高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：96.02.01 班級 普一 班

範

圍 3-4 多項函數

座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1.下列何者可能是直線y = ax + b與拋物線y = ax²

+ b圖形的聯集？

(A) (B) (C)

(D) (E)

【解答】(D)

【詳解】

直線y = ax + b，拋物線y = ax²

+ b與y軸交點均為(0，b)

又若a > 0 時，y = ax + b的斜率a為正，直線向右上升，而拋物線y = ax²

+ b開口向上

2.(複選)在xy平面上，有關圖形的敘述，何者正確？

(A) y = x²圖形對稱於x軸 (B)

y = x

²對於x軸的對稱圖形為y = − x² (C) y = x² + 2 圖形係由y = x²向上平移 2 單位而得

(D) y = (x + 1)² + 2 圖形係由y = x²向右平移 1 單位，再向上平移 2 單位而得 (E) y = (2x + 1)² − 2 圖形的對稱軸為 2x + 1 = 0

【解答】(B)(C)(E)

【詳解】

(A) y = x²圖形對稱於x = 0（y軸）

(B)∵ P(x，y)對x軸的對稱點為Q(x，− y)

將y用 − y代入 ∴ y = x²對於x軸的對稱圖形為y = − x² (C)利用y = f (x) y − 2 = f (x)，即y = f (x) + 2 ∴ y = x

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯^{向上平移2單位}→

2向上平移 2 單位得y = x² + 2

(D) y = x²向右平移 1 單位得y = (x − 1)²，再向上平移 2 單位得y = (x − 1)² + 2 (E) y = (2x + 1)² − 2 = 4(x +

2

1)² − 2 的對稱軸為x + 2

1= 0，即 2x + 1 = 0 3. (複選)若函數f (x) = ax²

+ bx + c的圖形如下圖，則下列敘

述何者正確？(A) a < 0 (B) b > 0 (C) c < 0 (D) b²

− 4ac < 0

(E) 9a + 4b + 2c > 0

【解答】(A)(B)(E)

【詳解】

(A)∵ 圖形向下凹 ∴ a < 0

(B)∵ 頂點為(−

a b 2 ，−

a ac b

4

2 −4 )在第一象限，b > 0，

故−

a b

2 > 0 ⇒ a b

2 < 0 ⇒ b > 0 (即左同右異) (C)∵ 圖形交y軸於(0，c) ∴

c > 0

(D)∵ 圖形交x軸於相異兩點 ∴ f (x) = 0 有二不等實根，∴ D = b²

− 4ac > 0

(E) f (3) =9a + 3b + c= 0

⇒9a + 4b + 2c = (9a + 3b + c) + (b + c) = f (3) + (b + c) = 0 + (b + c) > 0 4. (複選)坐標平面上有四個拋物線方程式的圖形，試選出下列敘述

正確者？(A) a > d (B) b > d (C) c > d (D) c > b (E) a > b

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

二次函數y = mx²，m > 0 時開口向上，m < 0 時開口向下 又|m|愈大開口愈小 ⇒ a > b > c > 0 > d

二、填充題(每題 10 分)

1. 已知二次函數y = f (x) = ax² + bx + c，圖形以(2，3)為頂點，又通 過點(3，1)，則

數對(a，b，c) = 。

【解答】(− 2，8，− 5)

【詳解】

y = f (x) = ax

² + bx + c = a (x − 2)² + 3 ……c，(3，1)代入c ⇒ a = − 2

∴ f (x) = − 2(x − 2)² + 3 = − 2x² + 8x − 5，即數對(a，b，c) = (− 2，8，− 5)

2. 某電影院的每張票價 200 元時，觀眾有 600 人，若票價每減少 10 元時，則觀眾就增加 50 人，則每張電影票價訂為 元時，可使電影院的收入最多。

【解答】160

【詳解】

設票價減 10x元時，可使收入最多，收入y = (200 − 10x)(600 + 50x) = 500(− x² + 8x + 240) = 500[− (x − 4)² + 256]

