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國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文
國小二年級學生數學溝通能力之行動研究
研究生：許淑珠 撰 指導教授：梁淑坤 博士
中華民國九十四年一月
國小二年級學生數學溝通能力之行動研究
目 次
第一章 緒論
第一節 研究動機………1
第二節 研究目的………4
第三節 名詞釋義………4
第二章 文獻探討 第一節 數學溝通的學習理論基礎………5
第二節 數學溝通的意義與內涵………9
第三節 數學溝通研究的相關實徵研究………18
第四節 進行數學溝通教學的實施策略………23
第五節 近期數學課程演變與二年級數學教材分析………33
第三章 研究方法 第一節 行動研究法………39
第二節 研究者即工具………42
第三節 實地工作策略………44
第四節 資料的整理與分析………53
第五節 研究限制………57 第四章 發現與討論
第一節 學生所呈現的數學溝通能力………58
第二節 教師的班級經營方式及教學策略………79
第三節 進行數學溝通活動在實際運作上的困難與解決方法…85 第四節 教學者的省思與成長……… 102
第五章 結論與建議 第一節 結論……… 109
第二節 建議……… 113
參考書目 一、中文部分………115
二、英文部份………118
附錄 附錄一 觀察記錄原案舉隅………123
附錄二 教學者的省思札記………142
附錄三 參觀者的隨手記錄………145
附錄四 學生回饋問卷………147
附錄五 學生回饋問卷統計………149
附錄六 數學活動記錄單………153
圖次
圖 3-1 行動研究歷程的階段………41
圖 3-2 教室平面圖………45
圖 3-3 研究流程………53
圖 4-1 行動研究歷程圖………102
表次
表 2-1 有意義問答討論類型與例隅………28
表 2-2 社會常規摘要表………31
表 2-3 社會數學常規摘要表………32
表 2-4 康軒版第三冊數學教材細目………36
表 3-1 教學計畫表………47
表 3-2 二年 B 班的日課表………48
表 3-3 各種原案資料編碼的意義………54
表 3-4 資料歸檔………55
表 4-1 進行數學溝通活動所遭遇的困難與解決的方式…100 表 4-2 學生的數學能力與溝通能力分布情況………108
第一章 緒論
本研究希望藉由教學活動的進行，瞭解二年級學生在課堂上表現出數學 溝通的情況，同時探討實施的困難與解決方法，並且讓教師對教學做自我 檢視與反省。本章將說明研究動機、目的，並對本研究裡的名詞加以解釋。
第一節 研究動機
一、世界潮流的趨勢
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，
簡稱 NCTM）在 1980 年所發表的行動綱領（Agenda for Action）中建議：
80 年代的數學教育應以問題解決為中心（NCTM, 1980）；接著在 1989 年發 表的課程與評鑑標準（Curriculum and evaluation standards for school mathematics）中，則提出數學是解題、溝通、推理、連結的新數學觀（NCTM, 1989 ）； 此 後 在 1991 年 發 表 的 數 學 教 學 的 專 業 標 準 （ Professional Standards for Teaching Mathematics）中，就分別述說教師和學生在溝 通討論中應扮演的角色（NCTM, 1991）；而在 2000 年出版的數學教育的原 則與標準（Principles and Standards for School Mathematics）中，更 明確強調（NCTM, 2000）：
數學教學的規劃應使用溝通以促進數學的理解，讓全部學生能-- 透過溝通來組織和統一他們的數學想法；向同儕、教師和其他人，條理分 明地表達數學上的想法；分析和評斷他人的數學想法和策略；使用數學語 言，清晰地表達數學的概念。
二、國內課程的規定
自從中華民國 82 年 9 月教育部公佈國民小學數學課程標準，強調學生 主動建構知識及培養學生溝通、討論、講道理和批判事物的精神（教育部，
1993）以來，對現今國小數學教學產生莫大的衝擊。在教育現場的教師，
長久以來習慣使用教師主導的講述法，面對這樣的教育改革不免感到困
惑、焦慮，因為這樣的數學學習觀念和教學法跟過去所持之教學理念有很 大的不同，教師面臨極大的挑戰。但是為了因應現代的數學教育趨勢，教 師似乎必須調整自己的教學。
在民國 82 年所公佈的數學課程標準的重點，已將數學視為溝通的工 具，這個重點與國外的 NCTM 所建議的相同。因為數學符號是一種語言，假 如我們讓兒童用這種語言來與人溝通且能有效地運用數學於日常生活中，
那麼就必須讓兒童覺得數學對他有意義才行。因此，在教學活動的安排上，
協助兒童掌握自己的解題活動，進而協助兒童使用正式的數學語言來描述 自己的解題活動，就變成是一件很重要的事。
往後發展到民國 92 年 11 月新公佈的國民中小學九年一貫課程綱要的數 學學習領域也將數學溝通能力視為總目標之一，這正是延續 82 年的數學教 育目標中所要達到的「培養學生以數學語言溝通、討論、講道理和批判事 物的精神」（教育部，1993）。因此，提升學生數學溝通能力，應是教師努 力的方向。
三、教育工作者的疑惑及措施
儘管數學溝通活動無論在世界趨勢也好，國內規定也好，均對數學學習 是如此的重要，但根據研究者在小學服務多年的經驗，發現數學溝通活動 在數學教學中仍然很少被教師採用。低年級教師們的反映是：低年級學生 的溝通能力不足，說不出來或者是學生不會回答。中、高年級教師則認為 進度問題、秩序問題、學生溝通能力問題及無法熟練計算能力等問題使得 他們裹足不前。
此外師生不具備數學溝通技巧，學生缺少參與的意願，並且在討論時教 室秩序常常難以控制等原因，以致比講述法更費時費事，造成教學進度落 後（張俊紳，1993），使得多數教師在使用效果不彰下，放棄教室內的數學 溝通活動。
以研究者的教學現場經驗而言，研究者曾經在中、高年級的數學課裡採 用討論解題、互相溝通的方式進行教學，相信藉由數學語言的傳達與溝通，
能增進學生對數學概念的理解。
然而想要學生具備數學溝通能力，在低年級階段應先培養學童的發表能
力。根據游麗卿（1999）研究發現，約有四分之一的小學一年級學生在數 學課能具有溝通的能力，其溝通能力包括說明自己解題想法，和與教室成 員溝通彼此解題想法兩方面，顯示他們已經具有相當的溝通能力，但資料 分析也同時顯示，這些學生並不是在每個時機都穩定的表現出這樣的能 力，而且約有四分之三的學生還沒能表現出這些能力。另外，Andrews（1997）
也強調，要讓學生能夠享受做數學的樂趣的最好途徑，就是在教室中鼓勵 學生的溝通討論。因此研究者相信學生的數學溝通能力在低年級階段可經 由指導訓練而提升。
近年來，很多教師在教育現場，藉由行動研究的方式致力於改善學校情 境中教師教學與學生學習品質之意願，企圖應用於實務工作中的挑戰，並 且以一種反省思考的方式來改革困境（夏林清等譯，1998）。因此，行動研 究可解釋為教師對其教學實務的研究，是一種對教室教學的探究，因為集 中於教師為研究者的工作，因此具有本質上的發展性和以下的兩項目的：
最直接的就是為了提升學生學習而改善其教學實務；其次是為了獲得教室 情境中的理解，讓教師所教導的事物成為教學知識的一部分（Feldman ＆ Minstrell, 2000）。
