1 多項式

CH1-2 多項式的加減

多項式

多項式的加法 多項式的減法

1 2 3

搭配頁數 P.

1 _多項式

多項式拼圖

如上圖，大正方形的邊長為 x ，面積為 x² ； 長方形的長為 x 、寬為 1 ，面積為 x ；小正 方形的邊長為 1 ，面積為 1 ，利用這些圖形 回答下列問題：

21

x

x x² x

1

x 1

1 1

搭配頁數 P.

(1) 圖一的圖形面積＝ ___ ． x ＋ ___ ＝ 3x ＋ 2 。

(2) 圖二的圖形面積＝ ___ ． x² ＋ ___ ． x ＋ ___

21

＝ x² ＋ 2x ＋ 1 。

多項式拼圖

x

1 x

x x 1

1 1

1

圖一

x

x x²

x 1

1

1 x

圖二

3 2

1 2 1

解

搭配頁數 P.21

　　由 可知， 1 ． x² ＋ 2 ． x ＋ 1 ＝ x² ＋ 2x ＋ 1 ，

像 x² 、 3x ＋ 2 、 x² ＋ 2x ＋ 1 這類由數和文字 符號 x 進行乘法和加法運算所構成的式子，稱為 x 的多項式；而像 y² ＋ 3y 、 4y ＋ 6 則稱為 y 的多項式。

　　如果一多項式只有一個未知數，稱為一元多 項式，在本教材中若未特別說明時，多項式指的 是一元多項式。如果一個多項式只有一項，稱為 單項式，例如： 3x² 、－ x 、 7 等。

搭配頁數 P.21

　　因為 x － 5 可看成 x ＋ ( － 5) ，所以 x

－ 5也是 x 的多項式。同理，－ 2x － 3 、 x² － 4 、

－ 2x² － 3x ＋ 5 也都是 x 的多項式，但 、

｜ 3y ＋ 1 ｜等都不是多項式。

搭配頁數 P.

　　在多項式 6x² ＋ 4x ＋ 7 中，用加號隔開的每一 部分稱為多項式的項，所以 6x² 、 4x 、 7 都是 6x²

＋ 4x ＋ 7 的項，其中的 7 不含文字符號 x ，則稱 7 這一項為常數項。

　　如果一個項是由一個常數與文字符號的正整數 次方相乘所形成，我們稱這個常數為此項的係數；

文字符號的指數 ( 次方 ) 稱為此項的次數，以下是 多項式 6x² ＋ 4x ＋ 7 的各項說明：

(1) 6x² 的係數為 6 ，其次數為 2 ，稱為二次項 ( 或 x² 項 ) 。

(2) 4x 的係數為 4 ，其次數為 1 ，稱為一次項 ( 或 x 項 ) 。

(3) 7 為常數項。

22

項、係數與次數

搭配頁數 P.

　　前面學過，我們可將 5x² － 2x － 4 看 成 5x² ＋ ( － 2x) ＋ ( － 4) ，其中 5x² 、－

2x 、－ 4 都是此多項式的項，因此，二次項 係數為 5 ，一次項係數為－ 2 ，常數項為－

4 。

　　習慣上，係數為 0 的項會省略不記，例 如： 2x² ＋ 0x － 3 簡寫成 2x² － 3 ；如果一 個項的係數為 1 且不是常數項，其係數也會 省略不記，例如： 4x² ＋ 1x ＋ 1 簡寫成 4x²

＋ x ＋ 1 。

22

搭配頁數 P.

x² 項的係數為 _______ 。 x 項的係數為 _______ 。 常數項為 _______ 。

回答下列問題：

(1) x² － 7x ＋ 9

解 1

22

－ 7 9

搭配頁數 P.

y³ 項的係數為 ________ 。 y² 項的係數為 ________ 。 y 項的係數為 ________ 。 常數項為 ________ 。

回答下列問題：

(2) 6y³ ＋ 9y² － 3y － 15

解 6

22

－ 3 9

－ 15

搭配頁數 P.

　　一個多項式經化簡後，係數不為 0 且次 數最高的項稱為最高次項，其次數即為這個多 項式的次數。例如：多項式 3x² ＋ 2x ＋ 4x³ ＋ 1 的最高次項是 4x³ ，所以這個多項式的次數 是 3 ，我們稱此多項式為 x 的三次多項式。

　　如果一個多項式只有常數項，稱為常數多 項式，例如：－ 2 、 5 、、 0 皆為常數多項式。

若常數多項式不為 0 ，規定它的次數為 0 ， 稱為

零次多項式。

23

多項式的次數

搭配頁數 P.

