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特徵值與特徵向量

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Academic year: 2022

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(1)

第七章

特徵值與特徵向量

7.1 特徵值與特徵向量 7.2 對角化

7.3 對稱矩陣與正交對角化 7.4 特徵值與特徵向量的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者

R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

(2)

7.1 特徵值與特徵向量



特徵值問題 (eigenvalue problem)

若A為一n

×

n矩陣,在R

n

中是否存在著非零向量x, , , ,使 得Ax與x之間存在著倍數關係?



特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector) A:n

×

n 矩陣

A:n

×

n 矩陣

λ :純量

x: Rn

中的非零向量

x Ax =

λ

特徵值



幾何表示

(3)



範例 1: 證明特徵值與特徵向量



 

= −

1 0

0 A 2





= 0 1 x1

1

1 2

0 2 1 0

2 0

1 1 0

0

2 x

Ax  =



 =

 

= 









= −

特徵值





= 1 0 x2

1 1 0 −10 0 0

2

2 ( 1)

1 1 0 1

0 1

0 1 0

0

2 x

Ax  = −



 =

 

= −









= −

特徵值

特徵向量 特徵向量

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.527-528

(4)



定理 7.1: λ 的特徵向量可形成一個子空間 (Subspace) 若A為一n

×

n矩陣,且 λ 為 A的一個特徵值,則 對應於 λ 的所有特徵向量與零向量可構成一個 R

n

的子空間,稱為特徵空間(eigenspace)

證明:

x 與x 為特徵值 λ 所對應的特徵向量

x

1

與x

2

為特徵值 λ 所對應的特徵向量

)

,

. .

(

i e Ax

1 =

λ x

1

Ax

2 =

λ x

2

)

. . (

) (

) (

) 1 (

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

的特徵向量 為對應於λ

x x

e i

x x

x x

Ax Ax

x x

A

+

+

= +

= +

=

+

λ λ λ

) (

) (

) (

) (

) 2

(

A cx

1 =

c Ax

1 =

c λ x

1 =

λ cx

1

(5)



範例 3:平面中的特徵空間

求下列矩陣的特徵值及所對應的特徵空間

 

 

= 0 1 0

A

1

假設

v = (x ,y)

解:

 

 

=

 

 

 

=

y

x y

A x

1 0

0 v 1

假設

v = (x ,y)

 

 

=

 

=

 

 

 

1 0 0

0 1

0

0

1

x x x

位於x軸的向量 特徵值為 λ

1 = −1

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.530

(6)

位於y軸的向量

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

y y

y

1 0 0

0 1

0

0 1

特徵值為 λ

2 =1

就幾何上來說,矩陣A與在R

2

中的向量的乘積為對稱 於y軸的映射

於y軸的映射

對應於 的特徵空間為x軸 對應於 的特徵空間為y軸

1 = −1

λ

2 =1

λ

(7)



定理 7.2:矩陣的特徵值與特徵向量 令A為一個

n×n

矩陣

0 )

I

det(λ −

A

= (1) A的特徵值為一數值

λ ,使得

(2) A相對應於

λ 的特徵向量為

det(

λ

IA) = 0

的非零解



注意:

 AMn×n

的特徵多項式 (characteristic polynomial)

0 1

1

) 1

I ( )

I

det(

λ

A =

λ

A =

λ

n + cn

λ

n +L+ c

λ

+ c

 A的特徵方程式 (characteristic equation) 0

) I

det(

λ

A =

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.531

(λI −

A

)

x

= 0

時有非零解,若且唯若

det(

λ

I A) = 0

0 )

I (

− =

=

x A x

Ax

λ λ (齊次系統)

(8)



範例 4:求特徵值與特徵向量

 

 

= −

5 1

12

A

2

解:特徵方程式:

12 ) 2

I

( −

=

λ

λ

A

0 )

2 )(

1 (

2 3

5 1

12 ) 2

I (

2 + + = + + =

=

+

= −

λ λ

λ λ

λ λ

A

λ

特徵值為: λ

1 = −1,

λ

2 = −2 2

, 1 −

=

λ

(9)

0 12

4

    

x

1

) 1

(

λ

1 = −

0

1 , 4 4

0 0

4

~ 1 4 1

12 3

0 0 4

1

12 ) 3

I (

2 1 2 1 1

 ≠

 