研究者認為目前國內關於數學溝通的研究多以教室觀察方式來進行研 究，如：許馨月（2001）、翁嘉聲（2001），或是以協同行動研究的方式，
如：陳淑娟（1999）。可是，以上這幾篇研究報告多著重在高年級的數學討 論活動，對於低年級的實際教學與困難較少著墨，有待進一步的探討。
綜合以上所述，「數學溝通」既然是國內外課程和教學現場的重要取向，
隨之而來的問題便是教師了解在教室現場，學生表現出的數學溝通能力為 何，才能做為改進的依據。本研究希望以實際的行動，由教師研究自己的 教學，除了落實課程與教學的革新，也讓身歷其境的教師自行解決自己面 臨的問題，並從中獲得學習與成長的機會。目前研究者任教二年級導師，
為了研究的方便性，因此採用行動研究法，希望透過實務教學的行動，瞭 解二年級學生數學溝通能力的教學狀況以及困難與限制，並且經由研究的 歷程，呈現教師在研究中所獲得的成長。希望本研究能夠為有心想提升學 生數學溝通能力的教師提供一個教學的情境範例。
第二節 研究目的
綜合上述的研究動機，本研究的研究目的如下：
1. 探討國小二年級學生所呈現的數學溝通能力。
2. 瞭解教師的數學教室經營方式及教學策略。
3. 瞭解教學現場中，進行數學溝通活動所遇到的困難與解決方法。
4. 透過行動研究，教師反思自己的教學專業成長。
第三節 重要名詞釋義
數學溝通
溝通包括理解與表達，所以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖 形，或口語中所傳遞的數學資訊，另一方面，也要能以書寫、圖形，或口 語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。本研究以口語表達為主，
書寫和圖形表達為輔。
第二章 文獻探討
本研究旨在探討國小二年級數學教學中，促進學生數學溝通能力的實施 情況以及所遇到的困難與解決方法，並且透過研究的歷程呈現教學者的成 長。所以本章將探討國內外有關數學溝通的文獻資料，希望透過文獻的探 討，瞭解數學溝通的意義、內涵，教學活動，實施策略以及分析教材，以 作為本研究的依據。因此，本章分為五個部分來加以論述：第一節探討數 學溝通的學習理論基礎，第二節探討數學溝通的意義與內涵，第三節探討 數學溝通研究的相關實徵研究，第四節為進行數學溝通活動的實施策略，
第五節則針對近期數學課程演變與二年級上學期的數學教材做分析。
第一節 探討數學溝通的學習理論基礎
心理學者對人類學習行為的研究一直是從事教育工作者的指標，不同 的學習觀帶來不同的教學理論與行為，這一點我們可從行為主義與認知學 派不同的學習理論，清楚的看出其所主張及延伸的教學行為亦大不相同。
受到行為主義的影響，教育學者強調課程安排中行為目標的建立，教師在 教學的實施中需重視學生行為的增強與連結，而認知學者則認為資料需經 心智處理的過程，學生互動本身即能增進學生學習的成就。認知心理學者 如 Piaget、Vygotsky 認為讓兒童環繞在適當的作業上互動，可增進他們精 熟重要的概念。
在數學的的教育領域中，心理學的研究同樣也深深影響著數學的教學歷 程。近年來 Piaget、Vygotsky 兩人的認知發展理論，更為數學教學帶來許 多新風貌。
壹、Piaget 的認知發展論
按照 Piaget 的觀點，對客體的認識是一個“同化”的過程，即是把對 象納入（整合）到已有的認知結構中，經由此過程，客體才獲得了真正的 意義（鄭毓信，1998）。更明白的說，認知（knowing）發展的主要方式是
透過活動的方式，不斷地重新組織個體內的組織，這種認知活動乃是假設 主體內在預存這一種認知的結構（structure），及一般心理學界所稱的“基 模”（schema），會在外在事實與內在結構發生衝突之時，主動地經由同化
（assimilation）與調適（accommodation）作用進行自我調節，使個體的 認知結構達到新的平衡，並發展出另一個新的基模，成為個體將來詮釋所 經驗世界的基礎。
Piaget 也 對 知 識 的 獲 得 方 式 提 出 發 生 知 識 論 （ genetic epistemology），其重要的意義有：Piaget 的理論中，智力再也不是如古典 的認知論所描述的那樣是神祕的和形而上的東西；Piaget 提出兩個重要的 相互作用的概念：組織與功能，或者說結構與功能。另一方面，Piaget 把 智力這個認識論的中心問題之一置於主體－客體的相互關係之中去加以研 究。對 Piaget 來說，知識（智力）再也不是先天的和從天上掉下來的（客 觀唯心主義），也不是人腦對現實事務機械和照相般的反映（機械唯物主 義），而是介乎於兩者之間的第三種東西－主體（認識者）和客觀（被認識 者）相互作用的一種結果（或效果）。這樣一來，任何取其一端的作法都是 荒謬的，只有兩端相互作用的“過程”（而不是折衷）才是真實的。換句 話說，認識是主體與客體交互作用的一種過程，知識「智力、智慧」是這 種過程的結果。個體的知識是透過活動逐漸建構而來的，所強調的知識是 認知個體與環境間的交互作用的結果，因此，人類的知識是從活動中不斷 的發展、不斷的再建構，如果沒有活動，將沒有知識的產生。
將社會互動當作是個人認知成長刺激的興趣，應追溯到皮亞傑早期的研 究上（Piaget, 1926）；他強調「衝突」的角色，特別是存在於同儕之間的 衝突，可以用來促進認知的建構。根據皮亞傑的看法，透過與同齡同儕的 衝突與爭議，兒童將可一再看到別人與他不同的觀點（谷瑞敏譯，1995）。
皮亞傑（Piaget ＆ Garcia, 1989, 引自 Kamii, 1985，幸曼玲譯，2001）
指出：
科學是一種社會性事業。當科學家有一個新的發現或發明一個新的理 論時，他會將其發現呈現給社會大眾來查證。在科學的建構裡是沒有一種 像一位老師一樣可以確定判斷事實與虛偽的權威。在科學裡，事實真相只 可被事實證明及嚴謹的邏輯所證明，並且可被後來的科學家所查證。因此，
在科學上，同儕之間的討論及社會認知衝突是進步的必要條件。
假如科學家透過討論及社會認知衝突來建構科學，那麼，孩子也應該是 透過討論及社會認知衝突來建構數學。在數學教育裡，如果孩子透過討論 及嚴謹的思考來堅固地建構出他們自己的知識，那麼，在每一學年的一開 始就再也不需要一而再，再而三地複習之前所教過的知識了。
貳、Vygotsky 的認知發展論
Vygotsky 的認知發展理論是從「社會－文化」或「社會－歷史」的角 度來探討心理現象的發生與發展，尤其是較高階層心理功能的獲得。他認 為個體心理能力的發生根源於社會，其發展的歷程受到歷史、社會、文化 的影響，特別重視社會文化脈絡對發展的重要性。此外，Vygotsky 亦提出 內化作用（internalized），認為所有高層次的功能源於人們實際互動的過 程中，而由人際間的社會歷程轉為個人內在的心理歷程是一長期發展的結 果（簡淑貞，1998）。因此，語言的使用得以讓人類從低層次轉換為高層次 的心理功能，從生物性進到社會－歷史性層面，進而學習社會文化，創造 新的文化（引自陳淑敏，1994）。此外，「可能發展區」（Zone of Proximal Development,ZPD）是 Vygotsky 心理發展理念的重要概念，主要是探討學 習與發展間的關係，其所決定的是兒童無法獨立解決，但在協助之下可以 解決問題的能力所在的區域。然而，Piaget 和 Vygotsky 認知發展論最大的 不同在於 Vygotsky 增添了非自發性概念的看法，不同於 Piaget 認為概念 的產生是藉由自己過去經驗推論而得。Vygotsky 強調個體經由分享集體的 知識，進而促進本身知識的成長，而語言將是重要的傳遞工具。此種說法 啟發了社會建構主義的形成，對數學教學來說亦是很重要的發展趨勢。
