜索的方法得到了連作者自己也 「不 會構造」 的高次冪和幻方。 對於 k > 20 的冪和幻方尚未出現。 即便解決了 k > 20、 k > 10000 的冪和幻方問題, 那在數字海洋裏也不過是滄海一粟而已。 並且, 目前的電腦對於雙重幻方尚無 能為力, 如果給雙重幻方再加上一個冪和幻方的條件 — 即:「k 次冪和積幻方」 (k = 1, 2, 3 . . . ) , 更是 「太平洋裏撈針」 了。

這就是幻方研究能歷經幾千年而長興不衰的魅力, 並且是一個永無止境的課題!

參考資料

1. Royal Vale Heath, Mathemagic — Magic, Puzzles, Games with Numbers, Dover, 1953.

2. Emanuel Emanouilidis, More magic squares, Journal of Recreational Mathematics 27 (3), 179-180, 1995.

3. Emanuel Emanouilidis, Construction of Pythagorean magic squares, The Mathematical Gazette, 89(514), 99-101, Mar. 2005.

4. Sherlock Holmes in Babylon, Edited by Marlow Anderson, Victor Katz, and Robin Wilson, Mathematical Association of America, 2004.

5. 梁宗巨。《世界數學史簡編》。 遼寧人民出版社。 1980。

6. 李學數。《數學與數學家的故事》。 上海科技出版社。 2015。

7. 梁彩麗、 梁培基。 偶數階幻方的快速構作。 數學傳播季刊, 20(4), 88-92, 1996。

8. 梁培基、 張航輔、 張俠輔。 幻方的一種構作方法。 昆明 《雲南大學學報》。 1989 年四期。

9. 梁培基、 顧同新。 平方幻方與雙重幻方的構造。 數學傳播季刊, 13(3), 65-69, 1989。

10. 梁培基。 優化幻方的構作。 數學傳播季刊, 40(3), 65-77, 2016。

本文作者梁培基任職中國河南省封丘縣科協, 李學數為美國聖荷西大學退休榮譽教授

參考文獻

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