第七章
特徵值與特徵向量
7.1 特徵值與特徵向量 7.2 對角化
7.3 對稱矩陣與正交對角化 7.4 特徵值與特徵向量的應用
Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者
R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授
7.1 特徵值與特徵向量
特徵值問題 (eigenvalue problem)
若A為一n
×n矩陣，在R
n中是否存在著非零向量x， ， ， ，使 得Ax與x之間存在著倍數關係？
特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector) A：n
×n 矩陣
A：n
×n 矩陣
λ ：純量
x： Rn
中的非零向量
x Ax =
λ
特徵值
幾何表示
範例 1： 證明特徵值與特徵向量
= −
1 0
0 A 2
= 0 1 x1
1
1 2
0 2 1 0
2 0
1 1 0
0
2 x
Ax =
=
=
= −
特徵值
= 1 0 x2
1 1 0 −10 0 0
2
2 ( 1)
1 1 0 1
0 1
0 1 0
0
2 x
Ax = −
−
=
= −
= −
特徵值
特徵向量 特徵向量
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.527-528
定理 7.1： λ 的特徵向量可形成一個子空間 (Subspace) 若A為一n
×n矩陣，且 λ 為 A的一個特徵值，則 對應於 λ 的所有特徵向量與零向量可構成一個 R
n的子空間，稱為特徵空間(eigenspace)
證明：
x 與x 為特徵值 λ 所對應的特徵向量
x
1與x
2為特徵值 λ 所對應的特徵向量
)
,
. .
(
i e Ax
1 =λ x
1Ax
2 =λ x
2)
. . (
) (
) (
) 1 (
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
的特徵向量 為對應於λ
x x
e i
x x
x x
Ax Ax
x x
A
+
+
= +
= +
=
+
λ λ λ
) (
) (
) (
) (
) 2
(
A cx
1 =c Ax
1 =c λ x
1 =λ cx
1
範例 3：平面中的特徵空間
求下列矩陣的特徵值及所對應的特徵空間
−= 0 1 0
A
1假設
v = (x ,y)解：
−
=
−=
y
x y
A x
1 0
0 v 1
假設
v = (x ,y)
−
=
−
=
−1 0 0
0 1
0
0
1
x x x
位於x軸的向量 特徵值為 λ
1 = −1線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.530
位於y軸的向量
=
=
−y y
y
1 0 0
0 1
0
0 1
特徵值為 λ
2 =1就幾何上來說，矩陣A與在R
2中的向量的乘積為對稱 於y軸的映射
於y軸的映射
對應於 的特徵空間為x軸 對應於 的特徵空間為y軸
1 = −1
λ
2 =1
λ
定理 7.2：矩陣的特徵值與特徵向量 令A為一個
n×n矩陣
0 )
I
det(λ −
A
= (1) A的特徵值為一數值λ ，使得
(2) A相對應於
λ 的特徵向量為
det(λ
I − A) = 0的非零解
注意：
A∈Mn×n
的特徵多項式 (characteristic polynomial)
0 1
1
) 1
I ( )
I
det(
λ
− A =λ
− A =λ
n + cn−λ
n− +L+ cλ
+ cA的特徵方程式 (characteristic equation) 0
) I
det(
λ
− A =線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.531
當
(λI −A
)x
= 0時有非零解，若且唯若
det(λ
I − A) = 00 )
I (
⇒
− ==
x A x
Ax
λ λ (齊次系統)
範例 4：求特徵值與特徵向量
−
= −
5 1
12
A
2解：特徵方程式：
12 ) 2
I
( −
=
−
λ
λ
A0 )
2 )(
1 (
2 3
5 1
12 ) 2
I (
2 + + = + + =
=
+
−
= −
−
λ λ
λ λ
λ λ
Aλ
特徵值為： λ
1 = −1,λ
2 = −2 2, 1 −
−
=
⇒
λ
0 12
4
−x
1) 1
(
λ
1 = −0
1 , 4 4
0 0
4
~ 1 4 1
12 3