根據 Vygotsky（1978）的社會文化理論所認為，認知是一種非常複雜 的社會現象。社會經驗會形成思想及解釋世界的方法，在社會化形成心智 思考的過程中，語言也扮演非常重要的角色，因為那是我們最原始的溝通 及與別人心智互動的途徑。藉著語言，我們可以心理化的呈現社會經驗，
也是思考的必要工具（Vygotsky, 1978）。因為 Vygotsky 認為語言是介於 社會文化世界與個人心智功能之間的重要橋樑，因此他把語言的獲得看成 是孩子心智發展上最重要的里程碑（谷瑞敏譯，1995）。
Vygotsky 認為高層心智發展根源於社會，受主體意志調整不受環境控 制，語言具有中介的功能，是歷史演變的工具，可以協助個體由低層次的 心智發展到高層次。個體心智能力發展，都必須先經過外在的社會活動，
再經內化作用將外在的活動轉移內在的意識。Vygotsky 強調語言符號在心 理發展上的重要性，語言是人類創造出來組織思想的工具。語言是社會互 動的產物也是重要的溝通工具，人際間的互動需仰賴語言符號。個體經語 言符號所遭遇的刺激加以修正，調整行為控制環境（鄭明長，1999；陳淑 敏，1994；陳埩淑，2000）。
Vygotsky 的認知發展理論也企圖說明個體的心智如何運作以適應所處 的社會環境，他的心理發展理論主要的重點有以下四個部分（甄曉蘭、曾 志華，2002）：
（一）強調社會文化的重要性
對 Vygotsky 而言，個體的心理發展是起源於社會的並且受社會文化所 影響，先是透過原始的較低層次的能力在人際間互動使用語言歷程中便會 產生思考重新建構和組織意義，進而轉變為較高層次的心理能力。
（二）說明內化作用的歷程
人類任何較高的心理認知功能從人際間的互動轉移到個人內在心理的 歷程稱之為內化作用（Confrey, 1995）。內化是一種「得到控制外在符號 形式的歷程」（Wertsch, 1985）。在這歷程中可以看出人類高層與低層心理 功 能 的 差 異 至 少 包 括 四 點 ： 1. 從 受 環 境 控 制 轉 移 到 個 體 主 觀 的 規 約
（voluntary regulation）；2.個體可以有意識地了解到心理的歷程；3.較 高的心理功能是起源於社會且具社會性特質；4.使用符號（signs）居間中 介（mediate）較高的心理功能（Wertsch, 1985）。
（三）注重語言使用的重要性
從 Vygotsky 的觀點，人類之所以有異於動物的高層心理表現最重要的 指標就是符號（特別是語言）的使用。它尤其注重從語言與思考的關係來 界定認知的發展，認為語言不但是社會文化的產物，同時也是組織思想的 工具，在個體學會使用語言時，其心理功能便產生了徹底的改變（陳淑敏，
1994）。個體藉由語言符號重新調整自己的意識，因此隨著個體語言能力和 社會經驗不斷的增加，其較高層次的邏輯思考能力也得以不斷地提升。
（四）解說可能發展區（zone of proximal development）的功能 所謂「可能發展區」是 Vygotsky（1978）提出的概念，它將發展分成 兩個層次：一是實際的發展層次，是兒童能夠獨立解決問題的層次；另一 個是潛在的發展層次，是兒童在成人的引導下或與能力較佳的同儕合作才 能解決問題的層次。兩個層次之間的差距就是「可能發展區」。
「可能發展區」提供了心理學家和教育者一種可以了解個體內在發展活 動的工具（Vygotsky, 1978），這種發展區的假設不僅可以用來診斷學生目 前的學習層次，也可以用來指引學生未來發展的方向及可能性，同時更啟 發了教育者了解學生透過與他人的互動能增進認知發展的重要性。
第二節 數學溝通的意義與內涵
在數學教室裡進行的溝通可以就兩種形式來看。一個是語言溝通，一個 是數學符號（表徵）的使用。本節將探討數學溝通的意義與內涵，一共分 為五個部分，第一部分探討溝通的定義與特徵；第二部分探討溝通的益處 與功能；第三部分探討語言與數學學習；第四部分探討數學表徵問題，第 五部分探討屬於低年級學生的溝通方式。
壹、數學溝通的定義與特徵
溝通（communication）一詞是指經由語言或其他符號將一方之訊息、
意見、態度、知識、觀念以至感情等傳到對方的歷程。溝通時多半有固定 對象；溝通時可為雙向也可為單向（張春興，1989）。溝通技巧則是指在與 人溝通意見時所具備的語言表達能力。溝通包括理解與表達兩種能力，所 以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學 資訊，另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學 語言表達自己的意思（教育部，2003）。
教室內溝通討論解題的過程，猶如一個小型的數學社群，學生在這個數 學社群中，猶如一個小小的數學家，將自己的意見表達出來並與他人交換 意見。學生在討論的過程中，建構屬於自己的數學意義（Cobb, et al,.
1991）。
蔡文煥（1991）指出，小組討論學習的教學方式具有以下兩種特徵：第 一種，討論過程中，學生的解題方式遭遇學習同儕的挑戰與質疑，有助於 學生的反省，檢驗他們自己的信仰與策略，並且放棄那些顯然支持不住的 觀點。至於第二種，討論的過程中，可以藉由學習同儕提供許多不同的解 題訊息，而這些訊息可能是某些個別學生無法擁有的。藉由解題訊息的互 相幫助，可幫助學生建立問題與先前知識的橋樑，並且有助於學生了解問 題要素之間的關係，以便找出解題的關鍵。
一般而言，在課堂中進行的溝通活動可分為全班討論或小組討論。根據 Gall（1987）所說：討論是一群人聚集在一起，為了達成某種目標，透過 語言表達，傾聽對方和觀察手勢表情等過程，彼此溝通意見。它是兩個人 相互了解的過程，重要的是每個人都願意開放自己的心靈去對待其他人，
真誠的接納別人的觀點當成考慮的重點，並進入對方所理解的範圍與其討 論（Gadamer, 1975）。可見討論過程強調成員間的互動，包括師生與同儕，
這不是知識的單向傳遞，而是注重過程中成員之間的相互影響和協商，是 一種開放的雙向溝通過程而非單向傳遞的。
Arends（1988）認為若要有效率的幫助學生進入討論的情境，教師可運 用適當的一些策略，例如，他提出思考-配對-分享及細語團體兩種策略，
第一種策略思考-配對-分享，實施的程序是：首先教師說明教材之後，提 出具爭議性的問題或討論的題目，讓學生針對問題以一分鐘時間獨自思考 解答（思考），然後讓學生兩兩配對討論其思考的內容，就自己的答案向對 方提出說明、詰難、澄清，分享彼此的觀念，時間約為五分鐘（配對）。最 後教師要求每對向全班發表結論，與全班同學分享（張俊紳，1993）。
至於第二種策略細語團體，則是一種促進大班學生參與討論的好方法
（Arends, 1988），特別適合在國內的小學環境中使用（張俊紳，1993）。
進行的方式是教師將全班分成若干小組，每組以六人為宜，針對教師所提 出的問題進行討論，並推選一人將每一人所提的意見記錄下來，數分鐘後，
記錄者將小組的意見或結論向全班說明，並接受同學的質疑、挑戰。
教室內溝通討論解題的過程，猶如一個小型的數學社群，學生在這個數 學社群中，猶如一個小小的數學家，將自己的意見表達出來並與他人交換 意見。學生在討論的過程中，建構屬於自己的數學意義（Cobb, et al,.