當x = 4，即票價為 200 − 10 × 4 = 160 元時，收入最多 500×256=128000 元

3. 設m為實數，若二次函數y = mx² + 2x + m − 2 之圖形恆在直線y = − 2 的上方，則m的範圍 為 。

【解答】m > 1

【詳解】

mx

² + 2x + m − 2 > − 2 恆成立，即mx² + 2x + m > 0 恆成立

則 ⇒

由c∩d得m > 1

⎩⎨

⎧

<

−

>

0 4 4

0

m

2

m

⎩⎨

⎧

>

−

<

>

1 1

0

m m

m

或

……c

……d

4. 設二次函數y = 2x² + 2x − 1 之圖形為

Γ

，若將圖形

Γ

沿坐標軸向右平移 3 個單位，再向下 平移 2 個單位，則所得新圖形的函數為y = 。

【解答】2x² − 10x + 9

)

【詳解】

圖形右移 3 單位，下移 2 單位，(x−3,y+2 代入原式，則

原式 ⇒ y + 2 = 2 (x − 3)² + 2(x − 3) − 1 ⇒ y + 2 = 2(x² − 6x + 9) + 2x − 6 − 1 得y = 2x² − 10x + 9

5. 設k為實數，若二次函數f (x) = x² − 4x + (k + 1)，在 0 ≤ x ≤ 3 時，有最大值 2007，求k之值 為 。

【解答】2006

【詳解】

f (x) = x

² − 4x + (k + 1)（0 ≤ x ≤ 3）= (x − 2)² + (k − 3) 當x = 0 時，有最大值k + 1 = 2007 ⇒ k = 2006 6. 二次函數y = x² − (k + 2)x + (k + 2)的圖形

(1)都在x軸上方時，k值的範圍是 。(2)與x軸相交時，k值的範圍是 。

【解答】(1) − 2 < k < 2 (2) k ≤ − 2 或 k ≥ 2

【詳解】

(1) 在x軸上方時，即y = x² − (k + 2)x + (k + 2) >0 恆成立

(2) 與x軸相交時，x

2 2

[ ( 2)] 4 1 ( 2) 0 4 0 2 2

D

= − +

k

− ⋅ ⋅ +

k

< ⇒

k

− < ⇒ − < <

k

2 − (k + 2)x + (k + 2) = 0

D

= − +[ (

k

2)]²− ⋅ ⋅ +4 1 (

k

2)≥ ⇒0

k

²− ≥ ⇒ ≤ −4 0

k

2,

k

≤2

7. 將函數y = 2x²的圖形向左移 3 單位，並向上移 4 單位，所得之圖形若是y = f (x)的函數圖 形，則f (x) = 。

【解答】2(x + 3)² + 4

【詳解】還原

y = 2x

( , )x y ⇒(x+3, y−4)

2⎯^{向左平移3}⎯⎯⎯⎯^單位⎯→

y = 2(x + 3)

²⎯^{向上平移4}⎯⎯⎯⎯^單位⎯→

y − 4 = 2(x + 3)

² ⇒

y

=2(x + 3)² + 4 8. 若二次函數y = 2x²

− x + 4，當− 4 ≤ x ≤ 0 時，y之最大值為M，最

小值為m，則M + m之值為 。

【解答】44

【詳解】

y = 2x

²

− x + 4 = 2(x

² − 2

1

x) + 4

= 2(x − 4

1) ² + 4 − 2．

16

1 = 2(x − 4 1) ² +

8

31，此拋物線頂點為(

4 1，

8 31)

⇒當x = 0 時，有最小值m = 4；

當x = − 4 時，有最大值M = 2(− 4)² − (− 4) + 4 = 2．16 + 4 + 4 = 40 ∴ M + m = 44

9. 二次函數y = ax²

+ bx + 5 在x = 2 時有最小值 3，則數對(a，b) = 。

【解答】(

2

1，− 2)

【詳解】

y = ax

²

+ bx + 5 = a (

2 ^{2 2} 4

) 2 4 4 2

4 2 5

b a

x ax ax a

a

⎧ = −

− + = − + + ⇒ ⎨⎩ + = ⇒ a = 2

1，b = − 2

10.某班數學測驗，成績最低者為 20 分，最高者為 90 分。請你設計一線性函數，使原來 40 分者為 60 分，原來 90 分者為 100 分。則依函數，最低分者為 分。

