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109 學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（二）參考解答
注意事項：(1)作答時間：1 小時 。不可使用電算器 。
(2)本試卷共四題，滿分 21 分 。每題配分標於題末。請將計算及 證明題演算過程或理由，依序寫在 答案卷 上。
(3)試題紙與答案卷請一併繳回。
(4)需使用黑色或藍色筆作答
1.已知 𝒂𝒂, 𝒃𝒃, 𝒄𝒄 三數滿足 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 − 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 且 𝒂𝒂+𝟐𝟐𝟏𝟏 +𝒃𝒃−𝟏𝟏𝟏𝟏 +𝒄𝒄+𝟗𝟗𝟏𝟏 = 𝟐𝟐，其中
2, 5, 9
a≠ − b≠ c≠ − ，試求�(𝒂𝒂 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐+ (𝒃𝒃 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐+ (𝒄𝒄 + 𝟗𝟗)𝟐𝟐 之值。 （4 分）
【參考解答】： Ans: 9
令 𝟐𝟐 = 𝒂𝒂 + 𝟐𝟐, 𝒚𝒚 = 𝒃𝒃 − 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 = 𝒄𝒄 + 𝟗𝟗 所以 𝟐𝟐 + 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐 = 𝟗𝟗 且 𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟏𝟏𝒚𝒚+𝟏𝟏𝟐𝟐= 𝟐𝟐 故 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐
所以
�(𝒂𝒂 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐+ (𝒃𝒃 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐+ (𝒄𝒄 + 𝟗𝟗)𝟐𝟐
=�𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝒚𝒚𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐
= �(𝟐𝟐 + 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐− 𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐)
= 𝟗𝟗
2. 已知 x, y, z 是正數且滿足�𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟗𝟗
，試求 𝟐𝟐 + 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 之值。
(4 分)
【參考解答】Ans: 37.5
將 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 的兩邊同時加 4 得 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟖𝟖 = (𝟐𝟐 + 𝟐𝟐)(𝒚𝒚 + 𝟐𝟐)，
同理可得𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 = (𝒚𝒚 + 𝟐𝟐)(𝟐𝟐 + 𝟐𝟐)。
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還可得 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 = (𝟐𝟐 + 𝟐𝟐)(𝟐𝟐 + 𝟐𝟐)，則(𝟐𝟐 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐= 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟖𝟖 ；因為 x 是正 數，所以(𝐱𝐱 + 𝟐𝟐) =𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐，𝐱𝐱 =𝟕𝟕𝟐𝟐。(𝐲𝐲 + 𝟐𝟐) = 𝟖𝟖，𝐲𝐲 = 𝟐𝟐。(𝐳𝐳 + 𝟐𝟐) = 𝟔𝟔，𝐳𝐳 = 𝟖𝟖。
所以𝟐𝟐 + 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟕𝟕. 𝟏𝟏
3. ∆ABC 中，AB=AC ，且 D、E、F 三點分別在BC 、 CA 、AB三邊上，使得 DE//AB。如果∆BDF 之面積為 9，∆AFE 之面積為 15，∆DCE 之面積為
32，試求 ∆DEF 與∆ABC 面積之比值。 （4 分）
【參考解答】Ans: 2
9。 設 DEF 面積為 x，
// AB DE
∴AB DE: = ∆BFD+ ∆AFE:∆DFE=(9+15) : x = 24 : x 且∆BDE=∆FDE ⇒ ∆BDE:∆DEC=BD DC: =(24-x):x
: 32 (24 ) : 2 32 768 0
x x x x x
⇒ = − ⇒ + − = ⇒ =x 16
因此 △DEF 與△ABC 面積比值=16 2 72 =9。
4. ∆ABC中，∠ABC=75 ,° ∠BCA=45°，如果P為 BC 上的點使得 BP=2PC， 試求∠APB的度數。 （4 分）
【參考解答】：Ans: 60° 。
設 BC=a AC, =b AB, =c,利用正弦定理， ABC∆ 中，
2 sin 60 sin 45 3
a c c
° = ° ⇒ =a ，
2
3 ,
BP= a 2 2
3 3 ,
BP a c
c c a
∴ = ⋅ = = ∴∆BPA∆BAC 故 ∠APB=∠BAC=60 .°
5. 已知a b, 均為四位數，滿足b=3a且a b, 均由相同的數字組成(順序排列除外)，
試求滿足這樣條件之最小的 a 值。（首位數字均不為零）（5 分）
【參考解答】：∵3 | N，
∴N 的數字和可被 3 整除，
⇒ M 的數字和亦可被 3 整除，
⇒ 3 | M ， 因此9 | N
⇒ N 的數字和可被 9 整除，
⇒ M 的數字和亦可被 9 整除，
⇒ 9 | M，（因此27 | N）
∵四位數中 9 的倍數最小為 1008，
1008 3⋅ =3024, 1017 3⋅ =3051, 1026 3⋅ =3078, 1035 3⋅ =3105 所以，N =3105, M =1035。