1991）。
Jones et al.（1980）等人指出，小組討論學習的方式具有以下的特性：
1. 小組面對面的學習團體像是社會的縮影，兒童同時也具有他自己與 眾不同的特性。
2. 團體討論的原則，因文化間的不同而有差異。
3. 溝通討論是一動力狀態，其歷程受團體內、外的許多因素所影響。
4. 小組成員必須熟練討論的技巧，注意討論進行的歷程，選擇對自己 有用的觀念並嘗試、試驗其他不同取向的觀點。
貳、溝通的益處和功能
討論有助於學生使用語文幫助思考，並且把我們自己的概念和別人的概 念聯繫起來，雙方可能都要修正自己的概念，以適應對上的概念或解釋自 己的概念，以便順利地傳達給對方。此外，討論也有助於概念的結合並激 發新概念（也就是時下所謂的腦力激盪）。聽別人發表意見時，可能在自己 腦海裡閃爍出新概念，這個概念可能不是對方有意要傳達給自己的，但如 果不是聽別人這麼說，自己可能想不到這方面去（陳澤民譯，1995 ；Skemp, 1987）。
學生彼此之間的討論對學習有很大幫助。當我們要輸出概念和別人溝通 時必定變得更自覺。有人說“你能清楚解釋一個問題的內容就表示你已會 做一半了”，我們也說過當你把一個問題的內容和自己的思路，對著一個 傾聽者講解一次後，可能答案或解法就浮現心頭。有一位老師在學生自己 討論而做了一個錯誤敘述時，以高明的技巧去改正。事情是這樣的：一般 老師可能親自或叫另一位學生告訴這位學生，什麼地方出了錯，但這位老 師卻叫這位學生對另一位學生說明自己結論的理由，由此他自動發現錯在 什麼地方，而另一位學生也等於吸收了一個新經驗（陳澤民譯，1995；Skemp, 1987）。
曾志華（1994）概略歸納出溝通有以下三點益處：(1)數學本身是種語 言，在解題教學活動中，「語言形式」控制了整個訊息溝通的輸送與接收，
假使輸送、接收的品質不良，那麼教學的效果必然受到影響 。(2)溝通使 用的工具並不一定是語言，但它卻是解題活動中互通訊息的橋樑。(3)討論
過程中，大家對於所共同面對的問題情境便會在訊息的交流下得到共識，
而學生彼此之間的數學觀念和問題也會進一步釐清和化解。
Cobb（1990）提出，在互動的、溝通的過程中，師生之間必須不斷地詮 釋彼此之間的立場、意圖和期望，然後從彼此建構的互動類型中浮現
（emerge）出討論內容的意義來。
Hoyles（1985）認為溝通討論有助於兒童對數學的理解。他認為言談 在溝通的歷程中扮演著兩種功能，分別是「認知的功能」與「溝通的功能」。
認知的功能在於使用語言，將自己的內在思路描述出來；溝通的功能則在 於將個人的觀念傳達給別人。而討論過程中的認知對立現象，有助於兒童 的數學學習。他認為數學溝通具有以下的功能：
1. 形成個人對數學的觀點。
2. 促使個人回頭去反省這些數學概念。
3. 適當的去使用它。
4. 和他人有效的溝通。
5. 反省他人所提供的觀念。
6. 將他人的觀念合併到自己的觀念中，或是挑戰、合乎邏輯的拒絕別人的 觀念。
從上面的理論中可以知道，在溝通討論的數學學習過程中，透過學生們 彼此之間所提供的不同觀點，可以使學生分享彼此之間的不同經驗。而討 論過程中，質疑、辯護的歷程，可以增加學生反省的機會，提升學生對數 學概念的理解。
參、語言與數學學習
語言是兒童應用來建構事件的抽象表徵與溝通思考的有效工具（Hicks, 1996; Vygotsky, 1978）。
美國數學教師協會（NCTM）鼓勵兒童在數學學習活動中談論數學（talk mathematics），即使用語言進行數學解題的問答討論。學者指出學生在數 學討論歷程中，運作了多元且複雜的認知活動，其包含下列四項活動：(一) 估測，提出解題方法，辯論、批判意見是否合理；(二)根據數學的原理原 則，提出證明與修正不合理的概念的理解與推理（NCTM, 1991）。
從認知發展心理學的觀點，使用語言表達內在心智想法與溝通，是人類 智慧的表現，而且個人語言的表達，也反應出其潛在的概念認知（Miller, 1989）。根據 Piaget 對於語言與思考關係之詮釋，兒童於感覺動作發展階 段末期，使用語言來表徵事物的能力會逐漸發展，欲使兒童從主觀語言的 使用，轉化為具溝通能力的語言，則同儕之間的交互作用是重要的（Piaget, 1973；引自黃幸美，2003）。
俄國的社會文化心理學者 Vygotsky 則認為兒童的語言與思考發展，於 發展初始階段，兩者之間的關係是獨立的，但是幼兒的語言與思考，兩者 獨立平行的現象只是短暫的，約於兩歲左右，語言與思考的發展逐漸交互 影響，兒童使用語言表達個人對於外在世界的認識與理解精確的程度，將 逐漸進步，而且語言在思考與行動的導引上，效率、程度也愈來愈提升，
結果形成多思考，思考也成為內在化的語言（Vygotsky, 1962; 1978）。
Vygotsky 語言初始的功能是溝通的功能，語言是社會互動首要的工具，
表達意見和理解的憑藉，這個溝通的功能通常以個別的單位來分析，和語 言中思考的功能分開，這兩種語言的功能被看成好像是相互平行或獨立 的。事實上，語言包含社會互動和思考的功能，而這兩種功能的關係是如 何，什麼因素促使這兩種功能產生，它們是如何發展的，它們在結構上如 何相互糾纏是尚待探究的問題（引自 Wertsch, 1985）。
在賦予語言意義的過程中，是否對個體本身產生影響呢？Vygotsky 即 認為，語言的使用使得人類發展出高級的心智能力，因為語言的使用使得 人的知覺能力全然改變了，並且進而深化為個人內在思想體系的一部分，
因此，語言與社會經驗增加，邏輯思考能力也就不斷地發展提升；此外，
活動是人與周圍世界的交互作用，解決日常生活課題的過程（引自黃昌誠，
1999）。若將此觀念用於數學教學中，教師使用語言來提出問題、引導學生 從事學習活動，而學生亦使用適當的語言來表示自己的想法或解題問題；
數學語言除了本身即是學習目標之外，也是學習數學知識的重要媒介（蔣 治邦，1994）。
此外，語言的使用使學生的概念藉由口頭形式更主觀化，並且他們的 想法可以更清楚和實用；它對刺激學生的想像力、產生新概念和測試自我 概念是一項很有效的工具；而更進一步是討論教學給學生極大的自主權去
表達他們的感受（張世宗，1997）。因此，語言在數學教學中的使用，不僅 是溝通的橋樑，亦幫助個體重新組織知識、表達自己想法，在討論式的數 學教學中有其不可抹滅的重要性。
數學語言存在的目的在於產生社群間的溝通。知識經由社群成員之間 的對話（dialogue）可以化為用來分享的、具體的意義，語言的表達及含 意對學生的知識建構有很重要的影響（曾志華，1995）。於此，在討論教學 中雖不可不對語言予以重視，但有意義的溝通更是互動教學中不可或缺的 關鍵因素。
Vygotsky 認為兒童使用語言與他人對話，以及在內心裡與自己對話，
對自己的解決問題思考具有助益（黃幸美，2003）。當說話開始轉化為內在 的層次，並且變成自我溝通功能的時候，說話的結構就被調整了。此外，
當從他人引導變成自我引導時，語言的功能也在經歷修訂；逐漸傾向澄清 思考及規範，或獲得對行為的自我控制（谷瑞勉譯，1995）。
肆、數學表徵問題
根據蔣志邦（1994）對數學表徵問題的研究，提出以下的觀點：
一、何謂表徵？
表徵是用某一種型式，將事物或想法重新表現出來，以達成溝通的目 的。表徵可以為任何一種型式，但其功能在於表達想法。
Bruner(1996)由運思方式的觀點，區分三種被運思的材料（表徵）：動 作的（enactive）、圖像的（iconic）、以及符號的（symbolic）表徵。例 如實物或具體物教具（花片、積木），皆為概念的動作表徵，它們可以被實 際操弄。圖像及符號表徵，則是心智活動的產物。
Lesh（1979）則用溝通的觀點，重新描述了表徵的類別：實物情境
（ real-world situations ）、 操 作 具 體 物 （ manipulative aids ）、 圖