【解答】44

【詳解】

設線性函數 y = ax + b（a，b 為常數）

由已知條件，x = 40 時，y = 60；x = 90 時，y = 100

∴ 40a + b = 60……c；90a + b = 100……d 解c，d得 a =

5

4，b = 28 ∴ y = 5

4

x + 28

於 x = 20 時，y =

5

4× 20 + 28 = 16 + 28 = 44

11.一物體自 1000 公尺高處自由落下，則物體距離地面的高度y為落下時間t的函數，其關係 式設y = 1000 − 4.9t²，y的單位是公尺，t的單位是秒，則

(1)落下 10 秒時，高度為 。 (2)第 10 秒落下的距離為 。 (3)自落下到著地歷時 秒。

【解答】(1) 510 公尺 (2)(3) 7 100

【詳解】

(1)

(2) ，第 10 秒落下的距離為

10 1000 4.9 102 510

x

= ⇒ =

y

− × =

11 1000 4.9 112 407.1

x

= ⇒ =

y

− × = 510 407.1 102.9− =

(3) ² 10000 100

0 0 1000 4.9

49 7

y

= ⇒ = −

x

⇒ =

x

=

12.二次函數y = f (x)圖形通過( − 2，3)，(− 1，0)，(1，6)三點，則 (1) f (x) = 。 (2)對稱軸方程式為 。

【解答】(1) 2x² + 3x + 1 (2) x = − 4 3

【詳解】

(1)設

f x

( )=

ax

²+

bx c

+ ，過( − 2，3)，(− 1，0)，(1，6)三點代入

2x

4 2 3 2

0 3 (

6 1

a b c a

a b c b f x

a b c c

− + = =

⎧ ⎧

⎪ − + = ⇒⎪ = ⇒ =

⎨ ⎨

⎪ + + = ⎪ =

⎩ ⎩

) ² + 3x + 1 2( ³)^{2 1}

4 8

= x+ +

13.已知二次函數y = f (x) = ax²

+ bx +

a

1，在x = 3 時，有最大值 8，則數對(a，b) = 。

【解答】(−1，6)

【詳解】

∵ y = f (x)在x = 3 時，有最大值 8 ∴ y = f (x) = a (x − 3)² + 8 = ax²

− 6ax + (9a + 8)

又已知y = f (x) = ax²

+ bx +

a 1 ∴

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

−

=

8 1 9

6 a a

a

b ……c

……d 由d知 9a²

+ 8a − 1 = 0 ⇒ (9a − 1)(a + 1) = 0 ⇒ a =

9

1或 − 1

∵ y = f (x)有最大值 ∴ a = − 1，b = 6，即(a，b) = (−1，6)

14.設y = | 4 − x² | + 3x，若 | x | ≤ 4，

(1)當x = 時，y有最大值 。 (2)當x = 時，y有最小值 。

【解答】(1) x = 4 時，y 有最大值 24；(2)x = − 2 時，y 有最小值 − 6

【詳解】

y = | 4 − x² | + 3x中

當x ≥ 2 時，y = x² − 4 + 3x = x² + 3x − 4，x = 2 時，y = 6 當−2 < x < 2 時，y = 4 − x² + 3x = − x² + 3x + 4 = − (x −

2 3)² +

4 25 當x ≤ − 2 時，y = x² − 4 + 3x = x² + 3x − 4，x = − 2 時，y = − 6 其圖形如右： | x | ≤ 4 ⇒ − 4 ≤ x ≤ 4

當x = 4 時，y有最大值 4² + 3 × 4 − 4 = 24；

當x = − 2 時，y有最小值 − 6

15.設三次函數 f (x)的部分圖形如下圖，求 f (x)。

【解答】(x − 1)(x + 2)(−

4

1

x + 1)

【詳解】

∵ f (x)圖形交 x 軸於(− 2，0)，(1，0)

∴ f (x) = 0 有− 2，1 的根 ∴ f (x)有(x + 2)(x −1)的因式 令 f (x) = (ax + b)(x + 2)(x − 1)，a，b ∈ R，a ≠ 0

∵ f (x)圖形過點(−1，−

2

5)，(0，− 2)

∴ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

− +

−

=

−

) 1 )(

2 )(

( 2

) 2 )(

1 )(

2 ( 5

b b

a ∴ b = 1，a = − 4 1，

∴ f (x) = (x − 1)(x + 2)(−

4

1

x + 1)