判別下列各多項式的次數：

(1) 5x － 9 為 x 的 ______ 次多項式。

(2) － 3m² ＋ 5m － 6 為 m 的 ______ 次多項式

。

(3) － 4 為 x 的 ______ 次多項式。

解 一

23

零 二

搭配頁數 P.

　在 x 的多項式中，習慣上會將各項依照 x 的 次數高低來排列。

將一個多項式的各項依照 x 的次數由高到 低排列稱為降冪排列。

例如： x³ － 5 ＋ 3x － 4x² 的降冪排列為 x³ － 4x² ＋ 3x － 5 。

將一個多項式的各項依照 x 的次數由低到 高排列稱為升冪排列。

例如： x³ － 5 ＋ 3x － 4x² 的升冪排列為 － 5 ＋ 3x － 4x² ＋ x³ 。

1

2

23

搭配頁數 P.

將多項式 4x³ ＋ 9 － 3x² ＋ x 依降冪與升冪分別排

解列。降冪： 4x³ － 3x² ＋ x ＋ 9 升冪： 9 ＋ x － 3x² ＋

4x³

23

搭配頁數 P.

　　在多項式中，文字符號與次數均相同的項稱 為同類項。

例如：在多項式 3x² － 2x ＋ 5 ＋ x² ＋ 4x － 6 中， 3x² 和 x² 的次數都是 2 ，所以 3x² 和 x² 是同類項；同理，－ 2x 和 4x 是同類項， 5 和

－ 6 也是同類項。

　　在多項式的加法運算中，同類項可以合併。

例如，以下有三種藝術地磚：

24

同類項

x 1 x

x x²

x

1

1

搭配頁數 P.

傑克利用這三種地磚布置甲、乙兩區的牆壁，使 用的數量如下圖：

24

共有 2 個，

2 個， 3 個，總面 積為

(2x² ＋ 2x ＋ 3) 。

甲區 乙區

x² x²

x x

1 1 1

x² x²

x²

x 1

共有 3 個， 1 個，

1 個，總面積為 (3x² ＋ x

＋ 1) 。

搭配頁數 P.

甲、乙兩區所使用的地磚如下：

24

甲區 乙區 總個數 面積

2 3 5 2x² ＋ 3x² ＝ 5x²

2 1 3 2x ＋ x ＝ 3x 3 1 4 3 ＋ 1 ＝ 4 故甲、乙兩區的總面積為 5x² ＋ 3x ＋

4 。

搭配頁數 P.

2 _{多項式的加法}

多項式的加法運算：

(1) (2)

25

橫式運算時若有括號，應先去括號，再合 併同類項。

直式運算時，先將式子依降冪或升冪排列，

同類項對齊，缺項補 0 ，再將同類項的係數 相加。

搭配頁數 P.

計算 (x² ＋ 6x ＋ 5) ＋ (3x² ＋ 2x ＋ 4) 。

1

解一 用橫式運算

(x² ＋ 6x ＋ 5) ＋ (3x² ＋ 2x ＋ 4)

＝ x² ＋ 6x ＋ 5 ＋ 3x² ＋ 2x ＋ 4

25

＝ (x² ＋ 3x²) ＋ (6x ＋ 2x) ＋ (5 ＋ 4)

＝ 4x² ＋ 8x ＋ 9

搭配頁數 P.

計算 (x² ＋ 6x ＋ 5) ＋ (3x² ＋ 2x ＋ 4) 。

1

解二 用直式運算

25

4x²

＋

＋ 8x

x² ＋ 6x ＋ 5 3x² ＋ 2x ＋ 4

＋ 9

(x² ＋ 6x ＋ 5) ＋ (3x² ＋ 2x ＋ 4) ＝ 4x² ＋ 8x ＋ 9

搭配頁數 P.

計算 (5x² ＋ 3x ＋ 6) ＋ ( － 2x² ＋ 4x ＋ 9) 。

解

25

(5x² ＋ 3x ＋ 6) ＋ ( － 2x² ＋ 4x ＋ 9)

＝ (5x² － 2x²) ＋ (3x ＋ 4x) ＋ (6 ＋ 9)

＝ 3x² ＋ 7x ＋ 15

＝ 5x² ＋ 3x ＋ 6 － 2x² ＋ 4x ＋ 9

搭配頁數 P.