（pictures）、口語符號（spoken symbols）、以及書寫符號（written symbols ）。 Lesh 認 為 學 童 能 否 在 不 同 的 表 徵 方 式 中 自 由 轉 譯
（translation），表示其對概念意義的掌握，以「5 個橘子」的實物情境為 例，可以使用「5 個積木」來表徵其「5」的意義，亦可以使用「五個圈圈」、
「ㄨˇ」的語詞、或「5」的符號來表徵，換言之，不論呈現何種表徵，做
為溝通的刺激，接受訊息者皆能轉譯，使用自已的方式重新表徵，而不失 原刺激的意義，同樣地，實物情境的問題或活動，亦可用其他表徵型式來 重新描述，如此的轉譯過程，有助於解決問題以及數學的學習（Lesh, 1981）。
在 Bruner 的討論中，表徵是運思的材料，而運思是個人的活動，所以 其形成的心像或符號，並不必然需要與外人溝通。
在數學知識的演進過程中，某些特殊的表徵型式被選擇出來形成特定的 表徵系統例如印度-阿拉伯數字系統很容易溝通其十進位結構的性質。但是 它在形成系統的同時也產生多重意義的困擾，例如數字符號它具有序數和 基數的多重意義。
二、表徵的功能
在數學活動中，表徵扮演著兩種角色：溝通的媒介與運思的材料，以 一個例子來說明，教師在黑板佈了一道「8+3＝（ ）」的問題，學生拿出 8 個積木，再拿出 3 個，數一數，說出答案是 11。在這個過程中，教師以 書寫符號來呈現問題，學童拿出 8 個及 3 個積木，表示教師的符號已被理 解，但是學童是以具體物，做為解題運思時的材料，當他運思完成後，再 用口語符號，來溝通運思的結果。如果不仔細探討學童的解題過程，可能 會錯誤地以為學童可以進行符號的抽象運思，因為題目和答案皆為符號，
但實際上符號表徵對此學童而言，只具備溝通的功能，而不具備其運思的 功能。
在低年級階段，學童多半進行動作或圖像的運思活動，在動作運思活 動中運思材料是實物、具體物、或圖畫，這些材料都可進行外顯的點數行 動；在圖像運思中，運思的材料是實物、具體物、或圖畫的心像，而進行 內在的點數活動。在基本加減運算範圍中，學童可能發展出符號運思，例 如在合成情境下，只想到 2 和 3 兩個符號，即聯想到 5，但由於此種聯想是 由許多 2 加 3 得到 5 的活動經驗中提昇出來，學童即使只想到符號，但符 號的意義在運思過程中，不會喪失；如果學童只是背誦加法事實，則令人 擔心。
當教師拿出 5 個花片，再拿出 3 個花片，詢問學童這裡有多少的「花片」， 教師是用實物表徵了心中的一個問題，學童面對著這些花片，並無表徵轉
譯的問題，因為刺激是實物的本身，但是如果教師意圖使用花片來表徵橘 子，詢問學童這裡有多少個橘子時，則花片成為橘子的具體物表徵，則學 童面臨表徵轉譯的問題，要理解教師的問題，必須將眼中的花片，轉換成 心中的橘子影像，才能在點數花片的同時，仍保留其橘子的意義，唯有仍 保有橘子意義時，點數花片的結果「8」，才具有 8 個的意義。
在圖畫表徵方面，涉及的問題與具體物表徵相類似，唯一的差別可能 是：圖畫是將心像具體的表現出來，而不是使用外在的材料；在運思過程 中，圖畫不似具體物一般可被任意的移動，但可隨時製作，環境限制較少。
三、具體物與圖畫表徵的功能
此兩種表徵可以發揮四種功能：(一)協助溝通教師問題的題意；(二) 學童解題運思的材料；(三)協助溝通解題過程；(四)作為說理的工具或學 習表徵型式的媒介。
在描述問題情境時，老師可用具體物的操作，來協助溝通題意。例如：
教師一面描述「樹上有 5 隻小鳥」，一面要學童拿出五個花片來代表小鳥，
「再飛來 4 隻」，又要學生用花片表現出來，再問「合起來共有幾隻？」學 童能掌握此類問題的語義後，再進行一次佈題，由學童自行表徵、解題。
當學童剛剛開始學習運算活動時，他們都需要將問題用具體地方式（具 體物或圖畫）表現出來，才能進行計數的活動因此在任何新類型運算活動 的初期，提供學童具體物，使他們有解題的工具。
伍、屬於低年級學生的溝通方式
教師應熟悉溝通的技巧，在數學教學中示範，讓學生能透過模仿而習得 此技巧，學者 Arends（1988）更主張應直接教授學生溝通技巧，此技巧是 指 John Wallen 所提出的四種方式，分別為（引自張俊紳，1993）：
一、摘述要義（paraphrasing）：係指把握陳述者真正的用意，讓接受者 以自己的話描述出來，使陳述者能針對接受者的瞭解加以回饋。
二、行為描述（behavior description）：以中性的語詞來描述自己所看 到及所聽到的，不用具有評價意味的語詞、具有社會道德規範或人格攻擊 的用語來陳述意見。
三、描述感受（describing feeling）：人們經常刻意的描述自己的意念，
卻拙於表達自己的情緒或感受，只是希望別人能由自己的行為中去推知自 己的感受，卻又因別人無法準確瞭解而生氣。因此欲暢通溝通，讓彼此清 楚的瞭解對方感覺，應清楚的以語言將自己的感受敘述出來，以免產生誤 解。例如：若對方提出讓自己無法立刻理解的解題方法，而他又繼續講下 去時，應該清楚的告訴對方：「我覺得你的方法太難了，請你再講一次。」
四、檢核印象（checking impressions）：此技巧用來補充敘述出個人的 感覺，將其以語言敘述出來，並檢核自己內心對他人感覺的正確性。例如：
「我覺得你對我很生氣，對嗎？」、「小明你這意見已經提過很多次了，你 覺得你的意見受到忽視，因為我們沒有接受它，是不是？」
以上四種溝通技巧，教師平時在教學中即應以身示範，讓兒童透過模仿 去學習，而在討論進行中亦應隨時提醒兒童運用此技巧，以使討論溝通更 加順暢。
根據游麗卿（1999）針對小學一年級在數學課所表現出的溝通能力做初 步分析，發現約有四分之一的學生在溝通活動下，表現出的溝通能力包括 說明自己解題想法，和與教室成員溝通彼此解題想法兩方面，顯示他們已 經具有相當的溝通能力，但資料分析也同時顯示，這些學生並不是在每個 時機都穩定的表現出這樣的能力，而且約有四分之三的學生還沒能表現出 這些能力。初步資料分析結果顯示，學生在說明解題想法的能力方面，通 常只說出他們畫了什麼圖，答案是什麼，把算式用圖表示出來，沒有根據 題目說明他們是怎麼解題的，也沒有依據解題紀錄和題目去說明算式的涵 義。而在溝通彼此解題想法的能力方面，一年級學生的注意力很容易分散，
傾聽的表現較差，他們在老師的引導下會爭取發言權，發表自己的想法，
比較少與其他成員溝通；然而也有少數學生可以在溝通活動表現出社會溝 通能力，其中包括傾聽、爭取發言權、說明解題想法、理解監控、提問、
澄清、補充、質疑、反駁和辯論。
然而 Skemp 認為多數學童是看不懂數學符號，其原因，一是數學符號本 身簡略、濃縮、隱喻的特色，另一則是不理解其後的深層概念。下面是一 些輔助的原則（陳澤民譯，1995）：
(1)在幼童學習數學階段，儘量以實物展示概念。例如個、十、百的位 數記法，可以用一根吸管、十根一捆吸管、十捆一大把吸管代表。這比用
符號代表概念更具體，視覺、觸覺輸入資料更易於引起深層結構的共鳴而 被捕捉。甚至看或摸實物之後，孩子根本先進入相關數學深層結構（概念）， 然後才談表面結構（符號）。
(2)不要只叫孩子背符號，在教一個新概念前要分析其基礎概念是否都 已教過，以便孩子能將新概念適當同化。說來淺顯，可是很多教科書在編 排時根本沒有考慮這一點。
(3)在幼童學習數學階段，多用口頭解釋、少用文字解釋，因為概念和 前者關係較強烈。同樣的，我們不必強求小孩寫出一些步驟或解答，可以 聽聽他們講道理。
(4)在正式、濃縮的數學符號之間，可以使用非正式、暫時的約定符號，
甚是學生個別指定的，如此他們的概念已自動和符號結合。同時經由比較 長或短、清楚或曖昧，及不一致的困擾，學生逐漸領悟約定標準符號的好 處。
(5)愈是早期的基礎數學，愈應該多使用口頭語言溝通，不必強求孩子 們用符號老練表達。此時期概念和口頭語言的關聯較強，口頭語言也較易 於產生。可以多當面和孩子溝通，不一定要求他們作答在紙上。