0 0 4
1
12 ) 3
I (
2 1 2 1 1
≠
=
=
⇒
−
−
−
=
−
= −
−
⇒
t t t
t x
x x
x x A
Q
λ
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.531-532
2 )
2
(
λ
2 = −0
1 , 3 3
0 0
3
~ 1 3 1
12 4
0 0 3
1
12 ) 4
I (
2 1 2 1 2
≠
=
=
⇒
−
−
−
=
−
= −
−
⇒
t t t
t x
x x x x
A
Q
λ
:
Check Ax = λ
ix
=
2 0
0
0 2
0
0 1
2
A
範例 5：求特徵值與特徵向量
求特徵值、特徵向量與每個特徵值所對應特徵空間的 維度
解：特徵方程式：
0 )
2 (
2 0
0
0 2
0
0 1
2
I = − 3 =
− −
−
= −
−
λ
λ λ λ
Aλ
特徵值為： λ
= 2對應於 λ
= 2的特徵向量為：
=
−
=
−
0 0 0 0
0 0
0 0
0
0 1 0
) I
(
3 2 1
x x x x
λ
A0 ,
, 0 0 0
1
2 0
1
≠
+
=
=
t s t
s s
x x
0 ,
, 1 0 0
0 0
3
2
≠
+
=
=
t s t
s t
x x
的特徵空間 為對應於
2, 1 0 0 0
0 1
=
∈
+
λ
R t
s t
s
故特徵空間的維度為2
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.534
注意：
(1) 若特徵值
λ
1為特徵多項式的k個重根，
則 λ
1的重數(multiplicity)為k
(2) 特徵值的重數往往會大於或等於其特徵空間的維度
範例 6：
求A之特徵值與其對應特徵空間的一組基底
= −
3 0
0 1
0 2
0 1
10 5
1 0
0 0
0 1
A
解：特徵方程式：
0 )
3 )(
2 (
) 1 (
3 0
0 1
0 2
0 1
10 5
1 0
0 0
0 1
I
2 − − =
−
=
−
− −
−− − −
=
−
λ λ
λ
λ λ λ λ
λ A
特徵值為： λ
1 =1,λ
2 = 2,λ
3 = 3線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.534-535
1 )
1
(
λ
1 =
=
−
−
−
−
= −
−
⇒
0 0 0 0
2 0
0 1
0 1
0 1
10 5
0 0
0 0
0 0
) I
(
4 3 2 1
1
x x x x x
λ
A0 2 1
0 2
2 1
0 0
2 0
0 1 10
5 0
0
0 0
0
0 1
−
−
−
− s
t x
x
2 0
2 0 ,
1 0
−
⇒
為 時所對應特徵空間
的一組基底
=1
λ
0 ,
, 1 2 0
0 0 1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
0
~ 0
2 0
0 1
0 1
0 1
10 5
0 0
4 3
2 ≠
+
=
=
⇒
−
− −
−
−
− s t s t
t t s
x x x
2 )
2
(
λ
2 =
=
−
−
−
= −
−
⇒
0 0 0 0
1 0
0 1
0 0
0 1
10 5
1 0
0 0
0 1
) I
(
4 3 2 1
2
x x x x x
λ
A5 0 5
0 0
5 1
0
0 0
0 1
10 5
1 0
0 0
0
1 1
−
−
x t
x
0 1 5 0
⇒
為 時所對應特徵空間
的一組基底
= 2
λ
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.535
0
, 0 1 5 0
5 0
0 0
0
1 0
0 0
0 5 1
~ 0 1 0
0 1
0 0
0 1
10 5
1 0
4 3
2 ≠
=
=
⇒
−
− −−
−
t t
t t
x
x
x
3 )
3
(
λ
3 =
=
−
−
= −
−
⇒
0 0 0 0
0 0
0 1
0 1
0 1
10 5
2 0
0 0
0 2
) I
(
4 3 2 1
3
x x x x x
λ A
5 0 5
0 5
0 1
0
0 0
0 1
10 5
2 0
0 0
0
2 1
−
−
−
x t
x
0 5 0
⇒
−為 時所對應特徵空間 的一組基底
= 3 λ
0
, 1 0
5 0
5 0
0 0
0
0 1
0 0
5 0
1
~ 0 0 0
0 1
0 1
0 1
10 5