如果多項式缺少某一項，代表此項係數 為 0 ，在進行直式運算時，缺項通常會補 0 ，方便同類項對齊。

26

搭配頁數 P.

計算 (3x² － 2x³ ＋ 5) ＋ (7x³ － 3x ＋ 6) 。

2

解一 用橫式運算

(3x² － 2x³ ＋ 5) ＋ (7x³ － 3x ＋ 6)

＝ 3x² － 2x³ ＋ 5 ＋ 7x³ － 3x ＋ 6

26

＝ ( － 2x³ ＋ 7x³) ＋ 3x² － 3x ＋ (5 ＋ 6)

＝ 5x³ ＋ 3x² － 3x ＋ 11

搭配頁數 P.

計算 (3x² － 2x³ ＋ 5) ＋ (7x³ － 3x ＋ 6) 。

2

解二 用直式運算

26

5x³

＋

＋ 3x² ＋ 11

－ 2x³ ＋ 3x² ＋ 0x ＋ 5 7x³ ＋ 0x² － 3x ＋ 6

－ 3x

( － 2x³ ＋ 3x² ＋ 5) ＋ (7x³ － 3x ＋ 6)

＝ 5x³ ＋ 3x² － 3x ＋ 11

通常依降冪排列，

缺項補 0 。

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) (5x² ＋ 6x － 5) ＋ (3 － 4x²)

解 ＝ 5x² ＋ 6x － 5 ＋ 3 － 4x²

＝ (5x² － 4x²) ＋ 6x ＋ ( － 5 ＋ 3)

26

＝ x² ＋ 6x － 2

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(2) (2x² － 5x³ ＋ 6) ＋ (6 ＋ 4x ＋ 2x³)

解 ＝ 2x² － 5x³ ＋ 6 ＋ 6 ＋ 4x ＋ 2x³

＝ ( － 5x³ ＋ 2x³) ＋ 2x² ＋ 4x ＋ (6 ＋ 6)

26

＝－ 3x³ ＋ 2x² ＋ 4x ＋ 12

搭配頁數 P.

3 _{多項式的減法}

多項式的減法運算：

(1) (2)

27

橫式運算時若有括號，應先去括號，再合 併同類項。

直式運算時，先將式子依降冪或升冪排列

，同類項對齊，缺項補 0 ，再將同類項的 係數相減。

搭配頁數 P.

當括號前有負號，則去 括號時，括號內的每一 項都要變號。

計算 (x² ＋ 6x ＋ 5) － (3x² ＋ 2x ＋ 4) 。

3

解一 用橫式運算

(x² ＋ 6x ＋ 5) － (3x² ＋ 2x ＋ 4)

＝ x² ＋ 6x ＋ 5 － 3x² － 2x － 4

＝ (x² － 3x²) ＋ (6x － 2x) ＋ (5 － 4)

＝－ 2x² ＋ 4x ＋ 1

搭配頁數 P.

計算 (x² ＋ 6x ＋ 5) － (3x² ＋ 2x ＋ 4) 。

3

解二 用直式運算

－ 2x²

－

＋ 4x

x² ＋ 6x ＋ 5 3x² ＋ 2x ＋ 4

＋ 1

(x² ＋ 6x ＋ 5) － (3x² ＋ 2x ＋ 4)

＝－ 2x² ＋ 4x ＋ 1

搭配頁數 P.

計算 (4x² － 2x － 6) － ( － 2x² ＋ 3x ＋ 9) 。

解 (4x² － 2x － 6) － ( － 2x² ＋ 3x ＋ 9)

＝ 4x² － 2x － 6 ＋ 2x² － 3x － 9

27

＝ (4x² ＋ 2x²) ＋ ( － 2x － 3x) ＋ ( － 6 － 9)

＝ 6x² － 5x － 15

搭配頁數 P.

計算 (3x³ ＋ x － 5) － (4 － 2x² ＋ 6x³) 。

4

解一 用橫式運算

(3x³ ＋ x － 5) － (4 － 2x² ＋ 6x³)

＝ 3x³ ＋ x － 5 － 4 ＋ 2x² － 6x³

＝ (3x³ － 6x³) ＋ 2x² ＋ x ＋ ( － 5 － 4)

＝－ 3x³ ＋ 2x² ＋ x － 9

搭配頁數 P.