綜合以上可知，學生是樂於發表自己的想法，但是礙於對數學符號的概 念不夠清楚，可能不易將自己對於數學的瞭解說得明白，需要透過教師給 予協助，因此，研究者對於促進學生數學溝通的教學活動方向，將設定在 讓學生能說明自己的解題想法，以及能與教室成員溝通彼此解題想法這兩 方面。
第三節 數學溝通研究的相關實徵研究
近幾年，國內多位研究者針對數學課堂中進行群體討論的教學經營、形 成、以及細部策略做過相當多的探討，譬如師生共識的發展（柯登淵，
1996）、社會互動學習（曾志華，1997）、討論文化的形成（翁嘉聲，2001）、
以及教師佈題方面（陶惠昭，1998；李嘉珍，2000）等，此外，亦有研究 者提出實際實行之困難（陳淑娟，1999），在國內這方面的研究，這幾年可 說是雨後春筍的相繼出現。在本節中，研究者先對討論式數學教學之相關
內容加以探討，再探討實際實行困難之研究，以瞭解近年來國內在這方面 的研究情況。
柯登淵（1996）以觀察與訪談個案一學期的方式，探討國小接受新數 學實驗課程的學生，數學溝通過程中教師與學生的行為類型，以及數學解 題溝通討論過程中，師生共識的發展。研究結果將教師的行為分為「常規 管理行為」與「教學行為」兩類型；而學生的行為分為「確認問題」、「說 明解法」、「質疑與澄清」以及「辯護說明」四種；而共識發展的過程則分 成「教師監控」與「學生同儕的討論」兩個平行歷程，並且提出共識的發 展歷程中教師所扮演的角色及結果有助於學生的數學學習研究發現。研究 者參與全班討論與小組討論不同的活動類型，以對實施討論式教學的教師 與學生，針對其溝通的行為形式、及教室中共識發展的歷程提出多種類型。
曾志華（1997）以質的研究派典-俗民誌研究為主要的研究方式，採用 參與觀察、訪談及使用問卷，想要理解和闡釋建構的數學教室中社會文化 的形成，以及數學教學及學習活動的現象。研究結果先對個案老師的數學 觀與數學教學加以描述（不用課本、解題和小組討論是主要的學習活動、
不斷提問協助學生解題和社會運作、隨時評量）；而後從社會的角度來探討 數學教師中的社會互動；接著闡釋學生學習數學知識的建構方式是藉由與 教師產生互動及數學語言的互動；並且進一步探討數學教室中「遊戲規則」
的制定和規則；最後從心理學的角度，詮釋該班學生學習數學的態度與表 現。研究結論提出數點討論式教學中教師教學、學生學習與社會運作三方 面的相關概念、及其實際實行討論教學的運作情況，進而瞭解學生知識的 建構方式、教師的理念作法及班級社會運作的形成方式，此外，亦提出在 討論式教學的過程中，語言的使用將是決定學生學習與教師教學成敗的重 要因素。因此，轉型中的教師在嘗試實行討論式教學時，語言的善用是否 是教師覺得無法掌握的重要因素，教師是否因此而無法提出適當的引導，
這方面策略的運用是與過去講述式的教學方式有很大的不同，而這也可能 是影響討論式教學順利進行的因素之一。
陶惠昭（1998）描述一個國小一年級教師佈題詮釋性研究，他從佈題 行為、問題本身，和學生學習三方面，進行五個月的教室觀察和訪談，分 析這位老師教學模式、佈題產生的過程、佈題題材等，最後歸納出這位教
師佈題的三項特色：方式多樣化的佈題、分段佈題，和多次重覆。然而，
佈題的成功在於成功的解題，而解題的目的在於兒童數學能力的提升，因 此，佈題的成功與否，應由兒童的解題與學習來判斷。研究結果發現，在 這樣的佈題方式之下，學生將能成功的說出自己想法、與他人溝通、討論、
講道理，以數學的方式思考，而具備解決問題的能力；進而更培養學生愛 上數學、愛上思考。
此外，陳淑娟（1999）針對教師教學困難提出進行數學討論的可行方式，
首先在佈題方面教師需佈一個能引起學生討論熱情的好問題，佈題前應先 釐清佈題的目的，再抽取課本的主要概念當成佈題的材料，亦可以依據學 生的反映進一步佈題。其次，在引導策略方面教師可常提問「為什麼」牽 動學生思考的引線，善用複述、回應、挑戰、追問以增進澄清概念的技巧，
再運用「淡化」、「強化」策略，緊扣概念主軸，並協助兒童「問題對焦」
以提升討論品質。因此實施數學討論的途徑有：熟悉溝通技巧，將其應用 在數學教學中；多元的引導方式，觸發兒童討論動機；運用適當策略，增 進學生參與的意願；建構和諧溫暖的討論氣氛，塑造有利討論的情境。此 研究結果不僅是針對佈題階段之教學技巧提出可行性之方案，亦針對討論 教學促進數學知識層面獲得提出教學策略。
許玉珍（1999）的研究則是透過觀察一位採建構教學的專家老師，分 別在一年級與三年級班級的數學課上課及下課時間的情境，探討建構教室 中班級文化之創塑歷程，並探討塑造此建構教師班級文化可以使用的教學 策略。研究發現，不同年級其形成的文化中，相同的有民主素養、安全感、
傾聽、發表對談；而相異的地方則在於，三年級增加了數學知識內容的討 論與批判思考的能力；在一年級，班級文化正在形成中，因此教師塑造的 角色較為吃重；三年級的班級，班級文化趨於穩定，學生的自主性隨之提 升，因此教師角色相對減輕。然而，在不同的年級實行建構式教學，其教 師所扮演的角色、使用教學策略均有所不同，而面臨高年級教學時，教師 如何依學生的不同而加以調整改變呢？是否有低、高年級的差距呢？
鍾靜、許馨月、翁嘉聲（2001）提出，一位善於實施討論式數學教學 之教師是熟悉教材脈絡，能依學生學習狀況加以調整，討論過程注意全班 學生參與情況，適時加以引導討論，而教學內容不脫離數學主題，並能於
活動告一段落時加以整理，最後亦會加以檢驗；此外，在教學中，讓學生 體會學習數學之必要性，並且不吝嗇的加以鼓勵等，這些均是一位專家教 師實施討論式數學教學之特點。討論式數學教學並無固定之教學策略、亦 無固定之教學模式，現場教師欲完善的實行討論式數學教學，其主要關鍵 在於是否以學生學習為中心地進行教學，於此，教學策略的運用必須是依 學生的不同而作適當的調整，策略的運用是多樣化的，並非一成不變的。
李嘉珍（2000）主要是探討一個協同數學成長團體之三位二年級教師 佈題的特色、差異、看法及轉型情況。研究結果發現，三位教師的共同特 色有：情境生活化、反覆確認題意、佈題來源多元化等；在相同的單元中，
教師會因為對教學目標認知、個人數學內涵的不同，而呈現不同的樣貌；
而教師在協同數學成長團體中，得以提升佈題能力。另外，亦歸納出影響 教師佈題能力的內、外在背後因素有：教師對教材掌握的能力、對數學結 構的瞭解、個人特質、時間與課程進度，以及教師背後推動的力量等。然 而對於嘗試實行討論式教學的教師來說，是否因佈題樣式單調，不易引起 學生參與興趣；是否將問題一次呈現，多個解題條件使學生不知該從何討 論；是否佈題內容說明不清，學生不知道該討論什麼；另外，問題是否合 宜、語句結構是否依學生程度呈現、是否理解佈題的情境、表徵、提問技 巧等等問題，均會影響到教師實行討論教學佈題階段以及之後討論活動的 順利進行。
除了以上針對教學經營方式進行探討之外，翁嘉聲（2001）針對一個 具有建構教學理念的數學科專家教師如何形成一個班級的群體討論文化進 行探討，研究結果發現，專家教師在教學過程中會依據學生的發展而運用 不同的策略來促使班級全體討論文化的形成。其教學的重點乃先由建立學 生心理上的安全感、刺激發表做起，然後逐漸轉為促使同儕間產生社會性 的互動，培養學生能夠相互質疑、辯證的能力，最後再藉由凝聚焦點在數 學內涵的討論活動來提高學生的科學知識。然而，現場大多數老師並非均 是專家教師，而一個嘗試實行討論教學的教師如何同時調整自己教學又帶 動班級討論文化的形成，也是此研究探討之問題。
蔡慧玲（2001）探究國小二年級學生數學課中，老師利用引導策略協助 學生說明數學解題想法的情形。研究發現如下：在老師引導學生說明解題
想法方面有六種策略類型，分別是：以固定性答案的問題引導；引導學生 關聯題目；引導學生補充；引導學生說明解題做法的理由；用比較性問題 引導學生；以直接告訴方式引導。在老師引導學生說明解題想法的介入時 機方面有九種情況，包括：學生未能發表解題想法時；學生答錯老師的問 題；被引導的學生原先即有錯誤的解題做法；學生語意不清；學生解說較 讓人不易理解；學生偏離主題；台上學生對談陷入僵局；當學生簡略表明 意見；台上已發表多種解法。最後研究發現：老師鷹架引導有助低年級學 生說明解題想法；對老師提問的批判；老師直接告訴沒達到引導學生思考 的效果；老師權威角色阻礙引導品質。