2 0
4 3
2 ≠
= −
= −
⇒
−
−
−
t t
t t
x
x
x
定理 7.3：三角矩陣的特徵值
若A為一個n
×n的三角矩陣，則其特徵值為其主對角 線上的元素
範例 7：求對角矩陣及三角矩陣的特徵值
−
= 1 1 0 0 0
2 )
(a A
−= 0 0 0 0 0 0 0
0 2
0
0 0
0 0
1 )
(
b A
−
−
=
3 3
5
0 1
1 )
(a A
= −
3 0
0 0
0
0 4
0 0
0
0 0
0 0
0 )
(
b A
解：
) 3 )(
1 )(
2 (
3 3
5
0 1
1
0 0
2 I
)
( = − − +
+
−
−
−
−
=
−
λ λ λ
λ λ
λ λ
Aa
3 ,
1 ,
2 2 3
1 =
λ
=λ
= −λ
3 ,
4 ,
0 ,
2 ,
1 )
(
b λ
1 = −λ
2 =λ
3 =λ
4 = −λ
5 =線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 p.536
線性轉換的特徵值與特徵向量
稱為特徵空間 包含零向量
的特徵向量集合 量，而所有
的一個特徵向 對應於
稱為 的特徵值，向量
稱為線性轉換
，則
，使得 若存在一非零向量
) (
:
) (
λ
λ λ λ
T V
V T
T
xx x
x
→
=
範例 8：求特徵值與特徵空間
解：
−
=
2 0
0
0 1
3
0 3
1
A
求下列矩陣的特徵值與其相對應的特徵空間
解：
) 4 (
) 2 (
2 0
0
0 1
3
0 3
1
2 −
+
=
+
−
−
−
−
=
− λ λ
λ λ
λ λ
I A
2 ,
4 2
1 =
λ
= −λ
特徵值為線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.1節節節節 pp.537-538
的基底 的基底 分別為
兩個特徵值的特徵空間
2
)}
1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 1 {(
4
)}
0 , 1 , 1 {(
2 2
1 1
−
=
−
=
=
=
λ λ
BB
注意：
)}
1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 {(
'
(1) 3 3
−
=
→
B
A A'
B' T
A' R
T:R B'
特徵值
的 主對角線的元素為
的矩陣，且 相對於基底
為
對角矩陣 的一組非標準基底，則
為 令
− −
=
2 0
0
0 2
0
0 0
4 '
A 的特徵向量
A
0 0 − 2的特徵向量
A
的特徵值 A
的特徵值 的主對角線元素為
矩陣 A′ A
(2)
摘要與復習 (7.1節之關鍵詞)
eigenvalue problem: 特徵值問題
eigenvalue: 特徵值
eigenvector: 特徵向量
characteristic polynomial: 特徵多項式
characteristic equation: 特徵方程式
characteristic equation: 特徵方程式
eigenspace: 特徵空間
multiplicity: 重數
7.2 對角化
對角化問題 (diagonalization problem)
對於方陣A，是否存在一可逆矩陣P使得P
-1AP為對角矩陣
可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)
一方陣A稱為可對角化矩陣，若存在一可逆矩陣P使
注意：
(1)若存在一可逆矩P使得
，則A與B兩方陣
稱為相似矩陣(similar matrix)
AP P
B
= −1(2)特徵值問題與對角化問題兩者關係密切
一方陣A稱為可對角化矩陣，若存在一可逆矩陣P使
得P
-1AP為對角矩陣 (P對角化A)
定理 7.4：相似矩陣具有相同的特徵值
若A與B為n
×n相似矩陣，則他們具有相同的特徵值 證明：
AP P
B B
A 與 為相似矩陣 ⇒
= −1P A P
AP P
P P
AP P
B = − = − = −
− I − − I − − ( I )
I
λ
1 1λ
1 1λ
λ
A
A P
P A
P P
P A P
P A P
AP P
P P
AP P
B
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
I
I I
I
) I
( I
I I
1 1
1
1 1
1 1
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