計算 (3x³ ＋ x － 5) － (4 － 2x² ＋ 6x³) 。

4

解二 用直式運算

－ 3x³

－

＋ 2x² － 9 3x³ ＋ 0x² ＋ x － 5 6x³ － 2x² ＋ 0x ＋ 4

＋ x

(3x³ ＋ x － 5) － (6x³ － 2x² ＋ 4)

＝－ 3x³ ＋ 2x² ＋ x － 9

通常依降冪排列，

缺項補 0 。

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) (2x² － 6) － (9 － 2x ＋ 3x²)

解 ＝ 2x² － 6 － 9 ＋ 2x － 3x²

＝ (2x² － 3x²) ＋ 2x ＋ ( － 6 － 9)

28

＝－ x² ＋ 2x － 15

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(2) (5x³ ＋ 2x － 4x²) － ( － 2x² － 6x ＋ 4)

解 ＝ 5x³ ＋ 2x － 4x² ＋ 2x² ＋ 6x － 4

＝ 5x³ ＋ ( － 4x² ＋ 2x²) ＋ (2x ＋ 6x) － 4

28

＝ 5x³ － 2x² ＋ 8x － 4

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) (5x² － 3) ＋ (6x － 7) ＋ (2x² ＋ 4x － 1)

(2) (6x² － 2) － (3x² ＋ 4x) － (11x² － 8x ＋ 5)

5

解

29

(1) (5x² － 3) ＋ (6x － 7) ＋ (2x² ＋ 4x － 1)

＝ 5x² － 3 ＋ 6x － 7 ＋ 2x² ＋ 4x － 1

＝ (5x² ＋ 2x²) ＋ (6x ＋ 4x) ＋ ( － 3 － 7 － 1)

＝ 7x² ＋ 10x － 11

＋

5x² 2x² 7x² 0x²

－ 3

－ 1

－ 11

－ 7

＋ 0x

＋ 4x

＋ 10x

＋ 6x

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) (5x² － 3) ＋ (6x － 7) ＋ (2x² ＋ 4x － 1)

(2) (6x² － 2) － (3x² ＋ 4x) － (11x² － 8x ＋ 5)

5

解

29

(2) (6x² － 2) － (3x² ＋ 4x) － (11x² － 8x ＋ 5)

＝ 6x² － 2 － 3x² － 4x － 11x² ＋ 8x － 5

＝ (6x² － 3x² － 11x²) ＋ ( － 4x ＋ 8x) ＋ ( － 2 － 5)

＝－ 8x² ＋ 4x － 7

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(1) (5x － 4) ＋ (3x － x² ＋ 1) － ( － 7x ＋ 3x²)

解 ＝ 5x － 4 ＋ 3x － x² ＋ 1 ＋ 7x － 3x²

＝－ 4x² ＋ 15x － 3

＝ ( － x² － 3x²) ＋ (5x ＋ 3x ＋ 7x) ＋ ( － 4 ＋ 1)

29

搭配頁數 P.

計算下列各式：

(2) ( － 2x ＋ x²) － 3(x² ＋ 1) ＋ (6x － 5)

解 ＝－ 2x ＋ x² － 3x² － 3 ＋ 6x － 5

＝－ 2x² ＋ 4x － 8

＝ (x² － 3x²) ＋ ( － 2x ＋ 6x) ＋ ( － 3 － 5)

29

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

由數和文字符號進行乘法和加法運算所構 成的式子，稱為多項式。

多項式

3x ＋ 5 、 2x² － 3x ＋ 1 是 x 的多項 式。

30

1

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(1) 多項式 3x² － 2x ＋ 1 中， 3x² 、－ 2x