= 



 

= 



 

⇒ 



 

 −



 



 

= 



 



 

= −

t t t

t x

x x

x x A

Q

λ

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.531-532

2 )

2

(

λ

2 = −

0

1 , 3 3

0 0

3

~ 1 3 1

12 4

0 0 3

1

12 ) 4

I (

2 1 2 1 2

 

=

 

 

=

 

 

⇒ 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= −

t t t

t x

x x x x

A

Q

λ

:

Check Ax = λ

i

x

(10)

 

 

=

2 0

0

0 2

0

0 1

2

A



範例 5:求特徵值與特徵向量

求特徵值、特徵向量與每個特徵值所對應特徵空間的 維度

解:特徵方程式:

0 )

2 (

2 0

0

0 2

0

0 1

2

I = − 3 =

− −

= −

λ

λ λ λ

A

λ

特徵值為: λ

= 2

(11)

對應於 λ

= 2

的特徵向量為:





 =







 −

=

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0 1 0

) I

(

3 2 1

x x x x

λ

A

0 ,

, 0 0 0

1

2 0

1

  

 

+

 

 

=

 

 

=

 

 

t s t

s s

x x

0 ,

, 1 0 0

0 0

3

2

 

 

+

 

=

 

=

 

t s t

s t

x x

的特徵空間 為對應於

2

, 1 0 0 0

0 1

=

 

 

 

 

+

 

λ

R t

s t

s

故特徵空間的維度為2

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.534

(12)



注意:

(1) 若特徵值

λ

1

為特徵多項式的k個重根,

則 λ

1

的重數(multiplicity)為k

(2) 特徵值的重數往往會大於或等於其特徵空間的維度

(13)



範例 6:

求A之特徵值與其對應特徵空間的一組基底

 

 

 

 

= −

3 0

0 1

0 2

0 1

10 5

1 0

0 0

0 1

A

解:特徵方程式:

0 )

3 )(

2 (

) 1 (

3 0

0 1

0 2

0 1

10 5

1 0

0 0

0 1

I

2 − − =

=

− −

−− − −

=

λ λ

λ

λ λ λ λ

λ A

特徵值為: λ

1 =1,

λ

2 = 2,

λ

3 = 3

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.534-535

(14)

1 )

1

(

λ

1 =









=

















= −

0 0 0 0

2 0

0 1

0 1

0 1

10 5

0 0

0 0

0 0

) I

(

4 3 2 1

1

x x x x x

λ

A

0 2 1

0 2

2 1

0 0

2 0

0 1 10

5 0

0

0 0

0

0 1





−









−









 −





s

t x

x

2 0

2 0 ,

1 0













−









時所對應特徵空間

的一組基底

=1

λ

0 ,

, 1 2 0

0 0 1 2

0 0

0 0

0 0

0 0

2 1

0

~ 0

2 0

0 1

0 1

0 1

10 5

0 0

4 3

2





 



 +





 



=





 



=





 







 







 



− −

s t s t

t t s

x x x

(15)

2 )

2

(

λ

2 =









=

















= −

0 0 0 0

1 0

0 1

0 0

0 1

10 5

1 0

0 0

0 1

) I

(

4 3 2 1

2

x x x x x

λ

A

5 0 5

0 0

5 1

0

0 0

0 1

10 5

1 0

0 0

0

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t

x

0 1 5 0

















時所對應特徵空間

的一組基底

= 2

λ

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.535

0

, 0 1 5 0

5 0

0 0

0

1 0

0 0

0 5 1

~ 0 1 0

0 1

0 0

0 1

10 5

1 0

4 3

2

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− −

t t

t t

x

x

x

(16)

3 )

3

(

λ

3 =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

0 0 0 0

0 0

0 1

0 1

0 1

10 5

2 0

0 0

0 2

) I

(

4 3 2 1

3

x x x x x

λ A

5 0 5

0 5

0 1

0

0 0

0 1

10 5

2 0

0 0

0

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t

x

0 5 0

 

 

 

 

 

 

為 時所對應特徵空間 的一組基底

= 3 λ

0

, 1 0

5 0

5 0

0 0

0

0 1

0 0

5 0

1

~ 0 0 0

0 1

0 1

0 1

10 5

2 0

4 3

2

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

t t

t t

x

x

x

(17)