A與B具有相同的特徵多項式 故A與B具有相同的特徵值
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.543-544
範例 1：可對角化矩陣
= −
2 0
0
0 1
3
0 3
1 A
解：特徵方程式：
0 3
1 −
λ
−0 )
2 )(
4 (
2 0
0
0 1
3
0 3
1
I = − + 2 =
− +
−− −
=
−
λ λ
λ λ λ A λ
2 ,
2 ,
4 2 3
1 =
λ
= −λ
= −λ
特徵值為：
特徵向量為
= 4
⇒
)1
( λ
= 1 1
p
1 (見p.501 範例5)特徵向量為
− ⇒
= 2 )
2
(
λ
=
−
=
1 0 0
, 0
1 1
3
2 p
p
−
−
=
⇒
−
=
= −
2 0
0
0 2
0
0 0
4 1
0 0
0 1 1
0 1
1 ]
[
p
1p
2p
3P
1AP
P
(見p.501 範例5)
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.543
−
−
=
⇒
−
=
=
−
−
=
⇒
−
=
=
−
−
4 0
0
0 2
0
0 0
2 0
1 0
1 0
1
1 0
1 ]
[
2 0
0
0 4
0
0 0
2 1
0 0
0 1
1
0 1
1 ]
[
1 1
3 2
1 3
1 2
AP P
p p
p P
AP P
p p
p P
注意：
(1)
(2)
定理 7.5：可對角化的條件
一n
×n的矩陣A為可對角化，若且唯若它有n個線性獨 立的特徵向量
證明：
可對角化 A
) (⇒
1
AP P
D
P 使得
= −為對角矩陣 存在一可逆矩陣
) , , , ( ]
[ 1 2 1 2
1
n
n
D diag
p p
p P
AP P
D P
λ λ
λ L
L
==
= −
及
令
為對角矩陣 使得
存在一可逆矩陣
0 0
0 0
0 0
]
[ 2
1
2 1
n
pn
p p
PD
λ λ λ
L
M O
M M
L L L
=
PD AP
Ap Ap
Ap
AP n
=
∴
=[ 1 2 L ]
Q
) .
. (
, , 2 , 1
,
的特徵向量 為
的行向量 p A P
e i
n i
p Ap
i i
i
i =
λ
=K
線性獨立 為可逆矩陣 p p p
nP
1, 1,L
,Q ⇒
個線性獨立的特徵向量 具有
故 A 具有 n 個線性獨立的特徵向量 故 A n
n
p
np p n
A
λ λ
λ L
L
,,
, ,
) (
2 1
2 1
分別對應於特徵值
個線性獨立的特徵向量
⇐
具有
n i
p
Ap
i =λ
i i, =1, 2,K
, ] [p
1p
2p
nP
=L
令
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.545-546
PD p
p p
p p
p
Ap Ap
Ap p
p p
A AP
n
n n
n n
=
=
=
=
=
λ λ λ
λ λ
λ
L
M O
M M
L L L
L
L L
0 0
0 0
0 0
] [
] [
] [
] [
2 1
2 1
2 2 1
1
2 1
2 1
n
0 0L λ
可對角化
為可逆矩陣 線性獨立
A
D AP
P
P p
p
p
n⇒
=
∴
⇒
−1 1
1, ,
L
,Q
注意：若不存在n組線性獨立的向量
則n×n矩陣A不可對角化
範例 4：不可對角化
為不可對角化矩陣
證明
= −
2 0
0
0 1
3
0 3
1 A
解：特徵方程式：
0 )
1 2 (
I − =
λ
−1 − =λ
− 2 =λ
A ( 1) 01 0
2
I − =
λ
−1λ
−− =λ
− 2 =λ
A1 =1
λ
特徵值為：
=
⇒
−=
−
=
− 0
1 0
0
1
~ 0 0
0
2
I
A I A
0特徵向量為 p
1λ
A沒有兩個線性獨立的特徵向量 故A不可對角化
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.547
n×n方陣對角化步驟
步驟二：令 P
=[p
1p
2L p
n]步驟一：找出n個線性獨立的特徵向量 p
1,p
2,L p
n步驟三：
=
− =
D AP
P λ λ
L L
0 0
0 0
2 1
1
=
− =
n
D AP
P
λ λ
L
M O
M M
L
00
0
0 2
1
n i
p
Ap
i =λ
i i, =1, 2,K
,其中，
注意：構成矩陣P中所使用特徵向量的順序將會決定特徵值