蔡志超（2003）探究一位國小低年級教師如何運用策略去增進班級數學 討論活動。而主要問題為：1.教師是採取何種策略去增進全班的數學討論 活動？ 2.活動中教師介入時機之適切性為何？ 3.教師在全班討論活動中 之角色為何？ 結果發現：老師增進策略包括「對教室溝通行為進行規範」、
「鷹架班上的討論活動」、「營造有利數學討論的學習環境」三方面的策 略，且活動中老師所扮演的是積極、多變的角色，並等待適當時機介入班 級討論活動，而介入時機包括：當學生說明遇到困難、學生未清楚說明解 題想法、學生未針對當下主題討論、討論內容出現關鍵性概念、台下學生 未要求台上澄清、學生的說法不易讓同學瞭解、學生解題方法超過部分學 生的程度，以及錯失重要時機而介入。整體而言，老師的介入將可幫助討 論活動能更加順利，並幫助學生做更進一步的思考。
鍾靜（2000、2001）針對以學生學習為中心的數學教學特質進行分析，
將現今小學教師的數學教學區分成以教師講述為主的「講述式數學教學」
與以學生為中心的「討論式數學教學」二種，此外，該研究在初步的研究 結果中，又根據教學型態和學生參與程度將「討論式數學教學」細分為「儀 式型」與「深究型」，而其主要的差別在於「儀式型」教師的教學型態亦以 溝通、討論活動為主，但程度上卻不同於「深究型」教學；「深究型」教師 的教學有較多交互討論活動，發表時較會清楚的呈現數學觀念，討論焦點 多關注數學意義，而學生會主動質疑、辯證、澄清數學觀念，另外，教師 能彈性運用教學技巧並且關注到全班學生的學習等。總言之，將教學背後 所隱含之社會建構理念的數學教學，亦即教學有更多的社會互動、更多的
數學學習、以及更多的以學生為中心的教學策略。
綜合以上各研究所述，可知：
教師在數學課堂中針對數學溝通的數學活動類型方面有「全班討論」與
「小組討論」（柯登淵，1996）；而教師在課堂中的行為分為「常規管理行 為」與「教學行為」兩類型（柯登淵，1996）。
在教師的專業能力方面，為了營造有利數學討論的學習環境，教師須佈 一個能引起學生討論熱情的好問題（陶惠昭，1998；陳淑娟，1999；李嘉 珍，2000）；對於溝通討論的焦點應多關注在數學意涵上，讓學生發表時能 清楚的呈現數學觀念，而不只是徒具討論的形式（陳淑娟，1999；鍾靜、
許馨月、翁嘉聲，2001；翁嘉聲，2001；鍾靜，2000、2001）。
進行數學溝通活動時，教師介入的時機非常重要，這也關係到教師是否 有能力掌控整個數學溝通活動的過程（曾志華，1997；陳淑娟，1999；蔡 慧玲 2001；蔡志超，2003）；另外，教師應熟悉教材脈絡（李嘉珍，2000；
鍾靜、許馨月、翁嘉聲，2001）。
在數學教室文化方面，數學教室中應訂有「遊戲規則」以鼓勵及規範學 生的發表行為（蔡志超，2003）；在進行數學溝通的班級中，應塑造具有民 主素養、安全感、傾聽、發表對談等班級文化（許玉珍，1999；蔡慧玲，
2001）。
而在學生的行為表現方面，低、中、高年級階段會有不同的呈現。一般 而言，學生的行為大致分為「確認問題」、「說明解法」、「質疑與澄清」、「辯 護說明」。（柯登淵，1996；蔡慧玲，2001）；低年級則以能成功的說出自己 的想法與他人溝通、討論、講道理為原則（陶惠昭，1998；許玉珍，1999；
蔡慧玲，2001）。
第四節 進行數學溝通教學的實施策略
壹、教師的佈題能力
以下將從文獻中找出佈題的相關研究並分成數學問題的結構、培養教師 佈題能力的方式、佈題的考慮探究之。
一、數學問題的結構
李嘉珍（2000）根據國內外學者（梁淑坤，1996；林文生，1996；林美 惠，1997；古明峰，1999；陶惠昭，1998；Polya, 1945；Carpenter, 1985）
對於數學問題結構的分類整理出以下五方面：
1.內容（content）：
主要是指這個數學問題的主題是什麼？希望達到的目標是什麼？以 國小二年級的課本為例，主要的單元分為數與計算、量與實測，和圖形與 空間，當我們佈一個數學問題，會先根據所需的內容、目標是什麼？同樣 的，當解題者要去解題，看到一個數學問題，即可以分辨出這個問題是屬 於哪一個單元？知道他的目標和內容是偏向哪一方面？例如：「拿拿看，兩 本課本有沒有一樣重？」從這個問題中，很明顯的可以知道這是在比較兩 物的重量，而有關於容量、長度、重量的問題，是屬於「量與實測」的內 容，由題目中即可分辨。
2.語句結構（syntax structure）：
包括問題的長度、文法、問句等，是屬於數學問題的文字敘述，由於 數學問題大多是屬於文字題，學生在解題時，需要先把數學文字轉譯成抽 象符號的運作，需要的不只是數學能力，也需要解讀的能力。在 Lewis 和 Mayer 的研究中（1987；引自古明峰，1999）將文字題的內容依句子的陳述 分成指定句、關係句和疑問句。早期研究數學文字題時，曾對問題中的關 鍵字（key word）所觸發的運算基模，例如：「總共」意謂「加」，「剩下」
意謂「減」，做過對於解題關係的研究，發現很多孩子在解文字題所犯的解 法錯誤，常是因為題目陳述不清所造成（古明峰，1999），例如：「一束花 有六朵，7 束共有幾朵？」在這個例子中的「共有」，即暗示此題需用加法 或乘法，由此可知因此文句上的不同，例如：問題太長、句子帶有提示等，
均會影響學生解題的表現。
3.語意結構（semantic structure）：
語意結構指的是一個問題的數學結構，像加法分為添加、併加型，減 法分為比較、拿走型，比如說：「我有 37 元，今天又領到 55 元，我有多少 元？」這是屬於加法中的「添加型」，國內外也有許多探討題目語意結構對 解題影響的研究，林碧珍（1991）曾對於乘除法應用問題做研究，發現學
童在解乘法問題時以量數同構型最為容易，其次是差積型，比較型，多重 比例型。因此，不同的語意結構，會有不同的解題表現。
4.情境（situation）：
情境係指一個題目闡述的內容情境，在「42 個小朋友，玩遊戲時平分 成 7 組，1 組有幾人？」的問題中，其中「玩遊戲」即是這個問題的情境。
一般在課本上佈題的情境多半是與生活相關，或來自於舊經驗，也有將表 徵方式列入情境的（林美惠，1997）。在佈題時，如果可以以解題者感興趣 的情境來佈題，會引起解題的動機，增加解題的興趣。
5.表徵方式（representation）：
所謂的表徵方式，指的是以問題和他人溝通時所使用的傳遞、表達的 工具，比如說：教師在課堂佈「一匹馬有四條腿，兩匹馬有幾條腿？」時，
會使用馬的圖卡來輔助佈題的表達，這就是以圖卡作為表徵工具。
二、培養教師佈題能力的方式
Brown 和 Walter（1983, 1993）曾提到問題形成的五個階段，可以提 供教師在形成問題時的參考，這五個步驟包括：選擇一個起點（choose a starting point）；列出一些屬性（list some attributes）；「如果不是」
（ What if not ？ ）； 問 問 題 或 擬 題 （ questioning asking & problem posing）；分析問題（analyzing the problem）。
其中最重要的是，問題的形成是可以透過環境中觀察、推理、和質問，
在創造問題時，要能夠逆向思考、挑戰問題和找出問題之間的相互關係，
Brown 並提到利用“what if not （假如…不是）”的技巧，不斷的問自 己：「假如這個不是這樣，那結果會怎麼樣？」想出問題的新屬性，形成新 的問題。
三、佈題的考慮