定理 7.3:三角矩陣的特徵值

若A為一個n

×

n的三角矩陣,則其特徵值為其主對角 線上的元素



範例 7:求對角矩陣及三角矩陣的特徵值





= 1 1 0 0 0

2 )

(a A

 

 

= 0 0 0 0 0 0 0

0 2

0

0 0

0 0

1 )

(

b A



 



 −

=

3 3

5

0 1

1 )

(a A

 

 

 

= −

3 0

0 0

0

0 4

0 0

0

0 0

0 0

0 )

(

b A

解:

) 3 )(

1 )(

2 (

3 3

5

0 1

1

0 0

2 I

)

( = − − +

+

=

λ λ λ

λ λ

λ λ

A

a

3 ,

1 ,

2 2 3

1 =

λ

=

λ

= −

λ

3 ,

4 ,

0 ,

2 ,

1 )

(

b λ

1 = −

λ

2 =

λ

3 =

λ

4 = −

λ

5 =

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.536

(18)



線性轉換的特徵值與特徵向量

稱為特徵空間 包含零向量

的特徵向量集合 量,而所有

的一個特徵向 對應於

稱為 的特徵值,向量

稱為線性轉換

,則

,使得 若存在一非零向量

) (

:

) (

λ

λ λ λ

T V

V T

T

x

x x

x

=

(19)



範例 8:求特徵值與特徵空間

解:

 

 

=

2 0

0

0 1

3

0 3

1

A

求下列矩陣的特徵值與其相對應的特徵空間

解:

) 4 (

) 2 (

2 0

0

0 1

3

0 3

1

2

+

=

 

 

+

=

− λ λ

λ λ

λ λ

I A

2 ,

4 2

1 =

λ

= −

λ

特徵值為

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.537-538

的基底 的基底 分別為

兩個特徵值的特徵空間

2

)}

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 1 {(

4

)}

0 , 1 , 1 {(

2 2

1 1

=

=

=

=

λ λ

B

B

(20)



注意:

)}

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 {(

'

(1) 3 3

=

B

A A'

B' T

A' R

T:R B'

特徵值

的 主對角線的元素為

的矩陣,且 相對於基底

對角矩陣 的一組非標準基底,則

為 令

 

 

− −

=

2 0

0

0 2

0

0 0

4 '

A 的特徵向量

A

 

0 0 − 2

的特徵向量

A

的特徵值 A

的特徵值 的主對角線元素為

矩陣 A′ A

(2)

(21)

摘要與復習 (7.1節之關鍵詞)

 eigenvalue problem: 特徵值問題

 eigenvalue: 特徵值

 eigenvector: 特徵向量

 characteristic polynomial: 特徵多項式

 characteristic equation: 特徵方程式

 characteristic equation: 特徵方程式

 eigenspace: 特徵空間

 multiplicity: 重數

(22)

7.2 對角化



對角化問題 (diagonalization problem)

對於方陣A,是否存在一可逆矩陣P使得P

-1

AP為對角矩陣



可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)

一方陣A稱為可對角化矩陣,若存在一可逆矩陣P使



注意:

(1)若存在一可逆矩P使得

,則A與B兩方陣

稱為相似矩陣(similar matrix)

AP P

B

= 1

(2)特徵值問題與對角化問題兩者關係密切

一方陣A稱為可對角化矩陣,若存在一可逆矩陣P使

得P

-1

AP為對角矩陣 (P對角化A)

(23)



定理 7.4:相似矩陣具有相同的特徵值

若A與B為n

×

n相似矩陣,則他們具有相同的特徵值 證明:

AP P

B B

A 與 為相似矩陣 ⇒

= 1

P A P

AP P

P P

AP P

B = − = − = −

− I I ( I )

I

λ

1 1

λ

1 1

λ

λ

A

A P

P A

P P

P A P

P A P

AP P

P P

AP P

B

=

=

=

=

=

=

=

I

I I

I

) I

( I

I I

1 1

1

1 1

1 1

λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

A與B具有相同的特徵多項式 故A與B具有相同的特徵值

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.543-544

(24)



範例 1:可對角化矩陣





= −

2 0

0

0 1

3

0 3

1 A

解:特徵方程式:

0 3

1 −

λ

0 )

2 )(

4 (

2 0

0

0 1

3

0 3

1

I = − + 2 =

− +

−− −

=

λ λ

λ λ λ A λ

2 ,

2 ,

4 2 3

1 =

λ

= −

λ

= −

λ

特徵值為:

特徵向量為

= 4

)

1

( λ

 

= 1 1

p

1 (見p.501 範例5)

(25)

特徵向量為

− ⇒

= 2 )

2

(

λ



 =



=

1 0 0

, 0

1 1

3

2 p

p

 

 

=

 

 

=

=

2 0

0

0 2

0

0 0

4 1

0 0

0 1 1

0 1

1 ]

[

p

1

p

2

p

3

P

1

AP

P

(見p.501 範例5)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.543





=





=

=





=





=

=

4 0

0

0 2

0

0 0

2 0

1 0

1 0

1

1 0

1 ]

[

2 0

0

0 4

0

0 0

2 1

0 0

0 1

1

0 1

1 ]

[

1 1

3 2

1 3

1 2

AP P

p p

p P

AP P

p p

p P



注意:

(1)

(2)

(26)



定理 7.5:可對角化的條件

一n

×

n的矩陣A為可對角化,若且唯若它有n個線性獨 立的特徵向量

證明:

可對角化 A

) (⇒

1

AP P

D

P 使得

=

為對角矩陣 存在一可逆矩陣

) , , , ( ]

[ 1 2 1 2

1

n

n

D diag

p p

p P

AP P

D P

λ λ

λ L

L

=

=

=

為對角矩陣 使得

存在一可逆矩陣

0 0

0 0

0 0

]

[ 2

1

2 1

n

pn

p p

PD

λ λ λ

L

M O

M M

L L L









=

(27)

PD AP

Ap Ap

Ap

AP n

=

=[ 1 2 L ]

Q

) .

. (

, , 2 , 1

,

的特徵向量 為

的行向量 p A P

e i

n i

p Ap

i i

i

i =

λ

=

K

線性獨立 為可逆矩陣 p p p

n

P

1, 1,

L

,

Q ⇒

個線性獨立的特徵向量 具有

A 具有 n 個線性獨立的特徵向量 故 A n

n

p

n

p p n

A

λ λ

λ L

L

,

,

, ,

) (

2 1

2 1

分別對應於特徵值

個線性獨立的特徵向量

具有

n i

p

Ap

i =

λ

i i, =1, 2,

K

, ] [

p

1

p

2

p

n

P

=

L

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.545-546

(28)

PD p

p p

p p

p

Ap Ap

Ap p

p p

A AP

n

n n

n n

=

 

 

 

 

=

=

=

=

λ λ λ

λ λ

λ

L

M O

M M

L L L

L

L L

0 0

0 0

0 0

] [

] [

] [

] [

2 1

2 1

2 2 1

1

2 1

2 1

n





0 0

L λ

可對角化

為可逆矩陣 線性獨立

A

D AP

P

P p

p

p

n

=

−1 1

1, ,

L

,

Q



注意:若不存在n組線性獨立的向量

則n×n矩陣A不可對角化

(29)



範例 4:不可對角化

為不可對角化矩陣

證明 



= −

2 0

0

0 1

3

0 3

1 A

解:特徵方程式:

0 )

1 2 (

I − =

λ

−1 − =

λ

2 =

λ

A ( 1) 0

1 0

2

I − =

λ

−1

λ

−− =

λ

2 =

λ

A

1 =1

λ

特徵值為:

 

 

=

 ⇒

 

 

 

=

=

− 0

1 0

0

1

~ 0 0

0

2

I

A I A

0

特徵向量為 p

1

λ

A沒有兩個線性獨立的特徵向量 故A不可對角化

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.547

(30)

 n×n方陣對角化步驟

步驟二:令 P

=[

p

1

p

2

L p

n]

步驟一:找出n個線性獨立的特徵向量 p

1,

p

2,

L p

n

步驟三:

 

 

=

=

D AP

P λ λ

L L

0 0

0 0

2 1

1

 

 

 

 