出現在D之主對角線上的順序
範例 5：矩陣對角化
為對角矩陣 使得
求矩陣P P AP A
1
1 1
3
1 3
1
1 1
1
−
−
−
−
= −
解：特徵方程式：
0 )
3 )(
2 )(
2 (
1 1
3
1 3
1
1 1
1
I = − + − =
+
−− −
−−
=
−
λ λ λ
λ λ λ
Aλ
3 ,
2 ,
2 2 3
1 =
λ
= −λ
=λ
特徵值為：
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.548-549
1 = 2
λ
− −
−
−
=
−
⇒
0 0
0
0 1
0
1 0 1
~ 3
1 3
1 1
1
1 1
1
1I
A
λ
−=
⇒
−=
−=
⇒
1 0
1
1 0
1
0 1
3 2 1
p t
t t
x x x
特徵向量
x
3t
1 12 = −2
λ
−
−
− −
−
−−
=
−
⇒
0 0
0
1 0
0 1
~ 1 1
3
1 5
1
1 1
3
I 41
4 1
2 A
λ
−
=
⇒
−
=
−
=
⇒
11
1 1
t 2
4 1 4
1 4 1
2 1
p t
t x
x
特徵向量
3 = 3
λ
−
− −
−
=
−
⇒
0 0
0
1 1
0
1 0
1
~ 4
1 3
1 0
1
1 1
2
3I
A
λ
−=
⇒
−=
−=
⇒
1 1
1
1 1
1
t 3
3 2 1
p t
t t
x x x
特徵向量
x
3t
1 1
−
=
⇒
−
−
−
=
=
−
3 0
0
0 2
0
0 0
2
1 4
1
1 1
0
1 1
1 ]
[
1
3 2
1
AP P
p p
p 令 P
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 pp.548-549
注意：k是一個正整數
=
⇒
=
k n k
k
k
n
d
d d
D d
d d
D
L
M O
M M
L L
L
M O
M M
L L
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
) 1
( 2
1 2
1
1 )
2
( D = P− AP
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
) (
) (
) (
) (
) )(
(
) (
)
2 (
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
=
⇒
=
P A P
AP AA
P
AP PP
PP A
PP A
P
AP P
AP P
AP P
AP P
D
AP P
D
k k k
定理 7.6：可對角化的充份條件
若n
×n矩陣A有n個不同的特徵值，則對應的特徵向量 為線性獨立且A為可對角化矩陣
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.550
範例 7：判斷A是否可對角化
−
−
=
3 0
0
1 0
0
1 2
1 A
解：因為A為三角矩陣，其特徵值為
3, 2 ,
2 = − =
=
λ λ
λ
1 = 2,λ
2 = −2,λ
3 = 3λ
因為三個特徵值均不同，故A為可對角化矩陣
(定理7.6)
範例 8：求線性轉換的對角矩陣
解：
的矩陣為一對角矩陣 相對於
使得 中的基底
求
為 線性轉換
B T
B R
x x
x x
x x
x x
x x
x x T
R R
T
3
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 3
) 3
, 3
, (
) , , (
:
− +
− +
+
−
−
=
→
T的標準矩陣為
[ ]
−
−
−
−
=
=
1 1
3
1 3
1
1 1
1 )
( )
( )
(e1 T e2 T e3 T
A
T的標準矩陣為
) 7.6 (
3 ,
2 ,
2 5
3 2
1
定理 可對角化
因此
同 可知，三個特徵值均不 由範例
A
=
−
=
=
λ λ
λ
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.2節節節節 p.552
)}
1 , 1 , 1 ( ), 4 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1
{(− − −
= B
) 1 , 1 , 1 ( ),
4 , 1 , 1 ( ),
1 , 0 , 1
( 2 3
1 = − p = − p = −
p