何種佈題能引起學生解題的興趣？在林文生和鄔瑞香（2000）合著的「數 學教育的藝術與實務」中提到：題目的屬性牽引著學生解題的動機，當教 師決定了題目的屬性時就決定了該堂課的進行方式，因此建議多提供「非 例行性」的題目，這種題目具有四種屬性：1.遊戲性；2.生活性；3.數學 性；4.參與性。當教師使用這些類型來佈題時可以引發學生的想像力並提 供學生創造數學規則的機會。
教師佈題能力的可行策略有（陳淑娟，1999）：鼓勵教師多思考，釐清 佈題概念主軸，跳脫課本例題的框架讓題目多變化，並依據學生的反應進 一步佈題，直到釐清學生的概念為止。
貳、教師提問的能力 一、提問的方式
提問通常是開始解題的訊息，也是引導解題者達成欲定目標的重要技 巧。梁淑坤（1996）認為提問的用語，常反映出佈題者的精神，是教師本 位，或是學生本位。以教師本位的，並非在引導學生，文字中常帶有教的 意味，例如「這題是這樣做的」、「做這些」；以學生為本位的提問是引導的，
可能是「說說看，你是怎麼做的？」等。
甯自強（1993a，1993b）認為教師在促成學生學得特定的數學概念時，
除了主要的數學問題外，需依序提出三類的提問，第一類是心理學的
（psychological）；第二類是社會學的（sociological）；第三類是人類學 的（anthropological）。
數學的問題是數學概念可解決的問題，促使兒童「經驗」此一數學概 念。這類的問題是現象學的（phenomenon-logical），常依教學目標的不同 而產生不同的問題。例如，在一年級上學期的數學「多多少」的單元中，
主要教學目標是解決「多多少」的比較問題，教師可能提出這樣的問題「小 強收集了 8 個鋁罐，小明收集了 5 個鋁罐，小強比小明多收集了幾個鋁 罐？」，這樣的問題主要引導兒童進行解題活動，是數學教學中的主要部 分，而解題成功之後，教師應依序提出其他三類提問。
第一類是促使兒童將已有的具體活動類型加以抽象成抽象運思的問 題。這類的問題是心理學的（psychological）。抽象的行為基於兒童的反 省活動上，在兒童解題成功之後，教師應該常環繞在像是「你怎麼知道 的？ 」這類的問話。回答這類的問話時，兒童必須回溯他的解題活動歷程 並且加以描述，而這種回溯及描述解題活動的活動就是反省活動的一種。
第二種類型其目的在於促使兒童將解題活動類型加以表徵，以便於跟 他人溝通。這類的提問是社會學的（sociological）。所以，在兒童解題成 功之後，教師提出「把你怎麼做的告訴你的伙伴？」或是「你和你的隔壁
同學商量一下，看看如何記錄比較好？」這類的提問。回應這類的問話時，
兒童必須使用對他人有意義的表徵把他的解題活動歷程加以表達，這種活 動是使個體知識社會化的必經歷程。
第三種類型其目的則在於促使兒童將自有的解題活動類型與他人的解 題活動類型相互比較，從而肯定並且學習更有效率的活動類型。這類的提 問是人類學的（anthropological）。效率的比較基於兒童的解題類型不同，
但是都能有效解題的情況下，透過比較的手段，不但有效解題的關鍵特別 容易彰顯，他人的或是文化中的解題活動類型也易於被瞭解。所以，像是
「比比看，你和書上的方法一不一樣？」，或者「說說看，為什麼兩種方法 都對？」，或者是「看看哪一種比較好？」這一類的問題也可以在兒童解題 成功之後被加以提出。回應這類的問話時，兒童必須對他人的或是文化中 已有的解題活動類型加以闡釋，並且把他的解題活動歷程與文化中的已有 解題活動加以聯結，這種活動是使文化得以有意義、被傳承並且進一步的 被發展的必經歷程。
二、問答的類型
黃幸美（2000）統整學者對於有意義的問答討論與解題思考歷程之間 的關係探討，將學生在解題時問答討論的類型分成五種類型，分別是：理 解性問答、解釋性問答、關聯性問答、批判性問答，以及與解題無關的對 談（見表 2-1）。
1.理解性的問答：較常見的提問句型有：「什麼意思？」、「為什麼？」、
「要怎麼解？」。回答的類型大部分是用自己的話陳述或解釋問題訊息。
2.解釋性的問答：提問的句型有：「我認為…這樣可以嗎？」、「是嗎？」
前者將自己的看法說出以徵詢別人的認可，屬於高層次的問題。回答的內 容也分高、低層次的詳細說明理由或簡短的「是」或「不是」。
3.關聯性的問答：提問的句型有：「這個問題有學過嗎？」、「可以像…
用過的方式來做嗎？」。回答的類型同樣能以詳答和簡答來區分高低層次。
4.批判性的問答：提問的句型有：「這樣對嗎？」、「可以這樣做嗎？」。
回答的類型通常會將質疑的理由說出。
表 2-1 有意義問答討論類型與例隅
提 問 問 題 回 答
根據待解問題訊息，針對 what 的問題提出與解題相關的 意見。
那是什麼意思？
（what……？）
用自己的話陳述（或解釋）問題訊息。
為什麼……？
（why……）
根據待解問題訊息，針對「為什麼……？」的問題提出說 明（例如：因為……；根據題目上說……）
這題要如何解？
（how……？）
根據待解問題訊息提出解題意見。例如：這個問題可以 用……法來做。
理 解 性 問 答
某觀念是從而……而來的？
（where……？）
提出與說明某觀念是從……而來的。
分析理由、解釋與解題相關的問題訊息成分與關係（從待 解問題找關係）。
解釋解題目標。
澄清題意與解題關係。
解 釋 性 的 問 答 （ 高 層 次問 答）
提出解題方法徵詢他人認可。例如：我認為……
（解題方法、觀念、程序），可以嗎（對嗎）？
以解題目標為導向，提出具體解題方法與步驟。
複述問題或複述他人所提的方法（或答案），未加任何解 釋。
解 釋 性 的 問 答 （ 低 層 次問 答）
簡短性提問；例如：是嗎？懂嗎？可以嗎？是不 是這樣？
簡短性的回答：是 不是；可以 不可以；對 不對；我 懂了；我知道了。
關 聯 性 問 答
這個問題和以前學的……一樣嗎？這個問題可以 用以前學的……方法來說（或思考）嗎？
這個問題和以前學的……一樣。這個問題可以用以前學 的……方法來說。
批 判 性 問 答
評斷和質詢所提意見、解題策略的合理性。例如：
怎麼是這樣……（解題方法、觀念、程序）呢！
我覺得……（解題方法、觀念、程序）才對吧！
你用……（解題方法、觀念、程序）對嗎？
我覺得……（解題方法、觀念、程序）這樣不對。
我覺得……（解題方法、觀念、程序）這樣比較好。
其他 與解題無關的提問 與解題無關的回答
（引自黃幸美，2003，p52-53）
三、發問策略
謝甫宜（2001）根據文獻探討和教室觀察所得提出十種教師可能的發問 方式：
1.教師自問自答（Asking & Self-answering）； 2.重複發問（Repeated）；
3.轉問（Redirection）；
4.承續式發問或深入探究發問方式（Probing）；
5.是非題發問方式（Yes or No）；
6.選擇題發問方式（Choosing）；
7.有標準答案之問答題發問方式；
8.誘導性發問方式（先說明、提供暗示或有解釋的發問方式）；
9.開放性發問方式（Opening）；
10.反問的發問方式（Reverse）。
綜合以上的論點，教師在進行數學溝通教學的實施策略，對於發問及 佈題的方法上，可以多方面的靈活運用。
參、教師引導學生說明解題想法的能力
蔡慧玲（2001）探究國小二年級學生數學課中，老師利用固定性答案的 問題引導；引導學生關聯題目；引導學生補充；引導學生說明解題做法的 理由；用比較性問題引導學生和以直接告訴方式引導等策略，協助學生說 明數學解題想法的情形。並認為老師鷹架引導有助低年級學生說明解題想 法，建議老師可配合圖徵或教具進行口語引導。
另外，在增進教師引導能力方面有四個策略（陳淑娟，1999）：多充實 概念理論、常問「為什麼」、運用複述、回應、提問、解說、挑戰的技巧及 淡化和強化的策略協助學生對焦。
肆、教室之社會常規和社會數學常規的建立
教室內溝通討論解題的過程，猶如一個小型的數學社群，學生在這個 社群中，猶如一個小小的數學家，將自己的意見表達出來，並與他人交換 意見，學生在討論過程中，建構屬於自己的數學意義（Cobb et al., 1991）。