=

=

n

D AP

P

λ λ

L

M O

M M

L

0

0

0

0 2

1

n i

p

Ap

i =

λ

i i, =1, 2,

K

,

其中,



注意:構成矩陣P中所使用特徵向量的順序將會決定特徵值

出現在D之主對角線上的順序

(31)



範例 5:矩陣對角化

為對角矩陣 使得

求矩陣P P AP A

1

1 1

3

1 3

1

1 1

1





= −

解:特徵方程式:

0 )

3 )(

2 )(

2 (

1 1

3

1 3

1

1 1

1

I = − + − =

+

−− −

−−

=

λ λ λ

λ λ λ

A

λ

3 ,

2 ,

2 2 3

1 =

λ

= −

λ

=

λ

特徵值為:

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.548-549

(32)

1 = 2

λ

 

 

 

 

− −

=

0 0

0

0 1

0

1 0 1

~ 3

1 3

1 1

1

1 1

1

1I

A

λ

 

 

=

 

 

=

 

 

=

 

 

1 0

1

1 0

1

0 1

3 2 1

p t

t t

x x x

特徵向量















 x

3

t

1 1

2 = −2

λ





 −





− −

−−

=

0 0

0

1 0

0 1

~ 1 1

3

1 5

1

1 1

3

I 41

4 1

2 A

λ

 

 

=

 ⇒

 

 

=

 

 

=

 

 

1

1

1 1

t 2

4 1 4

1 4 1

2 1

p t

t x

x

特徵向量

(33)

3 = 3

λ

 

 

 

− −

=

0 0

0

1 1

0

1 0

1

~ 4

1 3

1 0

1

1 1

2

3I

A

λ

 

 

=

 

 

=

 

 

=

 

 

1 1

1

1 1

1

t 3

3 2 1

p t

t t

x x x

特徵向量















 x

3

t

1 1

 

 

=

 

 

=

=

3 0

0

0 2

0

0 0

2

1 4

1

1 1

0

1 1

1 ]

[

1

3 2

1

AP P

p p

pP

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.548-549

(34)



注意:k是一個正整數

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

k n k

k

k

n

d

d d

D d

d d

D

L

M O

M M

L L

L

M O

M M

L L

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

) 1

( 2

1 2

1

1 )

2

( D = P AP

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

) (

) (

) (

) (

) )(

(

) (

)

2 (

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=

=

=

P A P

AP AA

P

AP PP

PP A

PP A

P

AP P

AP P

AP P

AP P

D

AP P

D

k k k

(35)



定理 7.6:可對角化的充份條件

若n

×

n矩陣A有n個不同的特徵值,則對應的特徵向量 為線性獨立且A為可對角化矩陣

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.550

(36)



範例 7:判斷A是否可對角化

=

3 0

0

1 0

0

1 2

1 A

解:因為A為三角矩陣,其特徵值為

3

, 2 ,

2 = − =

=

λ λ

λ

1 = 2,

λ

2 = −2,

λ

3 = 3

λ

因為三個特徵值均不同,故A為可對角化矩陣

(定理7.6)

(37)



範例 8:求線性轉換的對角矩陣

解:

的矩陣為一對角矩陣 相對於

使得 中的基底

為 線性轉換

B T

B R

x x

x x

x x

x x

x x

x x T

R R

T

3

3 2

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1

3 3

) 3

, 3

, (

) , , (

:

− +

− +

+

=

T的標準矩陣為

[ ]

 

 

=

=

1 1

3

1 3

1

1 1

1 )

( )

( )

(e1 T e2 T e3 T

A

T的標準矩陣為

) 7.6 (

3 ,

2 ,

2 5

3 2

1

定理 可對角化

因此

同 可知,三個特徵值均不 由範例

A

=

=

=

λ λ

λ

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.552

(38)

)}

1 , 1 , 1 ( ), 4 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1

{(− − −

= B

) 1 , 1 , 1 ( ),

4 , 1 , 1 ( ),

1 , 0 , 1

( 2 3

1 = − p = − p = −

p

因此,範例5中三個線性獨立的特徵向量為

能形成一組基底B

則對於這組基底的矩陣D為一對角矩陣 則對於這組基底的矩陣D為一對角矩陣

[ ]

[ ]

[ ]

 

 

=

=

=

=

0 2

0

0 0

2

] [

] [

] [

] [

] [

] [

] ) ( [ )]