、 1 都稱為這個多項式的項，其中 3 是 x² 項的係數，－ 2 是 x 項的係數

， 1 是常數項。

項、係數與次數

4x² － 6 的次數為 2 、 7x ＋ 3 的次 數為 1 。

30

2

(2) 在一個多項式中，係數不為 0 的最高 次項的次數為此多項式的次數。

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

如果一個多項式只有常數項，稱為常數多項 式，若常數多項式不為 0 ，則稱為零次多 項

式。

常數多項式

3 、－ 6 、、 0 皆為常數多項式

。

30

3

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

將一個多項式的各項依某一文字符號的次數 由高到低排列，這種排列方式稱為降冪排列

。若次數由低到高排列，稱為升冪排列。

降 ( 升 ) 冪排列

2y² － 3y ＋ 6 為降冪排列、 6 － 3y ＋ 2y² 為升冪排列。

30

4

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

在多項式中，文字符號與次數均相同的項稱 為同類項。

同類項

2x² 和 4x² 是同類項，－ 3y 和 5y 是同類 項，

8 和－ 6 也是同類項。

30

5

重點回顧

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(1) 用橫式做多項式加、減運算，若有括號，

應先去括號再合併同類項。

(2) 用直式做多項式加、減運算，通常先把多 項式依降冪或升冪排列，同類項對齊，

缺

項補 0 ，再將同類項的係數相加或相減

。

6 多項式的加減運算

30

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

根據題目的多項式，填入適當的數：

1

解

31

多項式 多項式

的次數

二次項 的係數

一次項

的係數 常數項

－ 3x ＋ 1 3x² － 5 4x² － x 5x³ ＋ x² －

8

多項式 多項式

的次數

二次項 的係數

一次項

的係數 常數項

－ 3x ＋ 1 3x² － 5 5x³ ＋ x² －

8

一次 二次 二次 三次

0 3 4 1

－ 3 0

－ 0

1

－ 5 0

－ 8

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(1) 將多項式 2x³ － 7 － 5x² ＋ x 依升冪排列。

2

－ 7 ＋ x － 5x² ＋ 2x³

解

31

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

(2) 將多項式－ 6 ＋ 4x ＋ x² － 2x³ 依降冪排列。

2

－ 2x³ ＋ x² ＋ 4x － 6

解

31

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 計算下列各式：

解

31

3x²

－ x²

＋

－ 4x

＋ 6x

＋ 5

－ 5 2x² ＋ 2x

(1)

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

3 計算下列各式：

解

31

6x² 7x²

－

－ 4x

－ 2x

＋ 5

＋ 7

－ x² － 2x (2)

－ 2

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

4 已知有一個多項式與 x² ＋ 4x － 5 的和為

－ 3x² － 7x ＋ 9 ，求此多項式。

解 設此多項式為

A 。

A ＋ (x² ＋ 4x － 5) ＝－ 3x² － 7x ＋ 9 A ＝ ( － 3x² － 7x ＋ 9) － (x² ＋ 4x － 5)＝－ 3x² － 7x ＋ 9 － x² － 4x ＋ 5

32

＝ ( － 3x² － x²) ＋ ( － 7x － 4x) ＋ (9 ＋ 5)

＝－ 4x² － 11x ＋ 14

：－ 4x² － 11x ＋ 14 。

答

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

5 計算下列各式：

(1) (x² － 5x ＋ 6) ＋ (8x² ＋ 9x － 11)

解 ＝ x² － 5x ＋ 6 ＋ 8x² ＋ 9x － 11

32

＝ (x² ＋ 8x²) ＋ ( － 5x ＋ 9x) ＋ (6 － 11)

＝ 9x² ＋ 4x － 5

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

5 計算下列各式：

(2) (6x² － 5) － ( － 6x² － 2x ＋ 8)

＝ 6x² － 5 ＋ 6x² ＋ 2x － 8

32

＝ (6x² ＋ 6x²) ＋ 2x ＋ ( － 5 － 8)

＝ 12x² ＋ 2x － 13

解

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

6 計算下列各式：

(1) (3x² － 5) ＋ (4x － 5x² ＋ 1) ＋ (4 － 3x²)

＝ 3x² － 5 ＋ 4x － 5x² ＋ 1 ＋ 4 － 3x²

32

＝ (3x² － 5x² － 3x²) ＋ 4x ＋ ( － 5 ＋ 1 ＋ 4)

＝－ 5x² ＋ 4x

解

自我評量

搭配頁數 P.搭配頁數 P.搭配頁數 P.

6 計算下列各式：

(2) (x² ＋ 5) － (7x² － 8x) ＋ (8x² － 6x － 7)

＝ x² ＋ 5 － 7x² ＋ 8x ＋ 8x² － 6x

－ 7

32

＝ (x² － 7x² ＋ 8x²) ＋ (8x － 6x) ＋ (5 － 7)

＝ 2x² ＋ 2x － 2

解

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CH1-2 多項式的加減

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出現【解】記號，可連續按下按滑 鼠左鍵 或 滾輪 或 鍵盤下頁符號，

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內容顯示完畢，結尾部分出現 。 表示本頁動畫結束。

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解