因此，範例5中三個線性獨立的特徵向量為
能形成一組基底B
則對於這組基底的矩陣D為一對角矩陣 則對於這組基底的矩陣D為一對角矩陣
[ ]
[ ]
[ ]
−
=
=
=
=
0 2
0
0 0
2
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] ) ( [ )]
( [ ] ) ( [
3 3 2
2 1
1
3 2
1
3 2
1
B B
B
B B
B
B B
B
p p
p
Ap Ap
Ap
p T p
T p
T D
λ λ
λ
摘要與復習 (7.2節之關鍵詞)
diagonalization problem: 對角化問題
diagonalization: 對角化
diagonalizable matrix: 可對角化矩陣
7.3 對稱矩陣與正交對角化
對稱矩陣 (symmetric matrix)
方陣A若相等於自己的轉置矩陣，則稱A為對稱矩陣
ATA = 即
範例 1：何者為對稱矩陣
−= 1 3 0 2 1
0
A
−=
5 0
2
0 3
1
A
= 3 1 3 B 4
−
= 1 4 0 1 2
3
C
為對稱矩陣 A
為對稱矩陣 B
為不對稱矩陣
C
定理7.7：對稱矩陣的特徵值
若A為一n
×n的對稱矩陣，則以下的性質為真 (1) A可對角化
(2) A的所有特徵值均為實數
(3) 若A的特徵值 λ 具有重數k，則 λ 具有k個線性獨立
(3) 若A的特徵值 λ 具有重數k，則 λ 具有k個線性獨立
的特徵向量。亦即 λ 的特徵空間的維度為k
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.3節節節節 p.557
範例 2：證明對稱矩陣為可對角化
= c b c A a
證明：特徵方程式：
0 )
( 2
2 − + + − =
− =
−− −
=
− a c a b ab c
A
I
λ λ λ λ
λ
− = − − = −(a +b) + ab − c = 0 bA c
I
λ λ λ
λ
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
4 )
(
4 2
4 4
2 )
( 4 )
(
c b
a
c b
ab a
c ab
b ab a
c ab b
a
+
−
=
+ +
−
=
+
− +
+
=
−
− +
二項式的判斷式：
≥ 0
0 4
) (
) 1
(
a
−b
2 +c
2 = 0,
= =
⇒ a b c
為對角矩陣 0
0
= a
A a
0 4
) (
) 2
(2) (
a
−b
)2 + 4c
2 > 0 (a
−b
2 +c
2 >會有兩個實數根 二項式 λ
2 −(a
+b
)λ
+ab
−c
2 = 0有兩個實數特徵值 A
為可對角化矩陣
⇒ A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.3節節節節 p.558
正交矩陣 (orthogonal matrix)
一方陣P為正交若P為可逆且 P
−1 =P
T
−=
==
0 1 − 0 1(a) P
為正交，因為
P 1 PT
Ex 4：正交矩陣
−=
=
= − −
0 1
1 0
0 1
1
(a) P 0
為正交，因為
P 1 PT
= −
=
−= −
5 0 3
5 4
0 1
0 5
0 4 5
3
5 0 3
5 4
0 1
0 5
0 4 5
3
(b)
P 為正交，因為 P
1P
T
定理 7.8： 正交矩陣的性質
一n
×n矩陣P為正交若且唯若它的行向量可形成一單
範正交集
範例 5： 證明P為正交矩陣
=
−
−
−
5 3
5 5
3 4 5
3 2
5 1 5
2
3 2 3
2 3
1
0 P
解：若P為正交矩陣，則
P−1 = PT ⇒ PPT = II 1
0 0
0 1
0
0 0
1 0
0
5 3
5 3
2
5 3
4 5
1 3
2
5 3
2 5
2 3
1
5 3
5 5
3 4 5
3 2
5 1 5
2
3 2 3
2 3
1
=
=
= −
−
−
−
−
−
PPT
I
⇒ =
= P PP P
=
=
= −
3 2
5 3 1 3 2
5 2 2 3 1
1 ,
p
,p
0令 p
1
0
3 2
1
3 2
3 1
2 1
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
p p
p
p p
p p
p 則 p
為單範正交集
}, ,
{
p
1p
2p
3線性代數線性代數
線性代數線性代數: 7.3節節節節 pp.561-562