( [ ] ) ( [

3 3 2

2 1

1

3 2

1

3 2

1

B B

B

B B

B

B B

B

p p

p

Ap Ap

Ap

p T p

T p

T D

λ λ

λ

(39)

摘要與復習 (7.2節之關鍵詞)

 diagonalization problem: 對角化問題

 diagonalization: 對角化

 diagonalizable matrix: 可對角化矩陣

(40)

7.3 對稱矩陣與正交對角化



對稱矩陣 (symmetric matrix)

方陣A若相等於自己的轉置矩陣,則稱A為對稱矩陣

AT

A = 即



範例 1:何者為對稱矩陣

 

 

= 1 3 0 2 1

0

A  

 

=

5 0

2

0 3

1

A





= 3 1 3 B 4

 

 

= 1 4 0 1 2

3

C

為對稱矩陣 A

為對稱矩陣 B

為不對稱矩陣

C

(41)



定理7.7:對稱矩陣的特徵值

若A為一n

×

n的對稱矩陣,則以下的性質為真 (1) A可對角化

(2) A的所有特徵值均為實數

(3) 若A的特徵值 λ 具有重數k,則 λ 具有k個線性獨立

(3) 若A的特徵值 λ 具有重數k,則 λ 具有k個線性獨立

的特徵向量。亦即 λ 的特徵空間的維度為k

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.3節節節節 p.557

(42)



範例 2:證明對稱矩陣為可對角化





= c b c A a

證明:特徵方程式:

0 )

( 2

2 − + + − =

− =

−− −

=

a c a b ab c

A

I

λ λ λ λ

λ

− = − − = −(a +b) + abc = 0 b

A c

I

λ λ λ

λ

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

4 )

(

4 2

4 4

2 )

( 4 )

(

c b

a

c b

ab a

c ab

b ab a

c ab b

a

+

=

+ +

=

+

− +

+

=

− +

二項式的判斷式:

≥ 0

(43)

0 4

) (

) 1

(

a

b

2 +

c

2 = 0

,

= =

a b c

為對角矩陣 0

0



= a

A a

0 4

) (

) 2

(2) (

a

b

)2 + 4

c

2 > 0 (

a

b

2 +

c

2 >

會有兩個實數根 二項式 λ

2 −(

a

+

b

)

λ

+

ab

c

2 = 0

有兩個實數特徵值 A

為可對角化矩陣

A

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.3節節節節 p.558

(44)



正交矩陣 (orthogonal matrix)

一方陣P為正交若P為可逆且 P

−1 =

P

T

=

=

=

0 1 0 1

(a) P

為正交,因為

P 1 PT



Ex 4:正交矩陣

 

 

=

=

 

= −

0 1

1 0

0 1

1

(a) P 0

為正交,因為

P 1 PT

 

 

 

 

= −

=

 

 

 

 

=

5 0 3

5 4

0 1

0 5

0 4 5

3

5 0 3

5 4

0 1

0 5

0 4 5

3

(b)

P 為正交,因為 P

1

P

T

(45)



定理 7.8: 正交矩陣的性質

一n

×

n矩陣P為正交若且唯若它的行向量可形成一單

範正交集

(46)



範例 5: 證明P為正交矩陣





=

5 3

5 5

3 4 5

3 2

5 1 5

2

3 2 3

2 3

1

0 P

解:若P為正交矩陣,則

P1 = PTPPT = I

I 1

0 0

0 1

0

0 0

1 0

0

5 3

5 3

2

5 3

4 5

1 3

2

5 3

2 5

2 3

1

5 3

5 5

3 4 5

3 2

5 1 5

2

3 2 3

2 3

1

 =



=









=

PPT

I

⇒ =

= P PP P

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

3 2

5 3 1 3 2

5 2 2 3 1

1 ,

p

,

p

0

p

(47)

1

0

3 2

1

3 2

3 1

2 1

=

=

=

=

=

=

p p

p

p p

p p

pp

為單範正交集

}

, ,

{

p

1

p

2

p

3

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 7.3節節節節 pp.561-562

(48)



定理 7.9: 對稱矩陣的性質

令A為一n

×

n的對稱矩陣。若 λ

1

λ

2

為A的不同特徵值,

則其相對的特徵向量x

1

與x

2

為正交

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